\documentclass{lecture}

\begin{document}

\chapter{Folgen und Reihen von Funktionen}

\section{Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz}

\begin{definition}
    Sei für $n \in \N$, $f_n \colon D \to  \R$, $D \subset \R$ eine Funktion.
    Die Folge $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert punktweise gegen
    eine Funktion $f\colon D \to \R$ falls $\forall x \in D$
    die Folge $(f_n(x))_{n\in\N}$ gegen $f(x)$ konvergiert, d.h.
    \[
        \forall \epsilon > 0 \quad \exists N = N(\epsilon, x) > 0 \text{ s.d. }
        |f_n(x) - f(x)| < \epsilon \quad \forall n \ge N
    .\] 
\end{definition}

\begin{bsp}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item \begin{align*}
                &f_n(x)\colon [0,2] \to  \R \\
                &f_n(x) = \begin{cases}
                    n^2x & 0 \le x \le \frac{1}{n} \\
                    2n - n^2x & \frac{1}{n} \le x \le \frac{2}{n} \\
                    0 & \frac{2}{n} \le x \le 2
                \end{cases}
            .\end{align*}
            $(f_n(x))_{n\in\N}$ konvergiert punktweise gegen $f(x) \equiv 0$ $\forall x \in [0,2]$.

            $x=0$: $f_n(0) = 0 = f(0)$\\
            $0 < x \le 2$: $\forall n \ge \frac{2}{x}$, $f_n(x) = 0 = f(x)$
        \item $f_n(x) = x^{n}$, $f_n\colon [0,1] \to \R$.
            \begin{figure}[ht!]
                \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
                    \begin{axis}%
                        [grid=both,
                         minor tick num=4,
                         grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
                         major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
                         axis lines=middle,
                         enlargelimits={abs=0.2},
                         ymax=1,
                         ymin=0
                        ]
                        \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^1};
                        \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^2};
                        \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^3};
                        \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^4};
                      \end{axis}
                \end{tikzpicture}
                \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
                    \begin{axis}%
                        [grid=both,
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                         axis lines=middle,
                         enlargelimits={abs=0.2},
                         ymax=1,
                         ymin=0
                        ]
                        \addplot[domain=0:1.1,samples=1000,smooth,red] {(and(x>=0  , x<1)   * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
                      \end{axis}
                \end{tikzpicture}
                \caption{$f_n(x) = x^{n}$ und ihre Grenzfunktion}
            \end{figure}
            \begin{align*}
                (f_n(x))_{n\in\N} \xrightarrow[\text{punktweise}]{n \to \infty} f(x)
                = \begin{cases}
                    1 & \text{ falls } x = 1 \\
                    0 & \text{ falls } 0 \le x < 1
                \end{cases}
            .\end{align*}
    \end{enumerate}
    \label{bsp:punktweisekonvergenz}
\end{bsp}

\begin{bem}
    Punktweiser Limes stetiger Funktionen muss nicht stetig sein.
\end{bem}

\begin{definition}
    Die Folge $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig gegen $f\colon D \to \R$ falls gilt
    \[
        \forall \epsilon > 0 \quad \exists N = N(\epsilon) \text{ s.d. }
        |f_n(x) - f(x)| < \epsilon \quad \forall x \in D \text{ und } n \ge N
    .\] 
\end{definition}

\begin{bem}
    $\forall \epsilon > 0$, $\exists N = N(\epsilon)$, $\forall n \ge N$ gilt
    \[
        \text{graph}(f_n) \subset \epsilon\text{-Umgebung von Graphen von } f
        \coloneqq \{ (x, y) \in D \times \R  \mid | y - f(x)| < \epsilon\} 
    .\] 
    \begin{figure}[ht!]
        \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
            \begin{axis}%
                [grid=both,
                 minor tick num=4,
                 grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
                 major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
                 axis lines=middle,
                 enlargelimits={abs=0.2},
                 ymax=1,
                 ymin=0
                ]
                \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.7};
                \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.5};
                \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,blue] {0.1 * sin(deg(40*x)) + 0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.5};
                \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.3};
              \end{axis}
        \end{tikzpicture}
        \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
            \begin{axis}%
                [grid=both,
                 minor tick num=4,
                 grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
                 major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
                 axis lines=middle,
                 enlargelimits={abs=0.2},
                 ymax=1,
                 ymin=-0.4,
                ]
                \addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3};
                \addplot[domain=0:1.001,samples=1000,smooth,red] {(and(x>=0  , x<1)   * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
                \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,blue] {x^8};
                \addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {-0.3};
              \end{axis}
        \end{tikzpicture}
        \caption{Links: ,,$\epsilon$-Schlauch``, Rechts: \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (b) nicht gleichmäßig konvergent}
    \end{figure}
    Beispiele \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (a) und (b) nicht gleichmäßig konvergent, zu (a):
    Für $\epsilon = \frac{1}{2}$ gilt
    $\left|f_n\left(\frac{1}{n}\right)- f\left(\frac{1}{n}\right)\right| = n > \frac{1}{2}$
\end{bem}

\begin{bsp}
    $f_n\colon [0,2] \to \R$, $f_n(x) \coloneqq \frac{1}{n} \sin \left( 2\pi n \cdot x \right) $ konvergiert
    gleichmäßig gegen $f(x) = 0$.
    \[
        | \sin(2 \pi n \cdot x) | \le 1 \quad \forall x \in R \implies
        f_n(x) \xrightarrow{n \to \infty} 0 \quad \forall x \in [0,2] \implies \text{punktweise Konvergenz}
    .\] Sei nun $\epsilon > 0$, dann $\exists N \in \N$ mit $\frac{1}{N} < \epsilon$. Damit folgt
    \[
        \forall n \ge N \quad |f_n(x)| \le \frac{1}{N} < \epsilon \quad \forall x
        \implies \text{gleichmäßige Konvergenz}
    .\] 
\end{bsp}
\begin{bem}
    Konvergiert $f_n \colon D \to \R$ gleichmäßig gegen $f \colon  D \to \R$, dann konvergiert $f_n$ punktweise
    gegen $f$. Die Umkehrung gilt nicht, siehe \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (a) und (b).
\end{bem}

\begin{satz}[Gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen ist stetig]
    Es sei $D \subset \R$ und $f_n\colon D \to \R$ $\forall n \in \N$ stetig in $D$.
    Sei $(f_n)_{n\in\N}$ gleichmäßig konvergent gegen $f\colon D \to \R$. Dann gilt:
    $f$ ist stetig in $D$.
\end{satz}

\begin{proof}
    Seien $x_0 \in D$ und $\epsilon > 0$.
    Zu zeigen:
    $\exists \delta > 0$ $\forall x \in D\colon |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \epsilon$.
    \[
        (f_n)_{n\in\N} \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to  \infty} f
        \implies \exists N \in \N \text{ s.d. } \forall n \ge N \quad \forall x \in D
        \text{ gilt } | f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{3}
    .\] 
    \[
    f_n \text{ stetig in } x_0 \implies \exists \delta \text{ s.d. } \forall x \in D \text{ gilt }
    |x - x_0| < \delta \implies |f_n(x) - f_n(x_0)| < \frac{\epsilon}{3}
    .\] 
    Zusammen: $\forall x$ mit $|x - x_0| < \delta $ gilt:
    \begin{align*}
        |f(x) - f(x_0)| &= |f(x) - f_n(x) + f_n(x) - f_n(x_0) + f_n(x_0) - f(x_0)| \\
                        &\le |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)| \\
                        &\le \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} \\
                        &= \epsilon
    .\end{align*}
\end{proof}

\section{Der Funktionenraum \texorpdfstring{$C[a,b]$}{\textit{C[a,b]}}}

\begin{definition}[Maximumnorm $\Vert\cdot \Vert_\infty$]
    Es sei $D$ ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall $I = [a,b]$ und
    $f\colon [a,b] \to \R$ (oder $\mathbb{C}$) stetig. Dann
    \[
        \Vert f \Vert_\infty \coloneqq \max \{ |f(x)|  \mid  x \in [a,b]\} 
    .\] Das Maximum existiert wegen der Stetigkeit des Absolutbetrags und weil $[a,b]$ beschränkt und
    abgeschlossen ist.
\end{definition}

\begin{satz}[$\Vert \cdot \Vert_\infty$ und gleichmäßige Konvergenz]
    Es sei $D = [a,b]$ und $f\colon [a,b] \to \R$ stetig. Dann gilt
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig gegen $f \colon [a,b] \to \R
            \iff \Vert f_n - f \Vert_\infty \to 0$, $n \to \infty$
        \item Cauchy-Kriterium: $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]
            \iff \forall \epsilon > 0$ $\exists N_0 \in \N$, s.d. $\forall n, m \ge N_0$ gilt
            $\Vert f_n - f_m \Vert_{\infty} < \epsilon$
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item ,,$\implies$``: Sei $\epsilon > 0$. Dann $\exists N \in \N$ s.d.
            $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{2}$ $\forall x \in [a,b]$ und $\forall n \ge N$. Damit folgt:
            \[
                \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = \Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \implies \Vert f_n - f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0
            .\] 
            ,,$\impliedby$``: Sei $\epsilon > 0$. Wegen
            $\Vert f_n -f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0$ $\exists N \in \N$ s.d.
            $\Vert f_n - f \Vert_\infty < \epsilon$ $\forall n \ge N$. Damit folgt
            $\forall n \ge N$ und $\forall x \in [a,b]$
            \[
                |f_n(x) - f(x)| \le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| =
                \Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \epsilon \implies \text{gleichmäßige Konvergenz}
            .\] 
        \item ,,$\implies$`` $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h.
            $\exists f: [a,b] \to \R$ s.d. $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f$.

            Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$ s.d. $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{4}$
            $\forall n \ge N_0$ und $\forall x \in [a,b]$.

            Damit gilt $\forall n, m \ge N_0$ und $\forall x \in [a,b]$:

            \begin{align*}
                &|f_n(x) - f_m(x)| \le |f_n(x) - f(x)| + |f(x) - f_m(x)|
                \le \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} = \frac{\epsilon}{2} \\
                \implies &\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f_m(x)| = \Vert f_n - f_m \Vert_{\infty}
                \le \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \quad \forall n, m \ge N_0
            .\end{align*}

            ,,$\impliedby$``: Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$, s.d.
            \[
                |f_n(x) - f_m(x)| \le \Vert f_n - f_m \Vert_\infty < \frac{\epsilon}{2} \quad
                \forall n,m \ge N_0 \quad \forall x \in [a,b]
            .\] $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ ist eine Cauchy-Folge in $\R$.\\
            $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ konvergiert \\
            $\implies$ Definiere $f(x) \coloneqq \lim_{n \to \infty} f_n(x)$, $x \in [a,b]$.

            Dann gilt $\forall n \ge N_0$, $\forall x \in [a,b]$:
            \[
                |f_n(x) - f(x)| = \lim_{m \to \infty} |f_n(x) - f_m(x)| < \frac{\epsilon}{2}
                \implies (f_n)_{n\in\N} \text{ konvergiert gleichmäßig gegen } f
            .\] 
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{bem}
    $\Vert \cdot \Vert_{\infty}$ erfüllt s.g. Normeigenschaften:
    \begin{enumerate}[(N1)]
        \item $\Vert f \Vert_\infty = 0 \implies f(x) = 0, x \in [a,b]$ (Definitheit)
        \item $\Vert \alpha f \Vert_{\infty} = |\alpha| \cdot \Vert f \Vert_\infty$, $\alpha \in \R$ (Homogenität)
        \item $\Vert f + g \Vert_{\infty} \le \Vert f \Vert_\infty + \Vert g \Vert_\infty$ (Dreiecksungleichung)
    \end{enumerate} folgen direkt aus den Eigenschaften des Absolutbetrags.
\end{bem}

\begin{definition}
    Der Funktionenraum $C[a,b]$ definiert durch
    \[
        C[a,b] \coloneqq \{ f \colon [a,b] \to \R  \mid f \text{ stetig }\}
    ,\] ist mit $\Vert f \Vert_\infty$ ein normierter Vektorraum.
\end{definition}

\begin{satz}[Vollständigkeit]
    Der Raum $C[a,b]$ ist vollständig bezüglich gleichmäßiger Konvergenz, d.h. jede
    Cauchy-Folge von Funktionen aus $C[a,b]$ besitzt einen Limes in $C[a,b]$
\end{satz}

\begin{proof}
    Rannacher
\end{proof}

\section{Integration und Grenzübergänge}

Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^{b} f$?

\begin{satz}
    Seien $f_n \colon [a,b] \to R$ stetige Riemann-integrierbare Funktionen und $f\colon [a,b] \to \R$
    mit $\Vert f_n - f \Vert_\infty \xrightarrow{n \to \infty} 0$ (gleichmäßige Konvergenz). Dann gilt
    $f$ stetig und Riemann-integrierbar und
    \[
        \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx
        = \int_{a}^{b} \lim_{n \to \infty} f_n(x) dx 
    .\] 
\end{satz}

\begin{proof}
    $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f \implies f$ stetig $\implies f$ Riemann-integrierbar.

    Es gilt
    \begin{align*}
        \left| \int_{a}^{b} f_n(x) dx - \int_{a}^{b} f(x) dx\right| &= \left| \int_{a}^{b} (f_n(x) - f(x))dx\right|\\
        &\le \int_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)| dx\\
        &\le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| \cdot (a-b)\\
        &=\underbrace{\norm{f_n - f}_\infty}_{\xrightarrow{n \to \infty} 0}\underbrace{(b-a)}_{\text{beschränkt}}.
    \end{align*}
\end{proof}

\begin{satz}\label{permutesumint}
    Seien $f_n \colon [a,b] \to \R$ stetige Funktionen $(n \in \N)$ und die Reihe
    $\sum_{n=0}^{\infty} f_n$ konvergiere gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. die Folge der Partialsummen
    $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ sei gleichmäßig konvergent. Dann gilt:
    \[
        f(x) \coloneqq \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \quad \forall x \in [a,b]
    .\] ist stetig und Riemann-integrierbar und
    \begin{align*}
        \int_{a}^{b} f(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \\
        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx  
    ,\end{align*} d.h. die Reihe wird gliedweise integriert.
\end{satz}

\begin{proof}
    $f_n$ sind stetig $\implies \sum_{n=0}^{N} f_n(x)$ stetig und Riemann-integrierbar.

    Die Folge der Partialsummen $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig, d.h.
    \[
        f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \text{ stetig } = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{n=0}^{N} f_n(x) \right) \text{ gleichmäßiger Limes}
    .\] Es gilt
    \[
        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx =
        \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) dx + \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) dx
    .\] Die Reihe konvergiert gleichmäßig, d.h. $\forall \epsilon > 0$ $\exists N_{\epsilon} \in \N$, s.d.
    $\forall N \ge N_{\epsilon}$ gilt
    \begin{align*}
        &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) dx \right| \le \epsilon \cdot (b-a)  \\
        \implies &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx - \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \right| \le \epsilon \\
        \implies& \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx   
    .\end{align*}
\end{proof}

\begin{korollar}[Integration von Potenzreihen]
    Es sei $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n}$ eine reelle Potenzreihe mit Konvergenzradius $\rho > 0$.
    Dann konvergiert $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^{n}$ in jedem Intervall
    $[x_0 - r, x_0 + r]$ für $0 < r < \rho$ gleichmäßig und für $[a,b] \subset \;]x_0 - \rho, x_0 + \rho[$ gilt
    \[
        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}
        \Big|_{a}^{b}
    .\] 
\end{korollar}

\begin{proof}
    Nur die gleichmäßige Konvergenz für $| x - x_0| \le r$ ist zu beweisen: Für $|x - x_0| \le r$, $r < \rho$ gilt:
    \begin{align*}
        \left\Vert \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^{n} - \sum_{n=0}^{N} a_n(x-x_0)^{n} \right\Vert_{\infty}
        &= \left\Vert \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n}\right\Vert_\infty \\
        &\stackrel{|x - x_0| < r}{\le} \quad \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| \cdot r^{n} \\
        &\stackrel{(*)}{\le} \sum_{n=N+1}^{\infty} \left(\frac{1}{\rho - \epsilon}\right)^{n} \cdot r^{n} \\
        &= \sum_{n=N+1}^{\infty} \underbrace{\left( \frac{r}{\rho-\epsilon} \right)^{n}}_{< 1}
        \xrightarrow[\text{geometrische Reihe}]{N \to \infty} 0
    .\end{align*}
    $(*)$: $\rho = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|} }$, $r < \rho - \epsilon$ für ein $\epsilon > 0 \implies
    \exists N_0 \in \N$, s.d. $\sqrt[n]{|a_n|} < \frac{1}{\rho - \epsilon} $ $\forall n \ge N_0$
\end{proof}

\end{document}
