minor corrections

ana12.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \documentclass{lecture}
 \begin{document}
 \newcommand{\pdv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
-\newcommand{\dv}[2]{\frac{\d #1}{\d #2}}
+\newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
 
 \section{Totale Differenzierbarkeit}
 Erinnerung (Analysis 1) $f \colon D \to \R,\; D \subset \R$, ist genau dann in $x\in D$ differenzierbar, falls $f$ in $x$ ,,gut`` linear approximierbar ist, d.h. $\exists a\in \R$ mit $f(x + h) = f(x) + a\cdot h + w(h)$ wobei $\lim\limits_{h\to 0} \frac{w(h)}{|h|} = 0 \ (f'(x) = a)$.

ana14.tex

@@ -1,20 +1,20 @@
 \documentclass{lecture}
 \begin{document}
 \newcommand{\pdv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
-\newcommand{\dv}[2]{\frac{\d #1}{\d #2}}
+\newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
 \def\mathunderline#1#2{\color{#1}\underline{{\color{black}#2}}\color{black}}
 \section{Extremwertaufgaben}
 
 \begin{definition}[lokales Maximum/Minimum]
-    Sei $D \subset \R^n$ offen, $f\colon D\to \R$. Ein Punkt $x\in D$ heißt lokales \underline{Minimum(Maximum)} von $f$, falls eine Umgebung $K_\delta(x)\subset \R^n$ existiert mit \[f(x)\leq f(y),\; \forall y\in K_\delta(x)\cap D\] ($f(x)\geq f(y),\; \forall y\in K_\delta(x)\cap D$). Falls \[f(x) < f(y), \forall y \in K_\delta(x)\cap D\setminus\{x\}\] ($f(x) > f(y)$), dann heißt $x$ \underline{striktes} lokales Minimum (Maximum).
+    Sei $D \subset \R^n$ offen, $f\colon D\to \R$. Ein Punkt $x\in D$ heißt lokales \underline{Minimum (Maximum)} von $f$, falls eine Umgebung $K_\delta(x)\subset \R^n$ existiert mit \[f(x)\leq f(y),\; \forall y\in K_\delta(x)\cap D\] ($f(x)\geq f(y),\; \forall y\in K_\delta(x)\cap D$). Falls \[f(x) < f(y), \forall y \in K_\delta(x)\cap D\setminus\{x\}\] ($f(x) > f(y)$), dann heißt $x$ \underline{striktes} lokales Minimum (Maximum).
 \end{definition}
 \begin{satz}[Notwendige Bedingung für lokales Extremum (Min oder Max)]
 Sei $D\subset \R^n$ offen, $f\colon D\to \R$ stetig differenzierbar und $x\in D$ ein lokales Extremum von $f$. Dann gilt : $\nabla f(x) = 0$.
 \end{satz}
 \begin{proof}
-    Für $i = 1,\dots,n$, betrachte $g_i(t)\coloneqq f(x + te_i)$. Da $D$ offen sind alle $g_i$ auf einem Intervall $(-\delta, \delta)$ definiert für ein $\delta > 0$, und differenzierbar. $g_i(t)$ hat in $t = 0$ ein lokales Minimum/Maximum $\implies \dv{g_i(t)}{t}\bigg|_{t=0} = 0 \forall i = 1, \dots, n$.
+    Für $i = 1,\dots,n$, betrachte $g_i(t)\coloneqq f(x + te_i)$. Da $D$ offen sind alle $g_i$ auf einem Intervall $(-\delta, \delta)$ definiert für ein $\delta > 0$, und differenzierbar. $g_i(t)$ hat in $t = 0$ ein lokales Minimum/Maximum $\implies \dv{g_i(t)}{t}\bigg|_{t=0} = 0 \quad \forall i = 1, \dots, n$.
     $f$ total differenzierbar
-    \[\implies 0 =  \dv{g_i(t)}{t}\bigg|_{t=0} \oldstackrel{\text{Kettenregel}}{=} \sum_{j = 1}^{n}\pdv{f(x)}{x_j} \cdot \delta_{ij} = \pdv{f(x)}{x_i} \forall i = 1\dots, n
+    \[\implies 0 =  \dv{g_i(t)}{t}\bigg|_{t=0} \oldstackrel{\text{Kettenregel}}{=} \sum_{j = 1}^{n}\pdv{f(x)}{x_j} \cdot \delta_{ij} = \pdv{f(x)}{x_i} \quad \forall i = 1,\dots, n
     \]
 \end{proof}
 \begin{bem}
@@ -35,17 +35,17 @@ Sei $D\subset \R^n$ offen, $f\colon D\to \R$ stetig differenzierbar und $x\in D$
     Nach Taylor gilt lokal um $x$:
     \[f(x+h) = f(x) + (\nabla f(x), h)_2 + \frac{1}{2}(H_f(x)h, h)_2 + \omega_2(x,h)\] mit $\frac{\omega_2(x,h)}{\norm{h}^2} \oldstackrel{h \to 0}{\to} 0$
     \begin{enumerate}
-        \item Sei $H_f(x)$ positiv definit. Betrachte $\min_{\norm{h}=1} (H_f(x)h, h)_2$. Die Menge $\{h\in \R^n\mid\norm{h} = 1\}$ ist kompakt $\implies (H_f(x)h, h)_2$. nimmt ihr Minimum auf $\{h\in \R^n\mid \norm{h} =1\}$ als stetige Funktion an. $\implies \alpha \coloneqq \min_{\norm{h} = 1} (H_f(x)h, h)_2 > 0$, da $H_f(x)$ positiv definit ist. Sei $h\in \R^n\setminus\{0\}$ beliebig. Dann gilt
-        \[(H_f(x)h, h)_2 = \norm{h}^2 \underbrace{(H_f(x)\cdot \frac{h}{\norm h}, \frac{h}{\norm h})_2}_{\geq \alpha}\geq \alpha \norm h^2 > 0\]
+        \item Sei $H_f(x)$ positiv definit. Betrachte $\min_{\norm{h}=1} (H_f(x)h, h)_2$. Die Menge $\{h\in \R^n\mid\norm{h} = 1\}$ ist kompakt $\implies (H_f(x)h, h)_2$ nimmt ihr Minimum auf $\{h\in \R^n\mid \norm{h} =1\}$ als stetige Funktion an. $\implies \alpha \coloneqq \min_{\norm{h} = 1} (H_f(x)h, h)_2 > 0$, da $H_f(x)$ positiv definit ist. Sei $h\in \R^n\setminus\{0\}$ beliebig. Dann gilt
+        \[(H_f(x)h, h)_2 = \norm{h}^2 \underbrace{\left(H_f(x)\cdot \frac{h}{\norm h}, \frac{h}{\norm h}\right)_2}_{\geq \alpha}\geq \alpha \norm h^2 > 0\]
         Wähle $\delta > 0$ klein, sodass $\forall \norm h < \delta$ gilt $|\omega_2(x,h)| \leq \frac{\alpha}{4}\norm h^2$ (weil $\omega_2(x,h) = o(\norm h^2)$). Damit gilt $\forall h, \norm h < \delta$
         \[f(x+h) = f(x) + (\underbrace{\nabla f(x)}_{=0}, h)_2 + \frac{1}{2}(H_f(x)h, h)_2 + \omega_2(x,h) \geq f(x) + \frac{\alpha}{2}\norm h^2 - \frac{\alpha}{4}\norm h^2 > f(x)\]
         $\implies x$ striktes lokales Minimum von $f$.
         \item Ersetze $f$ durch $-f$, dann 1)
         \item $\exists h \in \R^n$ mit $(H_f(x)h, h)_2 = \alpha > 0$, sodass
         \[
-          f(x + th) \oldstackrel{\text{Taylor}}{=} f(x) + \frac{1}{2}t^2\cdot \alpha + \omega_2 (x , th) = f(x) + t^2\left(\frac{\alpha}{2}+ \underbrace{\frac{\omega_2(x,th)}{t^2}}_{\oldstackrel{t\to 0}{\to}0}\right) \oldstackrel{\text{für } 0 < t << 1}{>} f(x)
+          f(x + th) \oldstackrel{\text{Taylor}}{=} f(x) + \frac{1}{2}t^2\cdot \alpha + \omega_2 (x , th) = f(x) + t^2\left(\frac{\alpha}{2}+ \underbrace{\frac{\omega_2(x,th)}{t^2}}_{\oldstackrel{t\to 0}{\longrightarrow}0}\right) \oldstackrel{\text{für } 0 < t \ll 1}{>} f(x)
         \]
-        Außerdem $\exists \eta \in \R^n$ mit $(H_f(x)\eta, \eta)_2 = \beta < 0$. Analog $\implies f(x + t\eta) \leq f(x) + \beta\frac{t^2}{4}< f(x)$ für $0 < t << 1$. $\implies f(x)$ kein Maximum/Minimum.
+        Außerdem $\exists \eta \in \R^n$ mit $(H_f(x)\eta, \eta)_2 = \beta < 0$. Analog $\implies f(x + t\eta) \leq f(x) + \beta\frac{t^2}{4}< f(x)$ für $0 < t \ll 1$. $\implies f(x)$ kein Maximum/Minimum.
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 \begin{bsp}
@@ -66,7 +66,17 @@ Sei $D\subset \R^n$ offen, $f\colon D\to \R$ stetig differenzierbar und $x\in D$
             $f(x)\leq f(y)$ &$\forall y\in D$ & globales Minimum\\
             $f(x) < f(y)$ &$\forall y\in D\setminus\{x\}$ &striktes globales Minimum
         \end{tabular}
-        \item $f_1(x,y) \coloneqq x^2 + y^4,\; f_2(x,y) \coloneqq x^2,\; f_2(x,y)\coloneqq x^2 + y^3$
+        \item $f(x,y) \coloneqq x^2 - y^2 \implies \nabla f(x,y) = \begin{pmatrix}
+            2x\\-2y
+        \end{pmatrix} = 0$ für $\begin{pmatrix}
+            x\\y
+        \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+            0\\0
+        \end{pmatrix}$.
+        $H_f(x,y) = \begin{pmatrix}
+            2 & 0\\ 0 & -2
+        \end{pmatrix}$ indefinit. $\implies 0 \in \R^2$ kein lokales Extremum.
+        \item $f_1(x,y) \coloneqq x^2 + y^4,\; f_2(x,y) \coloneqq x^2,\; f_3(x,y)\coloneqq x^2 + y^3$
         Es gilt
         \[
             \nabla f_i(0) = 0\in \R^2,\; H_{f_i}(0) = \begin{pmatrix}
@@ -79,7 +89,7 @@ Sei $D\subset \R^n$ offen, $f\colon D\to \R$ stetig differenzierbar und $x\in D$
 
         \begin{tabular}{lcl}
             für $f_1$:& Punkt 0 ist ein& \underline{striktes} lokales Maximum,\\
-            ür $f_2$:& Punkt 0 ist ein& \underline{lokales Minimum}, aber \underline{nicht strikt},\\
+            für $f_2$:& Punkt 0 ist ein& \underline{lokales Minimum}, aber \underline{nicht strikt},\\
             für $f_3$:& Punkt 0 ist ein& Sattelpunkt.
         \end{tabular}
     \end{enumerate}
@@ -122,7 +132,7 @@ Frage: \underline{Umkehrabbildung:} Auflösen von $x = g(y)$, d.h.
     \end{array}\right\}\tag{*}\label{star}
 \end{equation}
 $n$ Gleichungen, $n$ Unbekannte $y_1,\dots, y_n$.
-Gesucht: Abb $f$ mit $y = f(x)$ ($f=g^{-1})$, s.d. $(x,f(x))$ Gleichung \eqref{star} löst (lokal um $(x_0,y_0=f(x_0))$).
+Gesucht: Abbildung $f$ mit $y = f(x)$ ($f=g^{-1})$, s.d. $(x,f(x))$ Gleichung \eqref{star} löst (lokal um $(x_0,y_0=f(x_0))$).
 
 \paragraph{Implizite Funktion} $m$ Gleichungen, $m$ Unbekannte $y_1,\dots, y_m$.
 \begin{equation}
@@ -164,7 +174,7 @@ Für $\mathunderline{blue}{x_0 =1,\; y_0 = 0}$ hingegen gibt es keine Umgebung v
     \[
         D_yF(x,y) =\begin{pmatrix}
             \pdv{F_1}{y_1} &\dots &\pdv{F_1}{y_m}\\
-            \vdots & & \vdots\\
+            \vdots & \ddots & \vdots\\
             \pdv{F_m}{y_1}&\dots&\pdv{F_m}{y_m}
         \end{pmatrix}
     \]
@@ -198,7 +208,7 @@ Für $\mathunderline{blue}{x_0 =1,\; y_0 = 0}$ hingegen gibt es keine Umgebung v
         Für $k\in \N$ gilt \[y^{(k)}(x) = G(x,y^{(k-1)}(x)) = y^{(k-1)}(x)-J_y^{-1}\underbrace{F(x,y^{(k-1)}(x))}_{\text{stetig}}\]
         Induktiv folgt $y^{(k)}(x)$ stetig in $x\in K_2^x(0)$. Definiere $f(x)=y(x),\; f\colon K_s^x(0) \to K_r^y(0)$ und nach Konstruktion gilt
         \[G(x,f(x)) = f(x),\quad x\in K_s^x(0).\]
-        Aus der Abschätzung $\norm{y(x)-y^{(k)}(x)}\leq 2^{-k-1}\cdot r,\; x\in K_s^x(0)$ folgt, dass  $y^{(k)}(x)\oldstackrel{k\to \infty}{\to y(x)}$ gleichmäßig auf $K_s^x(0)$ konvergiert $\implies y(x)$ stetig.
+        Aus der Abschätzung $\norm{y(x)-y^{(k)}(x)}\leq 2^{-k-1}\cdot r,\; x\in K_s^x(0)$ folgt, dass  $y^{(k)}(x)\oldstackrel{k\to \infty}{\longrightarrow} y(x)$ gleichmäßig auf $K_s^x(0)$ konvergiert $\implies y(x)$ stetig.
         $\implies$ 1. Behauptung für $(\hat x, \hat y) = (0,0)$ mit $U(\hat x)\coloneqq K_s^x(0)$ und $U(\hat y)\coloneqq K_r^y(0)$.
         \item Die Eindeutigkeit von $y = f(x)$ folgt nun aus dem Banachschen Fixpunktsatz. Für $x\in K_s(\hat x)$ ist der Fixpunkt der Gleichung $G(x,y) = y$ eindeutig bestimmt.
     \end{enumerate}