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ana1.tex

@@ -141,7 +141,7 @@
     $f_n\colon [0,2] \to \R$, $f_n(x) \coloneqq \frac{1}{n} \sin \left( 2\pi n \cdot x \right) $ konvergiert
     gleichmäßig gegen $f(x) = 0$.
     \[
-        | \sin(2 \pi n \cdot x) | \le 1 \quad \forall x \in R \implies
+        | \sin(2 \pi n \cdot x) | \le 1 \quad \forall x \in \R \implies
         f_n(x) \xrightarrow{n \to \infty} 0 \quad \forall x \in [0,2] \implies \text{punktweise Konvergenz}
     .\] Sei nun $\epsilon > 0$, dann $\exists N \in \N$ mit $\frac{1}{N} < \epsilon$. Damit folgt
     \[
@@ -197,10 +197,10 @@
     Es sei $D = [a,b]$ und $f\colon [a,b] \to \R$ stetig. Dann gilt
     \begin{enumerate}[(i)]
         \item $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig gegen $f \colon [a,b] \to \R
-            \iff \Vert f_n - f \Vert_\infty \to 0$, $n \to \infty$
+            \iff \Vert f_n - f \Vert_\infty \xrightarrow{n \to \infty} 0$.
         \item Cauchy-Kriterium: $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]
             \iff \forall \epsilon > 0$ $\exists N_0 \in \N$, s.d. $\forall n, m \ge N_0$ gilt
-            $\Vert f_n - f_m \Vert_{\infty} < \epsilon$
+            $\Vert f_n - f_m \Vert_{\infty} < \epsilon$.
     \end{enumerate}
 \end{satz}
 
@@ -280,7 +280,7 @@
 Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^{b} f$?
 
 \begin{satz}
-    Seien $f_n \colon [a,b] \to R$ stetige Riemann-integrierbare Funktionen und $f\colon [a,b] \to \R$
+    Seien $f_n \colon [a,b] \to \R$ stetige Riemann-integrierbare Funktionen und $f\colon [a,b] \to \R$
     mit $\Vert f_n - f \Vert_\infty \xrightarrow{n \to \infty} 0$ (gleichmäßige Konvergenz). Dann gilt
     $f$ stetig und Riemann-integrierbar und
     \[
@@ -296,7 +296,7 @@ Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^
     \begin{align*}
         \left| \int_{a}^{b} f_n(x) dx - \int_{a}^{b} f(x) dx\right| &= \left| \int_{a}^{b} (f_n(x) - f(x))dx\right|\\
         &\le \int_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)| dx\\
-        &\le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| \cdot (a-b)\\
+        &\le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| \cdot (b-a)\\
         &=\underbrace{\norm{f_n - f}_\infty}_{\xrightarrow{n \to \infty} 0}\underbrace{(b-a)}_{\text{beschränkt}}.
     \end{align*}
 \end{proof}
@@ -304,32 +304,32 @@ Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^
 \begin{satz}\label{permutesumint}
     Seien $f_n \colon [a,b] \to \R$ stetige Funktionen $(n \in \N)$ und die Reihe
     $\sum_{n=0}^{\infty} f_n$ konvergiere gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. die Folge der Partialsummen
-    $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ sei gleichmäßig konvergent. Dann gilt:
+    $(\sum_{k=0}^{n} f_k)_{n\in\N}$ sei gleichmäßig konvergent. Dann gilt:
     \[
         f(x) \coloneqq \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \quad \forall x \in [a,b]
     .\] ist stetig und Riemann-integrierbar und
     \begin{align*}
-        \int_{a}^{b} f(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \\
-        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx  
+        \int_{a}^{b} f(x) \d x &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x \\
+        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \d x &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x
     ,\end{align*} d.h. die Reihe wird gliedweise integriert.
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
-    $f_n$ sind stetig $\implies \sum_{n=0}^{N} f_n(x)$ stetig und Riemann-integrierbar.
+    $f_n$ sind stetig $\implies \sum_{k=0}^{n} f_k(x)$ stetig und Riemann-integrierbar.
 
-    Die Folge der Partialsummen $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig, d.h.
+    Die Folge der Partialsummen $(\sum_{k=0}^{n} f_k)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig, d.h.
     \[
-        f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \text{ stetig } = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{n=0}^{N} f_n(x) \right) \text{ gleichmäßiger Limes}
+        f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \text{ stetig } = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=0}^{n} f_k(x) \right) \text{ gleichmäßiger Limes}
     .\] Es gilt
     \[
-        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx =
-        \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) dx + \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) dx
+        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \d x =
+        \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x + \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) \d x
     .\] Die Reihe konvergiert gleichmäßig, d.h. $\forall \epsilon > 0$ $\exists N_{\epsilon} \in \N$, s.d.
     $\forall N \ge N_{\epsilon}$ gilt
     \begin{align*}
-        &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) dx \right| \le \epsilon \cdot (b-a)  \\
-        \implies &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx - \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \right| \le \epsilon \\
-        \implies& \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx   
+        &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) \d x \right| \le \epsilon \cdot (b-a)  \\
+        \implies &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \d x - \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x \right| \le \epsilon \cdot (b-a)\\
+        \implies& \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \d x = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x   
     .\end{align*}
 \end{proof}
 
@@ -338,7 +338,7 @@ Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^
     Dann konvergiert $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^{n}$ in jedem Intervall
     $[x_0 - r, x_0 + r]$ für $0 < r < \rho$ gleichmäßig und für $[a,b] \subset \;]x_0 - \rho, x_0 + \rho[$ gilt
     \[
-        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}
+        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n} \d x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}
         \Big|_{a}^{b}
     .\] 
 \end{korollar}

ana14.tex

@@ -150,13 +150,12 @@ Gesucht: Abbildung $f$, s.d. $y = f(x)$ mit $(x,f(x))$ löst \eqref{doublestar}
 
     \begin{minipage}[c]{0.35\textwidth}
         \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
-            \draw[->] (0,-1.5) -- node[right,pos=.9] {$(x_0,y_0)$} (0,1.5);
+            \draw[->] (0,-1.5) -- node[right,pos=.9] {} (0,1.5);
             \draw[->] (-1.5,0) -- node[below,pos=1.3] {$F(x,y) = 0$} (1.5,0);
             \draw (0,0) circle (1cm);
-            \draw[fill] (0,1) circle (2pt);
-            \draw[fill=red,draw=red] (0,0) circle (2pt);
-            \node[color=red] at (.3,0) {)};
-            \node[color=red] at (-.3,0) {(};
+            \draw[fill=red,draw=red] (0,1) circle (2pt);
+            \node[color=red] at (.3,1) {)};
+            \node[color=red] at (-.3,1) {(};
             \draw[fill=blue,draw=blue] (1,0) circle (2pt);
             \node[color=blue] at (1.3,0) {)};
             \node[color=blue] at (.7,0) {(};
@@ -172,7 +171,7 @@ Für $\mathunderline{blue}{x_0 =1,\; y_0 = 0}$ hingegen gibt es keine Umgebung v
 \end{bsp}
 \begin{satz}[Satz über implizite Funktionen]
     \label{satz:sif}
-    Sei $D^x \subset \R^n$ offen, $D^y \subset \R^m$ offen, $F^1 \in C^1 (D^x\times D^y,\R^m)$ (stetig differenzierbar) und $(\hat{x}, \hat{y})\in D^x\times D^y$ mit $F(\hat x, \hat y) = 0$. Die $m\times m$ Matrix 
+    Sei $D^x \subset \R^n$ offen, $D^y \subset \R^m$ offen, $F \in C^1 (D^x\times D^y,\R^m)$ (stetig differenzierbar) und $(\hat{x}, \hat{y})\in D^x\times D^y$ mit $F(\hat x, \hat y) = 0$. Die $m\times m$ Matrix 
     \[
         D_yF(x,y) =\begin{pmatrix}
             \pdv{F_1}{y_1} &\dots &\pdv{F_1}{y_m}\\

ana17.tex

@@ -43,7 +43,7 @@
     Sei $f(t,x)$ stetig auf $D \subseteq \R \times \R^{n}$, $D$ abgeschlossen und $(t_0, y_0) \in D$.
     Sei weiter $y(t)$ Lösung der AWA für $t \in [t_0 - T, t_0 + T]$.
 
-    Dann ist $y$ nach rechts und links auf ein maximales Existenzintervall $I_{\text{max}} = (t_0 - T^{*}, t_0 + T^{*})$
+    Dann ist $y$ nach rechts und links auf ein maximales Existenzintervall $I_{\text{max}} = (t_0 - T_{*}, t_0 + T^{*})$
     bis zum Rand von $D$ (stetig diff'bar) fortsetzbar.
 \end{satz}
 

ana2.tex

@@ -21,7 +21,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
     \begin{enumerate}
         \item Analog: Definitionen von uneigentlichen Riemann-integralen für
             komplexwertige Funktionen
-        \item Die Rechenregeln f+r das reelle Riemann-integral übertragen sich auf komplexwertige
+        \item Die Rechenregeln für das reelle Riemann-integral übertragen sich auf komplexwertige
             Integrale, insbesondere gilt:
             \begin{align*}
                 \int_{a}^{b} \overline{f(x)} \d x &= \int_{a}^{b} \left( \text{Re}f(x) - i \cdot \text{Im}f(x) \right)  \d x \\

ana21.tex

@@ -32,7 +32,7 @@
         \item Es gilt die Abschätzung
         \begin{align*}
             \left|\int_\gamma f \d s\right| &= \left|\int_a^b f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t\right| \\
-            &\le \sup_{s\in [a,b]} \left|f(\gamma(s))\right| \cdot \int_a^b f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t \\
+            &\le \sup_{s\in [a,b]} \left|f(\gamma(s))\right| \cdot \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t \\
             &= \sup_{s\in [a,b]} \left|f(\gamma(s))\right| \cdot S(\gamma).
         \end{align*}
         \item Das Kurvenintegral ist invariant unter $C^1$-Parametertransformation. Sei $\varphi \colon [\alpha, \beta] \to [a,b]$ eine $C^1$ Parametertransformation. Dann gilt
@@ -191,4 +191,4 @@
     In diesem Fall erhalten wir eine Stammfunktion $\varphi_0\in C^1(D,\R)$ durch $\varphi_0(x)\coloneqq \int_\gamma F$, wobei $\gamma$ ein Integrationsweg von einem gewählten Punkt $x_0\in D$ zu $x\in D$ ist. Die Menge aller Potentiale von $F$ ist gegeben durch $\{\varphi_0+c\,|\,c\in \R\}$.
 \end{satz}
 
-\end{document}
+\end{document}

ana4.tex

@@ -74,7 +74,7 @@
 		\item 	beschränkt, falls $\forall k\in \N:\; x^{(k)} \in K_{R}(0)$, $K_{R}(0)$ eine Kugelumgebung von $0$ mit Radius $R$. 
 				$$K_{r}(a) \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{x-a}_{\infty} < r\}.$$
 		\item 	Cauchy-Folge, wenn $\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon} \in \N$ sodass $\forall k,l \geq N_{\varepsilon}$ gilt: $\norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon$.
-		\item 	konvergent gegen ein $x \in \K^{n}$, wenn $\norm{x^{(k)} - x}_{\infty} \to 0$ für $k \to \infty$. \\
+        \item 	konvergent gegen ein $x \in \K^{n}$, wenn $\norm{x^{(k)} - x}_{\infty} \xrightarrow{k \to \infty} 0$. \\
 				geometrisch: jede Kugelumgebung $K_{\varepsilon}(x)$ enthält fast alle Folgenelemente $x^{(k)}$ (d.h. alle bis auf endlich viele).
 	\end{enumerate}
 \end{definition}
@@ -154,7 +154,7 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[offene Menge]
-	Eine Menge $O \in \K^{n}$ heißt offen, falls $O$ eine Umgebung jedes Punktes aus $O$ ($ x \in O$) ist, das heißt $\forall x \in O, \exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(x) \subseteq O$.
+	Eine Menge $O \subseteq \K^{n}$ heißt offen, falls $O$ eine Umgebung jedes Punktes aus $O$ ($ x \in O$) ist, das heißt $\forall x \in O, \exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(x) \subseteq O$.
 \end{definition}
 
 \begin{bsp}

ana6.tex

@@ -185,7 +185,7 @@ Wichtige Ungleichungen
 \end{bem}
 
 \begin{satz}[Gram-Schmidt-Verfahren]
-    Sei $\{a^{(1)},\dots ,a^{(n)}\}$ eine Basis des $\K^n$. Dann ist $\{b^{(1)},\dots ,b^{(n)}\}$ konstruirt durch das \underline{Orthogonalisierungsverfahren} von Gram und Schmidt eine \underline{Orhonormalbasis}.
+    Sei $\{a^{(1)},\dots ,a^{(n)}\}$ eine Basis des $\K^n$. Dann ist $\{b^{(1)},\dots ,b^{(n)}\}$, konstruiert durch das \underline{Orthogonalisierungsverfahren} von Gram und Schmidt, eine \underline{Orhonormalbasis}.
     \begin{align*}
         b^{(1)}&\coloneqq\frac{a^{(1)}}{\norm{a^{(1)}}_2}\\
         \Tilde{b}^{(k)}&\coloneqq a^{(k)}-\sum_{j=1}^{k-1}(a^{(k)},b^{(j)})_2\cdot b^{(j)}\\