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salagne
2020-06-03 11:41:12 +02:00
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commit 3518148746
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ana1.tex
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@@ -130,7 +130,7 @@
\addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {-0.3}; \addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {-0.3};
\end{axis} \end{axis}
\end{tikzpicture} \end{tikzpicture}
\caption{Links: ,,$\epsilon$-Schlauch'', Rechts: \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (b) nicht gleichmäßig konvergent} \caption{Links: ,,$\epsilon$-Schlauch``, Rechts: \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (b) nicht gleichmäßig konvergent}
\end{figure} \end{figure}
Beispiele \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (a) und (b) nicht gleichmäßig konvergent, zu (a): Beispiele \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (a) und (b) nicht gleichmäßig konvergent, zu (a):
Für $\epsilon = \frac{1}{2}$ gilt Für $\epsilon = \frac{1}{2}$ gilt
@@ -206,12 +206,12 @@
\begin{proof} \begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)] \begin{enumerate}[(i)]
\item ,,$\implies$'': Sei $\epsilon > 0$. Dann $\exists N \in \N$ s.d. \item ,,$\implies$``: Sei $\epsilon > 0$. Dann $\exists N \in \N$ s.d.
$|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{2}$ $\forall x \in [a,b]$ und $\forall n \ge N$. Damit folgt: $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{2}$ $\forall x \in [a,b]$ und $\forall n \ge N$. Damit folgt:
\[ \[
\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = \Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \implies \Vert f_n - f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0 \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = \Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \implies \Vert f_n - f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0
.\] .\]
,,$\impliedby$'': Sei $\epsilon > 0$. Wegen ,,$\impliedby$``: Sei $\epsilon > 0$. Wegen
$\Vert f_n -f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0$ $\exists N \in \N$ s.d. $\Vert f_n -f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0$ $\exists N \in \N$ s.d.
$\Vert f_n - f \Vert_\infty < \epsilon$ $\forall n \ge N$. Damit folgt $\Vert f_n - f \Vert_\infty < \epsilon$ $\forall n \ge N$. Damit folgt
$\forall n \ge N$ und $\forall x \in [a,b]$ $\forall n \ge N$ und $\forall x \in [a,b]$
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|f_n(x) - f(x)| \le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = |f_n(x) - f(x)| \le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| =
\Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \epsilon \implies \text{gleichmäßige Konvergenz} \Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \epsilon \implies \text{gleichmäßige Konvergenz}
.\] .\]
\item ,,$\implies$'' $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. \item ,,$\implies$`` $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h.
$\exists f: [a,b] \to \R$ s.d. $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f$. $\exists f: [a,b] \to \R$ s.d. $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f$.
Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$ s.d. $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{4}$ Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$ s.d. $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{4}$
@@ -234,7 +234,7 @@
\le \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \quad \forall n, m \ge N_0 \le \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \quad \forall n, m \ge N_0
.\end{align*} .\end{align*}
,,$\impliedby$'': Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$, s.d. ,,$\impliedby$``: Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$, s.d.
\[ \[
|f_n(x) - f_m(x)| \le \Vert f_n - f_m \Vert_\infty < \frac{\epsilon}{2} \quad |f_n(x) - f_m(x)| \le \Vert f_n - f_m \Vert_\infty < \frac{\epsilon}{2} \quad
\forall n,m \ge N_0 \quad \forall x \in [a,b] \forall n,m \ge N_0 \quad \forall x \in [a,b]
ana10.pdf
BIN
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ana11.pdf
BIN
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Binary file not shown.
ana2.tex
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@@ -57,7 +57,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
\begin{definition} \begin{definition}
Wir definieren Wir definieren
\[ \[
(f, g) := \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} \d x \qquad (\text{,,Sesquilinearform''}) (f, g) := \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} \d x \qquad (\text{,,Sesquilinearform``})
.\] Dies ist wohldefiniert da für $f, g \in R[a,b]$ das Produkt $f(x) \cdot \overline{g(x)} \in R[a,b]$ ist. .\] Dies ist wohldefiniert da für $f, g \in R[a,b]$ das Produkt $f(x) \cdot \overline{g(x)} \in R[a,b]$ ist.
\end{definition} \end{definition}
analysisII.tex
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@@ -5,7 +5,14 @@
\usepackage{subcaption} \usepackage{subcaption}
\title{Analysis II} \title{Analysis II}
\author{Prof. Dr. Ekaterina Kostina} \author{Prof. Dr. Ekaterina Kostina\\[5mm]
Mitschrift von \\[1mm]
Christof Gehrig (\href{mailto:christof.gehrig@stud.uni-heidelberg.de}{christof.gehrig@stud.uni-heidelberg.de})\\
Nico Haaf (\href{mailto:nico.haaf@stud.uni-heidelberg.de}{nico.haaf@stud.uni-heidelberg.de})\\
Josua Kugler (\href{mailto:josua.kugler@stud.uni-heidelberg.de}{josua.kugler@stud.uni-heidelberg.de})\\
Christian Merten (\href{mailto:christian.merten@stud.uni-heidelberg.de}{christian.merten@stud.uni-heidelberg.de})\\
Rui Yang (\href{mailto:rui.yang@stud.uni-heidelberg.de}{rui.yang@stud.uni-heidelberg.de})\\
}
\date{SoSe 2020} \date{SoSe 2020}
\begin{document} \begin{document}
lecture.cls
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@@ -4,7 +4,7 @@
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