\documentclass{lecture}

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\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\chapter{Der \texorpdfstring{$n$}{n}-dimensionale Zahlenraum \texorpdfstring{$K^{n}$}{K\unichar{"207F}}}

\section{Der euklidische Raum \texorpdfstring{$K^{n}$}{K\unichar{"207F}}}

\begin{bem}
	$K^{n}$ bezeichnet den Vektorraum der $n$-Tupel $x = \icol{x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} }, x_{i} \in \K, i = 1,...,n, \\ n \in \N$ 
	mit Addition $x+y \coloneqq \icol{x_{1} + y_{1} \\ \vdots \\ x_{n}+y_{n} }$ und skalarer Multiplikation $\alpha \cdot x = \icol{\alpha x_{1} \\ \vdots \\ \alpha x_{n} }, \forall \alpha \in \K$.
\end{bem}

\begin{definition}
	Sei $X$ irgendeine Menge. \\
	Eine Metrik auf $X$ ist eine Abbildung $d: X \times X \to \R, \ (x,y) \mapsto d(x,y)$ mit folgenden Eigenschaften: 
	\begin{enumerate}[M1]
		\item 	(Definitheit) $d(x,y) \geq 0$, $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
		
		\item 	(Symmetrie) $\forall x,y \in X$ gilt $d(x,y) = d(y,x)$.
		
		\item 	(Dreiecksungleichung) $\forall x,y,z \in X$ gilt $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$.
	\end{enumerate}
	Ein metrischer Raum $(X, d)$ besteht aus einer Menge $X$ mit einer Metrik $d$. Man nennt $d(x,y)$ auch den Abstand oder die Distanz von $x$ und $y$.
\end{definition}

\begin{bsp}
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 	$X = \R$ oder $\C$ mit $d(x,y) \coloneqq |x-y|$ ist ein metrischer Raum, denn: 
			\begin{enumerate}[M1]
				\item 	folgt aus $|x| = 0 \Leftrightarrow x=0$, $|x| \geq 0$,
				\item 	folgt aus $|x-y| = |-(y-x)| = |y-x|$,
				\item 	folgt aus $d(x,y) = |x-y| = |x-z+z-y| \leq |x-z| + |z-y| = d(x,z) + d(z,y)$.
			\end{enumerate}
		
		\item 	(induzierte Metrik) Sei $(X,d)$ metrischer Raum und $A \subseteq X$. Die induzierte Metrik $d_{A}$ auf $A$ ist definiert durch $d_{A}: A \times A \to \R, \ d_{A}(x,y) \coloneqq d(x,y), \ \forall x,y \in A$. Dann wird $(A, d_{A})$ zu einem metrischen Raum.
		
		\item (triviale Metrik) Sei $X$ eine Menge. Die Triviale Metrik wird definiert durch: $$ d(x,y) = \begin{cases} 0, & \text{für} \ x=y \\ 1, & \text{für} \ x \neq y \end{cases}.$$
		
		\item Weiteres wichtiges Beispiel: metrische Räume entstehen aus normierten Vektorräumen.
	\end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{definition}
	(normierter Raum) Sei $V$ irgendein Vektorraum über $\K$ ($\K = \R$ oder $\K = \C$). Eine Abbildung $\norm{\cdot}: V \to \R$ heißt Norm (auf V), wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 
	\begin{enumerate}[N1]
		\item 	(Definitheit) $\norm{x} \geq 0$, $\norm{x} = 0 \Leftrightarrow x=0$. \label{def:N1}
		\item 	(Homogenität) $\norm{ \alpha x} = |\alpha| \cdot \norm{x}, \alpha \in \K$. \label{def:N2}
		\item 	(Dreiecksungleichung) $\norm{x+y} \leq \norm{x} + \norm{y}$. \label{def:N3}
	\end{enumerate}
	Das Paar $(V, \norm{\cdot})$ heißt normierter Raum.
\end{definition}

\begin{bem}
	(Norm $\leadsto$ Metrik) Sei $(V, \norm{\cdot})$ ein normierter Raum. Dann ist $d(x,y) \coloneqq \norm{x-y}, \forall x,y \in V$ eine Metrik auf $V$.
\end{bem}

\begin{bsp}
	Normen in $\R^{n}$. \begin{enumerate}[(1)]
		\item 	Euklidische Norm $\norm{x}_{2} \coloneqq \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}$.
		\item 	Maximumsnorm oder $\ell^{\infty}$-Norm: $\norm{x}_{\infty} \coloneqq \max_{i = 1,..,n} |x_{i}|$.
		\item 	$\ell^{1}$-Norm: $\norm{x}_{1} \coloneqq \sum_{i=1}^{n} |x_{i}|$.
		\item 	$\ell^{p}$-Norm: $\norm{x}_{p} \coloneqq \sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p}}$.
	\end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{definition}
	Eine Folge $(x^{(k)})_{k \in \N}, x^{(k)} \in \K^n$, heißt 
	\begin{enumerate}[i)]
		\item 	beschränkt, falls $\forall k\in \N:\; x^{(k)} \in K_{R}(0)$, $K_{R}(0)$ eine Kugelumgebung von $0$ mit Radius $R$. 
				$$K_{r}(a) \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{x-a}_{\infty} < r\}.$$
		\item 	Cauchy-Folge, wenn $\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon} \in \N$ sodass $\forall k,l \geq N_{\varepsilon}$ gilt: $\norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon$.
		\item 	konvergent gegen ein $x \in \K^{n}$, wenn $\norm{x^{(k)} - x}_{\infty} \to 0$ für $k \to \infty$. \\
				geometrisch: jede Kugelumgebung $K_{\varepsilon}(x)$ enthält fast alle Folgenelemente $x^{(k)}$ (d.h. alle bis auf endlich viele).
	\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{bem}
	Offenbar: 
	\begin{align*}
		&\norm{x^{(k)} - x}_{\infty} \to 0, k \to \infty & & \Leftrightarrow \\
		&\left| x_{i}^{(k)} - x_{i} \right| \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0, i = 1,...,n.
	\end{align*}
	Das heißt $\lim_{n \to \infty} x_{i}^{(k)} = x_{i}$ (komponentenweise Konvergenz in $\R$ oder $\C$)
\end{bem}\vspace*{-3mm}
\begin{satz}[Satz von Cauchy und Satz von Bolzano-Weierstraß]
    \label{satz:bolzano}\ \vspace*{-3mm}
	\begin{enumerate}[1)]
		\item 	Jede Cauchy-Folge in $K^{n}$ konvergiert, d.h. der normierte Raum $(K^{n}, \norm{\cdot}_{\infty})$ ist vollständig. Ein vollständiger normierter Raum wird Banach-Raum genannt. \vspace*{-2mm}
		\item 	Jede beschränkte Folge in $K^{n}$ besitzt eine konvergente Teilfolge.
	\end{enumerate}\vspace*{-3mm}
\end{satz}

\begin{proof}
	\begin{enumerate}[1)]
		\item 	Sei $(x^{(k)})_{k \in \N}$ eine Cauchy-Folge, d.h. $\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon}, \forall k,l \geq N_{\varepsilon}:\norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon$.
	Betrachte Komponentenfolge $(x_{i}^{(k)})_{k \in \N}, i = 1,...,n$. Die Komponentenfolgen sind Cauchy-Folgen, weil $$\left| x_{i}^{(k)} - x_{i}^{(l)} \right| \leq \norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon, \forall k,l \geq N_{\varepsilon}, \forall i = 1,...,n.$$ 
	$\implies \lim_{k \to \infty} x_{i}^{(k)} \eqqcolon x_{i} \implies x^{(k)} \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} x = \icol{x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}}$ in $\ell_{\infty}$ Norm.
		\item 	Sei $(x^{(k)})_{k \in \N}$ beschränkt $\implies$ $(x_{i}^{(k)})_{k \in \N}, \forall i = 1,...,n$ auch beschränkt \\
		$\stackrel{\text{Bo.-We. in} \ \K}{\implies}$\ \ \ \ es existiert eine konvergente Teilfolge $(x_{1}^{(k_{1,j})})_{j \in \N}$ von $(x_{1}^{(k)})_{k \in \N}$ mit $x_{1}^{(k_{1,j})} \overset{j \to \infty}{\longrightarrow} x_{1}$, \\ 
		nach $n$ Schritten haben wir Teilfolgen $(x_{n}^{(k_{n,j})})_{j \in \N}$ von $(x_{n}^{(k)})_{k \in \N}$ für die alle Komponentenfolgen konvergieren $(x_{i}^{(k_{i,j})})_{j \in \N} \overset{j \to \infty}{\longrightarrow} x_{i}, \forall i = 1,...,n$. Daraus folgt $(x^{k_{nj}}) \overset{j \to \infty}{\longrightarrow} x$.
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{satz}[Äquivalenz von Normen]
	Sei $\K^{n}$ ein endlichdimensionaler Vektorraum. Dann sind alle Normen äquivalent zur Maximumsnorm $(\ell_{\infty})$, d.h. zu jeder Norm $\norm{\cdot}, \exists m,M >0$ sodass $$m \norm{x}_{\infty} \leq \norm{x} \leq M \norm{x}_{\infty}, \ \ \ \ x \in \K^{n}.$$
\end{satz}

\begin{proof}
	Sei $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm. $\forall x \in \K^{n}, x = \sum_{k=1}^{n} x_{k}e^{(k)}$, wobei $e^{(k)}, k=1,...,n$ die sogenannte euklidische Basis ist: $e^{(k)} = \icol{\delta_{k,1} \\ \vdots \\ \delta_{k,n} }$. \\
	Dann:
		\begin{align*}
			\norm{x} & \leq \sum_{k=1}^{n} |x_{k}|\cdot \norm{e^{(k)}}  \\
			& \leq \sum_{k=1}^{n} \max_{i = 1...n} |x_{i}| \cdot \norm{e^{(k)}} \leq M \cdot \norm{x}_{\infty}.
		\end{align*}
	Wobei $M \coloneqq \sum_{k=1}^{n} \norm{e^{(k)}}$. \\ Setze $$S_{1} \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{x}_{\infty} = 1\}, \ \ m \coloneqq \inf \{ \norm{x} \ | \ x \in S_{1} \} \geq 0.$$ \\
	Es gzz.: $m > 0$. Annahme $m=0$. Dann existiert eine Folge $(x^{(k)})_{k \in \N}$, $x^{(k)} \in S_{1}$, sodass $\norm{ x^{(k)} } \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0$. Aus $x^{(k)} \in S_{1}$ folgt $(x^{(k)})_{k \in \N}$ ist beschränkt in der $\ell_{\infty}$-Norm. Dann impliziert der Satz von Bolzano-Weierstraß: es existiert eine konvergente Teilfolge, o.B.d.A. $(x^{(k)}) \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} x$ in der $\ell_{\infty}$-Norm, dann:
	\begin{align*}
		& \ \ \ \underbrace{\left| \underbrace{\norm{x^{(k)}}_{\infty}}_{=1} - \norm{x}_{\infty} \right|}_{=|1-\norm{x}_{\infty}|} \leq \underbrace{\norm{x^{(k)} -x}_{\infty}}_{\overset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0} 
		\implies  |1-\norm{x}_{\infty}| \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0  
		\implies  \norm{x}_{\infty} = 1 \implies x\in S_{1}.
	\end{align*}	 
	Anderseits:
	\begin{align*}
		&\norm{x} \leq \norm{x-x^{(k)}} + \norm{x^{(k)}} \leq M \cdot \norm{x-x^{(k)}}_{\infty} + \norm{x^{(k)}} \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0 \\
		\implies \ & \ \norm{x}=0 \ \ \implies x=0.
	\end{align*}
	Widerspruch zu $x \in S_{1}$, also $m>0$. Dann für $x \neq 0$ ist Vektor $\frac{x \ }{\norm{x}_{\infty}} \in S_{1}$ und $m \leq \frac{\norm{x} \ }{\norm{x}_{\infty}}$ (nach Definition von $m$) und $0 < m \cdot \norm{x}_{\infty} \leq \norm{x}, \ x \in \K^{n}$.
\end{proof}

\begin{korollar}
	Auf $K^{n}$ sind alle Konvergenzen in irgendeiner Norm äquivalent zur Konvergenz in der $\ell_{\infty}$-Norm. (= komponentenweiser Konvergenz)
\end{korollar}

\begin{bem}
	Obiger Satz gilt nicht für unendlich dimensionale Räume (wie z.B. $C[a,b]$ oder $R[a,b]$). Die endliche Dimension von $K^{n}$ ist entscheidend.
\end{bem}


\section{Teilmengen in \texorpdfstring{$K^{n}$}{K\unichar{"207F}} (Topologische Grundbegriffe)}

Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.

\begin{definition}[$\varepsilon$-Kugel, $\varepsilon$-Umgebung]
	Sei $a \in \K^{n}, r>0$.
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 	Dann heißt $K_{r}(a) \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{a-x} < r \}$ die offene Kugel um $a$ mit Radius $r$ bzgl. $\norm{\cdot}$.
		\item 	$U \subset K^{n}$ heißt Umgebung von $a \in \K^{n}$, falls $\exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(a) \subseteq U$. Insbesondere ist $K_{\varepsilon}(a)$ selbst eine Umgebung von $a$, eine sogenannte $\varepsilon$-Umgebung von $a$.
	\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}[offene Menge]
	Eine Menge $O \in \K^{n}$ heißt offen, falls $O$ eine Umgebung jedes Punktes aus $O$ ($ x \in O$) ist, das heißt $\forall x \in O, \exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(x) \subseteq O$.
\end{definition}

\begin{bsp}
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 	$]a,b[ \subseteq \R$ ist offen ($a<b, a,b \in \R$), weil: sei $x \in ]a,b[$, definiere $\varepsilon \coloneqq \min\{ |a-x|, |b-x|\}$, $\varepsilon > 0$, da $a<x<b$ ist $K_{\varepsilon}(x) \subseteq ]a,b[$
		\item  	$\emptyset$ leere Menge ist immer offen, $\K^{n}$ ist immer offen
		\item 	Die Kugel $K_{r}(a)$ ist immer offen: sei $x \in K_{r}(a)$, setze $\varepsilon \coloneqq r - \norm{x-a}$, dann $K_{\varepsilon}(x) \subseteq K_{r}(a)$, weil: sei $y \in K_{\varepsilon}(x)$. Dann gilt $$ \norm{y-a} \leq \underbrace{\norm{y-x}}_{< \varepsilon = r - \norm{x-a}} + \norm{x-a} < r - \norm{x-a} + \norm{x-a} = r.$$
	\end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{satz}[Eigenschaften offener Mengen]
    Es gilt:
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 	Sind $U$ und $V (\subseteq \K^{n})$ offen, dann ist $U \cap V$ offen.
		\item 	Sei $U_{i} \subset \K^{n}, i \in I$ eine Familie offener Teilmengen. Dann ist auch $\underset{i \in I}{\bigcup} U_{i}$ offen.
	\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 	Sei $x \in U \cap V$. Dann $\exists \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2} > 0$ mit $K_{\varepsilon_{1}}(x) \subseteq U$, $K_{\varepsilon_{2}}(x) \subseteq V$. Damit gilt für $\varepsilon \coloneqq \min\{ \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2} \}$, $K_{\varepsilon}(x) \subseteq U \cap V$. (Beachte: $\emptyset$ ist immer offen.)
		\item 	Sei $x \in \underset{i \in I}{\bigcup} U_{i}$, dann $\exists j \in I$ mit $x \in U_{j}$. \\ $U_{j}$ offen $\implies$ $\exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(x) \subseteq U_{j}$ $\implies$ $K_{\varepsilon}(x) \subseteq \underset{i \in I}{\bigcup} U_{i}$.
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{korollar}
	\begin{enumerate}[1)]
		\item	Endliche Schnitte und beliebige Vereinigung von offenen Mengen sind wieder offen.
		\item 	(Beobachtung) Durchschnitt von unendlich vielen offenen Mengen braucht nicht offen zu sein. Z.B. $$ \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} \left]-\frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}\right[ = [0,1]$$ ist nicht offen, da $K_{\varepsilon}(0) \not\subset [0,1], \forall \varepsilon > 0$.
	\end{enumerate}
\end{korollar}

\begin{definition}[Abgeschlossene Menge]
    Eine Teilmenge $A \subset \K^{n}$ heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement $A^{c} \coloneqq \K^{n} \setminus A$ offen ist.
\end{definition}

\begin{bsp}
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 	Für $a,b \in \R, a \leq b$ ist $[a,b]$ abgeschlossen, denn $]-\infty,a[ \ \cup \ ]b, \infty[ \ = \R \setminus [a,b]$ ist offen, denn:
				\begin{align*}
					]-\infty, a[ & = \underset{n \in \N}{\bigcup} ]a-n,a[ \ \ \text{ist offen} &
					]b, \infty[  & = \underset{n \in \N}{\bigcup} ]b, b + n[ \ \ \text{ist offen}.
				\end{align*}
	\end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{satz}[Eigenschaften abgeschlossener Mengen]\ 
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 	Sind $V, U$ ($V,U \subset \K^{n}$) abgeschlossen, dann ist $U \cup V \subset \K^{n}$ auch abgeschlossen.
		\item 	Sind $U_{i}, (i \in I)$ abgeschlossene Mengen in $\K^{n}$. Dann ist $\underset{i \in I}{\bigcap} U_{i}$ auch abgeschlossen.
	\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 	$(U \cup V)^{c} = \underbrace{U^{c}}_{\text{offen}} \cap \underbrace{V^{c}}_{\text{offen}}$ offen.
		\item 	$\left( \underset{i \in I}{\bigcap} U_{i} \right)^{c} = \underset{i \in I}{\bigcup} \underbrace{U_{i}^{c}}_{\text{offen}}$ offen.
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{bsp}
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 	Beliebige Vereinigung abgeschlossener Mengen muss nicht abgeschlossen sein. Z.B. $]0,1[ \ = \underset{n \in \N}{\bigcup} \underbrace{\left[\frac{1}{n}, 1- \frac{1}{n}\right]}_{\text{abgeschlossen}}$ ist offen.
		\item 	$\emptyset$ und $K^{n}$ sind abgeschlossen.
		\item 	$A_{1} \subset \R^{n_{1}}$ und $A_{2} \subset \R^{n_{2}}$ abgeschlossen, dann ist auch $A_{1} \times A_{2} \subset \R^{n_{1}} \times \R^{n_{2}} = \R^{n_{1} + n_{2}}$ abgeschlossen.
		\item 	Für $a<b \in \R$ ist $[a,b[$ weder offen noch abgeschlossen.
	\end{enumerate}
\end{bsp}

\end{document}
