\documentclass{lecture}


\begin{document}

\newcommand{\K}{\mathbb{K}}


\section{Geometrie in \texorpdfstring{$K^{n}$}{K\unichar{"207F}}}

\begin{definition}[Skalarprodukt]
    Sei $V$ irgendein Raum über dem Körper $\K$. Eine Abbildung $(\cdot,\cdot): V \times V \to \K$ heißt \underline{Skalarprodukt}, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind
    \begin{enumerate}[S1]
        \item \label{def:definitheit}
            (Definitheit) $(x,x) \in \R$ und $(x,x) \geq 0, \quad (x,x) = 0 \iff x = 0$
        \item \label{def:symmetrie}
            (Symmetrie) $(x,y) = \overline{(y,x)}$
        \item \label{def:linear}
            (Linearität im ersten Argument) $(\alpha x_1 + \beta x_2, y) = \alpha(x_1,y) + \beta(x_2,y) \quad \forall x_1, x_2, y \in V, \ \forall \alpha, \beta \in \K$
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{bem}
    \begin{enumerate}[(1)]
        \item Falls nur $(x,x) \in \R, (x,x) \geq 0$ gilt (es ist möglich, dass $(x,x) = 0$ und $x \neq 0$), dann ist $(\cdot,\cdot)$ ein \glqq semi-skalarprodukt\grqq.
        \item Aus \ref{def:symmetrie} und \ref{def:linear} folgt die Linearität im zweiten Argument und damit sog. Bilinearität des Skalarprodukts als eine Sesquilinearform in $\C$ bzw. eine Bilinearform in $\R$
        \item \ref{def:linear} $\implies 
            \begin{cases}
                \text{Additivität} &(x_1 + x_2, y) = (x_1,y) + (x_2,y)\\
                \text{Homogenität} &(\alpha x, y) = \alpha (x,y), \alpha \in \K
            \end {cases}$
    \end{enumerate}
\end{bem}

\begin{lemma}[Schwarz-Ungleichung]
    Für ein Skalarprodukt $(\cdot,\cdot)$ auf $V$ über $\K$ gilt die Schwarz-Ungleichung
    $$\left| (x,y)^2 \right| \leq (x,x) \cdot (y,y), \quad x,y \in V$$
\end{lemma}

\begin{proof}
    $y = 0 \implies$ trivial.
    Sei $y \neq 0$, und sei $\alpha \in \K$ beliebig.
    \begin{align*}
        0 &\stackrel{\ref{def:definitheit}}{\leq} (x + \alpha y, x + \alpha y) \  \stackrel{\ref{def:symmetrie},\ref{def:linear}}{=} \ (x,x) + \alpha (y,x) + \overline{\alpha}(x,y) + \alpha\overline{\alpha}(y,y)
        \intertext{Setze $\alpha = - \frac{(x,y)}{(y,y)}$}
        0 &\leq (x,x) - \frac{(x,y)(y,x)}{(y,y)} - \frac{\overline{(x,y)}(x,y)}{(y,y)} + \frac{(x,y)}{(y,y)} \cdot \frac{\overline{(x,y)}}{(y,y)} \cdot (y,y) \\
        &= (x,x) - \frac{\left|(x,y)^2\right|}{(y,y)} \\
        \implies 0 &\leq (x,x)\cdot(y.y) - \left|(x,y)^2\right|
    \end{align*}
\end{proof}

\begin{korollar}
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Ein Skalarprodukt $(\cdot,\cdot)$ auf $V$ über $\K$ erzeugt eine Norm durch $\norm{x} \coloneqq \sqrt{(x,x)}, \ x \in V$. Falls ein normierter Raum $\left(V, (\cdot,\cdot)\right)$ vollständig ist, so heißt das Paar $\left(V, (\cdot,\cdot)\right)$ \underline{Hilbert-Raum}.
        \item Das euklidische Skalarprodukt $(\cdot,\cdot)_2$ auf $\K^n$
            $$(x,y)_2 \coloneqq \sum_{i=1}^n x_i\overline{y_i}$$
            erzeugt die euklidische Norm
            $$\norm{x}_2 \coloneqq \sqrt{(x,x)_2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}.$$
            $\left(\K^n, (\cdot,\cdot)_2\right)$ ist ein Hilbert-Raum.
        \end{enumerate}
\end{korollar}

\begin{proof}
    Normeigenschaften Definitheit und Homogenität folgen aus \ref{def:definitheit}-\ref{def:linear}. Die Dreicksungleichung folgt aus der Schwarz-Ungleichung.
    \begin{align*}
        \norm{x+y}^2 &= (x+y,x+y) = (x,x) + (x,y) + (y,x) + (y,y) \\
        &\leq \norm{x}^2 + 2\left|(x,y)\right| + \norm{y}^2 \\
        &\stackrel{\text{Schwarz}}{\leq} \quad \norm{x}^2 + 2\norm{x} \cdot \norm{y} + \norm{y}^2 \\
        &= \left( \norm{x} + \norm{y}\right)^2 \\
        \implies \norm{x+y} &\leq \norm{x} + \norm{y}
    \end{align*}
\end{proof}

Wichtige Ungleichungen

\begin{lemma}[Ungleichung von Young]
    Seien $p,q \in \R, p>1, \ q<\infty, \ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Dann gilt
    $$|x\cdot y| \leq \frac{|x|^p}{p} + \frac{|y|^q}{q} \quad x,y \in \R$$
\end{lemma}

\begin{proof}
    Übung
\end{proof}

\begin{lemma}[Ungleichung von Hölder]
    Seien $p,q \in \R, p>1, \ q<\infty, \ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Dann gilt
    $$\underbrace{|(x,y)_2|}_{%
        \text{\footnotesize\begin{tabular}{c}euklidisches\\Skalarprodukt\end{tabular}}}
    \leq \underbrace{\norm{x}_p}_{%
        \text{\footnotesize\begin{tabular}{c}$\ell_p$-Norm\\ von $x$\end{tabular}}}
    \cdot \underbrace{\norm{y}_q}_{%
        \text{\footnotesize\begin{tabular}{c}$\ell_q$-Norm\\ von $y$\end{tabular}}}$$
\end{lemma}

\begin{proof}
    Falls $x = 0$ oder $y = 0 \implies$ klar.
    Sei $\norm{x}_p \neq 0, \ \norm{y}_q \neq 0$
    \begin{align*}
        \frac{\left|(x,y)_2\right|}{\norm{x}_p \cdot \norm{y}_q} \ &\stackrel{\text{Def.}}{=} \  \frac{1}{\norm{x}_p \cdot \norm{y}_q} \left|\sum_{i=1}^n x_i \overline{y_i}\right| \\
        &\leq \sum_{i=1}^n \frac{\left|x_i \overline{y_i}\right|}{\norm{x}_p \cdot \norm{y}_q} \\
        &\stackrel{\text{Young-Ungl.}}{\leq} \qquad \  \sum_{i=1}^n \left(\frac{|x_i|^p}{p\cdot \norm{x}_p^p} + \frac{|y_i|^q}{q\cdot \norm{x}_q^q}\right) \\
        &= \frac{1}{p\cdot \norm{x}_p^p} \underbrace{\sum_{i=1}^n |x_i|^p}_{= \norm{x}_p^p} + \frac{1}{q\cdot \norm{y}_q^q} \underbrace{\sum_{i=1}^n |y_i|^q}_{= \norm{y}_q^q} \\
        &= \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \\
        \implies \left|(x,y)_2\right| &\leq \norm{x}_p \cdot \norm{y}_q
    \end{align*}
\end{proof}


\begin{lemma}[Ungleichung von Minkowski]
    Sei $p\in\R, 1 \leq p < \infty$ oder $p=\infty$. Dann gilt
    $$\norm{x+y}_p \leq \norm{x}_p + \norm{y}_p$$
    $\leadsto$ Dreicksungleichung für die $\ell_p$-Norm.
\end{lemma}

\begin{proof}
    Für $p = 1$
    $$\norm{x+y}_1 \quad \stackrel{\text{Def. } \ell_1}{=} \quad \sum_{i=1}^n |x_i+y_i| \quad \stackrel{\triangle\text{-UG}}{\leq} \quad \sum_{i=1}^n |x_i| + \sum_{i=1}^n |y_i| \quad \stackrel{\text{Def. }\ell_1}{=} \quad \norm{x}_1 + \norm{y}_1$$
    Für $p = \infty$
    $$\norm{x+y}_\infty \quad \stackrel{\text{Def. } \ell_\infty}{=} \quad \max_{i=1,\dots,n} |x_i+y_i| \quad \stackrel{\triangle\text{-UG}}{\leq} \quad \max_{i=1,\dots,n} |x_i| + \max_{i=1,\dots,n} |y_i| \quad \stackrel{\text{Def. }\ell_\infty}{=} \quad \norm{x}_\infty + \norm{y}_\infty$$
    Sei $1<p<\infty$. Definiere $q \coloneqq \frac{p}{p-1} \ \left(\implies \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{p} + \frac{p-1}{p} = 1 \right)$ und setze $\xi_i = |x_i + y_i|^{p-1}, \ i = 1,\dots,n$ und $\xi \coloneqq \left(\begin{smallmatrix}\xi_1 \\ \vdots \\ \xi_n \end{smallmatrix}\right)$. Es gilt
    $$\norm{\xi}_q^q = \sum_{i=1}^n |\xi_i|^q = \sum_{i=1}^n {\underbrace{\left( |x_i+y_i|^{p-1} \right)}_{\xi_i}}^{q = \frac{p}{p-1}} = \sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^p = \norm{x+y}_p^p$$
    Dann
    \begin{align*}
        \norm{x+y}_p^p \ &\stackrel{\text{Def.}}{=} \ 
        \sum_{i=1}^n \underbrace{|x_i+y_i|^p}_{\mathrlap{ = \underbrace{|x_i + y_i|^{p-1}}_{\xi_i} \cdot |x_i + y_i|}} \\
        &= \sum_{i=1}^n |x_i+y_i|\cdot \xi_i \\
        &\leq \underbrace{\sum_{i=1}^n|x_i|\cdot \xi_i}_{|(x,\xi)_2|} + \underbrace{\sum_{i=1}^n|y_i|\cdot \xi_i}_{|(y,\xi)_2|} \\
        & \stackrel{\text{Hölder-Ungl.}}{\leq} \qquad \norm{x}_p\cdot \norm{\xi}_q + \norm{y}_p\cdot\norm{\xi}_q \\
        &= \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{\xi}_q \\
        & \stackrel{\text{Def.} \, \xi}{=} \ \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{x+y}_p^{\frac{p}{q}} \\
        & \stackrel{\text{Def.} \, q}{=} \ \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{x+y}_p^{p-1} \\
        \implies \norm{x+y}_p &\leq \norm{x}_p + \norm{y}_p 
    \end{align*}
\end{proof}


\begin{definition}[Orthogonalität]
    $x,y\in \K^n$ heißen \underline{orthogonal} $(x\perp y)$, falls \underline{$(x,y)_2=0$}.
\end{definition}

\begin{definition}[Orthogonalsystem/Orthogonalbasis]
    Ein Satz von Vektoren \\ $\{a^{(1)},\dots,a^{(m)}\},\ a^{(i)}\neq0,\ a^{(i)}\in \K^n,\ i=1,\dots,m$ und $\underbrace{(a^{(k)},a^{(l)})_2=0}_{\text{paarweise orthogonal}}$ für $k\neq l$ heißt Orthogonalsystem bzw. falls $m=n$ Orthogonalbasis. \\Falls $(a^{(k)},a^{(k)})_2=1$, dann heißen die Vektoren $\{a^{(1)},\dots,a^{(m)}\}$ ein Orthonormalsystem bzw. Orthonormalbasis.
\end{definition}

\begin{bem}
    Die orthogonalen Vektoren (wie in Def.) sind linear unabhängig:
    $$\text{Sei } \sum_{k=1}^m c_ka^{(k)}=0\Longleftrightarrow \sum_{k=1}^m c_k(a^{(k)},a^{(l)})\overset{\substack{a^{(i)}\\ \text{paarweise}\\ \text{orthog.}}}{=} c_l\underbrace{(a^{(l)},a^{(l)})}_{\substack{\neq0\\ \text{ für } a^{(l)}\neq0}}=0\Longleftrightarrow c_l=0,\ l=1,\dots ,m$$
\end{bem}

\begin{bsp}
    $e^{(1)},\dots,e^{(n)}$ ist eine Orthogonalbasis in $\R^n$.
\end{bsp}

\begin{lemma}
\label{Lemma 2.3.3.}
    Sei $\{a^{(k)},\ k=1,\dots,n\}$ eine Orthonormalbasis des $\K^n$. Dann gibt es $\forall x\in \K^n$ eine Darstellung $$x=\sum_{k=1}^n(x,a^{(k)})_2\cdot a^{(k)},\ x\in \K^n.$$
    \begin{align*}
        \left(
        \begin{array}{lll}
            \sim &\text{Fourierentwicklung}\\
            &a^{(k)}\sim e^{i xk}&f(x)=\sum_{k\in \Z}c_k\cdot e^{ixk}\\
            &x\sim f(x)\\
            &c_k\sim (f,e^{ixk})_{L^2}
        \end{array}
        \right)
    \end{align*}
    und es gilt die \underline{Vollständigkeitsrelation} (Gleichung von Parseval) $$\| x\|_2^2=\sum_{k=1}^n\bigl|(x,a^{(k)})_2\bigr|^2$$
    $$\centering \bigl(\sim \| f\|_{L^2}^2=\sum_{k\in \Z} |c_k^2|\cdot 2\pi \bigr)$$
\end{lemma}

\begin{proof}
    $\exists \, \alpha_j, \text{ sodass } x=\sum_{j=1}^n\alpha_j a^{(j)}$
    \begin{align*}
        &\Longrightarrow (x,a^{(k)})_2=\sum_{j=1}^n\alpha_j\underbrace{(a^{(j)},a^{(k)})_2}_{\delta_{jk}}=\alpha_k,\ k=1,\dots ,n\\ &\Longrightarrow \text{Darstellung von }x
    \end{align*}
    Außerdem gilt 
    \begin{align*}
      \|x\|_2^2=(x&,x)_2=\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^n(x,a^{(k)})_2\cdot \overline{(x,a^{(j)})_2}\cdot \underbrace{(a^{(k)},a^{(j)})_2}_{\delta_{jk}}=\sum_{k=1}^n\bigl|(x,a^{(k)})_2\bigr|^2\\ &\Longrightarrow \text{Gleichung von Parseval}  
    \end{align*} 
\end{proof}

\begin{bem}
    Lemma \ref{Lemma 2.3.3.} gilt in unendlichdimensionalen Skalarprodukträumen mit vollständigem Orthonormalsystem. 
    Beispiel: Fourier-Reihen in $R[0,2\pi]$, trigonometrische Funktionen $e^{ikx}$ als vollständiges Orthonormalsystem.
\end{bem}

\begin{satz}[Gram-Schmidt-Verfahren]
    Sei $\{a^{(1)},\dots ,a^{(n)}\}$ eine Basis des $\K^n$. Dann ist $\{b^{(1)},\dots ,b^{(n)}\}$ konstruirt durch das \underline{Orthogonalisierungsverfahren} von Gram und Schmidt eine \underline{Orhonormalbasis}.
    \begin{align*}
        b^{(1)}&\coloneqq\frac{a^{(1)}}{\norm{a^{(1)}}_2}\\
        \Tilde{b}^{(k)}&\coloneqq a^{(k)}-\sum_{j=1}^{k-1}(a^{(k)},b^{(j)})_2\cdot b^{(j)}\\
        b^{(k)}&\coloneqq\frac{\Tilde{b}^{(k)}}{\norm{\Tilde{b}^{(k)}}_2},\quad k=2,\dots,n
    \end{align*}
\end{satz}

\begin{proof}
    Rannacher
\end{proof}

\end{document}
