From 3092921e463446c062e97a1503423946cf4d3c48 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: salagne Date: Fri, 8 May 2020 15:07:03 +0200 Subject: [PATCH] minor changes --- ana4.tex | 28 ++++++++++++++-------------- 1 file changed, 14 insertions(+), 14 deletions(-) diff --git a/ana4.tex b/ana4.tex index d707836..688d6a2 100644 --- a/ana4.tex +++ b/ana4.tex @@ -69,10 +69,10 @@ \end{bsp} \begin{definition} - Eine Folge $(x^{(k)})_{k \in \N}, x^{(k)} \in \K$, heißt + Eine Folge $(x^{(k)})_{k \in \N}, x^{(k)} \in \K^n$, heißt \begin{enumerate}[i)] \item beschränkt, falls $\forall k\in \N:\; x^{(k)} \in K_{R}(0)$, $K_{R}(0)$ eine Kugelumgebung von $0$ mit Radius $R$. - $$K_{r}(0) \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{x-a}_{\infty} < r\}.$$ + $$K_{r}(a) \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{x-a}_{\infty} < r\}.$$ \item Cauchy-Folge, wenn $\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon} \in \N$ sodass $\forall k,l \geq N_{\varepsilon}$ gilt: $\norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon$. \item konvergent gegen ein $x \in \K^{n}$, wenn $\norm{x^{(k)} - x}_{\infty} \to 0$ für $k \to \infty$. \\ geometrisch: jede Kugelumgebung $K_{\varepsilon}(x)$ enthält fast alle Folgenelemente $x^{(k)}$ (d.h. alle bis auf endlich viele). @@ -107,8 +107,8 @@ \end{enumerate} \end{proof} -\begin{satz} - (Äquivalenz von Normen) Sei $\K^{n}$ ein endlichdimensionaler Vektorraum. Dann sind alle Normen äquivalent zur Maximumsnorm $(\ell_{\infty})$, d.h. zu jeder Norm $\norm{\cdot}, \exists m,M >0$ sodass $$m \norm{x}_{\infty} \leq \norm{x} \leq M \norm{x}_{\infty}, \ \ \ \ x \in \K^{n}.$$ +\begin{satz}[Äquivalenz von Normen] + Sei $\K^{n}$ ein endlichdimensionaler Vektorraum. Dann sind alle Normen äquivalent zur Maximumsnorm $(\ell_{\infty})$, d.h. zu jeder Norm $\norm{\cdot}, \exists m,M >0$ sodass $$m \norm{x}_{\infty} \leq \norm{x} \leq M \norm{x}_{\infty}, \ \ \ \ x \in \K^{n}.$$ \end{satz} \begin{proof} @@ -146,23 +146,23 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm. -\begin{definition} - ($\varepsilon$-Kugel, $\varepsilon$-Umgebung) Sei $a \in \K^{n}, r>0$. +\begin{definition}[$\varepsilon$-Kugel, $\varepsilon$-Umgebung] + Sei $a \in \K^{n}, r>0$. \begin{enumerate}[(1)] \item Dann heißt $K_{r}(a) \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{a-x} < r \}$ die offene Kugel um $a$ mit Radius $r$ bzgl. $\norm{\cdot}$. \item $U \subset K^{n}$ heißt Umgebung von $a \in \K^{n}$, falls $\exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(a) \subseteq U$. Insbesondere ist $K_{\varepsilon}(a)$ selbst eine Umgebung von $a$, eine sogenannte $\varepsilon$-Umgebung von $a$. \end{enumerate} \end{definition} -\begin{definition} - (offene Menge) Eine Menge $O \in \K^{n}$ heißt offen, falls $O$ eine Umgebung jedes Punktes aus $O$ ($ x \in O$) ist, das heißt $\forall x \in O, \exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(x) \subseteq O$. +\begin{definition}[offene Menge] + Eine Menge $O \in \K^{n}$ heißt offen, falls $O$ eine Umgebung jedes Punktes aus $O$ ($ x \in O$) ist, das heißt $\forall x \in O, \exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(x) \subseteq O$. \end{definition} \begin{bsp} \begin{enumerate}[(1)] \item $]a,b[ \subseteq \R$ ist offen ($a 0$, da $a 0$. + \item (Beobachtung) Durchschnitt von unendlich vielen offenen Mengen braucht nicht offen zu sein. Z.B. $$ \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} \left]-\frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}\right[ = [0,1]$$ ist nicht offen, da $K_{\varepsilon}(0) \not\subset [0,1], \forall \varepsilon > 0$. \end{enumerate} \end{korrolar} @@ -194,10 +194,10 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm. \begin{bsp} \begin{enumerate}[(1)] - \item Für $a,b \in \R, a \leq b$ ist $[a,b]$ abgeschlossen, denn $]-\infty,a[ \cup ]b, \infty[ = \R \setminus [a,b]$ ist offen, denn: + \item Für $a,b \in \R, a \leq b$ ist $[a,b]$ abgeschlossen, denn $]-\infty,a[ \ \cup \ ]b, \infty[ \ = \R \setminus [a,b]$ ist offen, denn: \begin{align*} ]-\infty, a[ & = \underset{n \in \N}{\bigcup} ]a-n,a[ \ \ \text{ist offen} & - ]b, \infty[ = \underset{n \in \N}{\bigcup} ]b, b + n[ \ \ \text{ist offen}. + ]b, \infty[ & = \underset{n \in \N}{\bigcup} ]b, b + n[ \ \ \text{ist offen}. \end{align*} \end{enumerate} \end{bsp} @@ -205,7 +205,7 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm. \begin{satz}[Eigenschaften abgeschlossener Mengen] \begin{enumerate}[(1)] \item Sind $V, U$ ($V,U \subset \K^{n}$) abgeschlossen, dann ist $U \cup V \subset \K^{n}$ auch abgeschlossen. - \item Sind $U_{i}, (i \in I)$ abgeschlossene Menge in $\K^{n}$. Dann ist $\underset{i \in I}{\bigcap} U_{i}$ auch abgeschlossen. + \item Sind $U_{i}, (i \in I)$ abgeschlossene Mengen in $\K^{n}$. Dann ist $\underset{i \in I}{\bigcap} U_{i}$ auch abgeschlossen. \end{enumerate} \end{satz} @@ -218,7 +218,7 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm. \begin{bsp} \begin{enumerate}[(1)] - \item Beliebige Vereinigung abgeschlossener Mengen muss nicht abgeschlossen sein. Z.B. $]0,1[ = \underset{n \in \N}{\bigcup} \underbrace{[\frac{1}{n}, 1- \frac{1}{n}]}_{\text{abgeschlossen}}$ ist offen. + \item Beliebige Vereinigung abgeschlossener Mengen muss nicht abgeschlossen sein. Z.B. $]0,1[ \ = \underset{n \in \N}{\bigcup} \underbrace{\left[\frac{1}{n}, 1- \frac{1}{n}\right]}_{\text{abgeschlossen}}$ ist offen. \item $\emptyset$ und $K^{n}$ sind abgeschlossen. \item $A_{1} \subset \R^{n_{1}}$ und $A_{2} \subset \R^{n_{2}}$ abgeschlossen, dann ist auch $A_{1} \times A_{2} \subset \R^{n_{1}} \times \R^{n_{2}} = \R^{n_{1} + n_{2}}$ abgeschlossen. \item Für $a