minor corrections

ana9.tex

@@ -13,12 +13,12 @@
 \end{definition}
 
 \begin{bsp}
-    Einheitssphäre $S_1(0) \coloneqq \{x\in \K^n: \norm{x}_2 = 1\}$. Als Teilmenge in $\K^n$ ist $S_1(0)$ abgeschlossen.\\
+    Einheitssphäre $S_1(0) \coloneqq \{x\in \K^n \ | \  \norm{x}_2 = 1\}$. Als Teilmenge in $\K^n$ ist $S_1(0)$ abgeschlossen.\\
     Sei $M\subset \K^n$ und offen: Dann ist $M\cap S_1(0)$ als Teilmenge von $\K^n$ weder offen noch abgeschlossen; als Teilmenge in $S_1(0)$ ist $M\cap S_1(0)$ relativ-offen bzgl. $S_1(0)$.\\
     Extrembeispiel: $M = S_1(0)$ ist als Teilmenge von $\K^n$ abgeschlossen, aber bzgl. $S_1(0)$ relativ-offen und relativ-abgeschlossen.
     \begin{itemize}
-        \item $M\cap G (M\subset \K^n, \text{ offen }), G\subset \K^n$, ist immer relativ-offen bzgl. $G$.
-        \item $M\cap G (M\subset K^n, \text{ abgeschlossen}), G\subset K^n$, ist immer relativ-abgeschlossen bzgl. $G$. %S. 37 - 38 RR
+        \item $M\cap G \ (M\subset \K^n, \text{ offen}), \  G\subset \K^n$, ist immer relativ-offen bzgl. $G$.
+        \item $M\cap G \ (M\subset \K^n, \text{ abgeschlossen}), \ G\subset \K^n$, ist immer relativ-abgeschlossen bzgl. $G$. %S. 37 - 38 RR
     \end{itemize}
 \end{bsp}
 \begin{lemma} \label{lemma:stetigesurbild}
@@ -32,21 +32,21 @@
 \end{lemma}
 \begin{proof}\ 
     \begin{enumerate}[1)]
-        \item Sei $O\subset f(D)$ eine relativ-offene Menge. Für $O$ gilt: $\forall f(a) \in O\exists$ relative Kugelumgebung in $O$: $$(K_\epsilon(f(a))) \cap f(D)) \subset O\text{ für ein } \epsilon >0.$$ $f$ stetig in $a \implies$ für dieses $\epsilon \; \exists \delta > 0$ s.d. für $K_\delta(a) \cap D$ gilt $f(K_\delta(a)\cap D) \subset (K_\epsilon(f(a))\cap f(D))\subset O$ $\implies \forall a \in D$ (mit $f(a)\in O$) gilt $$(K_\delta(a) \cap D) \subset f^{-1}(O) \implies f^{-1}(O)$$ relativ-offen.
-        \item Sei $(x^{(k)}_{k\in \N})$ eine konvergente Folge in $f^{-1}(A)$ und $\lim\limits_{k\to\infty}x^{(k)} = x \in \overline{D}$.  Aufgrund der Stetigkeit von $f$ konvergiert die Bildfolge $\left(f\left(x^{(k)}\right)\right)_{k\in \N}$ und $\lim\limits_{k\to\infty}\underbrace{f\left(x^{(k)}\right)}_{\in A} = f(x)$. Da $A$ abgeschlossen ist, gilt wegen der Charakterisierung über Folgenkonvergenz auch $f(x) \in A \implies x \in f^{-1}(A) \implies f^{-1}(A)$ abgeschlossen.
+        \item Sei $O\subset f(D)$ eine relativ-offene Menge. Für $O$ gilt: $\forall f(a) \in O \ \exists$ relative Kugelumgebung in $O$: $$(K_\epsilon(f(a)) \cap f(D)) \subset O\text{ für ein } \epsilon >0.$$ $f$ stetig in $a \implies$ für dieses $\epsilon \; \exists \delta > 0$ s.d. für $K_\delta(a) \cap D$ gilt $f(K_\delta(a)\cap D) \subset (K_\epsilon(f(a))\cap f(D))\subset O$ $\implies \forall a \in D$ (mit $f(a)\in O$) gilt $$(K_\delta(a) \cap D) \subset f^{-1}(O) \implies f^{-1}(O)$$ relativ-offen.
+        \item Sei $(x^{(k)})_{k\in \N}$ eine konvergente Folge in $f^{-1}(A)$ und $\lim\limits_{k\to\infty}x^{(k)} = x \in \overline{D}$.  Aufgrund der Stetigkeit von $f$ konvergiert die Bildfolge $\left(f\left(x^{(k)}\right)\right)_{k\in \N}$ und $\lim\limits_{k\to\infty}\underbrace{f\left(x^{(k)}\right)}_{\in A} = f(x)$. Da $A$ abgeschlossen ist, gilt wegen der Charakterisierung über Folgenkonvergenz auch $f(x) \in A \implies x \in f^{-1}(A) \implies f^{-1}(A)$ abgeschlossen.
         \item \textbf{Z.Z} $f(K) \subset \K$ beschränkt und abgeschlossen $(\implies$ kompakt).
         \begin{itemize}
             \item Die Beschränktheit folgt aus der Beschränktheit von stetigen Funktionen auf kompakten Mengen.
-            \item Abgeschlossenheit: Sei $\left(y^{(k)}\right)_{k\in \N} \subset f(K)$ eine beliebige Folge mit $\lim\limits_{k\to\infty}y^{(k)} = y \in \K$. Die Urbildfolge $\left(x^{(k)}\right)_{k\in \N} \bigg(= \underbrace{f^{-1}\left(y^{(k)}\right)}_{\text{Urbild von }y^{(k)}}\bigg)$ in $K$ hat aufgrund der Kompaktheit von $K$ eine konvergente Teilfolge $\left(x^{(k_j)}\right)_{j\in \N}$ mit $\lim\limits_{j\to\infty}x^{(kj)} = x\in K$. Wegen der Stetigkeit von $f$ ist $f(x) = \lim\limits_{j\to\infty}\underbrace{f\left(x^{(k_j)}\right)}_{=y^{k_j}} = y \implies y \in f(K) \implies f(K)$ abgeschlossen.
+            \item Abgeschlossenheit: Sei $\left(y^{(k)}\right)_{k\in \N} \subset f(K)$ eine beliebige Folge mit $\lim\limits_{k\to\infty}y^{(k)} = y \in \K$. Die Urbildfolge $\left(x^{(k)}\right)_{k\in \N} \bigg(= \underbrace{f^{-1}\left(y^{(k)}\right)}_{\text{Urbild von }y^{(k)}}\bigg)$ in $K$ hat aufgrund der Kompaktheit von $K$ eine konvergente Teilfolge $\left(x^{(k_j)}\right)_{j\in \N}$ mit $\lim\limits_{j\to\infty}x^{(k_j)} = x\in K$. Wegen der Stetigkeit von $f$ ist $f(x) = \lim\limits_{j\to\infty}\underbrace{f\left(x^{(k_j)}\right)}_{=y^{k_j}} = y \implies y \in f(K) \implies f(K)$ abgeschlossen.
         \end{itemize} 
-        \item Ann: $f(G)$ nicht zusammenhängend. Nach Definition existieren dann $U,V\in \K,\; U\neq \emptyset, V\neq \emptyset,\; U\cap V = \emptyset$, relativ offen, s.d. $f(G) = U \cup V$. Für die Urbildmengen gilt also $$U' = \{x \in G|f(x)\in U\},\; V' = \{x \in G|f(x)\in V\},\; U'\cap V' = \emptyset, U' \neq \emptyset, V'\neq \emptyset,$$ nach 1) sind $U'$ und $V'$ relativ offen und $G = U' \cup V'$
+        \item Ann: $f(G)$ nicht zusammenhängend. Nach Definition existieren dann $U,V\in \K^n,\; U\neq \emptyset, V\neq \emptyset,\; U\cap V = \emptyset$, relativ offen, s.d. $f(G) = U \cup V$. Für die Urbildmengen gilt also $$U' = \{x \in G|f(x)\in U\},\; V' = \{x \in G|f(x)\in V\},\; U'\cap V' = \emptyset, U' \neq \emptyset, V'\neq \emptyset,$$ nach 1) sind $U'$ und $V'$ relativ offen und $G = U' \cup V'$
         \begin{align*}
             &\implies G\text{ nicht zusammenhängend \lightning}\\
             &\implies f(G) \text{ zusammenhängend.}
         \end{align*}
         \end{enumerate}
     \end{proof}
-\begin{satz}
+\begin{satz}[Zwischenwertsatz]
     Sei $f: D\subset \K^n \to \R$ stetig und $D$ zusammenhängend. Dann nimmt $f$ für alle $a, b \in D$ jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ an. Insbesondere hat $f$ eine Nullstelle in $D$, falls $f(a)\cdot f(b) < 0$.
 \end{satz}
 \begin{proof}
@@ -54,21 +54,21 @@
     \textbf{Z.Z.} $f(D)$ ist ein (zusammenhängendes) Intervall.\\
     Annahme: $f(D)$ ist kein Intervall $\implies \exists f(x), f(y) \in f(D)$ und $z\notin f(D)$ zwischen $f(x)$ und $f(y)$. Dann sind die Mengen $$U\coloneqq f(D)\cap (-\infty, z),\; V\coloneqq f(D)\cap (z, \infty)$$ disjunkt, $U\cap V = \emptyset,\; U \neq \emptyset,\; V\neq \emptyset$, $U, V$ sind relativ-offen bzgl. $f(D)$ und $U\cap V = f(D)$ $$\implies f(D)\text{ nicht zusammenhängend \lightning.}$$
 \end{proof}
-\section{Vektor- und Matrix-wertige Funktionen}
+\section{Vektor- und Matrixwertige Funktionen}
 \begin{align*}
     f:&D \subset \K^n \to \K^m\\
     f:&D \subset \K^n \to \K^{r\times s}\\
     f:&D \subset \K^{m\times n} \to \K^{r\times s}
 \end{align*}
 \begin{itemize}
-    \item Mit Hilfe von Normen in $\K^n$ und $K^{m\times n}$ sind die Definitionen von Stetigkeit etc. übertragbart auf Vektor- und Matrix-wertige Funktionen. $\implies$ solche stetigen Abbildungen auf kompakten Mengen sind gleichmäßig stetig und beschränkt.
+    \item Mit Hilfe von Normen in $\K^n$ und $\K^{m\times n}$ sind die Definitionen von Stetigkeit etc. übertragbart auf Vektor- und Matrixwertige Funktionen. $\implies$ solche stetigen Abbildungen auf kompakten Mengen sind gleichmäßig stetig und beschränkt.
     \item $f: D\subset \K^n \to \K^m$ stetig $\Leftrightarrow$ alle Komponenten $f_i:D\subset \K^n \to \K,\; i= 1, \dots, m$ sind stetig (genauso für $f: D\subset \K^{n\times m} \to \K^{r\times s}$ etc.)
 \end{itemize}
 \begin{lemma}
     Seien $g: D\subset \K^n\to B \subset \K^m$ und $f:B\to \K^r$ stetig. Dann ist die Komposition $f\circ g: D\subset \K^n \to \K^r$ stetig. 
 \end{lemma}
 \begin{proof}
-    Sei $x\in D, x^{(k)} \in D$ s.d. $\lim\limits_{k\to\infty}x^{(k)} = x$. Es gilt 
+    Sei $x\in D, \ x^{(k)} \subset D$ s.d. $\lim\limits_{k\to\infty}x^{(k)} = x$. Es gilt 
     \begin{align*}
         g\text{ stetig }&\implies y^{(k)} = g(x^{(k)}) \underset{k\to \infty}{\to} g(x) =: y\\
         f\text{ stetig }&\implies (f\circ g)\left(x^{(k)}\right) = f\left(g\left(x^{(k)}\right)\right) = f(y^{(k)}) \underset{k\to \infty}{\to} f(y)