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\documentclass{lecture} |
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\begin{document} |
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\newcommand{\K}{\mathbb{K}} |
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\section{Lineare Abbildungen auf dem \texorpdfstring{$K^{n}$}{K\unichar{"207F}}} |
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\begin{definition}[Lineare Abbildung] |
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Eine lineare Abbildung $\varphi: \K^n \to \K^m$ heißt linear, falls $\forall \alpha. \beta \in \K$ gilt $$\varphi (\alpha x + \beta y) = \alpha \varphi(x) + \beta \varphi(y)\qquad\forall x,y \in \K^n$$ |
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\end{definition} |
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\begin{bem} |
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Eine lineare Abbildung läßt sich als Matrix darstellen. Betrachte $x\in \K^n$ und euklidische /kartesische Basis $e^{(i)},\; i = 1,\dots n$. Dann $\exists !$ Darstellung von $x$ bezüglich der Basis |
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$$x = \sum_{i = 1}^{n}x_i\cdot e^{(i)}.$$ |
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Die Koeffizienten $x_i, i = 1, \dots n$ sind Koordinaten. Wir definieren Koordinatenvektor $\hat x = \begin{pmatrix} |
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x_1\\\vdots\\x_n |
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\end{pmatrix}$. Dann ist $$\varphi(x) = \varphi\left(\sum_{i = 1}^{n}x_i\cdot e^{(i)}\right) = \sum_{i = 1}^{n}x_i \cdot \varphi\left(e^{(i)}\right).$$ |
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$\varphi(x)$ hat auch eine (eindeutige) Darstellung bzgl. Basis in $\K^m$. |
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$$\varphi(x) = \sum_{j = 1}^{m} \underbrace{\varphi_j(x)}_{*} = \sum_{j = 1}^{m}\underbrace{\left(\sum_{i = 1}^{n}x_i\overbrace{\varphi_j\left(e^{(i)}\right)}^{a_{ji}}\right)}_{= \varphi_j(x)} \cdot e^{(j)}$$ |
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\begin{center} |
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(*) Koordinaten von $\varphi_j(x)$ bzgl. Basis $e^{(j)}, j = 1, \dots, m$ |
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\end{center} |
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Dabei sind die $\varphi_j(x)$ Koordinaten und der Koordinatenvektor ist $\hat\varphi(x) = \begin{pmatrix} |
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\varphi_1(x)\\ |
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\dots\\ |
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\varphi_m(x) |
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\end{pmatrix}$. Dann erhalten wir eine Matrix |
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$$\begin{pmatrix} |
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\varphi_1\left(e^{(1)}\right) & \dots & \varphi_1\left(e^{(n)}\right)\\ |
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&\vdots & & \vdots\\ |
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\varphi_m\left(e^{(1)}\right) & \dots & \varphi_m\left(e^{(n)}\right) |
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\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} |
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a_{11} & \dots & a_{1n}\\ |
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\vdots & & \vdots \\ |
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a_{m1} & \dots & a_{mn} |
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\end{pmatrix} = A \in \K ^{m\times n}$$ |
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Für einen Koordinatenvektor bezüglich Basis $e^{(j)}$ gilt $$\varphi(x) = \left(A\hat x\right)_j = \sum_{i = 1}^{n}a_{ij} x_i, \qquad j = 1, \dots, m$$ |
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Die lineare Abbildung $\varphi: \K^n \to \K^m$ lässt sich bezüglich festgelegter Basen von $\K^n$ und $\K^m$ eindeutig durch die Matrix $A\in K^{m\times n}$ beschreiben. |
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$$\hat \varphi(x) = A\hat x, \qquad x\in \K^n$$ |
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Im folgenden wird der Punkt $x$ mit seiner speziellen kartesischen Darstellung $\hat x$ identifiziert. |
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Konvention: $A\in \K^{m\times n}$ |
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\begin{itemize} |
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\item Anzahl an Zeilen $m =$ Dimension des Bildraums $\K^m$ |
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\item Anzahl an Spalten $n =$ Dimension des Urbildraums $\K^n$ |
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\end{itemize} |
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Falls $m =n$ definiert $A\in K^{n\times n}$ eine lineare Abbildung in $\K^n$. |
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\end{bem} |
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\begin{lemma}[Lineare Abbildungen in $\K^n$] |
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Sei $A = (a_{ij})_{i,j}^n \in \K^{n\times n}$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. |
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\begin{enumerate} |
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\item $A$ ist regulär |
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\item $Ax = b$ ist eindeutig lösbar $\forall b\in \K^n$ (Bijektivität der linearen Abbildung) |
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\item $Ax = 0$ hat nur eine Lösung $x = 0$ (Injektivität) |
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\item $Ax = b$ ist $\forall b \in \K^n$ lösbar (Surjektivität) |
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\item Rang$(A) = n$ |
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\item $\det (A) \neq 0$ |
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\item Alle Eigenwerte $\lambda \in \C$ von $A$ sind ungleich Null |
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\item Die (komplex) transponierte Matrix $\overline{A}^T$ ist regulär. |
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\end{enumerate} |
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\end{lemma} |
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Weitere Begriffe und Eigenschaften |
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\begin{itemize} |
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\item $A, A' \in \K^{n\times n}$ sind \textbf{identisch} $(a_{ij} = a_{ij}' \forall i, j) \Leftrightarrow Ax = A'x \forall c \in \K^n$ |
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\item $A, A' \in \K^{n\times n}$ sind \textbf{ähnlich}, wenn $\exists T \in \K^{n\times n}$ regulär, sodass $$A' = T^{-1} AT$$ |
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Übergang $A \to A'$ heißt Ähnlichkeitstransformation und es gilt für $z \in \C$ |
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\begin{align*} |
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\underbrace{\det(A' - z \mathbb{I})}_{\overset{\text{\footnotesize Charakt. Polynom für $A'$}}{\text{\footnotesize Nullstellen $=$ EW von $A'$}}} |
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&= \det\left(T^{-1}AT - z \underbrace{T^{-1}T}_{= \mathbb{I}}\right)\\ |
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&= \det(T^{-1}(A- z \mathbb{I})T)\\ |
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&\stackrel{\det(AB) = \det(A)\det(B)}{=}\qquad \qquad \det(T^{-1}) \det(A - z \mathbb{I})\det(T)\\ |
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&\stackrel{\det(T^{-1}\det(T) = 1 = \det(\mathbb{I}))}{=} \qquad \qquad \underbrace{\det(A - z \mathbb{I})}_{\mathclap{\text{char. Pol. von $A$}}} |
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\end{align*} |
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Ähnliche Matrizen haben also die gleichen Eigenwerte, aber im Allgemeinen unterschiedliche Eigenvektoren. |
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\item $n \times n$ Matrizen $A\in \K^{m\times n}$ bilden einen Vektorraum. |
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\begin{itemize} |
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\item \textbf{Konvergenz} von Folgen von Matrizen ist komponentenweise Konvergenz |
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$$A^{(k)} \to A, k \to \infty \Leftrightarrow a_{ij}^{(k)} \overset{k \to \infty}{\to} a_{ij} \forall i = 1, \dots, m, \forall j = 1, \dots n$$ |
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\end{itemize} |
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\item Sei $\Vert \cdot \Vert$ eine beliebige Norm auf $\K^n$. Dann |
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$$\norm{A} \coloneqq \sup\limits_{x \in \K^n\setminus \{0\}} \frac{\norm{Ax}}{\norm{x}} = \sup\limits_{x\in \K ^n} \norm{Ax}\; \text{für}\; \norm{x} = 1$$ ist die von $\norm{\cdot}$ in $\K^n$ erzeugte natürliche \textbf{Matrixnorm} |
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\begin{itemize} |
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\item Für natürliche Matrixnorm gilt notwendig $\norm{\mathbb{I}} = 1$ |
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\item Natürliche Matrixnorm ist \underline{verträglich} mit $\norm{\cdot}$, d.h. für $A\in K^{n\times n}$ ist $\norm{Ax} \leq \norm{A}\cdot \norm{x}, x\in \K^n$ |
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\item und \underline{submultiplikativ}, d.h. |
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$\norm{AB} \leq \norm{A}\norm{B}$ für $A, B \in \K^{n\times n}$ |
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\end{itemize} |
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\end{itemize} |
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\begin{bsp} |
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$\norm{A}_F = \left(\sum_{j, k = 1}^{n}|a_{jk}|^2 \right)^{\frac{1}{2}}$ heißt \textbf{Frobenius}-Norm. Sie ist verträglich mit $\norm{\cdot}_2$ in $\K^n$ und submultiplikativ, aber keine natürliche Matrixnorm, weil $\norm{\mathbb{I}}_F = \sqrt{n} \neq 1$ für $n \geq 2$. |
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\end{bsp} |
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\begin{lemma}[Natürliche Matrixnormen] |
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Die natürliche Matrixnormen zu $\norm{\cdot}_\infty$ ($l_\infty$ / Maximumnorm) und $\norm{\cdot}_1$ ($l_1$-Norm) in $\K^n$ sind |
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$$\norm{A}_\infty \coloneqq \max\limits_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}|\qquad \text{Maximale Zeilen-Summen-Norm}$$ |
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$$\norm{A}_\infty \coloneqq \max\limits_{1 \leq j \leq n} \sum_{i = 1}^{n}|a_{ij}|\qquad \text{Maximale Spalten-Summen-Norm}$$ |
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\end{lemma} |
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\begin{proof} |
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\begin{enumerate} |
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\item Matrixnorm $\norm{\cdot}_\infty$ ist eine Norm (d.h. erfüllt Normeigenschaften (N1), (N2) und (N3)) |
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\item Z.z. Verträglichkeit |
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$$\norm{Ax}_\infty\! = \max\limits_{1 \leq i \leq n} \left| \sum_{j = 1}^{n}a_{ij}x_j\right| \leq \max\limits_{1 \leq i \leq n}\left(\sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}| \cdot |x_j|\right)\! \leq \norm{x}_\infty \cdot \max_{1\leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} |a_{ij}| = \norm{x}_\infty \cdot \norm{A}_\infty$$ |
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$\implies$ Verträglichkeit mit $\norm{\cdot}_\infty$ |
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\item Z.Z. $\norm{A}_\infty = \sup\limits_{\norm{x}_\infty = 1} \norm{Ax}_\infty$ |
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$$\norm{Ax}_\infty = 0 \implies A = 0\implies \norm{A}_\infty = 0 = \sup\limits_{\norm{x}_\infty = 1} \norm{Ax}_\infty$$ |
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Sei $A \neq 0$, dann $\norm{A}_\infty > 0$ (Definitheit von Normen). Sei $$\norm{A}_\infty = \max\limits_{1\leq i\leq n} \sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}| = \sum_{j = 1}^{n}|a_{mj}|\text{ für ein }m\in \{1, \dots, n\}.$$ Setze $z_j = \frac{|a_{mj}|}{a_{mj}}$, falls $a_{mj} \neq 0$ und sonst $z_j = 0$. ($z_j = \operatorname{sign}(a_{mj})$). Für $z = \begin{pmatrix} |
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z_1 \\ \vdots \\ z_n |
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\end{pmatrix}$ gilt dann $\norm{z}_\infty = 1$ und $$(Az)_m = \sum_{j = 1}^{n}a_{mj}z_j = \sum_{j = 1}^{n}|a_{mj}| = \norm{A}_\infty.$$ Es folgt |
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$$\norm{A}_\infty = (Az)_m \leq \norm{Az}_\infty \leq \sup\limits_{\norm{y}_\infty = 1} \norm{Ay}_\infty \leq \sup\limits_{\norm{y}_\infty = 1} \norm{A}_\infty \cdot \underbrace{\norm{y}_\infty}_{=1} = \norm{A}_\infty$$ |
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$$\implies \norm{A}_\infty = \sup\limits_{\norm{y}_\infty = 1} \norm{Ay}_\infty$$ |
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\end{enumerate} |
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Beweis für $l_1$ analog. |
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\end{proof} |
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\begin{definition} |
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\begin{enumerate} |
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\item Eigenwerte $\lambda \in \K$ einer Matrix $A\in \K^{n\times n} = $ Nullstellen des charakteristischen Polynoms |
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$$p(\lambda) = \det(A - \lambda \mathbb{I})$$ |
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\item $\sigma(A) = \{\lambda |\lambda\text{ Eigenwert von } A\}$ heißt \textbf{Spektrum} von $A$. |
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\item $\forall \lambda \in \sigma(A) \exists \text{Eigenvektor } w\in \K^n\setminus\{0\}:$ |
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$$A w = \lambda w$$ |
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Die Eigenvektoren zu $\lambda$ bilden einen Vektorraum, den \textbf{Eigenraum} zu $\lambda$ mit Dimension = \textbf{geometrische Vielfachheit} von $\lambda$. |
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\item Abschätzung der Eigenwerte: Sei $\lambda \in \sigma(A)$ und $w$ ein Eigenvektor zu $\lambda$ mit $\norm{w} = 1$. |
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Dann $|\lambda| = |lambda| \cdot \norm{w} = \norm{\lambda w} = \norm{Aw} \underset{\text{Verträglichkeit}}{\leq} \norm{A}\cdot \norm{w} = \norm{A} \implies |\lambda| \leq \norm{A}$ |
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\item $A$ heißt \textbf{hermitesch}, falls gilt |
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$$A = \overline{A}^T\quad (a_{ij} = \overline{a_{ji}})$$ |
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Reelle hermitesche Matrizen heißen \textbf{symmetrisch}. Für das Skalarproukt gilt |
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$$A = \overline{A}^T \Leftrightarrow (Ax, y)_2 = (x, Ay)_2 \forall x, y \in \K^n$$ |
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Hermitesche Matrizen sind diagonalisierbar = ähnlich zu einer Diagonalmatrix, alle Eigenwerte einer hermiteschen Matrix sind reell. $\exists$ eine orthonormale Basis aus Eigenvektoren. |
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\item $A\in \K^{n\times n}$ heißt \textbf{positiv definit}, wenn gilt $(Ax, x)_2 \in \R$, $(Ax, x)_2 > 0\forall x \in \K^n\setminus\{0\}$. Eine hermitesche Matrix ist positiv definit $\Leftrightarrow$ alle Eigenwerte sind positiv. |
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\item $\norm{\cdot}_2$ ($l_2$-Norm) im $\K^n$ erzeugt eine natürliche \textbf{Matrixnorm(Spektralnorm)} $\norm{\cdot}_2$ |
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\end{enumerate} |
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\end{definition} |
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\begin{lemma}[Spektralnorm] |
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Sei $A \in \K^{n\times n}$. Dann ist $\overline{A}^TA \in \K^{n\times n}$ hermitesch und positiv semidefinit. Für die Spektralnorm gilt |
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$$\norm{A}_2 = \max \{\sqrt{|\lambda|}, \lambda \in \sigma(\overline{A}^TA)\}$$ |
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Sei $A$ hermitesch, bzw. symmetrisch, dann gilt $\norm{A}_2 = \max\{\sqrt{|\lambda|}, \lambda\in \sigma(A)\}$ |
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\end{lemma} |
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\begin{proof} |
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später |
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\end{proof} |
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\begin{definition}[orthonormale/unitäre Matrizen] |
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Eine Matrix $Q\in \K^{m\times n}$ heißt \textbf{orthonormal}, wenn ihre Spaltenvektoren ein Orthonormalsystem im $\K^m$ bilden, d.h. |
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$$Q = (q_1, \dots, q_n)\qquad q_j \in \K^m$$ |
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$$(q_i, q_j)_2 = \sum_{k = 1}^{m} q_{ik}\cdot \overline{q_{kj}} = \begin{cases} |
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1, &i =j\\ |
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0, &\text{sonst} |
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\end{cases}$$ |
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Falls $m =n$ heißt $Q$ unitär. |
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\end{definition} |
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\begin{lemma} |
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Sei $Q\in \K^{n\times n}$ unitär. Dann ist $Q$ regulär, $Q^{-1} = \overline{Q}^T$ und $(Qx, Qy)_2 = (x,y)_2,\; x,y\in \K^n$ |
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$$\norm{Qx}_2 = \norm{x}_2, \; x\in \K^n$$ |
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d.h. euklidisches Skalarproukt und euklidische Norm sind invariant unter unitären Transformationen und folglich $\norm{Q}_2 = \norm{Q^{-1}}_2 = 1$ |
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\end{lemma} |
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\begin{proof} |
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\begin{enumerate} |
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\item Z.Z. $Q^{-1} = \overline{Q}^T$\\ |
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Sei $Q = (q_1, \dots, q_n), \overline{Q}^T = \begin{pmatrix} |
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\overline{q}_1^T\\ |
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\dots\\ |
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\overline{q}_n^T |
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\end{pmatrix}$. Dann gilt |
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$$\overline{Q}^T \cdot Q = \begin{pmatrix} |
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\overline{q}_1^T \cdot q_1 & \dots & \overline{q}_1^T \cdot q_n\\ |
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\vdots & & \vdots\\ |
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\overline{q}_n^T \cdot q_1 & \dots & \overline{q}_n^T \cdot q_n |
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\end{pmatrix} \overset{Q \text{ unitär}}{=} \begin{pmatrix} |
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1 & & 0\\ |
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& \ddots & \\ |
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0 & & 1 |
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\end{pmatrix}$$ |
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\item \begin{align*} |
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(Qx, Qy)_2 &= (x, \overline{Q}^TQ y)_2 = (x,y)_2\\ |
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\norm{Qx}_2^2 &= (Qx, Qx)_2 = (x,x)_2 = \norm{x}_2^2\\ |
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\norm{Q}_2 &= \sup\limits_{\norm{x_2} =1} \norm{Qx}_2 = \sup\limits_{\norm{x_2} =1} \norm{x}_2 = 1\\ |
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\norm{Q^{-1}}_2 &= \sup\limits_{\norm{x_2} =1} \norm{Q^{-1}x}_2 = \sup\limits_{\norm{x_2} =1} \norm{QQ^{-1}x}_2 = \sup\limits_{\norm{x_2} =1} \norm{x}_2 = 1 |
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\end{align*} |
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\end{enumerate} |
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\end{proof} |
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\end{document} |
