\documentclass{lecture}

\usetikzlibrary{math}
\begin{document}
\newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
\newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}}

\chapter{Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen}
\section{Explizite Differentialgleichungen}
Differentialgleichungen (DGLn) sind Gleichungen der Form
\[
    F(t,y,y',\dots, y^{(n)}) = 0\quad\text{implizite Form}  
\] oder
\[
    y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})\quad\text{explizite Form}
\]
für eine gesuchte Funktion $y = y(t),\; t\in I,\; I\subset \R$ ,,Zeitinvervall``. % $(y^{(k)} = \frac{\d[k]}{\d t^k} y)$.
Differentialgleichungen $n$-ter Ordnung sind äquivalent zu speziellen Systemen von Differentialgleichungen 1. Ordnung. Betrachte $y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})$ (sei $y\colon I\to \R,I\subset \R)$. Definiere Hilfsvariablen:
\begin{align*}
    x_1 &\coloneqq y\\
    x_2 &\coloneqq y'\\
    &\vdots\\
    x_n &\coloneqq y^{(n-1)},
\end{align*}
also $x\in \R^n$. Ein äquivalentes System von Differentialgleichungen 1. Ordnung ist dann
\[
    x' = \tilde{f}(t,x),\quad \tilde{f} = \begin{pmatrix}
        x_2\\x_3\\\vdots\\f(t,x)
    \end{pmatrix}
\]
Ein allgemeines System von Differentialgleichungen 1. Ordnung hat die Form
\[
    x' = f(t,x),\quad x\in \R^n,\quad f\in \R^n  
\]
Notationen: $x' = f(t,x), \dot x = f(t,x), \dv{x}{t} = f(t,x)$ (Dynamischer Prozess, der sich mit der Zeit ändert.)
\begin{bsp}
    \begin{enumerate}
        \item einfache lineare Differentialgleichung \[x' = \alpha x,\quad \alpha \in \R\] hat die Lösung $x(t) = c\cdot e^{\alpha t}$, da \[\dv{f}{t} = c\cdot e^{\alpha t}\cdot \alpha = \alpha \cdot x(t)\]
        \item Newton: Kraft = Masse $\cdot$ Beschleunigung. \begin{align*}
            y(t)&\in \R &&\text{Ort eines Massenpunktes zur Zeit $t$}\\
            y'(t)&\in \R &&\text{Geschwindigkeit}\\
            y''(t)&\in \R &&\text{Beschleunigung}
        \end{align*}
        Kraftfunktion: $f(t,y,y') \in \R$.
        \[
            my'' = f(t,y,y')\quad \text{DGL 2. Ordnung}  
        \]
        äquivalent zum System:
        \begin{align*}
            x_1'&= x_2& \text{mit } x_1 &= y,\\
            x_2'&= \frac{1}{m}f(t,x_1,x_2)& x_2&= y'
        \end{align*}
        \item Räuber-Beute-Gleichungen (Lotka-Volterra-Gleichungen)
        \begin{align*}
            N_1 &= N_1(t) &&\text{Anzahl von Beute}\\
            N_2 &= N_2(t) &&\text{Anzahl von Räuber}\\
            N_1' &= \alpha N_1 - \beta N_1N_2 &&\alpha > 0\text{ Reproduktionsrate der Beute}\\
                &&&\beta > 0\text{ Fressrate der Räuber pro Beute}\\
            N_2' &= -\gamma N_2 + \delta N_1N_2&&\gamma > 0\text{ Sterberate der Räuber, wenn keine Beute vorhanden ist}\\
               & &&\delta > 0\text{ Reproduktionsrate der Räuber pro Beute}
        \end{align*}
        \item SIR - Modell aus Epidemiologie (z.B. Corona):
        \begin{center}
            \begin{tabular}{ccc}
                succeptible & infected & removed\\
                $S(t)$ & $I(t)$ & $R(t)$
            \end{tabular}    
        \end{center}
        \begin{align*}
            N &= I + S + R\\
            \dv{S}{t} &= \nu N - \beta \frac{SI}{N}-\mu S\\
            \dv{I}{t} &= \beta \frac{SI}{N} - \gamma I - \mu I\\
            \dv{R}{t} &= \gamma I - \mu R
        \end{align*}
        Dabei sei
        \begin{align*}
            \gamma&\text{ die Rate, mit der Infizierte genesen oder sterben,}\\
            \mu&\text{ die allgemeine Sterberate pro Person,}\\
            \nu&\text{ die Geburtsrate pro Person,}\\
            \beta&
                \text{ die Anzahl neuer Infektionen, die ein erster infektiöser Fall pro Zeit verursacht und}\\
            \frac{\beta}{N}& \text{ die Transmissionsrate.}
        \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[declare function={f(\x) = 2*(\x-0.25);}]
        \begin{axis}%
            [%minor tick num=4,
             %grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
             %major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
             axis lines=middle,
             %enlargelimits={abs=0.2},
             %ymax=5,
             %ymin=0
             width=0.6\textwidth, % Overall width of the plot
             axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length
             view={0}{90}, % We need to use "3D" plots, but we set the view so we look at them from straight up
             xmin=0, xmax=1.1, % Axis limits
             ymin=0, ymax=1.1,
             domain=0:1, y domain=0:1, % Domain over which to evaluate the functions
             xtick={0.7}, ytick={0.3525}, % Tick marks
             xticklabels={$t_0$},
             yticklabels={$y_0$},
             xlabel=$t$,
             ylabel=$y$,
             samples=11, % How many arrows?
             cycle list={    % Plot styles
                     gray,
                     quiver={
                         u={1}, v={f(x)}, % End points of the arrows
                         scale arrows=0.075,
                         every arrow/.append style={
                             -latex % Arrow tip
                         },
                     }\\
                     red, samples=31, smooth, thick, no markers, domain=0:1.1\\ % The plot style for the function
                }
            ]
            \addplot3 (x,y,0);
            \addlegendentry{$f(t,y)$}
            \addplot{(x-0.25)^2+0.15};
            \addlegendentry{$y(t)$}
          \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{Veranschaulichung: Richtungsfeld für DGL der Form $y' = f(t,y)$}
\end{figure}

\begin{definition}[System erster Ordnung]
    Sei $D = I\times \Omega \subset \R\times \R^n,\ f\colon D\to \R^n$ stetig. Dann heißt 
    \begin{equation}
        y'=f(t,y)\label{DGLOrd1}\tag{$\star$}
    \end{equation}
    ein System von $n$ Differentialgleichungen 1. Ordnung.
\end{definition}
Eine Lösung von \eqref{DGLOrd1} ist eine differenzierbare Funktion $y:I\to \R^n$ mit 
\begin{enumerate}[(a)]
    \item $\graph(y)\coloneqq \{(t,y(t))\in \R\times \R^n\mid t\in I\}\subset D$ und 
    \item $y'(t) = f(t,y(t))\quad \forall t\in I$.
\end{enumerate}
\begin{bem}
    $y = \begin{pmatrix}
        y_1\\\vdots\\y_n
    \end{pmatrix}$ und $f=\begin{pmatrix}
        f_1\\\vdots\\f_n
    \end{pmatrix}$ Dann ist 
    \begin{align*}
        \eqref{DGLOrd1} \Leftrightarrow y_1'&= f_1(t,y_1,\dots,y_n)\\
        \vdots&\\
        y_n'&= f_n(t,y_1,\dots,y_n)
    \end{align*}
\end{bem}
\begin{definition}[Anfangswertaufgabe/Anfangswertproblem]
    AWA zu \eqref{DGLOrd1} ist:
    \begin{align*}
        y' &= f(t,y),\quad t\in I \\
        y(t_0) &= y_0&&\text{Anfangsbedingung}
    \end{align*}
    Gesucht wird eine differenzierbare Funktion $y\colon I\to \R^n$ derart, dass 
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item $\graph(y) \subset D$
        \item $y'(t) = f(t,y(t)),\;t\in I$
        \item $y(t_0) = y_0$
    \end{enumerate}
\end{definition}
\begin{satz}[DGL $\leftrightarrow$ Integralgleichung]
    Sei $D\subset \R\times \R^n,\; f\colon D\to \R^n$ stetig, $(t_0,y_0)\in D$ und $y\colon I\to \R^n$ stetig mit $\graph(y)\subset D,\; t_0\in I$. Dann gilt
    \[
        y\text{ löst AWA }y'=f(t,y),\;y(t_0)=y_0\Leftrightarrow y(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f(s,y(s))\d s \quad \forall t\in I 
    \]
\end{satz}
\begin{proof}
    "$\Rightarrow$". Sei $y$ eine Lösung von AWA. Dann ist $y$ diffbar mit $y'(t) = f(t,y(t))$.
    \[\implies \int_{t_0}^t f(s,y(s)) \d s= \int_{t_0}^t y'(s)\d s \oldstackrel{\text{HDI}}{=} y(t) - y(t_0) = y(t)-y_0.\]
    "$\Leftarrow$". Sei die Integralgleichung erfüllt. Falls $t = t_0\implies y(t_0) = y_0 \implies$ (c). Aus dem HDI folgt komponentenweise $y'(t) = f(t,y(t)) \implies y$ löst AWA.
\end{proof}
\section{Anfangswertaufgaben: Existenz von Lösungen}
\begin{satz}[Existenzsatz von Peano]\ \\
    Die Funktion $f(t,x)$ sei stetig auf dem $(n+1)$-dimensionalen Zylinder
    \[
        D = \{(t,x)\in \R\times \R^n\mid |t-t_0| \le \alpha,\; \norm{x-y_0}\le \beta\}
    \]
    Dann existiert eine Lösung $y(t)$ von AWA auf dem Intervall $I \coloneqq [t_0-T,t_0+T]$ mit \[T \coloneqq \min_{y(t)}\left\{\alpha,\frac{\beta}{M}\right\},\; M\coloneqq \max_{(t,x)\in D}\norm{f(t,x)}\]
\end{satz}
%\begin{figure}[h]
%    \begin{tikzpicture}
%        \begin{axis}%
%            [grid=none,
%             minor tick num=4,
%             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
%             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
%             axis lines=middle,
%             %enlargelimits={abs=0.2},
%             ymax=5, ymin=-1.5,
%             xmin=2, xmax=7,
%             xtick={5}, ytick={2},
%             xticklabels={$t_0$},
%             yticklabels={$y_0$},
%             xlabel=$t$,
%             ylabel=$x$,
%            ]
%            \draw (4,1) rectangle (6,3);
%            \node at (5.8,1.3) {$D$};
%            \addplot[domain=1:10,samples=50,smooth,red] {2^(x-3)-2};
%            \addlegendentry{$y(t)$}
%          \end{axis}
%    \end{tikzpicture}
%\end{figure}
Reminder:
\begin{enumerate}
    \item Gleichmäßige Stetigkeit: \[f\colon D\to \R,\; D\subset \R^n\] ist gleichmäßig stetig in $D$, falls $\forall \epsilon > 0,\;\exists \delta > 0$, sodass $\forall x,x_0\in D$ gilt \[\norm{x-x_0}< \delta \implies \norm{f(x)-f(x_0)}< \epsilon\]
    \item Gleichgradige Stetigkeit: Sei $\mathcal{F} \subset C[a,b]$. Dann ist $\mathcal{F}$ gleichgradig stetig, falls $\forall \epsilon> 0\;\exists \delta > 0$, sodass $\forall f\in \mathcal{F}$ gilt \[\forall t,t'\in [a,b],\; |t-t'| <\delta \implies \norm{f(t)-f(t')}<\epsilon\]
    \item Satz von Arzela-Ascoli:
         Sei $(f_n)_{n\in \N}$ eine Folge in $C[a,b]$, die gleichmäßig beschränkt und gleichgradig stetig ist, d.h. 
         \[\sup_{n\in \N} \norm{f_n}_\infty < \infty\] und 
         \[\forall\epsilon > 0,\;\exists \delta > 0,\forall n\in \N\colon\; \max_{\substack{t,t'\in [a,b]\\|t-t'|\le \delta}} \norm{f_n(t)-f_n(t')} < \epsilon.\]
        Dann existiert eine Teilfolge $(f_{n_k})_{k\in \N}$, welche gegen $f\in C[a,b]$ konvergiert, d.h. \[\norm{f_{n_k} - f}_\infty \to 0\]
    \item Dreiecksungleichung für Integrale. Sei $y\colon [a,b] \to\R^n$ stetig, $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm auf $\R^n$. Dann 
    \[\norm{\int_a^by(t)\d t} \le \int_a^b\norm{y(t)} \d t,\] hier:
    \[\int_a^by(t)\d t\coloneqq \begin{pmatrix}
        \int_a^by_1(t)\d t\\
        \vdots\\
        \int_a^by_n(t)\d t
    \end{pmatrix}\in \R^n\]
\end{enumerate}
\begin{proof} (Satz von Peano)\\
    Idee: Konstruiere eine Folge stetiger Funktionen (Eulersches Polygonzugverfahren). Aus dem Satz von Arzela-Ascoli folgt dann, dass es eine Teilfolge gibt, die gegen eine Lösung von AWA konvergiert.\\
    O.B.d.A. betrachte Halbintervall $I = [t_0,t_0+T]$. Sei $h>0$ Schrittweitenparameter $(h\to 0)$. Wähle eine äquidistante Unterteilung des Intervalls $I$.
    \[t_0 < t_1 < \dots < t_N = t_0 + T,\quad h = |t_k-t_{k-1}|\]
    Eulersches Polygonzugverfahren:\begin{itemize}
        \item Starte mit $y_0^h \coloneqq y_0$.
        \item Für $n\ge 1$, berechne $y_n^h=y_{n-1}^h + hf(t_{n-1},y_{n-1}^h)$. 
    \end{itemize}
    Definiere die stückweise lineare Funktion $y^h(t)$
    \[y^h(t)\coloneqq y_{n-1}^h + (t-t_{n-1})f(t_{n-1},y_{n-1}^h),\quad t\in [t_{n-1},t_n],\quad \forall n\ge 1\]
    \begin{figure}[h]
        \centering
        \begin{tikzpicture}[declare function={
                    g(\x) = 0.5*exp(\x-2); % base function for y(t)
                    f(\x) = 0.5*exp(\x-2); % derivative
                    %g(\x) = 0.5*(\x-2.7)^3 - 2*(\x-2.7)^2; % base function for y(t)
                    %f(\x) = 1.5*(\x-2.7)^2 - 4*(\x-2.7); % derivative
                }]
            \def\h{1} % step length (accuracy of approximation)
            \def\torig{2} % y_0
            \def\yorig{1} % t_0
            \begin{axis}%
                [grid=none,
                 grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
                 major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
                 axis lines=middle,
                 ymax=10, ymin=-1.5,
                 restrict y to domain=-2:12,
                 xmin=-1, xmax=7,
                 xtick={2,3,4,5},
                 ytick=\empty,
                 xticklabels={$t_0$, $t_1$, $t_2$, $t_3$},
                 xlabel=$t$,
                 ylabel=$y$,
                 legend pos=outer north east
                ]
                \def\d{0}
                \def\t{0}
                \foreach \i/\colour [remember=\d as \dlast (initially \yorig),
                                     remember=\t as \tlast (initially \torig)]
                                    in {0/green,1/blue,2/orange,3/pink} {
                    \tikzmath{\t=\tlast+\h;\d=g(\tlast)+\dlast+\h*f(\tlast)-g(\t);}
                    \colour
                    \edef\temp{\noexpand
                        \addplot[domain=0:10,samples=50,smooth,\colour] {g(x) + \dlast - g(\torig)};
                    }
                    \temp
                    \if\i3
                        \edef\temp{\noexpand
                            \draw[dashed,->] (\tlast,{g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) 
                                -- (\t,{g(\t) + \d - g(\torig)});
                        }
                    \else
                        \edef\temp{\noexpand
                            \draw (\tlast,{g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}
                                -- (\t,{g(\t) + \d - g(\torig)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {};
                        }
                    \fi
                    \temp
                    \edef\temp{\noexpand
                        \draw[dashed,\colour] (\tlast, {g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) -- (0, {g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) node[label=left:$y_{\i}$](){};
                    }
                    \temp
                    \edef\temp{\noexpand\addlegendentry{$y(t,t_{\i},y_{\i})$};}
                    \temp
                }
              \end{axis}
        \end{tikzpicture}
        \caption{Eulersches Polygonzugverfahren, Steigung der Tangenten ist $f(t,y)$}
    \end{figure}
    \begin{enumerate}[1)]
        \item \textbf{z.Z.} dass dieses Verfahren durchführbar ist, d.h. $\graph(y^h)\subset D$. Sei $(t,y^h(t))\subset D$ für $t_0 \le t\le t_{k-1}$. Dann gilt 
        \[
            \underbrace{(y^h(t))'}_{\coloneqq \dv{y^h(t)}{t}} \equiv f(t_{k-1},y_{k-1}^h),\quad t\in [t_{k-1},t_k]  
        \]
        Nach Konstruktion gilt für $t\in [t_{k-1},t_k]$:
        \begin{align*}
            y^h(t)-y_0 &= y^h(t)-y_{k-1}^h + y_{k-1}^h - y_{k-2}^h+ \dots + y_1^h-y_0^h\\
            &= y^k(t)-y_{k-1}^h + \sum_{i = 1}^{k-1}(y_i^h-y_{i-1}^h)\\
            &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = 1}^{k-1}h\cdot f(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
            \implies \norm{y^h(t)-y_0}&\le (t-t_{k-1})\norm{f(t_{k-1},y_{k-1}^h)} + h \sum_{i = 1}^{k-1}\norm{f(t_{i-1},y_{i-1}^h)}\\
            &\le (t-t_{k-1})\cdot M + \underbrace{h(k-1)}_{=t_{k-1}-t_0} \cdot M\\
            &= (t-t_0)\cdot M\\
            &\le T\cdot M\\
            &= \min \left\{\alpha,\frac{\beta}{M}\right\}\cdot M\\
            &\le \beta
        \end{align*}
        Also ist $(t,y^h(t))\in D$ für $t_{k-1} \le t\le t_k$. Mit Annahme folgt $(t,y^h(t))\in D$ für $t_0\le t\le t_k \implies \graph(y^h)\subset D$.
        \item \begin{enumerate}[(a)]
            \item \textbf{z.Z.} dass die Funktionenfamilie $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig ist. Seien dafür $t,t'\in I, \ t'\le t$ beliebig mit $t\in [t_{k-1},t_k],\; t'\in [t_{j-1},t_j]$ für ein $t_j\le t_k$.
                \begin{figure}[h]
                    \centering
                    \begin{tikzpicture}[declare function={f1(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) + 10/(\x+2);
                        f2(\x) = 0.5*(2)^(\x-1);
                        f3(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) - 10/(\x+2);
                        f4(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) - 20/(\x+2);}]
                        \begin{axis}%
                            [grid=none,
                             %minor tick num=4,
                             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
                             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
                             axis lines=middle,
                             %enlargelimits={abs=0.2},
                             ymax=10, ymin=-1.5,
                             xmin=1, xmax=6,
                             xtick={2,3,4,5},
                             ytick={1},
                             xticklabels={$t_0$, $t_1$, $t_2$, $t_3$},
                             yticklabels={$y_0$},
                             xlabel=$t$,
                             ylabel=$x$,
                            ]
                            \addplot[domain=0:10,samples=50,smooth] {f2(x)};
                            \draw (2,{f2(2)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}
                                (3,{f2(3)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}
                                (4,{f2(4)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}
                                (5,{f2(5)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {};
                            \draw[dashed,red] (2.4, {f2(2.4)}) -- (2.4, 0)
                                node [label={[label distance=-0.8mm]below:$t$}](){};
                            \draw[dashed,red] (4.7, {f2(4.7)}) -- (4.7, 0)
                                node [label={[label distance=-0.8mm]below:$t'$}](){};
                            \draw[dashed,blue] (3.2, {f2(3.2)}) -- (3.2, 0)
                                node [label={[label distance=-1mm]below:$t$}](){};
                            \draw[dashed,blue] (3.8, {f2(3.8)}) -- (3.8, 0)
                                node [label={[label distance=-1mm]below:$t'$}](){};
                            \draw[dashed,black] (2, {f2(2)}) -- (0, {f2(2)})
                                node [label={[label distance=-1mm]below:$t$}](){};
                            %\draw[dashed,blue] (3, {f2(3)}) -- (0, {f2(3)}) node[label=left:$y_1$](){};
                            %\draw[dashed,orange] (4, {f3(4)}) -- (0, {f3(4)}) node[label=left:$y_2$](){};
                            %\draw[dashed,pink] (5, {f4(5)}) -- (0, {f4(5)}) node[label=left:$y_3$](){};
                          \end{axis}
                    \end{tikzpicture}
                    \caption{Blau: erster Fall, Rot: zweiter Fall}
                \end{figure}
            \begin{itemize}
                \item $t,t' \in [t_{k-1},t_k]$:
                \begin{align*}
                    y^h(t)-y^h(t')&= y_{k-1}^h + (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h)\\
                        &\quad - (y_{k-1}^h + (t'-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h))\\
                    &= (t-t') f(t_{k-1},y_{k-1}^h)\\
                    \implies \norm{y^h(t)-y^h(t')} &\le |t-t'| \cdot M
                \end{align*}
                \item $t_j<t_k$: \begin{align*}
                    y^h(t)-y^h(t') &= y^h(t) -y_{k-1}^h + y_{k-2}^h - \dots -y_{j-1}^h + y_{j-1}^h-y^h(t')\\
                    &= y^h(t) - y_{k-1}^h + \sum_{i = j}^{k-1}(y_i^h-y_{i-1}^h) + y_{j-1}^h -y^h(t')\\
                    &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = j}^{k-1}hf(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
                    &\quad + (t_{j-1} -t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)\\
                    &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = j+1}^{k-1}hf(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
                    &\quad +hf(t_{j-1},y_{j-1}^h) + (t_{j-1}-t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)\\
                    &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + h\sum_{i = j+1}^{k-1}f(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
                    &\quad + (\underbrace{h + t_{j-1}}_{t_j} - t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)
                \end{align*}
                Daraus folgt 
                \[\norm{y^h(t)-y^h(t')}\le (t-t_{k-1})M + (t_{k-1}-t_j)M + (t_j-t')M\\
                = |t-t'|M\]
            \end{itemize}
                Wählt man für ein beliebiges $\epsilon > 0$ also $\delta = \frac{\epsilon}{M}$, so gilt $\forall h$ 
                \[|t-t'| < \delta \implies \norm{y^h(t)-y^h(t')} < \epsilon\]
                Daher ist $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig (sogar gleichgradig Lipschitz-stetig).
            \item \textbf{z.Z.} $y^h$ ist gleichmäßig beschränkt. Es gilt $\forall t\in [t_0,t_0+T]$
            \begin{align*}
                \norm{y^h(t)} &= \norm{y^h(t) - \smash[b]{\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}}} + y_0}
                \vphantom{\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}}}
                \\
                &\le \underbrace{\norm{y^h(t)-y_0}}_{\text{siehe 1)}} + \norm{y_0}\\
                &\le M\cdot T + \norm{y_0}
            \end{align*}
            Also ist $y^h$ gleichmäßig beschränkt.
        \end{enumerate}
        Nach dem Satz von Arzela-Ascoli existiert eine Nullfolge $(h_i)_{i\in \N}$ und eine stetige Funktion $y\colon I\to \R^n$ so dass
        \[\max_{t\in I} \norm{y^{h_i} - y(t)} \xrightarrow{i\to \infty} 0\]
        Offenbar ist $\graph(y)\subset D$.
        \item \textbf{z.Z.} $y(t)$ erfüllt die Differentialgleichung $y'(t) = f(t,y(t))$ oder äquivalent dazu: $y(t)$ erfüllt die Integralgleichung \[y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s,y(s))\d s\]

            Sei dazu $t \in [t_{k-1}, t_k] \subseteq I$, $y^{i}(t) \coloneqq y^{h_i}(t)$. Für
            ein $i$ gilt
            \begin{salign*}
                y^{i}(t) \stackrel{\text{\ \ \ \ }}{=}& y_{k-1}^{i} + (t - t_{k-1}) f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \\
                         =& y_{k-2}^{i} + (t_{k-1} - t_{k-2})f(t_{k-2}, y_{k-2}^{i})
                         + (t - t_{k-1}) f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \\
                        \vdots \; & \\
                         =& y_0 + \sum_{j=1}^{k-1} (t_j - t_{j-1}) f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i})
                         + (t-t_{k-1})f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \\
                         =& y_0 + \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) \d s
                         + \int_{t_{k-1}}^{t} f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \d s \\
                         &+ \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s - \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s \\
                         =& y_0 + \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} (f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i})
                         - f(s, y^{i}(s)) \d s \\
                         &+ \int_{t_{k-1}}^{t} (f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s))) \d s
                         + \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s
                         \tageq \label{eq:peano:1}
            .\end{salign*}
            Die Funktionen der Folge $(y^{i})_{i \in \N}$ sind gleichgradig stetig, d.h.
            $\forall i$, $\forall \epsilon' > 0$, $\exists \delta _{\epsilon'}$ s.d.
            \[
                |t-t'| < \delta_{\epsilon'} \implies \Vert y^{i}(t) - y^{i}(t') \Vert < \epsilon'
            .\]
            Da $D$ kompakt, ist die stetige Funktion $f(t,x)$ auch gleichmäßig stetig. Damit folgt
            $\forall \epsilon > 0$, $\exists \epsilon' < \epsilon$, $\exists \delta_{\epsilon'}$, s.d.
            \[
                |t-t'| < \delta_{\epsilon'}, \Vert y^{i}(t) - y^{i}(t') \Vert < \epsilon'
                \implies \Vert f(t, y^{i}(t)) - f(t', y^{i}(t')) \Vert < \epsilon
            .\] Falls $h_i$ hinreichend klein folgt damit $\forall k$
            \[
                \max_{s \in [t_{k-1}, t_k]} \Vert f(t, y^{i}(t)) - f(s, y^{i}(s) \Vert \le \epsilon
                \tageq \label{eq:peano:2}
            .\] Damit folgt
            \begin{salign*}
                \left\Vert y^{i}(t) - y_0 - \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s \right\Vert
                \kern -1mm \stackrel{\ref{eq:peano:1}}{=}&
                \Bigg\Vert \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j}
                \left( f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \right)  \d s \\
                &+ \int_{t_{k-1}}^{t} \left( f(t_{k-1} y_{k-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \right) \d s
                \Bigg\Vert \\
                \le& \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} \Vert f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \Vert \d s \\
                &+ \int_{t_{k-1}}^{t} \Vert f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \Vert \d s \\
                \stackrel{\ref{eq:peano:2}}{\le}& \sum_{j=1}^{k-1} \epsilon \int_{t_{j-1}}^{t_j}  \d s
                + \epsilon \int_{t_{k-1}}^{t}  \d s \\
                =& \epsilon |t - t_0|
                \intertext{Damit folgt}
                \Bigg\Vert \underbrace{y^{i}(t)}_{\xrightarrow{i \to \infty} y(t)} - y_0
                - \int_{t_0}^{t} \underbrace{f(s, y^{i}(s))}_{\xrightarrow{i \to \infty} f(s, y(s))} \d s
                \Bigg\Vert
                \kern -1mm \le& \epsilon |t-t_0|
                \intertext{Also folgt}
                \left\Vert y(t) - y_0 - \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s \right\Vert \kern -1mm\le& \epsilon |t-t_0|
            .\end{salign*}
            Da $\epsilon$ beliebig ist, folgt damit
            \[
                y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s 
            .\] 
    \end{enumerate}
\end{proof}

\end{document}
