add ana22 without graphics

ana21.tex

@@ -181,7 +181,7 @@
 
 \begin{satz}[Erster Hauptsatz über Kurvenintegrale]
     Sei $D\subset \R^n$ ein Gebiet und $F\in C^0(D,\R^n)$. Dann sind folgend Aussagen äquivalent:
-    \begin{enumerate}
+    \begin{enumerate}[(i)]
         \item F ist konservativ.
         \item
         $\int_\gamma F=0$ für alle geschlossenen Integrationswege $\gamma$ in $D$.
@@ -189,6 +189,75 @@
         Das Kurvenintegral von $F$ in $D$ ist wegunabhängig, d.h. für beliebige Integrationswege $\gamma_1\colon [a,b]\to D,\ \gamma_2\colon [\alpha,\beta]\to D$ mit $\gamma_1(a)=\gamma_2(\alpha)$ und $\gamma_1(b)=\gamma_2(\beta)$ gilt $$\int_{\gamma_1}F=\int_{\gamma_2}F.$$
     \end{enumerate}
     In diesem Fall erhalten wir eine Stammfunktion $\varphi_0\in C^1(D,\R)$ durch $\varphi_0(x)\coloneqq \int_\gamma F$, wobei $\gamma$ ein Integrationsweg von einem gewählten Punkt $x_0\in D$ zu $x\in D$ ist. Die Menge aller Potentiale von $F$ ist gegeben durch $\{\varphi_0+c\,|\,c\in \R\}$.
+    \label{satz:hauptsatz-1-kurven}
 \end{satz}
 
+\begin{proof}
+    (i)$\implies$(ii): Sei $F = \nabla \varphi$, $\varphi \in C^{1}(D, \R)$ und $\gamma\colon [a,b] \to D$
+    geschlossener Integrationsweg. Dann folgt
+    \begin{salign*}
+        \int_{\gamma} F &\stackrel{\text{Def.}}{=} \int_{a}^{b} (F(\gamma(t)), \gamma'(t)) \d t \\
+        &= \int_{a}^{b} (\nabla \varphi(\gamma(t)), \gamma'(t)) \d t \\
+        &\stackrel{\gamma \text{ stückweise } C^{1}}{=}
+        \sum_{i=1}^{M} \int_{s_{i-1}}^{s_i} (\nabla \varphi(\gamma(t)), \gamma'(t)) \d t \\
+        &\stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \sum_{i=1}^{M} \int_{s_{i-1}}^{s_i} \frac{\d}{\d t} (\varphi \circ \gamma) \d t \\
+        &\stackrel{\text{HDI}}{=} \sum_{i=1}^{M} \left( \varphi(\gamma(s_i)) - \varphi(\gamma(s_{i-1})) \right) \\
+        &= \varphi(\gamma(b)) - \varphi(\gamma(a)) \\
+        &\stackrel{\gamma(b) = \gamma(a)}{=} 0
+    .\end{salign*}
+
+    (ii)$\implies$(iii): Nach Umparametrisierung gelte o.E. $[a,b] = [-1, 0] = [\alpha, \beta]$. Seien
+    $\gamma_1, \gamma_2\colon [-1,0] \to D$ Integrationswege mit gleichem Anfangs und Endpunkt, d.h.
+    $\gamma_1(-1) = \gamma_2(-1)$ und $\gamma_1(0) = \gamma_2(0)$. Dann betrachte
+    \begin{align*}
+        \gamma &\colon [-1, 1] \to D \\
+               t& \mapsto \begin{cases}
+                   \gamma_1(t) & t \in [-1, 0] \\
+                   \gamma_2(-t) & t \in [0, 1]
+               \end{cases}
+    .\end{align*}
+    Dann ist $\gamma$ ein geschlossener Integrationsweg, also folgt
+    \begin{salign*}
+        0 &= \int_{\gamma}^{} F \\
+        &= \int_{-1}^{0} (F(\gamma_1(t)), \gamma_1'(t)) \d t + \int_{0}^{1} (F(\gamma_2(-t), - \gamma_2'(-t)) \d t \\
+        &\stackrel{s \coloneqq -t}{=} \int_{\gamma_1}^{} F + \int_{0}^{-1} (F(\gamma_2(s)), \gamma_2'(s) \d s \\
+        &= \int_{\gamma_1}^{} F - \int_{\gamma_2}^{} F  
+    .\end{salign*}
+
+    (iii) $\implies$ (i): Fixiere $x_0 \in D$ und definiere $\varphi_0\colon D \to \R$ durch
+    $\varphi_0(x) \coloneqq \int_{\gamma}^{} F$, wobei
+    $\gamma$ irgendein Integrationsweg von $x_0$ nach $x$ ist. Zu $x \in D$ betrachte
+    $x + h e_i \in D$ für $|h| \ll 1$. Nach Umparametrisierung gelte o.E.
+    \begin{align*}
+        &\gamma_x \colon [-1, 0] \to D \\
+        &\gamma_{x + h e_i}\colon [-1, 1] \to D \\
+        &\gamma_{x + h e_i} \coloneqq \begin{cases}
+            \gamma_x(t) & t \in [-1, 0] \\
+            x + t h e_i & t \in [0,1]
+        \end{cases}
+    .\end{align*}
+    Dann folgt
+    \begin{salign*}
+        \frac{\partial \varphi_0(x)}{\partial x_i} &= \lim_{h \to 0} \frac{\varphi_0(x + h e_i) - \varphi_0(x)}{h} \\
+        &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \int_{\gamma_{x + h e_i}} F - \int_{\gamma_x}^{} F \right) \\
+        &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{0}^{1} \left( F(x + t h e_i), \gamma'_{x + h e_i}(t) \right)  \d t \\
+        &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{0}^{1} ( F(\underbrace{x + t h e_i}_{\xrightarrow{h \to 0} F(x)}), h e_i )  \d t \\
+        &= \int_{0}^{1} (F(x), e_i) \d t \\
+        &= F_i(x)
+    .\end{salign*}
+    Damit ist $\varphi_0 \in C^{1}(D, \R)$ und $\nabla \varphi_0 = F$. Das zeigt (i).
+
+    Sei $\gamma$ ein Integrationsweg von $x_0 \in D$ nach $x \in D$. Dann definiere
+    \[
+        \varphi_0(x) \coloneqq \int_{\gamma} F
+    .\]
+    Sei weiter $\varphi \in C^{1}(D, \R)$ mit $\nabla \varphi = F$. Dann gilt wegen (i) und (ii):
+    \[
+        \int_{\gamma} F = \varphi(x) - \varphi(x_0)
+    .\] Damit folgt
+    \[
+        \varphi(x) - \varphi(x_0) = \varphi_0(x) \implies \varphi(x) = \varphi_0(x) + \underbrace{\varphi(x_0)}_{\text{konst}} = \varphi_0(x) + c
+    .\] 
+\end{proof}
+
 \end{document}

ana22.tex

@@ -0,0 +1,240 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\begin{bsp}
+    \label{bsp:windungsfeld}
+    \begin{enumerate}
+        \item Windungsfeld:
+            \[
+                W(x,y) \coloneqq \frac{1}{x^2 + y^2} \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} 
+            .\] $D \coloneqq \R^2 \setminus \left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} $. $W$ ist
+            nicht konservativ auf $D$ weil mit $\gamma\colon [0, 2\pi] \to \R^2$,
+            $\gamma(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} $ ist
+            \[
+            \int_{\gamma} W = 2 \pi \neq 0
+            .\] Aber mit $D \coloneqq \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}   \mid y > 0\right\} $
+            ist
+            \[
+                \varphi(x,y) \coloneqq - \arctan\left( \frac{x}{y} \right) 
+            \] ein Potential von $W$ auf $D$, denn
+            \begin{align*}
+                \frac{\partial \varphi(x,y)}{\partial x} &= -\frac{1}{1 + \frac{x^2}{y^2}} \frac{1}{y} = - \frac{y}{x^2 + y^2} \\
+                \frac{\partial \varphi(x,y)}{\partial y} &= \frac{x}{x^2 + y^2}
+            .\end{align*}
+            Die Existenz eines Potentials hängt also auch von $D$ ab.
+        \item Suche nach einem Potential:
+            $F\colon \R^2 \to \R^2$, $F(x,y) \coloneqq \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} $.
+            Falls Potential existiert, dann gilt
+            \[
+                \varphi_0(x,y) \coloneqq \int_{\gamma} F
+            .\] mit z.B. $\gamma(t) \coloneqq t \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $, $t \in [0,1]$.
+            Dann gilt
+            \begin{salign*}
+                \int_{\gamma} F &= \int_{0}^{1} \left( F(\gamma(t), \gamma'(t) \right)  \d t \\
+                &= \int_{0}^{1} \left( \begin{pmatrix} ty \\ tx \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}  \right)  \d t \\
+                &= \int_{0}^{1} \left( t y x + tx y \right) \d t \\
+                &= \int_{0}^{1} 2 t x y  \d t \\
+                &= xy
+            .\end{salign*}
+            Definiere $\varphi = xy$. Dann ist $\frac{\partial \varphi}{\partial x} = y = F_1(x,y)$
+            und $\frac{\partial \varphi}{\partial y} x = F_2(x,y)$. Also $\nabla \varphi = F$.
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\section{Existenz von Potentialen}
+
+Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und $F \in C^{1}(D, \R^{n})$ ein konservatives Vektorfeld. Dann existiert
+ein $\varphi \in C^2(D, \R)$ mit $\nabla \varphi = F$, d.h. $\frac{\partial \varphi}{\partial x_i} = F_i$
+für $i = 1, \ldots, n$. Da $\varphi$ zweimal stetig differenzierbar, folgt
+\begin{align*}
+\frac{\partial F_i}{ \partial x_j} = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_j \partial x_i}
+= \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial F_j}{\partial x_i}
+.\end{align*}
+
+Ist also $F \in C^{1}(D, \R^{n})$ konservativ, dann gelten notwendig die \underline{Integrabilitätsbedingungen}
+\[
+\frac{\partial F_i}{\partial x_j} - \frac{\partial F_j}{\partial x_i} \equiv 0 \qquad \forall i, j = 1,\ldots,n
+.\]
+Speziell für $n = 2$:
+\[
+\frac{\partial F_2}{\partial x_1} = \frac{\partial F_1}{\partial x_2}
+.\] Für $n = 3$:
+\[
+    \text{rot}(F) \coloneqq \begin{pmatrix} \frac{\partial F_3}{\partial x_2} - \frac{\partial F_2}{\partial x_3} \\
+    \frac{\partial F_1}{\partial x_3} - \frac{\partial F_3}{\partial x_1} \\
+\frac{\partial F_2}{\partial x_1} - \frac{\partial F_1}{\partial x_2}\end{pmatrix}  = 0
+.\]
+
+Die Integrabilitätsbedingungen sind nicht hinreichend.
+
+\begin{bsp}[Windungsfeld]
+    \[
+        W(x,y) \coloneqq \frac{1}{x^2 + y^2} \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} 
+    .\] Dann gilt
+    \begin{align*}
+        \frac{\partial W_y}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{x^2 + y^2} \right)
+        = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} \\
+        \frac{\partial W_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( - \frac{y}{x^2 + y^2} \right)
+        = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}
+    .\end{align*}
+    Also gilt $\frac{\partial W_y}{\partial x} = \frac{\partial W_x}{\partial y}$ auf $D \coloneqq \R^2 \setminus \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}  \right\} $, aber auf $D$ existiert kein Potential
+    (vgl. \ref{bsp:windungsfeld}).
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Homotopie]
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ und $\gamma_0, \gamma_1 \in C\left( [a,b], D \right) $ stetige
+    Kurven.
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Es gelte $\gamma_0(a) = A = \gamma_1(a)$ und
+            $\gamma_0(b) = B = \gamma_1(b)$. $y_0$ und $y_1$ heißen \underline{homotop} in $D$, falls
+            eine stetige Abbildung $H\colon [a,b] \times [0,1] \to D$ (Homotopie) existiert, s.d.
+            $H(t, 0) = \gamma_0(t)$ und $H(t,1) = \gamma_1(t)$, $\forall t \in [a,b]$ und
+            $H(a, s) = A$ und $H(b,s) = B$, $\forall s \in [0,1]$.
+
+            Für $s \in [0,1]$ sind
+            $\gamma_s^{(t)} \coloneqq H(t,s)$, $t \in [a,b]$ mit $\gamma_s(a) = A$ und $\gamma_s(b) = B$
+            stetige Kurven von $A$ nach $B$ in $D$. $H$ heißt stetige Deformation von $\gamma_0$ nach
+            $\gamma_1$.
+        \item $\gamma_0$ und $\gamma_1$ seien geschlossen. $\gamma_0$ und $\gamma_1$ heißen
+            \underline{frei homotop} in $D$ falls eine stetige Abbildung
+            $H\colon [a,b] \times [0,1] \to D$ mit $H(t,0) = \gamma_0(t)$, $\forall t \in [a,b]$ und
+            $H(a,s) = H(b,s)$, $\forall x \in [0,1]$ d.h. für $s \in [0,1]$ sind $\gamma_s(t) \coloneqq H(t,s)$
+            geschlossene Kurven in $D$.
+
+            $H$ heißt stetige Deformation innerhalb von $D$ der
+            geschlossenen Kurve $\gamma_0$ nach der geschlossenen Kurve $\gamma_1$.
+        \item Eine geschlossene Kurve heißt zusammenziehbar in $D$, wenn sie frei homotop zu
+            einer konstanten Kurve ist, d.h. sie sich in $D$ zu einem Punkt zusammenziehen lässt.
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \label{bsp:ellipse-und-kreis}
+    Ellipse: Seien $a, b > 0$.
+    \[
+        \epsilon(t) \coloneqq \begin{pmatrix} a \cos(t)\\ b \sin(t)\end{pmatrix}, \quad t \in [0, 2\pi]
+    \] ist frei homotop zum Kreis
+    \[
+        K(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} 
+    \] via der Homotopie
+    \begin{align*}
+        &H\colon [0, 2\pi] \times [0,1] \to \R^2 \setminus \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}  \right\} \\
+        &H(t, s) \coloneqq s K(t) + (1 - s) \epsilon(t)
+    .\end{align*}
+    Es gilt
+    \begin{align*}
+        \Vert H(t,s) \Vert^2 &= (s + a(1-s))^2 \cos^2(t) + (s + b (1-s))^2 \sin^2(t) \\
+                             &\ge \min(1, a^2, b^2) (\cos^2(t) + \sin^2(t)) \\
+                             &= \min(1, a^2, b^2) \\
+                             &> 0
+    .\end{align*}
+    Also $H(t,s) \neq 0$ $\forall t, s$.
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Zweiter Hauptsatz der Kurvenintegrale: Homotopieinvarianz]
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $F \in C^{1}(D, \R^{n})$ erfülle
+    die Integrabilitätsbedingungen und $\gamma_0, \gamma_1 \colon [a,b] \to D$ Integrationswege.
+
+    Sind $\gamma_0$ und $\gamma_1$ homotop in $D$ mit gemeinsamem Anfangs- und Endpunkt oder
+    geschlossen und frei homotop in $D$, dann gilt
+    \[
+    \int_{\gamma_1}^{} F = \int_{\gamma_0}^{} F
+    .\]
+    \label{satz:hauptsatz-2-kurven}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    ohne Beweis
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}[Windungsfeld]
+    \begin{enumerate}
+        \item Für Ellipse $\epsilon(t)$ und Kreis $K(t)$ (vgl. Beispiele \ref{bsp:ellipse-und-kreis} und
+            \ref{bsp:windungsfeld}) gilt
+            \[
+                \int_{K} W = 2 \pi \stackrel{\ref{satz:hauptsatz-2-kurven}}{=} 
+                \int_{\epsilon}^{} W = \int_{0}^{2 \pi} \frac{ab}{a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t} \d t
+            .\] 
+            Also folgt
+            \[
+            \int_{0}^{2\pi} \frac{\d t}{a^2 \cos^2t + b^2 \sin^2 t} = \frac{2 \pi}{ab}
+            .\] 
+        \item Kurven $\gamma_0, \gamma_1\colon [0, 2\pi] \to \R^2 \setminus \{0\} $:
+            \[
+                \gamma_0 \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix}
+                \qquad
+                \gamma_1(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ - \sin(t) \end{pmatrix} 
+            .\] $\gamma_0$ und $\gamma_1$ sind nicht frei homotop in $\R^2 \setminus \{0\} $, weil
+            \[
+            \int_{\gamma_0} W = 2 \pi \neq - 2\pi = \int_{\gamma_1}^{} W
+            .\] 
+        \item Kurven $\gamma_0, \gamma_1\colon [0, \pi] \to \R^2 \setminus \{0\}$
+            \[
+                \gamma_0 \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix}
+                \qquad
+                \gamma_1(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ - \sin(t) \end{pmatrix} 
+            .\] $\gamma_0$, $\gamma_1$ sind nicht homotop in $\R^2 \setminus \{0\} $, weil
+            \[
+            \int_{\gamma_0}^{} W = \int_{0}^{\pi} 1 \d t \neq \int_{0}^{\pi} -1 \d t = \int_{\gamma_1}^{} W \d t  
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Einfach zusammenhängend]
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ ein Gebiet. $D$ heißt einfach zusammenhängend, wenn jede geschlossene
+    Kurve in $D$ frei homotop zu einer konstanten Kurve ist, d.h. jede geschlossene Kurve in $D$
+    zusammenziehbar ist.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Sternförmig]
+    Ein Gebiet $D \subseteq \R^{n}$ heißt sternförmig,
+    wenn ein $x_1 \in D$ existiert, s.d. $\forall x \in D$ gilt:
+    \[
+        x_1 + t(x - x_1) \in D \quad \forall t \in [0,1]
+    .\] D.h. $\forall x \in D$ liegt die Verbindungsstrecke von $x_1$ nach $x$ in $D$.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    Jedes Sterngebiet ist einfach zusammenhängend.
+\end{bem}
+
+\begin{proof}
+    $H(t,s) \coloneqq x_1 + s(\gamma(t) - x_1) \in D$, $\forall t$, $\forall s \in [0,1]$.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}[]
+        \item Jede Kugel $K_r(a)$ ist sternförmig bezüglich $a$, also auch einfach zusammenhängend.
+        \item Eine gelochte Kreisscheibe $K_1(0) \setminus \{0\} $, $K_1(0) \subseteq \R^2$
+            ist kein Sterngebiet und nicht einfach zusammenhängend.
+        \item Geschlitzte Scheibe $K_1(0) \setminus \{x \in \R^2  \mid x_1 \le 0, x_2= 0\} \subseteq \R^2$
+            ist sternförmig, also einfach zusammenhängend.
+        \item Jede geschlitzte Ebene $\R^2 \setminus S_v$ mit
+            $S_v \coloneqq \{ t v | t \ge 0, \Vert v \Vert = 1\} $ ist sternförmig mit
+            Mittelpunkt $(-v)$, also auch einfach zusammenhängend.
+        \item $R^{n} \setminus \{0\} $ ist kein Sterngebiet, weil $0 \in$ Strecke von $-a$ nach $a$,
+            aber einfach zusammenhängend für $n \ge 3$.
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Lemma von Poincaré]
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und
+    $F \in C^{1}(D, \R^{n})$ erfülle die Integrabilitätsbedingunen. Dann
+    ist $F$ konservativ.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\gamma$ geschlossener Integrationsweg in $D$. Da $D$ einfach zusammenhängend, ist
+    $\gamma$ frei homotop zu einem konstanten Weg $\gamma_C$. Damit folgt
+    \[
+        \int_{\gamma} F
+        \; \stackrel{\ref{satz:hauptsatz-2-kurven}}{=} \; \int_{\gamma_C} F
+        \; \stackrel{\text{Def.}}{=} \;
+        \int_{a}^{b} (F(\gamma_C(t)), \gamma_C'(t)) \d t = 0
+    .\] Damit folgt mit \ref{satz:hauptsatz-1-kurven}, dass $F$ konservativ.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Ende]\end{proof}
+
+\end{document}

analysisII.tex

@@ -44,5 +44,6 @@ Rui Yang (\href{mailto:rui.yang@stud.uni-heidelberg.de}{rui.yang@stud.uni-heidel
 \input{ana19.tex}
 \input{ana20.tex}
 \input{ana21.tex}
+\input{ana22.tex}
 
 \end{document}