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+\documentclass{lecture}
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+\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
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+\begin{document}
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+\section{Geometrie in \texorpdfstring{$K^{n}$}{K\unichar{"207F}}}
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+\begin{definition}[Skalarprodukt]
+    Sei $V$ irgendein Raum über dem Körper $\K$. Eine Abbildung $(\cdot,\cdot): V \times V \to \K$ heißt \underline{Skalarprodukt}, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind
+    \begin{enumerate}[S1]
+        \item \label{def:definitheit}
+            (Definitheit) $(x,x) \in \R$ und $(x,x) \geq 0, \quad (x,x) = 0 \iff x = 0$
+        \item \label{def:symmetrie}
+            (Symmetrie) $(x,y) = \overline{(x,y)}$
+        \item \label{def:linear}
+            (Linearität im ersten Argument) $(\alpha x_1 + \beta x_2, y) = \alpha(x_1,y) + \beta(x_2,y) \quad \forall x_1, x_2, y \in V, \ \forall \alpha, \beta \in \K$
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item Falls nur $(x,x) \in \R, (x,x) \geq 0$ gilt (es ist möglich, dass $(x,x) = 0$ und $x \neq 0$), dann ist $(\cdot,\cdot)$ ein \glqq semi-skalarprodukt\grqq.
+        \item Aus \ref{def:symmetrie} und \ref{def:linear} folgt die Linearität im zweiten Argument und damit sog. Bilinearität des Skalarprodukts, als eine Sesquilinearform in $\C$ bzw. eine Bilinearform in $\R$
+        \item \ref{def:linear} $\implies 
+            \begin{cases}
+                \text{Additivität} &(x_1 + x_2, y) = (x_1,y) + (x_2,y)\\
+                \text{Homogenität} &(\alpha x, y) = \alpha (x,y), \alpha \in \K
+            \end {cases}$
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{lemma}[Schwarz-Ungleichung]
+    Für ein Skalarprodukt $(\cdot,\cdot)$ auf $V$ über $\K$ gilt die Schwarz-Ungleichung
+    $$\left| (x,y)^2 \right| \leq (x,x) \cdot (y,y), \quad x,y \in V$$
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    $y = 0 \implies$ trivial.
+    Sei $y \neq 0$, und sei $\alpha \in \K$ beliebig.
+    \begin{align*}
+        0 &\stackrel{\ref{def:definitheit}}{\leq} (x + \alpha y, x + \alpha y) \stackrel{\ref{def:symmetrie},\ref{def:linear}}{=} (x,x) + \alpha (y,x) + \overline{\alpha}(x,y) + \alpha\overline{\alpha}(y,y)
+        \intertext{Setze $\alpha = - \frac{(x,y)}{(y,y)}$}
+        0 &\leq (x,x) - \frac{(x,y)(y,x)}{(y,y)} - \frac{\overline{(x,y)}(x,y)}{(y,y)} + \frac{(x,y)}{(y,y)} \cdot \frac{\overline{(x,y)}}{(y,y)} \cdot (y,y) \\
+        &= (x,x) - \frac{\left|(x,y)^2\right|}{(y,y)} \\
+        \implies 0 &\leq (x,x)\cdot(y.y) - \left|(x,y)^2\right|
+    \end{align*}
+\end{proof}
+
+\begin{korrolar}
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Ein Skalarprodukt $(\cdot,\cdot)$ auf $V$ über $\K$ erzeugt eine Norm durch $\norm{x} \coloneqq \sqrt{(x,x)}, \ x \in V$. Falls ein normierter Raum $\left(V, (\cdot,\cdot)\right)$ vollständig ist, so heißt das Paar $\left(V, (\cdot,\cdot)\right)$ \underline{Hilbert-Raum}.
+        \item Das euklidische Skalarprodukt $(\cdot,\cdot)_2$ auf $\K^n$
+            $$(x,y)_2 \coloneqq \sum_{i=1}^n x_i\overline{y_i}$$
+            erzeugt die euklidische Norm
+            $$\norm{x}_2 \coloneqq \sqrt{(x,y)_2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}.$$
+            $\left(\K^n, (\cdot,\cdot)_2\right)$ ist ein Hilbert-Raum.
+        \end{enumerate}
+\end{korrolar}
+
+\begin{proof}
+    Normeigenschaften Definitheit und Homogenität folgen aus \ref{def:definitheit}-\ref{def:linear}. Die Dreicksungleichung folgt aus der Schwarz-Ungleichung.
+    \begin{align*}
+        \norm{x+y}^2 &= (x+y,x+y) = (x,x) + (x,y) + (y,x) + (y,y) \\
+        &\leq \norm{x}^2 + 2\left|(x,y)\right| + \norm{y}^2 \\
+        &\stackrel{\text{Schwarz}}{\leq} \quad \norm{x}^2 + 2\norm{x} \cdot \norm{y} + \norm{y}^2 \\
+        &= \left( \norm{x} + \norm{y}\right)^2 \\
+        \implies \norm{x+y} &\leq \norm{x} + \norm{y}
+    \end{align*}
+\end{proof}
+
+Wichtige Ungleichungen
+
+\begin{lemma}[Ungleichung von Young]
+    Seien $p,q \in \R, 1<p, \ q<\infty, \ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Dann gilt
+    $$|x\cdot y| \leq \frac{|x|^p}{p} + \frac{|y|^q}{q} \quad x,x \in \R$$
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Übung
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}[Ungleichung von Hölder]
+    Seien $p,q \in \R, 1<p, \ q<\infty, \ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Dann gilt
+    $$\underbrace{|(x,y)_2|}_{%
+        \footnotesize\begin{tabular}{c}euklidisches\\Skalarprodukt\end{tabular}}
+    \leq \underbrace{\norm{x}_p}_{%
+        \footnotesize\begin{tabular}{c}$l_p$-Norm\\ von $x$\end{tabular}}
+    \cdot \underbrace{\norm{y}_q}_{%
+        \footnotesize\begin{tabular}{c}$l_q$-Norm\\ von $y$\end{tabular}} $$
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Falls $x = 0$ oder $y = 0 \implies$ klar.
+    Sei $\norm{x}_p \neq 0, \ \norm{y}_q \neq 0$
+    \begin{align*}
+        \frac{\left|(x,y)_2\right|}{\norm{x}_p \cdot \norm{y}_q} \ &\stackrel{\text{Def.}}{=} \  \frac{1}{\norm{x}_p \cdot \norm{y}_q} \left|\sum_{i=1}^n x_i \overline{y_i}\right| \\
+        &\leq \sum_{i=1}^n \frac{\left|x_i \overline{y_i}\right|}{\norm{x}_p \cdot \norm{y}_q} \\
+        &\stackrel{\text{Young-Ungl.}}{\leq} \qquad \  \sum_{i=1}^n \left(\frac{|x_i|^p}{p\cdot \norm{x}_p^p} + \frac{|y_i|^q}{q\cdot \norm{x}_q^q}\right) \\
+        &= \frac{1}{p\cdot \norm{x}_p^p} \underbrace{\sum_{i=1}^n |x_i|^p}_{= \norm{x}_p^p} + \frac{1}{q\cdot \norm{y}_q^q} \underbrace{\sum_{i=1}^n |y_i|^q}_{= \norm{y}_q^q} \\
+        &= \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \\
+        \implies \left|(x,y)_2\right| &\leq \norm{x}_p \cdot \norm{y}_q
+    \end{align*}
+\end{proof}
+
+
+\begin{lemma}[Ungleichung von Minkowski]
+    Sei $p\in\R, 1 \leq p < \infty$ oder $p=\infty$. Dann gilt
+    $$\norm{x+y}_p \leq \norm{x}_p + \norm{y}_p$$
+    $\leadsto$ Dreicksungleichung für die $l_p$-Norm.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Für $p = 1$
+    $$\norm{x+y}_1 \quad \stackrel{\text{Def. } l_1}{=} \quad \sum_{i=1}^n |x_i+y_i| \quad \stackrel{\triangle\text{-UG}}{\leq} \quad \sum_{i=1}^n |x_i| + \sum_{i=1}^n |y_i| \quad \stackrel{\text{Def. }l_1}{=} \quad \norm{x}_1 + \norm{y}_1$$
+    Für $p = \infty$
+    $$\norm{x+y}_\infty \quad \stackrel{\text{Def. } l_\infty}{=} \quad \max_{i=1,\dots,n} |x_i+y_i| \quad \stackrel{\triangle\text{-UG}}{\leq} \quad \max_{i=1,\dots,n} |x_i| + \max_{i=1,\dots,n} |y_i| \quad \stackrel{\text{Def. }l_\infty}{=} \quad \norm{x}_\infty + \norm{y}_\infty$$
+    Sei $1<p<\infty$. Definiere $q \coloneqq \frac{p}{p-1} \ \left(\implies \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{p} + \frac{p-1}{p} = 1 \right)$ und setze $\xi_i = |x_i + y_i|^{p-1}, \ i = 1,\dots,n$ und $\xi \coloneqq \left(\begin{smallmatrix}\xi_1 \\ \vdots \\ \xi_n \end{smallmatrix}\right)$. Es gilt
+    $$\norm{\xi}_q^q = \sum_{i=1}^n |\xi_i|^q = \sum_{i=1}^n {\underbrace{\left( |x_i+y_i|^{p-1} \right)}_{\xi_i}}^{q = \frac{p}{p-1}} = \sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^p = \norm{x+y}_p^p$$
+    Dann
+    \begin{align*}
+        \norm{x+y}_p^p \ &\stackrel{\text{Def.}}{=} \ 
+        \sum_{i=1}^n \underbrace{|x_i+y_i|^p}_{\mathrlap{ = \underbrace{|x_i + y_i|^{p-1}}_{\xi_i} \cdot |x_i + y_i|}} \\
+        &= \sum_{i=1}^n |x_i+y_i|\cdot \xi_i \\
+        &\leq \underbrace{\sum_{i=1}^n|x_i|\cdot \xi_i}_{|(x,\xi)_2|} + \underbrace{\sum_{i=1}^n|y_i|\cdot \xi_i}_{|(y,\xi)_2|} \\
+        & \stackrel{\text{Hölder-Ungl.}}{\leq} \qquad \norm{x}_p\cdot \norm{\xi}_q + \norm{y}_p\cdot\norm{\xi}_q \\
+        &= \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{\xi}_q \\
+        & \stackrel{\text{Def. } \xi}{=} \ \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{x+y}_p^{\frac{p}{q}} \\
+        & \stackrel{\text{Def. } q}{=} \ \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{x+y}_p^{p-1} \\
+        \implies \norm{x+y}_p &\leq \norm{x}_p + \norm{y}_p 
+    \end{align*}
+\end{proof}
+
+
+\begin{definition}[Orthogonalität]
+    $x,y\in \K^n$ heißen \underline{orthogonal} $(x\perp y)$, falls \underline{$(x,y)_2=0$}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Orthogonalsystem/Orthogonalbasis]
+    Ein Satz von Vektoren \\ $\{a^{(1)},\dots,a^{(m)}\},\ a^{(i)}\neq0,\ a^{(i)}\in \K^n,\ i=1,\dots,m$ und $\underbrace{(a^{(k)},a^{(l)})_2=0}_{\text{paarweise orthogonal}}$ für $k=l$ heißt Orthogonalsystem bzw. falls $m=n$ Orthogonalbasis. \\Falls $(a^{(k)},a^{(k)})_2=1$, dann heißen die Vektoren $\{a^{(1)},\dots,a^{(m)}\}$ ein Orthonormalsystem bzw. Orthonormalbasis.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    Die orthogonalen Vektoren (wie in Def.) sind linear unabhängig:
+    $$\text{Sei } \sum_{k=1}^m c_ka^{(k)}=0\Longleftrightarrow \sum_{k=1}^m c_k(a^{(k)},a^{(l)})\overset{\substack{a^{(i)}\\ \text{paarweise}\\ \text{orthog.}}}{=} c_l\underbrace{(a^{(l)},a^{(l)})}_{\substack{\neq0\\ \text{ für } a^{(l)}\neq0}}=0\Longleftrightarrow c_l=0,\ l=1,\dots ,m$$
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}
+    $e^{(1)},\dots,e^{(n)}$ ist eine Orthogonalbasis in $\R^n$.
+\end{bsp}
+
+\begin{lemma}
+\label{Lemma 2.3.3.}
+    Sei $\{a^{(k)},\ k=1,\dots,n\}$ eine Orthonormalbasis des $\K^n$. Dann gibt es $\forall x\in \K^n$ eine Darstellung $$x=\sum_{k=1}^n(x,a{(k)})_2\cdot a^{(k)},\ x\in \K^n.$$
+    \begin{align*}
+        \left(
+        \begin{array}{lll}
+            \sim &\text{Fourierentwicklung}\\
+            &a^{(k)}\sim e^{i xk}&f(x)=\sum_{k\in \Z}c_k\cdot e^{ixk}\\
+            &x\sim f(x)\\
+            &c_k\sim (f,e^{ixk})_{L^2}
+        \end{array}
+        \right)
+    \end{align*}
+    und es gilt die \underline{Vollständigkeitsrelation} (Gleichung von Parseval) $$\| x\|_2^2=\sum_{k=1}^n\bigl|(x,a^{(k)})_2\bigr|^2$$
+    $$\centering \bigl(\sim \| f\|_{L^2}^2=\sum_{k\in \Z} |c_k^2|\cdot 2\pi \bigr)$$
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    $\exists \, \alpha_j, \text{ sodass } x=\sum_{j=1}^n\alpha_j a^{(j)}$
+    \begin{align*}
+        &\Longrightarrow (x,a^{(k)})_2=\sum_{j=1}^n\alpha_j\underbrace{(a^{(j)},a^{(k)})_2}_{\delta_{jk}}=\alpha_k,\ k=1,\dots ,n\\ &\Longrightarrow \text{Darstellung von }x
+    \end{align*}
+    Außerdem gilt 
+    \begin{align*}
+      \|x\|_2^2=(x&,x)_2=\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^n(x,a^{(k)})_2\cdot \overline{(x,a^{(j)})_2}\cdot \underbrace{(a^{(k)},a^{(j)})_2}_{\delta_{jk}}=\sum_{k=1}^n\bigl|(x,a^{(k)})_2\bigr|^2\\ &\Longrightarrow \text{Gleichung von Parseval}  
+    \end{align*} 
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Lemma \ref{Lemma 2.3.3.} gilt in unendlichdimensionalen Skalarprodukträumen mit vollständigem Orthonormalsystem. 
+    Beispiel: Fourier-Reihen in $R[0,2\pi]$, trigonometrische Funktionen $e^{ikx}$ als vollständiges Orthonormalsystem.
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[Gram-Schmidt-Verfahren]
+    Sei $\{a^{(1)},\dots ,a^{(n)}\}$ eine Basis des $\K^n$. Dann ist $\{b^{(1)},\dots ,b^{(n)}\}$ konstruirt durch das \underline{Orthogonalisierungsverfahren} von Gram und Schmidt eine \underline{Orhonormalbasis}.
+    \begin{align*}
+        b^{(1)}&\coloneqq\frac{a^{(1)}}{\norm{a^{(1)}}_2}\\
+        \Tilde{b}^{(k)}&\coloneqq a^{(k)}-\sum_{j=1}^{k-1}(a^{(k)},b^{(j)})_2\cdot b^{(j)}\\
+        b^{(k)}&\coloneqq\frac{\Tilde{b}^{(k)}}{\norm{\Tilde{b}^{(k)}}_2},\quad k=2,\dots,n
+    \end{align*}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Rannacher
+\end{proof}
+
+\end{document}