\documentclass{lecture}

\begin{document}

\chapter{Differenzierbare Funktionen in \texorpdfstring{$\R^{n}$}{R\unichar{"207F}}}

Betrachte die Abbildung $f \colon D \subseteq \R^{n} \to \R^{n}$. Die Stetigkeitsdefinition von $f$ entspricht
der Stetigkeit von $f$ in $\R$. Aber: Differenzierbarkeit einer Funktion $g\colon I \subseteq \R \to \R$,
\[
    g'(x_0) \coloneqq \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
.\] Für $h \in \R^{n}$ \underline{nicht sinnvoll}.

\section{Partielle Differenzierbarkeit}

\begin{definition}[Partielle Ableitung]
    Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und $f\colon D \to \R$.
    \begin{itemize}
        \item $f$ heißt
    im Punkt $x \in D$ partiell differenzierbar nach $i$-ter Koordinatenrichtung, falls der
    Grenwert
    \[
        \partial_i f(x) \coloneqq \lim_{h \to 0} \frac{f\left( x + h \cdot e^{(i)} \right) - f(x)}{h}
        .\] existiert mit $e^{(i)} \coloneqq $ $i$-te Spalte der $n \times n$ Einheitsmatrix.
        Schreibweise auch $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)$ oder $\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}$.
    \item $f$ heißt partiell differenzierbar in $x \in D$, falls $\partial_i f(x)$ für alle $1 \le i \le n$
        existieren.
    \item Sind $\partial_i f(x)$ $\forall i$ stetig, dann heißt $f$ stetig partiell differenzierbar.
    \item Falls $f \colon D \subseteq \R^{n} \to \R^{m}$, dann heißt $f$ (stetig) partiell differenzierbar,
        falls alle Komponentenfunktionen $f_j$ $(1 \le j \le m)$ (stetig) partiell differenzierbar
        in $x \in D$ sind, d.h. wenn $\partial_i f_j(x)$ $\forall i=1,\ldots,n$, $j = 1,\ldots,m$ existieren.
    \end{itemize}
\end{definition}

\begin{bem}[Interpretation als gewöhnliche Ableitung]
    Sei $f(x) = f(x_1, \ldots, x_n)$. Definiere $\tilde{f}(\xi) = f(x_1, \ldots, x_{i-1}, \xi, x_{i+1}, \ldots, x_n)$, d.h. $x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_n$ fest. Dann ist
    \[
        \partial_i f(x) = \frac{\d{\tilde{f}(\xi)}}{\d\xi}
    .\] 
    D.h. für partielle Ableitungen
    gelten analoge Regeln, wie für die gewöhnliche Ableitung, insbesondere Produktregel, Quotientenregel
    und auch Kettenregel.
\end{bem}

\begin{bsp}
    Die Funktion
    \[
        r(x) \coloneqq \Vert x \Vert_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}
    .\] ist in $D = \R^{n} \setminus \{0\} $ stetig partiell differenzierbar mit den partiellen
    Ableitungen
    \begin{align*}
        \partial_i r (x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n)
        \quad \qquad \stackrel{\text{gew. Kettenregel}}{=} \quad \qquad
        \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2} } 2x_i
        = \frac{x_i}{\Vert x \Vert_2}
    .\end{align*}
    Sei $F\colon \R_+ \to \R$ beliebige differenzierbare Funktion. Dann ist $f(x) = F(r(x))$ auf
    $\R^{n} \setminus \{0\} $ definiert und partiell differenzierbar.
    \begin{align*}
        \partial_i f(x) = \frac{\d F(r(x))}{\d y} \partial_i r(x) = F'(r(x)) \frac{x_i}{\Vert x\Vert_{2}}
        = F'(r(x)) \frac{x_i}{r(x)}
    .\end{align*}
\end{bsp}

\begin{bem}
    Für $n =1$ gilt: $f$ differenzierbar $\implies$ $f$ stetig. Für $n > 1$ und $f$ partiell
    differenzierbar, folgt i.A. nicht, dass $f$ stetig ist.
\end{bem}

\begin{satz}
    Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und $f\colon D \to \R$. Für $x \in D$ gelte: $\exists K_r(x) \subseteq D$,
    s.d. die partiellen Ableitungen $\partial_i f(y)$, $i = 1, \ldots, n$ beschränkt sind $\forall y \in K_r(x)$,
    d.h.
    \[
        \sup_{y \in K_r(x)} | \partial_i f(y) | \le M, \quad i = 1, \ldots, n
    .\] Dann gilt $f$ stetig in Punkt $x$.
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $n = 2$ und $y = (y_1, y_2) \in K_r(x)$. Es ist
    \begin{salign*}
        f(y_1, y_2) - f(x_1, x_2) &= f(y_1, y_2) - f(x_1, y_2) + f(x_1, y_2) - f(x_1, x_2)
        \intertext{Mit $y_2$ fest, folgt mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung:
        $\exists \xi = \xi(y_2)$ zwischen $y_1$ und $x_1$, also}
        f(y_1, y_2) - f(x_1, y_2) &\stackrel{\text{MWS}}{=} \partial_1 f(\xi, y_2) (y_1 - x_1)
        \intertext{Analog für $x_1$ fest und $\eta(x_1)$ zwischen $y_2$ und $x_2$}
        f(x_1, y_2) - f(x_1, x_2) &\stackrel{\text{MWS}}{=} \partial_2 f(x_1, \eta) (y_2 - x_2)
        \intertext{Dann folgt}
        |f(y) - f(x)| &\le \underbrace{|\partial_1 f(\xi, y_2)|}_{\le M} |y_1 - x_1|
        + \underbrace{|\partial_2 f(x_2, \eta)|}_{\le M} |y_2 - x_2| \\
        &\le M (|y_1 - x_1| + |y_2 - x_2|) \\
        &= M \Vert y - x \Vert_1
    .\end{salign*} 
    Sei $\epsilon \in (0, r]$ beliebig, dann gilt für $\delta \coloneqq \frac{\epsilon}{M}$
    \[
        \Vert y -x \Vert_1 \le \delta  \implies | f(y) - f(y) | \le \epsilon
.\] Also $f$ stetig in $x$ und wegen $|f(y) - f(x)| \le M \Vert y - x \Vert_1$ sogar Lipschitz-stetig.
Für $n > 2$ analog.
\end{proof}

\begin{definition}
    Sei $f\colon D \subseteq \R^{n} \to \R$ partiell differenzierbar mit $\partial_i f \colon D \to \R$.
    \begin{itemize}
        \item Falls $\partial_i f$ partiell differenzierbar sind, dann heißt $f$ zweimal
            partiell differenzierbar mit den partiellen Ableitungen zweiter Ordnung
            \[
                \partial_i \partial_j f(x) \coloneqq \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j}
                \coloneqq \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{\partial f(x)}{\partial x_j} \right)
            .\] 
        \item $f$ heißt $k$-mal stetig partiell differenzierbar, falls alle partiellen Ableitungen
            $k$-ter Ordnung von $f$ existieren und stetig sind.
    \end{itemize}
\end{definition}

\begin{bem}
    Im Allgemeinen ist $\partial_i \partial_j f(x) \neq  \partial_j \partial_i f(x)$!
\end{bem}

\begin{satz}[Vertauschbarkeit der Differentiationsreihenfolge]
    Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen  und $f\colon D \to \R$ zweimal stetig differenzierbar in
    einer Umgebung $K_r(x) \subseteq D$ eines Punktes $x \in D$. Dann gilt
    \[
        \partial_i \partial_j f(x) = \partial_j \partial_i f(x), \qquad \forall i,j=1,\ldots,n
    .\] Allgemein: Für eine $k$-mal stetig partiell differenzierbare Funktion ist die Reihenfolge
    der partiellen Ableitungen vertauschbar.
\end{satz}

\begin{proof}
    \begin{enumerate}[1)]
        \item Sei $n = 2$ und
            \[
                A \coloneqq \underbrace{f(x_1 + h_1, x_2 + h_2) - f(x_1 + h_1, x_2)}_{= \varphi(x_1 + h_1)}
                - \underbrace{f(x_1, x_2 + h_2) + f(x_1, x_2)}_{= \varphi(x_1)}
            .\] Definiere $\varphi(x) \coloneqq f(x, x_2 + h_2) - f(x, x_2)$. Dann ist
            $A = \varphi(x_1 + h_1) - \varphi(x_1)$. Mit dem MWS bezügl. $x_1$ folgt
            \begin{salign*}
                \varphi(x_1 + h_1) - \varphi(x_1) &= \varphi'(x_1 + \theta_1) \cdot h_1, \quad \theta_1 \in (0, h_1)
                \intertext{Für $\varphi'$ gilt}
                \varphi'(x_1) &= \partial_1 f(x_1, x_2 + h_2) - \partial_1 f(x_1, x_2) \\
                              &\stackrel{\text{MWS bezügl. } x_2}{=} 
                              \partial_2 (\partial_1 f(x_1, x_2 + \theta_1')) \cdot h_2, \quad \theta_1' \in (0, h_2)
                \intertext{Dann folgt}
                \varphi'(x_1 + \theta_1) &= \partial_2 (\partial_1 f(x_1 + \theta_1, x_2 + \theta_1')) h_2
            .\end{salign*}
            Und damit ist
            \begin{salign*}
                A &= \varphi'(x_1 + \theta_1) h_1 = \partial_2 (\partial_1 f(x_1 + \theta_1, x_2 + \theta_1'))
                \cdot h_1 \cdot h_2
                \intertext{Analog definiere $\psi(x) \coloneqq f(x_1 + h_1, x) - f(x_1, x)$, dann}
                A &= \psi(x_2 + h_2) - \psi(x_2) \\
                  &\stackrel{\text{wie oben}}{=} h_2 \psi'(x_2 + \theta_2) \\
                  &= h_1 \cdot h_2 \partial_1
                  (\partial_2 f(x_1 + \theta_2, x_2 + \theta_2')), \quad \theta_2 \in (0, h_1),
                  \theta_2' \in (0, h_2)
            .\end{salign*}
            Also folgt
            \[
                \partial_2 \partial_1 f(x_1 + \theta_1, x_2 + \theta_1') = \frac{A}{h_1 \cdot h_2}
                = \partial_1 \partial_2 f(x_1 + \theta_2, x_2 + \theta_2')
            .\] 
            Die partiellen Ableitungen $\partial_2 \partial_1 f$ und
            $\partial_1 \partial_2 f$ sind stetig in $K_r(x)$, also gilt
            für $h_1, h_2 \to 0$, d.h. $x_1 + \theta_1 \to x_1, x_2 + \theta_1' \to x_2, \ldots$
            \begin{salign*}
                \partial_2 \partial_1 f(x_1 + \theta_1, x_2 + \theta_1') &\xrightarrow{h_1, h_2 \to 0}
                \partial_2 \partial_1 f(x) \\
                \partial_1 \partial_2 f(x_1 + \theta_2, x_2 + \theta_2')
                &\xrightarrow{h_1, h_2 \to 0} \partial_1 \partial_2 f(x)
            .\end{salign*}
            Also $\partial_1 \partial_2 f(x) = \partial_2 \partial_1 f(x)$. Für $n > 2$ analog.
        \item Sei $f$ k-mal stetig differenzierbar. Dann folgt durch Induktion nach $k$
            \[
                \partial_1 \ldots \partial_k f(x) = \partial_{i_1} \ldots \partial_{i_k} f(x)
            .\] für jede Permutation ($i_1, \ldots, i_k)$ von $(1 \ldots k)$.
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}[Begriffe der Vektoranalysis]\ 
    \begin{itemize}
        \item \underline{Gradient}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und
            $f \colon D \to \R$ eine partiell differenzierbare Funktion. Der Vektor
            \[
                \text{grad} f(x) \coloneqq \nabla f(x) \coloneqq \begin{pmatrix} \partial_1 f(x) \\ \vdots \\ \partial_n f(x) \end{pmatrix}  \in \R^{n}
            \] heißt der Gradient von $f$ in $x \in D$.
        \item \underline{Hesse-Matrix}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $f\colon D \to \R$
            eine zweimal partiell differenzierbare Funktion. Die Matrix
            \[
                H_f(x) \coloneqq \nabla^2 f(x) \coloneqq (\partial_i \partial_j f(x))_{i,j=1}^{n} \in \R^{n \times n}
            \] heißt Hesse-Matrix von $f$ im Punkt $x \in D$.
        \item \underline{Jacobi-Matrix}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $f\colon D \to \R^{m}$
            eine partiell differenzierbare Vektorfunktion. Die Matrix
            \[
                J_f(x) \coloneqq \begin{pmatrix} \partial_1 f_1 & \cdots &\partial_n f_1 \\
                    \vdots & \ddots & \vdots \\
                    \partial_1 f_m & \cdots & \partial_n f_m
                \end{pmatrix} \in \R^{m \times n}
            .\] heißt Funktionalmatrix oder auch Jacobimatrix von $f$ in $x \in D$.

            Schreibweise: $J_f(x) = f'(x) = \left( \nabla f(x) \right)^{T}$.
    \end{itemize}
\end{definition}

\begin{bsp}
    $r(x) = \Vert x \Vert_2$.
    \[
        \nabla r(x) = \begin{pmatrix} \vdots \\ \partial_i r(x) \\ \vdots \end{pmatrix}
        = \begin{pmatrix} \vdots \\ \frac{x_i}{r(x)} \\ \vdots \end{pmatrix} \in \R^{n}
    .\] Für die Hesse-Matrix $\nabla ^2 r(x) = \left( \partial_j \frac{x_i}{r(x)} \right)_{i,j=1}^{n}$ folgt
    \[
        \partial_j \left( \frac{x_i}{r(x)}\right)
        = \begin{cases}
            \frac{r(x) - x_i \frac{x_i}{r(x)}}{r(x)^2} = \frac{1}{r(x)} - \frac{x_i^2}{r(x)^3} & i = j \\
            - \frac{x_i \frac{x_j}{r(x)}}{r(x)^2} = - \frac{x_i x_j}{r(x)^{3}} & i \neq  j
        \end{cases}
        .\] Diese Hesse-Matrix ist die Jacobi-Matrix der Vektorfunktion $v(x) = \frac{x}{r(x)} = \begin{pmatrix} \vdots \\ \frac{x_i}{r(x)} \\ \vdots \end{pmatrix} $.
\end{bsp}

\end{document}
