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ana14.tex

@@ -9,6 +9,7 @@
     Sei $D \subset \R^n$ offen, $f\colon D\to \R$. Ein Punkt $x\in D$ heißt lokales \underline{Minimum (Maximum)} von $f$, falls eine Umgebung $K_\delta(x)\subset \R^n$ existiert mit \[f(x)\leq f(y),\; \forall y\in K_\delta(x)\cap D\] ($f(x)\geq f(y),\; \forall y\in K_\delta(x)\cap D$). Falls \[f(x) < f(y), \forall y \in K_\delta(x)\cap D\setminus\{x\}\] ($f(x) > f(y)$), dann heißt $x$ \underline{striktes} lokales Minimum (Maximum).
 \end{definition}
 \begin{satz}[Notwendige Bedingung für lokales Extremum (Min oder Max)]
+    \label{satz:notwendig-extremum}
 Sei $D\subset \R^n$ offen, $f\colon D\to \R$ stetig differenzierbar und $x\in D$ ein lokales Extremum von $f$. Dann gilt : $\nabla f(x) = 0$.
 \end{satz}
 \begin{proof}
@@ -170,6 +171,7 @@ Gesucht: Abbildung $f$, s.d. $y = f(x)$ mit $(x,f(x))$ löst \eqref{doublestar}
 Für $\mathunderline{blue}{x_0 =1,\; y_0 = 0}$ hingegen gibt es keine Umgebung von $x_0 = 1$, sodass \[\mathunderline{blue}{\exists f\colon U(x_0) \to \R\text{ mit }F(x,f(x)) = 0}.\]
 \end{bsp}
 \begin{satz}[Satz über implizite Funktionen]
+    \label{satz:sif}
     Sei $D^x \subset \R^n$ offen, $D^y \subset \R^m$ offen, $F^1 \in C^1 (D^x\times D^y,\R^m)$ (stetig differenzierbar) und $(\hat{x}, \hat{y})\in D^x\times D^y$ mit $F(\hat x, \hat y) = 0$. Die $m\times m$ Matrix 
     \[
         D_yF(x,y) =\begin{pmatrix}
@@ -349,4 +351,4 @@ Fragestellung: Sei $f \colon D\subset \R^n \to \R^n$. Existiert die Umkehrabbild
         \item Es seien $U, V$ offene Mengen in $\R^n$ und $f\colon U\to V$ stetig differenzierbar.\\ $f$ heißt \underline{Diffeomorphismus}, falls $f$ bijektiv ist und die Umkehrabbildung $f^{-1}: V \to U$ stetig differenzierbar ist.
     \end{enumerate}
 \end{bem}
-\end{document}
+\end{document}

ana15.tex

@@ -0,0 +1,157 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\section{Extremalaufgaben mit Nebenbedingungen}
+
+Problemstellung: ,,Restringierte`` Optimierungsaufgabe mit Gleichungsnebenbedingungen.
+
+Sei $f\colon D \to \R$ und $g\colon D \to \R^{k}$, $D \subseteq \R^{n}$.
+Wir suchen einen Punkt $\hat{x} \in D$, s.d. $\hat{x} \in S \coloneqq \{ x \in D  \mid g(x) = 0\} $ und
+$\exists U(\hat{x})$ s.d. $f(\hat{x}) \le f(x)$, $\forall x \in U(\hat{x}) \cap S$. \\
+Dann heißt $\hat{x}$ lokales Minimum unter Nebenbedingung $g(x) = 0$. Analog: lokales Maximum unter
+Nebenbedingung $\hat{x} \in S$, s.d. $\exists U(\hat{x})$ mit $f(\hat{x}) \ge f(x)$
+$\forall x \in U(\hat{x}) \cap S$.
+
+\begin{satz}[Multiplikatorregel von Lagrange: Notwendige Bed. 1. Ordnung für lokales Minimum unter
+    Nebenbedingungen]
+    \label{satz:lagrange-mult}
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $f\colon D \to \R$ und $g\colon D \to \R^{k}$ partiell stetig
+    differenzierbar. Sei $\hat{x} \in D$ ein Extremum unter der Nebenbedingung
+    $g(x) = 0$ und die Gradienten $\nabla g_1(\hat{x}), \ldots, \nabla g_k(\hat{x})$
+    seien linear unabhängig in $\R^{n}$. Dann gilt
+    \[
+    \exists \hat{\lambda} = \begin{pmatrix} \hat{\lambda}_1 \\ \vdots \\ \hat{\lambda}_k \end{pmatrix}
+    \in \R^{k} \text{ mit }
+    \sum_{i=1}^{k} \hat{\lambda}_i \nabla g_i(\hat{x}) = \nabla f(\hat{x})
+    (\iff \nabla g(\hat{x}) \hat{\lambda} = \nabla f(\hat{x}))
+    .\]
+    Die Zahlen $\hat{\lambda}_1, \ldots, \hat{\lambda}_k$ heißen \underline{Lagrange-Multiplikatoren}.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Nach Voraussetzungen gilt
+    \[
+        \frac{\partial g_i(\hat{x})}{\partial x} =
+        \underbrace{\left( \frac{\partial g_i(\hat{x})}{\partial x_1}\ldots \frac{\partial g_i(\hat{x})}{\partial x_n} \right)}_{i = 1\ldots k, \text{linear unabhängige Vektoren}}
+    .\] Also hat $\frac{\partial g}{\partial x}(\hat{x}) \in \R^{k \times n}$ Rang $k$.
+    O.B.d.A. die ersten $k$ Spalten von $\frac{\partial g}{\partial x}(\hat{x})$ bilden
+    eine quadratische invertierbare Matrix.
+    Dann lassen sich $x$ und $\frac{\partial g}{\partial x}(\hat{x})$ aufspalten:
+    \[
+        x = \begin{pmatrix} y \\ z \end{pmatrix} 
+            \quad
+            \underbrace{\frac{\partial g}{\partial x}(\hat{x})}_{\in \R^{k \times n}}
+            =
+            \Big( \underbrace{\frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x})}_{\in \R^{k \times k}} ;
+            \underbrace{\frac{\partial g}{\partial z}(\hat{x})}_{\in \R^{k \times (n-k)}} \Big)
+    .\] mit $y \in \R^{k}$, $z \in \R^{n-k}$ und
+    $\frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x}) \in \R^{k \times k}$ regulär.
+
+    Setze $\hat{x} = \begin{pmatrix} \hat{y} \\ \hat{z} \end{pmatrix}$.
+    Wende nun Satz \ref{satz:sif} auf $g(x) = g(y,z) = 0$ an. Dann existieren
+    Umgebungen $U(\hat{z}) \subseteq \R^{n-k} $, $U(\hat{y}) \subseteq \R^{k}$ und
+    eine eindeutige Abbildung
+    \begin{align*}
+        \varphi\colon U(\hat{z}) &\to U(\hat{y}) \\
+        z &\mapsto \varphi(z) = y
+    , \end{align*} s.d. $\varphi$ folgende Eigenschaften erfüllt sind
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item $g(\varphi(z), z) = 0$ $\forall z \in U(\hat{z})$
+        \item $\hat{y} = \varphi(\hat{z})$
+        \item $\varphi \in C^{1}\left( U(\hat{z}), \R^{k} \right) $ stetig differenzierbar.
+        \item $\underbrace{\varphi'(\hat{x})}_{D_x\varphi(\hat{x})} =
+            - \left(\frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x})\right)^{-1} \cdot
+            \left( \frac{\partial g}{\partial z}(\hat{x}) \right)$
+    \end{enumerate}
+    Betrachte $\tilde{f}(z) = f(\varphi(z), z)$, $\tilde{f}(z) \colon U(\hat{z}) \to \R$. Da
+    $\hat{x}$ Extremum von $f(x)$ unter $g(x) = 0$, ist $\hat{z}$ lokales Extremum von $\tilde{f}(z)$ in
+    $U(\hat{z})$. Mit \ref{satz:notwendig-extremum} folgt also $\forall i = 1 \ldots n-l$:
+    \begin{salign*}
+        0 &= \frac{\partial \tilde{f}(\hat{z})}{\partial z_i} \\
+        &\stackrel[\tilde{f} = f(\varphi(z), z)]{\text{Kettenregel}}{=} \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y}
+        \cdot \frac{\partial \varphi(\hat{z})}{z_i} + \frac{\partial f(\hat{x}) }{z_i}
+        \intertext{Damit folgt}
+        0 &= \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y} \cdot \frac{\partial \varphi(\hat{z})}{\partial z}
+        + \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial z} \qquad (*)
+        \intertext{Definiere}
+        \hat{\lambda}^{T} &= \underbrace{\frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y}}_{\left(\frac{\partial f}{\partial y_1} \ldots \frac{\partial f}{\partial y_k}\right)}
+        \cdot \left( \frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x}) \right)^{-1}
+        \intertext{Damit folgt}
+        \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y} &= \hat{\lambda}^{T} \left( \frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x}) \right) 
+    .\end{salign*}
+    Mit $(*)$ folgt
+    \begin{salign*}
+        \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y} \left( -
+        \left( \frac{\partial g(\hat{x})}{\partial y} \right)^{-1}
+        \frac{\partial g(\hat{x})}{\partial z}\right)
+        + \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial z}
+        = - \hat{\lambda}^{T} \frac{\partial g(\hat{x})}{\partial z} + \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial z} = 0
+    .\end{salign*}
+    Insgesamt folgt
+    \begin{align*}
+    \begin{rcases}
+        \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y} = \hat{\lambda}^{T} \frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x}) \\
+        \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial z} = \hat{\lambda}^{T} \frac{\partial g}{\partial z}(\hat{x})
+    \end{rcases}
+    \implies
+    \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial x} = \hat{\lambda}^{T} \frac{\partial g(\hat{x})}{\partial x}
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}[Interpretation von Satz \ref{satz:lagrange-mult}]
+    Definiere Lagrange-Funktion
+    \[
+        \mathcal{L}(x, \lambda) \coloneqq f(x) - \lambda^{T}g(x), \quad (x, \lambda) \in D \times \R^{k}
+    .\] Falls $\hat{x}$ lokales Minimum von $f$ unter Nebenbedingung $g(x) = 0$ und
+    $\text{Rg}\left( \frac{\partial g(\hat{x})}{\partial x}\right) = k$. Dann ex.
+    genau ein $\hat{\lambda} \in \R^{k}$ s.d. $(\hat{x}, \hat{\lambda})$ ein stationärer Punkt
+    der Lagrange Funktion ist:
+    \begin{align*}
+        \nabla_x \mathcal{L}(\hat{x}, \hat{\lambda}) &= \nabla f(\hat{x}) - \nabla g(\hat{x}) \hat{\lambda} = 0 \\
+        \nabla_\lambda \mathcal{L}(\hat{x}, \hat{\lambda}) &= g(\hat{x}) = 0
+    .\end{align*}
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}[Anwendung von \ref{satz:lagrange-mult}]
+    Sei $A = (a_{ij})_{i,j=1}^{n} \in \R^{n \times n}$ eine symmetrische Matrix. Dann betrachte
+    \[
+        f(x) \coloneqq  (x, Ax)_2 = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j
+    .\] Bestimme Extrema von $f(x)$ unter Nebenbedingungen $\Vert x \Vert = 1$.
+
+    Definiere $g(x) = \Vert x \Vert_2^2 - 1$ und $S \coloneqq \{ x \in \R^{n}  \mid g(x) = 0\} $. Dann
+    gilt für $x \in S$: $\nabla g(x) = 2x \neq 0$, da $\Vert x \Vert_2^2 = 1$. Für
+    $f(x) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j$ gilt für $k = 1 \ldots n$:
+    \begin{salign*}
+        \frac{\partial f}{\partial x_k} &= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\delta_{ik}x_j
+        + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_i \delta_{jk} \\
+        &= \sum_{j=1}^{n} a_{kj} x_j + \sum_{i=1}^{n} a_{ik} x_i \\
+        &\stackrel{a_{ij} = a_{ji}}{=} 2 \sum_{i=1}^{n} a_{ki}x_i
+        \intertext{Also folgt}
+        \nabla f(x) &= 2 A x
+    .\end{salign*}
+    Existiert ein $\hat{x}$? Da $S$ kompakt und $f$ stetig, nimmt $f$ (auf $S$) ein
+    Maximum und Minimum an. Nach Satz \ref{satz:lagrange-mult} ex. ein $\hat{\lambda} \in \R$, s.d.
+    \begin{alignat*}{3}
+        &&\quad \nabla f(\hat{x}) &= \hat{\lambda} \nabla g(\hat{x}) \\
+        &\implies& 2 A \hat{x} &= \hat{\lambda} 2 \hat{x} \\
+        &\implies& A \hat{x} &= \hat{\lambda} \hat{x}
+    .\end{alignat*}
+    Also ist $\hat{\lambda}$ Eigenwert von $A$ zum Eigenvektor $\hat{x}$. Damit folgt
+    \[
+        f(\hat{x}) = (\hat{x}, A \hat{x})_2 = (\hat{x}, \hat{\lambda}\hat{x})_2
+        = \hat{\lambda} \underbrace{\Vert \hat{x} \Vert_2^2}_{= 1} = \hat{\lambda}
+    .\] Das bedeutet, dass
+    \[
+        \inf \{(x, Ax)_2  \mid \Vert x \Vert_2 = 1\} = f(\hat{x}) = \hat{\lambda} = \lambda_{\text{min}}
+    .\] Also folgt
+    \begin{align*}
+        \lambda_{\text{min}} &= \min_{\Vert x \Vert_2 = 1} \underbrace{x^{T} Ax}_{(x,Ax)_2}
+        = \min_{x \in \R^{n} \setminus \{0\} } \underbrace{\frac{x^{T}Ax}{\Vert x \Vert_{2}^2}}
+        _{\text{Rayley-Quotient}} \\
+        \lambda_{\text{max}} &= \max_{x \in \R^{n} \setminus \{0\} } \frac{x^{T}Ax}{\Vert x \Vert_2^2}
+    .\end{align*}
+    $\lambda_{\text{min}}$ bzw. $\lambda_{\text{max}}$ sind der kleinste bzw. größte Eigenwert von $A$.
+\end{bsp}
+
+\end{document}

analysisII.tex

@@ -37,5 +37,6 @@ Rui Yang (\href{mailto:rui.yang@stud.uni-heidelberg.de}{rui.yang@stud.uni-heidel
 \input{ana12.tex}
 \input{ana13.tex}
 \input{ana14.tex}
+\input{ana15.tex}
 
 \end{document}