From 44f886e2280b791a94bbf3faa2e67dfc1d0e5f65 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: salagne Date: Fri, 8 May 2020 19:10:25 +0200 Subject: [PATCH] minor changes --- ana5.tex | 36 ++++++++++++++++++------------------ 1 file changed, 18 insertions(+), 18 deletions(-) diff --git a/ana5.tex b/ana5.tex index 5cfc6bb..ef1813c 100644 --- a/ana5.tex +++ b/ana5.tex @@ -14,23 +14,23 @@ \begin{proof} \begin{itemize} - \item ,,$\implies$'': Sei $A$ abgeschlossen und $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$ + \item \glqq$\implies$\grqq: Sei $A$ abgeschlossen und $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$ konvergente Folge in $A$ mit \[ \lim_{k \to \infty} x^{(k)} = x .\] Ang.: $x \not\in A$, d.h. $x \in A^{C}$. Da $A^{C}$ offen, folgt, es ex. - ein $\epsilon > 0$, s.d. $K_{\epsilon}(x) \subset A^{C}$. + ein $\varepsilon > 0$, s.d. $K_{\varepsilon}(x) \subset A^{C}$. Mit $x = \displaystyle \lim_{k \to \infty} x^{(k)}$ folgt, dass fast alle - Folgenelemente $x^{(k)}$ in $K_{\epsilon}(x) \subset A^{C}$ liegen. + Folgenelemente $x^{(k)}$ in $K_{\varepsilon}(x) \subset A^{C}$ liegen. Widerspruch zu: $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subset A $. Damit folgt $x \in A$. - \item ,,$\impliedby$'': Sei $A \subset \mathbb{K}^{n}$ s.d. alle konvergenten + \item \glqq$\impliedby$\grqq: Sei $A \subset \mathbb{K}^{n}$ s.d. alle konvergenten Folgen in $A$ einen Grenzwert in $A$ haben. - Zu zeigen: $A^{C}$ offen. Sei $x \in A^{C}$ beliebig. Dann g.z.z.: $\exists \epsilon > 0$ - s.d. $K_{\epsilon}(x) \subset A^{C}$. + Zu zeigen: $A^{C}$ offen. Sei $x \in A^{C}$ beliebig. Dann g.z.z.: $\exists \varepsilon > 0$ + s.d. $K_{\varepsilon}(x) \subset A^{C}$. Ang.: $A^{C}$ nicht offen. Dann ex. $\forall k \in \N$ ein Punkt $x^{(k)}$ mit $x^{(k)} \in A \cap K_{\frac{1}{k}}(x)$. Dann ist $x^{(k)} \in A$ @@ -71,7 +71,7 @@ \begin{align*} \partial K_1(0) &= \partial \{x \in \R^{n} \mid \Vert x \Vert < 1\} \\ &= \;\; \{ x \in \R^{n} \mid \Vert x \Vert = 1 \} \\ - & \quad \quad \text{,,Einheitssphäre''} + & \quad \quad \text{\grqq Einheitssphäre\glqq} .\end{align*} \item $\Q \subset \R$, $\partial \Q = \R$, weil in jeder Umgebung eines Punktes in $\Q$, gibt es rationale und irrationale Zahlen. Der Rand von $\R$ ist leer. @@ -103,19 +103,19 @@ \begin{enumerate}[(i)] \item Z.z.: $M \setminus \partial M$ offen. - Sei $x \in M \setminus \partial M$ beliebig, dann ex. $\epsilon > 0$, s.d. - $K_{\epsilon}(x) \subset M$ $(\implies K_{\epsilon}(x) \cap M^{C} = \emptyset)$, sonst + Sei $x \in M \setminus \partial M$ beliebig, dann ex. $\varepsilon > 0$, s.d. + $K_{\varepsilon}(x) \subset M$ $(\implies K_{\varepsilon}(x) \cap M^{C} = \emptyset)$, sonst wäre $x \in \partial M$. - Für dieses $\epsilon$ gilt auch - $K_{\epsilon}(x) \cap \partial M = \emptyset$, denn - falls $z \in K_{\epsilon}(x) \cap \partial M$ existiert, dann ist - $K_{\epsilon}(x)$ Umgebung von $z$ und folglich - $K_{\epsilon}(x) \cap M^{C} \neq \emptyset$. + Für dieses $\varepsilon$ gilt auch + $K_{\varepsilon}(x) \cap \partial M = \emptyset$, denn + falls $z \in K_{\varepsilon}(x) \cap \partial M$ existiert, dann ist + $K_{\varepsilon}(x)$ Umgebung von $z$ und folglich + $K_{\varepsilon}(x) \cap M^{C} \neq \emptyset$. Damit folgt: \[ - K_{\epsilon}(x) \subset M \setminus \partial M \implies M \setminus \partial M \text{ offen} + K_{\varepsilon}(x) \subset M \setminus \partial M \implies M \setminus \partial M \text{ offen} .\] Sei $U \subset M$ offen, dann ist analog $U \cap \partial M = \emptyset$. Damit gilt @@ -236,7 +236,7 @@ Also existiert eine Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$ mit $x^{(k_j)} \xrightarrow{k \to \infty} x \in M$ \item (ii) $\implies$ (iii): Sei $M$ beschränkt und abgeschlossen und sei - $\{U_i, \in I\} $ eine offene Überdeckung von $M$. + $\{U_i, i \in I\} $ eine offene Überdeckung von $M$. Zu zeigen: Es existiert eine endliche Überdeckung von $M$. @@ -250,7 +250,7 @@ \item Kantenlänge von $Q_m = 2^{-m}$ Kantenlänge von $Q_0$. \end{enumerate} Sei $Q$ beschränkter abgeschlossener Würfel in $\mathbb{K}^{n}$ mit - Kantenlänge $L$, s.d. $M \subset \Q$. + Kantenlänge $L$, s.d. $M \subset Q$. \begin{figure}[h!] \begin{tikzpicture}[scale=0.2] \draw (0,0) -- (0,10) -- (10,10) -- (10,0) -- (0,0); @@ -268,7 +268,7 @@ .\] Länge $(I_k)$ = Kantenlänge $(Q_m)$ $\forall k$ = $2^{-m} L$ Wir zerlegen jedes $I_i$ in 2 abgeschlossene Intervalle mit halber Länge - $I_i^{(1)}$ und $I_i(^{2)}$ und setzen für $(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}$ + $I_i^{(1)}$ und $I_i^{(2)}$ und setzen für $(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}$ \[ Q_m^{s_1, \ldots, s_n} := I_1^{(s_1)} \times \ldots \times I_n^{(s_n)} .\] Wir erhalten $2^{n}$ Würfel mit