diff --git a/ana4.pdf b/ana4.pdf index f5bf0c4..bc642c0 100644 Binary files a/ana4.pdf and b/ana4.pdf differ diff --git a/ana4.tex b/ana4.tex index a3159c8..688d6a2 100644 --- a/ana4.tex +++ b/ana4.tex @@ -17,7 +17,7 @@ \begin{definition} Sei $X$ irgendeine Menge. \\ - Eine Metrik auf $X$ ist eine Abbildung $d: X \times X \to \R, \ (x,y) \to d(x,y)$ mit folgenden Eigenschaften: + Eine Metrik auf $X$ ist eine Abbildung $d: X \times X \to \R, \ (x,y) \mapsto d(x,y)$ mit folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate}[M1] \item (Definitheit) $d(x,y) \geq 0$, $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$ @@ -69,10 +69,10 @@ \end{bsp} \begin{definition} - Eine Folge $(x^{(k)})_{k \in \N}, x^{(k)} \in \K$, heißt + Eine Folge $(x^{(k)})_{k \in \N}, x^{(k)} \in \K^n$, heißt \begin{enumerate}[i)] \item beschränkt, falls $\forall k\in \N:\; x^{(k)} \in K_{R}(0)$, $K_{R}(0)$ eine Kugelumgebung von $0$ mit Radius $R$. - $$K_{r}(0) \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{x-a}_{\infty} < r\}.$$ + $$K_{r}(a) \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{x-a}_{\infty} < r\}.$$ \item Cauchy-Folge, wenn $\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon} \in \N$ sodass $\forall k,l \geq N_{\varepsilon}$ gilt: $\norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon$. \item konvergent gegen ein $x \in \K^{n}$, wenn $\norm{x^{(k)} - x}_{\infty} \to 0$ für $k \to \infty$. \\ geometrisch: jede Kugelumgebung $K_{\varepsilon}(x)$ enthält fast alle Folgenelemente $x^{(k)}$ (d.h. alle bis auf endlich viele). @@ -107,8 +107,8 @@ \end{enumerate} \end{proof} -\begin{satz} - (Äquivalenz von Normen) Sei $\K^{n}$ ein endlichdimensionaler Vektorraum. Dann sind alle Normen äquivalent zur Maximumsnorm $(\ell_{\infty})$, d.h. zu jeder Norm $\norm{\cdot}, \exists m,M >0$ sodass $$m \norm{x}_{\infty} \leq \norm{x} \leq M \norm{x}_{\infty}, \ \ \ \ x \in \K^{n}.$$ +\begin{satz}[Äquivalenz von Normen] + Sei $\K^{n}$ ein endlichdimensionaler Vektorraum. Dann sind alle Normen äquivalent zur Maximumsnorm $(\ell_{\infty})$, d.h. zu jeder Norm $\norm{\cdot}, \exists m,M >0$ sodass $$m \norm{x}_{\infty} \leq \norm{x} \leq M \norm{x}_{\infty}, \ \ \ \ x \in \K^{n}.$$ \end{satz} \begin{proof} @@ -146,23 +146,23 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm. -\begin{definition} - ($\varepsilon$-Kugel, $\varepsilon$-Umgebung) Sei $a \in \K^{n}, r>0$. +\begin{definition}[$\varepsilon$-Kugel, $\varepsilon$-Umgebung] + Sei $a \in \K^{n}, r>0$. \begin{enumerate}[(1)] \item Dann heißt $K_{r}(a) \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{a-x} < r \}$ die offene Kugel um $a$ mit Radius $r$ bzgl. $\norm{\cdot}$. \item $U \subset K^{n}$ heißt Umgebung von $a \in \K^{n}$, falls $\exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(a) \subseteq U$. Insbesondere ist $K_{\varepsilon}(a)$ selbst eine Umgebung von $a$, eine sogenannte $\varepsilon$-Umgebung von $a$. \end{enumerate} \end{definition} -\begin{definition} - (offene Menge) Eine Menge $O \in \K^{n}$ heißt offen, falls $O$ eine Umgebung jedes Punktes aus $O$ ($ x \in O$) ist, das heißt $\forall x \in O, \exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(x) \subseteq O$. +\begin{definition}[offene Menge] + Eine Menge $O \in \K^{n}$ heißt offen, falls $O$ eine Umgebung jedes Punktes aus $O$ ($ x \in O$) ist, das heißt $\forall x \in O, \exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(x) \subseteq O$. \end{definition} \begin{bsp} \begin{enumerate}[(1)] \item $]a,b[ \subseteq \R$ ist offen ($a 0$, da $a 0$. + \item (Beobachtung) Durchschnitt von unendlich vielen offenen Mengen braucht nicht offen zu sein. Z.B. $$ \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} \left]-\frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}\right[ = [0,1]$$ ist nicht offen, da $K_{\varepsilon}(0) \not\subset [0,1], \forall \varepsilon > 0$. \end{enumerate} \end{korrolar} @@ -194,10 +194,10 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm. \begin{bsp} \begin{enumerate}[(1)] - \item Für $a,b \in \R, a \leq b$ ist $[a,b]$ abgeschlossen, denn $]-\infty,a[ \cup ]b, \infty[ = \R \setminus [a,b]$ ist offen, denn: + \item Für $a,b \in \R, a \leq b$ ist $[a,b]$ abgeschlossen, denn $]-\infty,a[ \ \cup \ ]b, \infty[ \ = \R \setminus [a,b]$ ist offen, denn: \begin{align*} ]-\infty, a[ & = \underset{n \in \N}{\bigcup} ]a-n,a[ \ \ \text{ist offen} & - ]b, \infty[ = \underset{n \in \N}{\bigcup} ]b, b + n[ \ \ \text{ist offen}. + ]b, \infty[ & = \underset{n \in \N}{\bigcup} ]b, b + n[ \ \ \text{ist offen}. \end{align*} \end{enumerate} \end{bsp} @@ -205,7 +205,7 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm. \begin{satz}[Eigenschaften abgeschlossener Mengen] \begin{enumerate}[(1)] \item Sind $V, U$ ($V,U \subset \K^{n}$) abgeschlossen, dann ist $U \cup V \subset \K^{n}$ auch abgeschlossen. - \item Sind $U_{i}, (i \in I)$ abgeschlossene Menge in $\K^{n}$. Dann ist $\underset{i \in I}{\bigcap} U_{i}$ auch abgeschlossen. + \item Sind $U_{i}, (i \in I)$ abgeschlossene Mengen in $\K^{n}$. Dann ist $\underset{i \in I}{\bigcap} U_{i}$ auch abgeschlossen. \end{enumerate} \end{satz} @@ -218,7 +218,7 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm. \begin{bsp} \begin{enumerate}[(1)] - \item Beliebige Vereinigung abgeschlossener Mengen muss nicht abgeschlossen sein. Z.B. $]0,1[ = \underset{n \in \N}{\bigcup} \underbrace{[\frac{1}{n}, 1- \frac{1}{n}]}_{\text{abgeschlossen}}$ ist offen. + \item Beliebige Vereinigung abgeschlossener Mengen muss nicht abgeschlossen sein. Z.B. $]0,1[ \ = \underset{n \in \N}{\bigcup} \underbrace{\left[\frac{1}{n}, 1- \frac{1}{n}\right]}_{\text{abgeschlossen}}$ ist offen. \item $\emptyset$ und $K^{n}$ sind abgeschlossen. \item $A_{1} \subset \R^{n_{1}}$ und $A_{2} \subset \R^{n_{2}}$ abgeschlossen, dann ist auch $A_{1} \times A_{2} \subset \R^{n_{1}} \times \R^{n_{2}} = \R^{n_{1} + n_{2}}$ abgeschlossen. \item Für $a 0$, s.d. $K_{\epsilon}(x) \subset A^{C}$. + ein $\varepsilon > 0$, s.d. $K_{\varepsilon}(x) \subset A^{C}$. Mit $x = \displaystyle \lim_{k \to \infty} x^{(k)}$ folgt, dass fast alle - Folgenelemente $x^{(k)}$ in $K_{\epsilon}(x) \subset A^{C}$ liegen. + Folgenelemente $x^{(k)}$ in $K_{\varepsilon}(x) \subset A^{C}$ liegen. Widerspruch zu: $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subset A $. Damit folgt $x \in A$. - \item ,,$\impliedby$'': Sei $A \subset \mathbb{K}^{n}$ s.d. alle konvergenten + \item \glqq$\impliedby$\grqq: Sei $A \subset \mathbb{K}^{n}$ s.d. alle konvergenten Folgen in $A$ einen Grenzwert in $A$ haben. - Zu zeigen: $A^{C}$ offen. Sei $x \in A^{C}$ beliebig. Dann g.z.z.: $\exists \epsilon > 0$ - s.d. $K_{\epsilon}(x) \subset A^{C}$. + Zu zeigen: $A^{C}$ offen. Sei $x \in A^{C}$ beliebig. Dann g.z.z.: $\exists \varepsilon > 0$ + s.d. $K_{\varepsilon}(x) \subset A^{C}$. Ang.: $A^{C}$ nicht offen. Dann ex. $\forall k \in \N$ ein Punkt $x^{(k)}$ mit $x^{(k)} \in A \cap K_{\frac{1}{k}}(x)$. Dann ist $x^{(k)} \in A$ @@ -71,7 +71,7 @@ \begin{align*} \partial K_1(0) &= \partial \{x \in \R^{n} \mid \Vert x \Vert < 1\} \\ &= \;\; \{ x \in \R^{n} \mid \Vert x \Vert = 1 \} \\ - & \quad \quad \text{,,Einheitssphäre''} + & \quad \quad \text{\grqq Einheitssphäre\glqq} .\end{align*} \item $\Q \subset \R$, $\partial \Q = \R$, weil in jeder Umgebung eines Punktes in $\Q$, gibt es rationale und irrationale Zahlen. Der Rand von $\R$ ist leer. @@ -103,19 +103,19 @@ \begin{enumerate}[(i)] \item Z.z.: $M \setminus \partial M$ offen. - Sei $x \in M \setminus \partial M$ beliebig, dann ex. $\epsilon > 0$, s.d. - $K_{\epsilon}(x) \subset M$ $(\implies K_{\epsilon}(x) \cap M^{C} = \emptyset)$, sonst + Sei $x \in M \setminus \partial M$ beliebig, dann ex. $\varepsilon > 0$, s.d. + $K_{\varepsilon}(x) \subset M$ $(\implies K_{\varepsilon}(x) \cap M^{C} = \emptyset)$, sonst wäre $x \in \partial M$. - Für dieses $\epsilon$ gilt auch - $K_{\epsilon}(x) \cap \partial M = \emptyset$, denn - falls $z \in K_{\epsilon}(x) \cap \partial M$ existiert, dann ist - $K_{\epsilon}(x)$ Umgebung von $z$ und folglich - $K_{\epsilon}(x) \cap M^{C} \neq \emptyset$. + Für dieses $\varepsilon$ gilt auch + $K_{\varepsilon}(x) \cap \partial M = \emptyset$, denn + falls $z \in K_{\varepsilon}(x) \cap \partial M$ existiert, dann ist + $K_{\varepsilon}(x)$ Umgebung von $z$ und folglich + $K_{\varepsilon}(x) \cap M^{C} \neq \emptyset$. Damit folgt: \[ - K_{\epsilon}(x) \subset M \setminus \partial M \implies M \setminus \partial M \text{ offen} + K_{\varepsilon}(x) \subset M \setminus \partial M \implies M \setminus \partial M \text{ offen} .\] Sei $U \subset M$ offen, dann ist analog $U \cap \partial M = \emptyset$. Damit gilt @@ -236,7 +236,7 @@ Also existiert eine Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$ mit $x^{(k_j)} \xrightarrow{k \to \infty} x \in M$ \item (ii) $\implies$ (iii): Sei $M$ beschränkt und abgeschlossen und sei - $\{U_i, \in I\} $ eine offene Überdeckung von $M$. + $\{U_i, i \in I\} $ eine offene Überdeckung von $M$. Zu zeigen: Es existiert eine endliche Überdeckung von $M$. @@ -250,7 +250,7 @@ \item Kantenlänge von $Q_m = 2^{-m}$ Kantenlänge von $Q_0$. \end{enumerate} Sei $Q$ beschränkter abgeschlossener Würfel in $\mathbb{K}^{n}$ mit - Kantenlänge $L$, s.d. $M \subset \Q$. + Kantenlänge $L$, s.d. $M \subset Q$. \begin{figure}[h!] \begin{tikzpicture}[scale=0.2] \draw (0,0) -- (0,10) -- (10,10) -- (10,0) -- (0,0); @@ -268,7 +268,7 @@ .\] Länge $(I_k)$ = Kantenlänge $(Q_m)$ $\forall k$ = $2^{-m} L$ Wir zerlegen jedes $I_i$ in 2 abgeschlossene Intervalle mit halber Länge - $I_i^{(1)}$ und $I_i(^{2)}$ und setzen für $(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}$ + $I_i^{(1)}$ und $I_i^{(2)}$ und setzen für $(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}$ \[ Q_m^{s_1, \ldots, s_n} := I_1^{(s_1)} \times \ldots \times I_n^{(s_n)} .\] Wir erhalten $2^{n}$ Würfel mit diff --git a/analysisII.pdf b/analysisII.pdf index bcb0693..9d8496f 100644 Binary files a/analysisII.pdf and b/analysisII.pdf differ