ana7 done, fixed all bad breaks and overfull boxes

ana4.tex

@@ -86,19 +86,18 @@
 		&\left| x_{i}^{(k)} - x_{i} \right| \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0, i = 1,...,n.
 	\end{align*}
 	Das heißt $\lim_{n \to \infty} x_{i}^{(k)} = x_{i}$ (komponentenweise Konvergenz in $\R$ oder $\C$)
-\end{bem}
-
+\end{bem}\vspace*{-3mm}
 \begin{satz}[Satz von Cauchy und Satz von Bolzano-Weierstraß]
-    \label{satz:bolzano}
+    \label{satz:bolzano}\ \vspace*{-3mm}
 	\begin{enumerate}[1)]
-		\item 	Jede Cauchy-Folge in $K^{n}$ konvergiert, d.h. der normierte Raum $(K^{n}, \norm{\cdot}_{\infty})$ ist vollständig. Ein vollständiger normierter Raum wird Banach-Raum genannt.
+		\item 	Jede Cauchy-Folge in $K^{n}$ konvergiert, d.h. der normierte Raum $(K^{n}, \norm{\cdot}_{\infty})$ ist vollständig. Ein vollständiger normierter Raum wird Banach-Raum genannt. \vspace*{-2mm}
 		\item 	Jede beschränkte Folge in $K^{n}$ besitzt eine konvergente Teilfolge.
-	\end{enumerate}
+	\end{enumerate}\vspace*{-3mm}
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
 	\begin{enumerate}[1)]
-		\item 	Sei $(x^{(k)})_{k \in \N}$ eine Cauchy-Folge, d.h. $\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon}, \forall k,l \geq N_{\varepsilon}$ gilt $\norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon$.
+		\item 	Sei $(x^{(k)})_{k \in \N}$ eine Cauchy-Folge, d.h. $\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon}, \forall k,l \geq N_{\varepsilon}:\norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon$.
 	Betrachte Komponentenfolge $(x_{i}^{(k)})_{k \in \N}, i = 1,...,n$. Die Komponentenfolgen sind Cauchy-Folgen, weil $$\left| x_{i}^{(k)} - x_{i}^{(l)} \right| \leq \norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon, \forall k,l \geq N_{\varepsilon}, \forall i = 1,...,n.$$ 
 	$\implies \lim_{k \to \infty} x_{i}^{(k)} \eqqcolon x_{i} \implies x^{(k)} \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} x = \icol{x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}}$ in $\ell_{\infty}$ Norm.
 		\item 	Sei $(x^{(k)})_{k \in \N}$ beschränkt $\implies$ $(x_{i}^{(k)})_{k \in \N}, \forall i = 1,...,n$ auch beschränkt \\
@@ -202,7 +201,7 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 	\end{enumerate}
 \end{bsp}
 
-\begin{satz}[Eigenschaften abgeschlossener Mengen]
+\begin{satz}[Eigenschaften abgeschlossener Mengen]\ 
 	\begin{enumerate}[(1)]
 		\item 	Sind $V, U$ ($V,U \subset \K^{n}$) abgeschlossen, dann ist $U \cup V \subset \K^{n}$ auch abgeschlossen.
 		\item 	Sind $U_{i}, (i \in I)$ abgeschlossene Mengen in $\K^{n}$. Dann ist $\underset{i \in I}{\bigcap} U_{i}$ auch abgeschlossen.