add ana 21 and minor corrections

ana20.tex

@@ -245,7 +245,8 @@
         \begin{subfigure}[b]{0.6\textwidth}
             \begin{tikzpicture}
                 \begin{axis}[axis equal image, axis lines=middle, xticklabels={0, $\pi$, $2\pi$}, xtick={0,3.14,6.28}, ymin=0,ymax=2.2, xmax=6.5, smooth]
-                    \addplot[domain=0:6.28] ({x-sin(180/3.14 * x)},{1-cos(180/3.14 * x)});
+                    \addplot[blue, domain=0:6.28] ({x-sin(180/3.14 * x)},{1-cos(180/3.14 * x)});
+                    \node[blue] at (5.9,1) {$\gamma$};
                     \draw (3.14,1) circle [radius=1];
                     \node at (3.14,2) {\textbullet};
                 \end{axis}
@@ -267,7 +268,7 @@
              Wir erhalten $\gamma'(t) = \begin{pmatrix}
                  1 - \cos(t)\\\sin(t)
              \end{pmatrix}$ und daher
-             $\norm{\gamma'(t)}_2^2 = 1 - 2 \cos(t) + \cos^2(t) + \sin^2(t) = 2 - 2\cos(t) = 4 \sin^2(\frac{t}{2})$. Insgesamt gilt also
+             $\norm{\gamma'(t)}_2^2 = 1 - 2 \cos(t) + \cos^2(t) + \sin^2(t) = 2 - 2\cos(t) = 4 \sin^2\!\left(\frac{t}{2}\right)$. Insgesamt gilt also
              \[
                 S(\gamma) = \int_0^{2\pi} \left|\smash[b]{\underbrace{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)}_{\geq 0}}\right| \d t \oldstackrel{x = \frac{t}{2}}{=} 4\int_0^\pi \sin(x) \d x = 8
                 \vphantom{\underbrace{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)}_{\geq 0}}\]

ana21.tex

@@ -0,0 +1,194 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\section{Kurvenintegrale}
+
+\begin{definition}[Integrationsweg]
+    Eine Kurve $\gamma \in C^0([a,b],\R^n)$ heißt Integrationsweg, falls $\gamma$ stetig und stückweise eine $C^1$-Abbildung ist.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Skalares Kurvenintegral]
+    Sei $D \subset \R^n, \ \gamma \colon [a,b] \to D$ ein Integrationsweg und $f\colon D \to \R$ stetig. Dann heißt
+    \[\int_\gamma f \d s \coloneqq \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \norm{\gamma'(t)} \d t\]
+    das skalare Kurvenintegral von $f$ längs $\gamma$. Dabei heißt $\d s = \norm{\gamma'(t)} \d t$ das skalare Bogenelement von $\gamma$ und $f$ wird \underline{Skalarfeld} genannt.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item $f \equiv 1$: Das Kurvenintegral $\int_\gamma \d s = \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t = S(\gamma)$ entspricht der Länge von $\gamma$.
+        \item Dichtefunktion $\rho(s)$:
+        \begin{align*}
+            \rho(\gamma(t)) &: \text{ Dichte verteilt auf } \gamma(t)\\
+            \int_\gamma \rho(s) \d s \eqqcolon \mu(\gamma) &: \text{ Gesamtmasse von } \gamma
+        \end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item Das Kurvenintegral ist linear:
+        \[\int_\gamma (\lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2) \d s = \lambda_1 \int_\gamma f_1\d s + \lambda_2 \int_\gamma f_2 \d s\]
+        \item Es gilt die Abschätzung
+        \begin{align*}
+            \left|\int_\gamma f \d s\right| &= \left|\int_a^b f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t\right| \\
+            &\le \sup_{s\in [a,b]} \left|f(\gamma(s))\right| \cdot \int_a^b f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t \\
+            &= \sup_{s\in [a,b]} \left|f(\gamma(s))\right| \cdot S(\gamma).
+        \end{align*}
+        \item Das Kurvenintegral ist invariant unter $C^1$-Parametertransformation. Sei $\varphi \colon [\alpha, \beta] \to [a,b]$ eine $C^1$ Parametertransformation. Dann gilt
+        \begin{salign*}
+            \int_{\gamma\circ\varphi}f \d s &= \int_\alpha^\beta f(\gamma(\varphi(s))) \norm{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\gamma(\varphi(s))} \d s \\
+            &\stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \int_\alpha^\beta f(\gamma(\varphi(s))) \norm{\gamma'(\varphi(s)) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \varphi(s)} \d s \\
+            &= \begin{cases}
+                \int_\alpha^\beta f(\gamma(\varphi(s))) \norm{\gamma'(\varphi(s))} \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \varphi(s)\right) \d s, & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\varphi(s) > 0 \\
+                \int_\alpha^\beta f(\gamma(\varphi(s))) \norm{\gamma'(\varphi(s))} \left(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \varphi(s)\right) \d s, & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\varphi(s) < 0
+            \end{cases} \\
+            &\stackrel{\substack{t=\varphi(s)\\\d t = \varphi'(s)\d s}}{=}
+            \begin{cases}
+                 \int_a^b f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t, & \varphi'(s) > 0 \\
+                -\int_b^a f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t, & \varphi'(s) < 0
+            \end{cases} \\
+            &= \int_a^b f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t\\
+            &= \int_\gamma f \d s
+        \end{salign*}
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{definition}[Vektorfeld]
+    Ein Vektorfeld $F$ auf $D\subset \R^n$ ist eine Abbildung von $D$ nach $\R^n$, d.h. jedem $x\in D$ wird ein Vektor $F(x) \in \R^n$ zugeordnet.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item Windungsfeld
+        \[W\colon \R^2\setminus \{0\} \to \R^2, \quad W(x,y) \coloneqq \frac{1}{\norm{(x,y)}_2^2}\begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}\]
+        \item Gravitationsfeld
+        \[G\colon \R^3\setminus \{0\} \to \R^3, \quad G(x,y,z) \coloneqq -\frac{1}{\norm{(x,y,z)}_2^2}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}\]
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[scale=1]
+            \begin{axis}
+                [axis lines=middle,
+                 axis lines=middle,
+                 axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length
+                 xmin=-1, xmax=1.1, % Axis limits
+                 ymin=-1, ymax=1.1,
+                 ticks=none,
+                 xlabel=$x$,
+                 ylabel=$y$
+                ]
+                \foreach \r in {0.4, 0.6, 0.8}
+                \addplot[domain=0:360*(1-1/(20*\r)),
+                    blue, samples=20*\r,
+                    quiver={u={-y/(x^2+y^2)}, v={x/(x^2+y^2)}, scale arrows=0.1, every arrow/.append style={-latex} }] ({\r*sin(x)},{\r*cos(x)}); % polar coordinates
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+        \subcaption{Beispiel 1: Windungsfeld}
+    \end{subfigure}
+    \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[scale=1]
+            \begin{axis}
+                [axis lines=middle,
+                 axis lines=middle,
+                 axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length
+                 xmin=-1, xmax=1.1, % Axis limits
+                 ymin=-1, ymax=1.1,
+                 ticks=none,
+                 xlabel=$x$,
+                 ylabel=$y$
+                ]
+                \foreach \r in {0.4, 0.6, 0.8}
+                \addplot[domain=0:360*(1-1/(20*\r)), 
+                    red, samples=20*\r,
+                    quiver={u={-x/(x^2+y^2)}, v={-y/(x^2+y^2)}, scale arrows=0.1, every arrow/.append style={-latex} }] ({\r*sin(x+180/(20*\r))},{\r*cos(x+180/(20*\r))}); %polar coordinates
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+        \subcaption{Beispiel 2: Gravitationsfeld bei $z=0$.}
+    \end{subfigure}
+\end{figure}
+
+\begin{definition}[Vektorielles Kurvenintegral]
+    Sei $\gamma\colon [a,b] \to D\subset \R^n$ ein Integrationsweg und $F\colon D\to \R^n$ ein stetiges Vektorfeld. Dann ist das (vektorielle) Kurvenintegral von $F$ längs $\gamma$ definiert durch
+    \[\int_\gamma F = \int_\gamma F\d{\vec s} \coloneqq \int_a^b \underbrace{\left(F(\gamma(t)), \gamma'(t)\right)}_{\text{Skalarprodukt}} \d t = \int_a^b \sum_{i=1}^n F_i(\gamma(t)) \cdot \gamma'_i(t) \d t\]
+    Alternative Schreibweise: $\int_\gamma F = \int_\gamma F_1\d{x_1} + \dots + F_n\d{x_n} $
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    Kurvenintegral des Windungsfelds $W\colon \R^2\setminus \{0\} \to \R^2, \ W(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2} \begin{pmatrix} -y \\ x  \end{pmatrix}$ längs $\gamma(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix}, \ \gamma \colon [0,2\pi] \to \R^2 \setminus \{0\}$.
+    \begin{align*}
+        \int_\gamma W &= \int_\gamma -\frac{y}{x^2+y^2}\d x + \frac{x}{x^+y^2}\d y\\
+        &= \int_0^{2\pi} \left(-\frac{\sin t}{\cos^2t+\sin^2t}(-\sin t) + \frac{\cos t}{\cos^2t+\sin^2t}\cos t\right) \d t \\
+        &= \int_0^{2\pi} \left(\sin^2t+\cos^2t\right) \d t = 2\pi
+    \end{align*}
+\end{bsp}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+        Das Kurvenintegral ist linear: $$\int_\gamma (\lambda_1F_1+\lambda_2F_2)=\lambda_1\int_\gamma F_1+\lambda_2\int_\gamma F_2$$
+        \item
+        Standard-Abschätzung: $$\left|\int_\gamma F \right|=\left|\int_a^b\bigl(F(\gamma(t)),\gamma'(t)\bigr)\, \d t \right|\leq \sup_{t\in [a,b]}\norm{F(\gamma(t))}\cdot S(\gamma)$$
+        \item
+        Invarianz unter orientierungstreuen $C^1$-Parametertransformationen. Sei $\varphi \colon [\alpha,\beta]\to [a,b]$ eine $C^1$-Parametertransformation mit $\varphi'(s)>0,\ \forall s\in [\alpha,\beta]$ ($\Longleftrightarrow$ orientierungstreu). Dann gilt \begin{salign*}
+            \int_{\gamma \circ \varphi}F&=\int_\alpha^\beta \left(F(\gamma(\varphi(s))),\frac{\d}{\d s}\gamma(\varphi(s)) \right) \d s\\
+            &=\int_\alpha^\beta \left(F(\gamma(\varphi(s))),\gamma'(\varphi(s))\cdot \frac{\d \varphi}{\d s}(s) \right) \d s\\
+            &=\int_\alpha^\beta \left(F(\gamma(\varphi(s))),\gamma'(\varphi(s)) \right)\frac{\d \varphi}{\d s}(s) \d s\\
+            &\stackrel{\substack{t=\varphi(s)\\ \d t=\varphi'(s)\d s}}{=}\int_a^b\bigl(F(t),\gamma'(t)\bigr)\d t\\
+            &=\int_\gamma F.
+        \end{salign*}
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{definition}[Gebiet]
+    $U\subset \R^n$ heißt Gebiet, falls $U$ offen ist und wegzusammenhängend, d.h. $\forall \,x,y\in U$ existiert $\gamma \in C^0([a,b],U)$ mit $\gamma(a)=x$ und $\gamma(b)=y$.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    Sei $U\subset \R^n$ offen. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: \begin{enumerate}
+        \item 
+        $\forall \,x,y\in U$ existiert ein Integrationsweg $\gamma \colon [a,b]\to U$ mit $\gamma(a)=x$ und $\gamma(b)=y$.
+        \item
+        $U$ ist wegzusammenhängend.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Ohne Beweis.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+        Sei $U=K_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix}\, \cup \, K_1\begin{pmatrix} 3 \\ 0\end{pmatrix}$. $U$ ist kein Gebiet, denn es existiert kein stetiger Weg von $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ nach $\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ in $U$.
+        \item
+        $U\subset \R$ Gebiet $\Longleftrightarrow$ $U$ offenes Intervall
+    \end{enumerate} 
+\end{bsp}
+
+\section{Potential}
+
+\begin{definition}[Geschlossene Kurve]
+    Eine Kurve $\gamma \in C^0([a,b],\R^n)$ heißt \underline{geschlossen}, falls $\gamma(a)=\gamma(b)$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Potential]
+    Sei $D\subset \R^n$ und $F\in C^0(D,\R^n)$ ein stetiges Vektorfeld. $\varphi \in C^1(D,\R)$ heißt \underline{Potential} oder \underline{Stammfunktion} von $F$ in $D$, falls $\nabla \varphi=F$ gilt. $F$ heißt in diesem Fall \underline{konservativ} auf $D$.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Erster Hauptsatz über Kurvenintegrale]
+    Sei $D\subset \R^n$ ein Gebiet und $F\in C^0(D,\R^n)$. Dann sind folgend Aussagen äquivalent:
+    \begin{enumerate}
+        \item F ist konservativ.
+        \item
+        $\int_\gamma F=0$ für alle geschlossenen Integrationswege $\gamma$ in $D$.
+        \item
+        Das Kurvenintegral von $F$ in $D$ ist wegunabhängig, d.h. für beliebige Integrationswege $\gamma_1\colon [a,b]\to D,\ \gamma_2\colon [\alpha,\beta]\to D$ mit $\gamma_1(a)=\gamma_2(\alpha)$ und $\gamma_1(b)=\gamma_2(\beta)$ gilt $$\int_{\gamma_1}F=\int_{\gamma_2}F.$$
+    \end{enumerate}
+    In diesem Fall erhalten wir eine Stammfunktion $\varphi_0\in C^1(D,\R)$ durch $\varphi_0(x)\coloneqq \int_\gamma F$, wobei $\gamma$ ein Integrationsweg von einem gewählten Punkt $x_0\in D$ zu $x\in D$ ist. Die Menge aller Potentiale von $F$ ist gegeben durch $\{\varphi_0+c\,|\,c\in \R\}$.
+\end{satz}
+
+\end{document}

analysisII.tex

@@ -43,5 +43,6 @@ Rui Yang (\href{mailto:rui.yang@stud.uni-heidelberg.de}{rui.yang@stud.uni-heidel
 \input{ana18.tex}
 \input{ana19.tex}
 \input{ana20.tex}
+\input{ana21.tex}
 
 \end{document}