add ana8, one proof in ana7 and replace epsilon with varepsilon globally

ana7.tex

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     Falls $m =n$ definiert $A\in K^{n\times n}$ eine lineare Abbildung in $\K^n$.
 \end{bem}
 \begin{lemma}[Lineare Abbildungen in $\K^n$]
+    \label{lemma:linabb}
     Sei $A = (a_{ij})_{i,j=1}^n \in \K^{n\times n}$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
     \begin{enumerate}
         \item $A$ ist regulär
@@ -134,9 +135,53 @@ Weitere Begriffe und Eigenschaften
     $$\norm{A}_2 = \max \left\{\sqrt{|\lambda|}, \lambda \in \sigma(\bar{A}^TA)\right\}$$
     Sei $A$ hermitesch, bzw. symmetrisch, dann gilt $\norm{A}_2 = \max\{\sqrt{|\lambda|}, \lambda\in \sigma(A)\}$
 \end{lemma}
+
 \begin{proof}
-    später
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item $\bar{A}^{T}A$ hermitesch, denn
+            \[
+                \overline{\left( \bar{A}^{T}A \right)^{T}}
+                = \left( A^{T}\bar{A} \right)^{T} = \bar{A}^{T}A
+            .\] $\bar{A}^{T}A$ positiv semidefinit, denn
+            \[
+                (\bar{A}^{T}Ax, x)_2 = (Ax, Ax)_2 = \Vert A x \Vert_2^{2} \ge 0 \qquad
+                \forall x \in \mathbb{K}^{n}
+            .\] 
+        \item Es ist nach Definition
+            \[
+            \Vert A \Vert_2^2 = \sup_{\Vert x \Vert_{2} = 1} \Vert A x \Vert_2^{2}
+            = \sup_{\Vert x \Vert_2 = 1} (Ax, Ax)_2
+            = \sup_{\Vert x \Vert_2 = 1} (x, \bar{A}^{T}Ax)_2
+        .\] Wegen (1) ist $\bar{A}^{T}A$ hermitesch und positiv
+        semidefinit, d.h. es ex. $U \in \mathbb{K}^{n \times n}$
+        mit $U$ unitär und $U^{T}\bar{A}^{T}AU = D$, wobei
+        $D = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$, $\lambda \in \sigma(\bar{A}^{T}A)$ und
+        $\lambda_i \ge 0$ reell.
+
+        Sei $y = \bar{U}^{T}x = U^{-1}x \implies x = Uy$. Damit folgt
+        mit $|\lambda_{max}| := \max \{ |\lambda_i|  \mid \lambda_i \in \sigma(\bar{A}^{T}A)\} $
+        \begin{align*}
+            \Vert A \Vert_2^2 &= \sup_{\Vert x \Vert_2 = 1} (x, \bar{A}^{T}Ax)_2 \\
+            &= \sup_{\Vert Uy \Vert_2 = 1} (\underbrace{Uy}_{= x}, \bar{A}^{T}A\underbrace{Uy}_{= x})_2 \\
+            &= \sup_{\Vert y \Vert_2 = 1} (y, \underbrace{\bar{U}^{T}\bar{A}^{T}AU}_{= D}y)_2 \\
+            &= \sup_{\Vert y \Vert_2 = 1} (y, Dy)_2 \\
+            &= \sup_{\Vert y \Vert_2 = 1}
+            (\underbrace{\lambda_1 |y_1|^2 + \ldots + \lambda_n |y_n|^2}
+            _{= \sum_{i=1}^{n} \lambda_i |y_i|^2}) \\
+            &\le \sup_{\Vert y \Vert_2 = 1} \sum_{i=1}^{n} |\lambda_{max}| |y_i|^2 \\
+            &= |\lambda_{max}| \sup_{\Vert y \Vert_2 = 1} \Vert y \Vert_2^2 \\
+            &= |\lambda_{max}|
+        .\end{align*}
+        Sei $y$ Eigenvektor zu $\lambda_{max}$ und $\Vert y \Vert_2 = 1$. Dann gilt
+        $Dy = \lambda_{max}y$, also $(y, Dy)_2 = \lambda_{max}\underbrace{(y,y)_2}_{= 1}$. Damit
+        existiert ein $y$, s.d. $(y, Dy)_2 = \lambda_{max}$. % ????
+        Also folgt
+        $\displaystyle \sup_{\Vert y \Vert_2 = 1}(y, Dy)_2 = \lambda_{max}$. Damit folgt die
+        Behauptung für $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$. Behauptung
+        für $A$ hermitesch analog. % ???????
+    \end{enumerate}
 \end{proof}
+
 \begin{definition}[orthonormale/unitäre Matrizen]
     Eine Matrix $Q\in \K^{m\times n}$ heißt \textbf{orthonormal}, wenn ihre Spaltenvektoren ein Orthonormalsystem im $\K^m$ bilden, d.h.
     $$Q = (q_1, \dots, q_n)\qquad q_j \in \K^m$$