Merge branch 'master' of https://git.flavigny.de/christian/ana-lecture

ana8.tex

@@ -15,20 +15,17 @@
 
 \begin{proof}
     Sei $x \in \mathbb{K}^{n}$. Dann ist
-    \begin{salign}
+    \begin{salign*}
         \Vert (\mathbb{I} + B) x \Vert 
         &=  \Vert x + B x\Vert \\
         &\stackrel{\text{Dreiecksungl.}}{\ge }  \Vert x \Vert - \Vert Bx \Vert \\
         &\stackrel{\Vert Bx \Vert \le \Vert B \Vert \Vert x \Vert}{\ge } 
          \Vert x \Vert - \Vert B \Vert \cdot \Vert x \Vert \\
         &=  ( \underbrace{1  - \Vert B \Vert}_{> 0}) \Vert x \Vert
-    .\end{salign}
-    Also hat die Gleichung $(\mathbb{I} + B) x = 0$ nur die Lösung $x = 0$, also
-    ist $(\mathbb{I} + B)$ injektiv und mit \ref{lemma:linabb} regulär.
-
-    Bleibt zu zeigen: $\Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \le \frac{1}{1 - \Vert B \Vert}$.
-    Es gilt
-    \begin{salign}
+        \intertext{Also hat die Gleichung $(\mathbb{I} + B) x = 0$ nur die Lösung $x = 0$, also
+            ist $(\mathbb{I} + B)$ injektiv und mit \ref{lemma:linabb} regulär.
+            Bleibt zu zeigen: $\Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \le \frac{1}{1 - \Vert B \Vert}$.
+            Es gilt}
         1 &=  \Vert \mathbb{I}\Vert \\
         &=  \Vert (\mathbb{I} + B) (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
         &=  \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} + B (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
@@ -36,7 +33,7 @@
         - \Vert B (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
         &\ge  \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert - \Vert B \Vert \cdot \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
         &=  (1 - \Vert B \Vert) \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert
-    .\end{salign}
+    .\end{salign*}
     Damit folgt die Behauptung.
 \end{proof}