\documentclass{lecture}

\begin{document}

Jetzt: Fourier Analysis!

\section{Der Funktionen-Raum \texorpdfstring{$R[a,b]$}{\textit{R[a,b]}}}

\begin{definition}
    Eine $f\colon [a,b] \to \mathbb{C}$, $[a,b] \subset \R$ heißt
    Riemann-integrierbar auf $[a,b]$, falls $\text{Re}(f)$ und
    $\text{Im}(f)$ Riemann-integrierbar sind.
    Man setzt
    \[
        \int_{a}^{b} f(x) \d x \coloneqq \int_{a}^{b} \text{Re} f(x) \d x + i \int_{a}^{b} \text{Im} f(x) \d x 
    .\] 

\end{definition}
    
\begin{bem}
    \begin{enumerate}
        \item Analog: Definitionen von uneigentlichen Riemann-integralen für
            komplexwertige Funktionen
        \item Die Rechenregeln f+r das reelle Riemann-integral übertragen sich auf komplexwertige
            Integrale, insbesondere gilt:
            \begin{align*}
                \int_{a}^{b} \overline{f(x)} \d x &= \int_{a}^{b} \left( \text{Re}f(x) - i \cdot \text{Im}f(x) \right)  \d x \\
                &= \int_{a}^{b} \text{Re}f(x) \d x - i \int_{a}^{b} \text{Im}f(x) \d x \\
                &= \overline{\int_{a}^{b} f(x) \d x }
            .\end{align*}
    \end{enumerate}
\end{bem}

\begin{definition}
    Eine Funktion $f\colon [a,b] \to \mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \R$ oder $\mathbb{K} = \mathbb{C}$)
    heißt stückweise stetig, falls
    \begin{enumerate}[1)]
        \item $f$ in $[a,b]$ bis auf endlich viele Ausnahmestellen stetig und beschränkt ist.
        \item in jeder dieser Unstetigkeitsstellen $\xi \in [a,b]$ die links- bzw.
            rechtsseitigen Grenzwerte
            \[
                f(\xi_{\pm}) \coloneqq \lim_{h \searrow 0} f(\xi \pm h)
            .\] existieren. Für $\xi \in (a,b)$ wird
            \[
                f(\xi) \coloneqq \frac{f(\xi_{-}) + f(\xi_{+})}{2}
            .\] gesetzt.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{bem}
    Stückweise stetige Funktionen sind Riemann-integrierbar.

    Die Menge der in diesem Sinne auf $[a,b]$ stückweise stetigen (Riemann-integrierbaren)
    Funktionen bilden einen Vektorraum $R[a,b]$.
\end{bem}

\begin{definition}
    Wir definieren
    \[
        (f, g) \coloneqq \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} \d x \qquad (\text{,,Sesquilinearform``})
    .\] Dies ist wohldefiniert da für $f, g \in R[a,b]$ das Produkt $f(x) \cdot \overline{g(x)} \in R[a,b]$ ist.
\end{definition}

\begin{definition}[Skalarprodukt]
    Sei $V$ Vektorraum über $\mathbb{K}$. Die Abbildung $<\cdot, \cdot >\colon V \times V \to \mathbb{K}$
    heißt Skalarprodukt auf $V$, falls $\forall u, v, w \in V$ und $\alpha \in \mathbb{K}$ gilt:
    \begin{enumerate}[(S1)]
        \item $\langle v, u\rangle = \overline{\langle u, v\rangle}$ (Symmetrie,
            hermitesch falls $\mathbb{K} = \mathbb{C}$
            symmetrisch falls $\mathbb{K} = \R$)
        \item $\langle\alpha v, u\rangle = \alpha \langle v, u\rangle$ \\
            $\langle v, \alpha u\rangle = \overline{\alpha}\langle v, u\rangle$ \\
            $\langle v, u + w\rangle = \langle v, u\rangle + \langle v, w\rangle$ \\
            $\langle v + u, w\rangle = \langle v, w\rangle + \langle u, w\rangle$
        \item Positivdefinitheit: $\langle v, v \rangle \ge 0$ \\
            $\langle v, v \rangle = 0 \iff v = 0$
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{bem}
    Auf $R[a,b]$ besitzt $(\cdot , \cdot )$ die Eigenschaften eines Skalarprodukts, denn
    es gilt $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{C}$, $\forall f, g \in R[a,b]$, $f_1, f_2 \in R[a,b]$,
    $g_1, g_2 \in R[a,b]$:
    \begin{enumerate}[(1)]
        \item $(\alpha f_1 + \beta f_2, g) = (\alpha f_1, g) + (\beta f_2, g) = \alpha (f_1, g) + \beta (f_2, g)$
        \item $(f, \alpha g_1 + \beta g_2) = (f, \alpha g_1) + (f, \beta g_2) = \overline{\alpha}(f, g_1) + \overline{\beta} (f, g_2)$
        \item $\displaystyle (f, g)
            = \int_{a}^{b} f \cdot \overline{g} \d x
            = \int_{a}^{b} \overline{\overline{f} g} \d x 
            = \overline{\int_{a}^{b} \overline{f} g} \d x
            = \overline{\int_{a}^{b} g \overline{f} \d x }
            = \overline{(g, f)}$
        \item $(f,f) = \displaystyle \int_{a}^{b} f \overline{f} \d x = \int_{a}^{b} |f(x)|^2 \d x \ge 0$
        \item Aus (4) und der Definition von $R[a,b]$ folgt: $(f,f) = 0 \implies f \equiv 0$ auf $[a,b]$.
    \end{enumerate}
    $(\cdot , \cdot )$ wird auf $R[a,b]$ $L^2$-Skalarprodukt genannt.
\end{bem}

\begin{lemma}
    Für ein $L^2$-Skalarprodukt $(\cdot , \cdot )$ auf $R[a,b]$ gilt die Cauchy-Schwarz Ungleichung:
    \[
        |(f,g)|^2 \le (f,f)\cdot (g,g)
    .\] 
\end{lemma}

\begin{proof}
    \begin{enumerate}[1)]
        \item Falls $g \equiv 0$ gilt trivialerweise
            \[
                |(f,g)|^2 = 0 = (f,f) \cdot (g,g)
            .\] 
        \item Falls $g \not\equiv 0$, sei $\alpha \in \mathbb{K}$ beliebig
            \[
                0 \le (f + \alpha g, f + \alpha g) = (f,f) + \alpha(g,f) + \overline{\alpha}(f,g)
                + \alpha \cdot \overline{\alpha}(g,g)
            .\] Setze $\alpha \coloneqq - \frac{(f,g)}{(g,g)} = - \frac{\overline{(g,f)}}{(g,g)}$. Dann gilt
            \begin{align*}
                0 &\le (f,f) - \frac{(f,g) \cdot (g, f)}{(g,g)} - \frac{(g, f) \cdot (f,g)}{(g,g)}
                + \frac{(f,g)(g,f)(g,g)}{(g,g)(g,g)} \\
                &= (f,f) - \frac{(f,g)(g, f)}{(g,g)} \\
                &= (f,f) - \frac{\overline{(f,g)}(f,g)}{(g,g)} \\
                &= (f,f) - \frac{|(f,g)|^2}{(g,g)} \\
                \implies 0 &\le (f,f)(g,g) - |(f,g)|^2
            .\end{align*}
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}[$L^2$-Norm]
    Das $L^2$-Skalarprodukt $(\cdot , \cdot )$ induziert die $L^2$-Norm auf $R[a,b]$ mit
    \[
        \Vert f \Vert = \Vert f \Vert_{L^2} \coloneqq (f,f)^{\frac{1}{2}} = \left(\int_{a}^{b} f \cdot \overline{f} \d x\right)^{\frac{1}{2}}
    .\] 
\end{definition}

\begin{bem}
    Normeigenschaften von $L^2$ auf $R[a,b]$ sind erfüllt:
    \begin{enumerate}[(N1)]
        \item Definitheit: $\Vert f \Vert = 0 \implies (f,f) = 0 \implies f = 0$ auf $[a,b]$
        \item Homogenität: $\Vert \alpha f \Vert = (\alpha f, \alpha f)^{\frac{1}{2}} = (|\alpha|^2 (f,f))^{\frac{1}{2}} = |\alpha| \cdot \Vert f \Vert$
        \item Dreiecksungleichung:
            \begin{align*}
                \Vert f + g \Vert &= (f + g, f + g)^{\frac{1}{2}} \\
                &= \left( \Vert f \Vert^2 + (f,g) + (g,f) + \Vert g \Vert^2 \right)^{\frac{1}{2}} \\
                &\stackrel{\text{CSU}}{\le} \left( \Vert f \Vert^2 + 2 \Vert f \Vert \Vert g \Vert
                + \Vert g \Vert^2\right)^{\frac{1}{2}} \\
                &= \Vert f \Vert + \Vert g \Vert
            .\end{align*}
    \end{enumerate}
\end{bem}

\begin{definition}[Konvergenz im Quadratischen Mittel ($L^2$-Konvergenz)]
    Seien $f_n \in R[a,b], n \in \N, f \in R[a,b]$. $f_n$ konvergiert gegen $f$ im Quadratischen
    Mittel $f_n \xrightarrow[L^2]{n \to \infty}$, wenn gilt
    \[
        \Vert f_n - f \Vert_{L^2} \xrightarrow{n \to \infty} 0
    .\] Das heißt, dass die quadratische Abweichung zwischen $f_n$ und $f$ gegen Null konvergiert:
    \[
        \int_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)|^2  \d x \xrightarrow{n \to  \infty} 0
    .\] 
\end{definition}

\begin{bem}
    \begin{enumerate}[(1)]
        \item Es gilt:
            \[
                \Vert f_n - f \Vert_{L^2}^2 = \int_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)|^2 \d x 
                \le  \Vert f_n - f \Vert_{\infty}^2 (b-a)
            .\] Damit folgt
            \[
                \Vert f_n - f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0
                \implies \Vert f_n - f \Vert_{L^2} \xrightarrow{n \to \infty} 0
            .\] 
            Die Umkehrung gilt i.A. nicht! Beispiel: $f_n(x) \coloneqq x^{n}$, $x \in [-1, 1]$
            \begin{figure}[h!]
                \centering
                \begin{tikzpicture}
                    \begin{axis}%
                        [grid=both,
                         minor tick num=4,
                         grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
                         major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
                         axis lines=middle,
                         enlargelimits={abs=0.2},
                         ymax=1,
                         ymin=-1,
                        ]
                        \addplot[domain=-1:1,samples=50,smooth,red] {x^1};
                        \addplot[domain=-1:1,samples=50,smooth,purple] {x^2};
                        \addplot[domain=-1:1,samples=50,smooth,green] {x^3};
                        \legend{$n=1$, $n=2$, $n=3$}
                      \end{axis}
                \end{tikzpicture}
                \begin{tikzpicture}
                    \begin{axis}%
                        [grid=none,
                         minor tick num=4,
                         grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
                         major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
                         axis lines=middle,
                         enlargelimits={abs=0.2},
                         ymax=1,
                         ymin=0,
                         ytick={0},
                         xtick = {0.2, 0.5, 0.9},
                         xticklabels = {$a$, $\xi$, $b$}
                        ]
                        \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {0};
                        \node[red,circle,fill,inner sep=0.5pt] at (axis cs:0.5,0.5) {};
                        \node[black,circle,fill,inner sep=0.5pt] at (axis cs:0.5,0) {};
                      \end{axis}
                \end{tikzpicture}
                \caption{Links: $f_n(x) = x^{n}$, Rechts: $f(x) \not\equiv 0$}
                \label{abb:nichtvollstaendig}
            \end{figure}
            \[
            \Vert f_n \Vert^2_{L^2} = \int_{-1}^{1} x^{2n} \d x
            = 2 \int_{0}^{1} x^{2n} \d x
            = 2 \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \Big|_{0}^{1} = \frac{2}{2n+1} \xrightarrow{n \to \infty} 0
            .\] Damit folgt $f_n \xrightarrow[L^2]{n \to \infty} f \equiv 0$.

            Aber wegen $f_n(1) = 1$ für $x = 1$, $n \in \N$, konvergiert $f_n$ nicht punktweise gegen
            $f \equiv 0$ und wegen $f_n(-1) = (-1)^{n}, n \in \N, x = -1$ konvergiert $f_n$ nicht.
        \item Der Raum $R[a,b]$ mit $L^2$-Norm $\Vert \cdot \Vert$ ist \textbf{nicht vollständig}, d.h.
            es existieren Cauchy-Folgen in $R[a,b]$, die keinen Grenzwert in $R[a,b]$ haben. Beispiel: siehe
            Abb. \ref{abb:nichtvollstaendig} (Rechts). Hier ist
            $f(x) \not\equiv 0$, $x \in [a,b]$.
            \[
                \int_{a}^{b} |f(x)|^2 \d x = 0 = \Vert f \Vert_{L^2}
            ,\] aber $f(x) \not\in R[a,b]$, denn
            \[
                f(\xi) \neq 0 = \frac{\lim_{h \searrow 0} f(\xi + h) - \lim_{h \searrow 0} f(\xi - h)}{2}
            .\] 
    \end{enumerate}
\end{bem}

\begin{definition}[Orthogonalität]
    $f, g \in R[a,b]$ heißen orthogonal, wenn gilt $(f, g) = 0$. 

    Eine Teilmenge $S \subset R[a,b]$ heißt Orthogonalsystem, wenn alle Elemente
    aus $S$ paarweise orthogonal sind, d.h.
    \[
        (f_i, f_j) = \begin{cases}
            \Vert  f_i \Vert^2 & i = j \\
            0 & i \neq j
        \end{cases} \quad \forall f_i, f_j \in S
    .\] 
\end{definition}

\begin{satz}
    Die trigonometrischen Funktionen, für $k, l \in \N$
    \begin{align*}
        c_k(x) &\coloneqq \begin{cases}
            1 & k = 0 \\
            \cos(k x) & \text{sonst}
        \end{cases} \\
        s_l(x) &\coloneqq \sin (l x)
    \end{align*} bilden auf $R[a,b]$ bezüglich des $L^2$-Skalarprodukts ein
    Orthogonalsystem und es gilt
    \begin{align*}
        &\int_{0}^{2 \pi} c_k(x) \d x = \int_{0}^{2 \pi} s_l(x) \d x = \int_{0}^{2\pi} c_k(x) s_l(x) \d x = 0 \\
        &\int_{0}^{2\pi} c_k(x) c_l(x) \d x = \pi \delta_{kl} \\
        &\int_{0}^{2\pi} s_k(x) s_l(x) \d x = \pi \delta_{kl}
    \intertext{Hier sei}
    &\delta_{kl} \coloneqq \begin{cases}
        1 & k = l \\
        0 & k \neq l
    \end{cases} \qquad \text{Kroneckersymbol}
    .\end{align*}
\end{satz}

\begin{proof}
    \begin{align*}
        \int_{0}^{2\pi} c_k(x) \d x
        &= \int_{0}^{2\pi} \cos(k x) \d x 
        = \frac{1}{k} \sin(k x) \Big|_{0}^{2\pi} = 0 \\
        \int_{0}^{2\pi} s_k(x) \d x &= \int_{0}^{2\pi} \sin(kx) \d x = - \frac{1}{k} \cos(k x) \Big|_{0}^{2\pi}
        = \frac{1}{k}(1-1) = 0
        \intertext{Damit folgt}
        \int_{0}^{2\pi} c_k(x) s_l(x) \d x \quad &= \quad
        \int_{0}^{2\pi} \underbrace{\cos(k x)}_{u'} \cdot \underbrace{\sin(l x)}_{v} \d x \\
        &\stackrel{\text{part. Int.}}{=}
        \quad
        \underbrace{\underbrace{\frac{1}{k} \sin(k x)}_{u} \cdot \underbrace{\sin(l x)}_{v} \Big|_{0}^{2\pi}}_{= 0} 
        - \int_{0}^{2\pi} \underbrace{\frac{1}{k} \sin(k x)}_{u} \underbrace{l \cos(l x)}_{v'} \d x \\
        &= \quad - \frac{l}{k} \int_{0}^{2\pi} s_k(x) c_l(x) \d x 
        \intertext{Für $l = k$ gilt}
        \int_{0}^{2\pi} c_k(x) s_k(x) \d x &= - \int_{0}^{2\pi} c_k(x) s_k(x) \d x \\
        \implies 2 \int_{0}^{2\pi} c_k(x) s_k(x) \d x &= 0 \\
        \implies \int_{0}^{2\pi} c_k(x) s_k(x) \d x &= 0
        \intertext{Analog folgt mit partieller Integration}
        \int_{0}^{2\pi} c_k(x) c_l(x) \d x
        &= \frac{l}{k} \int_{0}^{2\pi} s_k(x) s_l(x) \d x \\
        \stackrel{l = k}{\implies} \int_{0}^{2\pi} c_k^2 \d x 
        &= \int_{0}^{2\pi} s_k^2 \d x = \int_{0}^{2\pi} (1- c_k^2(x)) \d x 
        = 2\pi - \int_{0}^{2\pi} c_k^2(x) \d x \\
        \implies \int_{0}^{2\pi} c_k^2(x) \d x &= \pi = \int_{0}^{2\pi} s_k^2(x) \d x 
        \intertext{Wenn $k \neq l$, dann folgt}
        \int_{0}^{2\pi} c_k(x) c_l(x) \d x \quad
        &= \quad \frac{l}{k} \int_{0}^{2\pi} s_k(x) s_l(x) \d x \\
        &\stackrel{\text{part. Int.}}{=} \quad \frac{l^2}{k^2} \int_{0}^{2\pi} c_k(x) c_l(x) \d x \\
        \implies \int_{0}^{2\pi} c_k(x) c_l(x) \d x \quad &= \quad 0
        \intertext{Analog}
        \int_{0}^{2\pi} s_k(x) s_l(x) \d x &= 0 \\
        \int_{0}^{2\pi} c_k(x) s_l(x) \d x &= 0
    .\end{align*}
\end{proof}

\end{document}
