diff --git a/ana1.tex b/ana1.tex index da13f27..6fa720d 100644 --- a/ana1.tex +++ b/ana1.tex @@ -130,7 +130,7 @@ \addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {-0.3}; \end{axis} \end{tikzpicture} - \caption{Links: ,,$\epsilon$-Schlauch'', Rechts: \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (b) nicht gleichmäßig konvergent} + \caption{Links: ,,$\epsilon$-Schlauch``, Rechts: \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (b) nicht gleichmäßig konvergent} \end{figure} Beispiele \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (a) und (b) nicht gleichmäßig konvergent, zu (a): Für $\epsilon = \frac{1}{2}$ gilt @@ -206,12 +206,12 @@ \begin{proof} \begin{enumerate}[(i)] - \item ,,$\implies$'': Sei $\epsilon > 0$. Dann $\exists N \in \N$ s.d. + \item ,,$\implies$``: Sei $\epsilon > 0$. Dann $\exists N \in \N$ s.d. $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{2}$ $\forall x \in [a,b]$ und $\forall n \ge N$. Damit folgt: \[ \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = \Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \implies \Vert f_n - f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0 .\] - ,,$\impliedby$'': Sei $\epsilon > 0$. Wegen + ,,$\impliedby$``: Sei $\epsilon > 0$. Wegen $\Vert f_n -f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0$ $\exists N \in \N$ s.d. $\Vert f_n - f \Vert_\infty < \epsilon$ $\forall n \ge N$. Damit folgt $\forall n \ge N$ und $\forall x \in [a,b]$ @@ -219,7 +219,7 @@ |f_n(x) - f(x)| \le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = \Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \epsilon \implies \text{gleichmäßige Konvergenz} .\] - \item ,,$\implies$'' $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. + \item ,,$\implies$`` $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. $\exists f: [a,b] \to \R$ s.d. $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f$. Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$ s.d. $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{4}$ @@ -234,7 +234,7 @@ \le \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \quad \forall n, m \ge N_0 .\end{align*} - ,,$\impliedby$'': Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$, s.d. + ,,$\impliedby$``: Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$, s.d. \[ |f_n(x) - f_m(x)| \le \Vert f_n - f_m \Vert_\infty < \frac{\epsilon}{2} \quad \forall n,m \ge N_0 \quad \forall x \in [a,b] diff --git a/ana2.tex b/ana2.tex index 866edc0..bbd124c 100644 --- a/ana2.tex +++ b/ana2.tex @@ -57,7 +57,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis! \begin{definition} Wir definieren \[ - (f, g) := \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} \d x \qquad (\text{,,Sesquilinearform''}) + (f, g) := \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} \d x \qquad (\text{,,Sesquilinearform``}) .\] Dies ist wohldefiniert da für $f, g \in R[a,b]$ das Produkt $f(x) \cdot \overline{g(x)} \in R[a,b]$ ist. \end{definition} diff --git a/analysisII.pdf b/analysisII.pdf index 5d28e23..6949ead 100644 Binary files a/analysisII.pdf and b/analysisII.pdf differ