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@@ -3,8 +3,8 @@
 \begin{document}
 \section{Globale Stabilität}
 
-\begin{definition}[Exponentielle Stabilität]s
-	Sei $y(t)$ die globale Lösung einer AWA. $y(t)$ heißt \underline{exponentiell stabil}, falls Konstanten $\delta, \alpha, A > 0$ sodass $\forall t_{*} \geq t_{0}$ und $\forall w_{*} \in \R^{n}$ mit $\norm{w_{*}} < \delta$ die gestörte AWA
+\begin{definition}[Exponentielle Stabilität]
+	Sei $y(t)$ die globale Lösung einer AWA. $y(t)$ heißt \underline{exponentiell stabil}, falls Konstanten $\delta, \alpha, A > 0$ existieren, sodass $\forall t_{*} \geq t_{0}$ und $\forall w_{*} \in \R^{n}$ mit $\norm{w_{*}} < \delta$ die gestörte AWA
 		\[
 			v'(t) = f\left(t,v(t)\right), \ \ \ t \geq t_{*}, \ \ \ v(t_{*}) = y(t_{*}) + w_{*}
 		\]
@@ -22,17 +22,17 @@
 \end{definition}
 
 \begin{satz}[Globaler Stabilitätssatz]
-	Sei $f(t,x)$ einer AWA stetig, lokal Lipschitz-stetig bezüglich $x$ und stark monoton. Dann sind alle Lösungen des AWA global und exponentiell stabil, mit $\delta$ beliebig und $\alpha = A = 1$. \\
-	Zusatz: gilt $\sup_{t \geq t_{0}} \norm{f(t,0)} < \infty$, dann sind alle Lösungen gleichmäßig beschränkt. 
+	Sei $f(t,x)$ einer AWA stetig, lokal Lipschitz-stetig bezüglich $x$ und stark monoton. Dann sind alle Lösungen der AWA global und exponentiell stabil, mit $\delta$ beliebig und $\alpha = A = 1$. \\
+	Zusatz: Gilt $\sup_{t \geq t_{0}} \norm{f(t,0)} < \infty$, dann sind alle Lösungen gleichmäßig beschränkt. 
 		\label{satz:global-stabil}
 \end{satz}
 \begin{proof}
 	\begin{enumerate}[1)]
-		\item 	Die Lösungen des AWA
+		\item 	Die Lösungen der AWA
 				\[
 					y'(t) = f(t,y(t)), \ \ \ t \geq t_{0}, \ \ \ y(t_{0}) = y_{0},
 				\]
-				und des gestörten AWA
+				und der gestörten AWA
 				\[
 					v'(t) = f(t,v(t)), \ \ \ t \geq t_{*} \geq t_{0}, \ \ \ v(t_{*}) = y(t_{*}) + w_{*}
 				\]
@@ -67,19 +67,19 @@
 				\]
 				Sei $w(t) \coloneqq v(t) - y(t)$. Dann gilt:
 				\begin{align*}
-					&\frac{\d{}}{\d{t}} w(t) = 2\left(w'(t),w(t)\right)= 2 \left(f(t,v(t))-f(t,y(t)), v(t) - y(t) \right) 
+					&\frac{\d{}}{\d{t}} \norm{w(t)}^{2} = 2\left(w'(t),w(t)\right)= 2 \left(f(t,v(t))-f(t,y(t)), v(t) - y(t) \right) 
 				\intertext{und da $f$ stark monoton ist, folgt:}
 					&\frac{\d{}}{\d{t}} \norm{w(t)}^{2} \leq -2\lambda \norm{w(t)}^{2} \ \ \ \ \ \implies \ \ \ \ \ \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{w(t)}^{2} +2\lambda \norm{w(t)}^{2} \leq 0.
 				\end{align*}
 				Ferner gilt:
 				\begin{align*}
-					\frac{\d{}}{\d{t}} e^{2\lambda (t-t_{*})} \norm{w(t)}^{2} = \underbrace{e^{2\lambda (t-t_{*})}}_{> 0} \underbrace{\left( \frac{\d{}}{\d{t}}\norm{w(t)}^{2} + 2\lambda\norm{w(t)}^{2} \right)}_{\leq 0} \leq 0
+					\frac{\d{}}{\d{t}} \left(e^{2\lambda (t-t_{*})} \norm{w(t)}^{2}\right) = \underbrace{e^{2\lambda (t-t_{*})}}_{> 0} \underbrace{\left( \frac{\d{}}{\d{t}}\norm{w(t)}^{2} + 2\lambda\norm{w(t)}^{2} \right)}_{\leq 0} \leq 0
 				\end{align*}
 				Woraus wir folgern:
 				\begin{salign*}
 					& \int_{t_{*}}^{t} \frac{\d{}}{\d{s}} \left( e^{2\lambda(s-t_{*})}\norm{w(s)}^{2} \right) \d{s} = e^{2\lambda(t-t_{*})}\norm{w(t)}^{2} - \norm{w(t_{*})}^{2} \leq 0 \\
-					\implies \ & \norm{w(t)}^{2} \leq e^{-2\lambda(t-t_{*})}\norm{w(t)}^{2} \\
-					\implies \ & \norm{w(t)} \ \leq e^{-\lambda(t-t_{*})}\norm{w(t^{*})} \\
+					\implies \ & \norm{w(t)}^{2} \leq e^{-2\lambda(t-t_{*})}\norm{w(t_{*})}^{2} \\
+					\implies \ & \norm{w(t)} \ \leq e^{-\lambda(t-t_{*})}\norm{w(t_{*})} \\
 					\implies \ & \norm{v(t) - y(t)} \leq e^{-\lambda(t-t_{*})}\norm{w_{*}}.
 				\end{salign*}
 		
@@ -140,9 +140,9 @@
 \section{Lineare Systeme von Differentialgleichungen}
 
 \begin{definition}[Lineare AWA]
-	Sei $A(\cdot) \colon I \to \R^{n \times n}$ eine Matrixfunktion, sowie $b(\cdot) \colon I \to \R^{n}$ eine Vektorfunktion. Dann ist eine Lineares AWA der Form:
+	Sei $A(\cdot) \colon I \to \R^{n \times n}$ eine Matrixfunktion, sowie $b(\cdot) \colon I \to \R^{n}$ eine Vektorfunktion. Dann ist eine lineare AWA der Form:
 		\begin{salign*}
-			y'(t) &= A(t)y + b(t), \ \ \ t\geq t_{0} \\
+			y'(t) &= A(t)y(t) + b(t), \ \ \ t\geq t_{0} \\
 			y(t_{0}) &= y_{0}.
 		\end{salign*}
 \end{definition}
@@ -183,18 +183,18 @@
 \end{proof}
 
 \begin{satz}[Homogene lineare Systeme]
-	Ein homogenes lineares System von DGLs ist der Form
+	Ein homogenes lineares System von DGLn ist der Form
 	\begin{equation}
 		y'(t) = A(t)y(t). \label{eqq:homog-lin-syst}
 	\end{equation}
 	\begin{enumerate}[1)]
 		\item 	Die Menge der Lösungen bildet einen Vektorraum $H$.
-		\item 	Sei $\{y_{0}^{1},...,y_{0}^{n}\}$ eine Basis des $\R^{n}$. Seien $\{y^{1},...,y^{n}\}$ die Lösungen von AWA:
+		\item 	Sei $\{y_{0}^{1},\dots,y_{0}^{n}\}$ eine Basis des $\R^{n}$. Seien $\{y^{1},\dots,y^{n}\}$ die Lösungen von AWA:
 					\[
-						(y^{i})' = A(t)y^{i}, \ \ \ y^{i}(t_{0}) = y_{0}^{i}, \ \ \ i\in \{1,...,n\}
+						(y^{i})' = A(t)y^{i}, \ \ \ y^{i}(t_{0}) = y_{0}^{i}, \ \ \ i\in \{1,\dots,n\}
 					\]
-				Dann ist $\{y^{1},...,y^{n}\}$ eine Basis von $H$ und es gilt $\dim(H) = n$.
-		\item 	Sei $\{y^{1},...,y^{n}\}$ eine Basis des Lösungsraum $H$, dann ist $\{y^{1}(t),...,y^{n}(t)\}$ für $\forall t \geq t_{0}$ eine Basis des $\R^{n}$.
+				Dann ist $\{y^{1},\dots,y^{n}\}$ eine Basis von $H$ und es gilt $\dim(H) = n$.
+		\item 	Sei $\{y^{1},\dots,y^{n}\}$ eine Basis des Lösungsraums $H$, dann ist $\{y^{1}(t),\dots,y^{n}(t)\}$ für $\forall t \geq t_{0}$ eine Basis des $\R^{n}$.
 	\end{enumerate}
 \end{satz}
 
@@ -210,39 +210,40 @@
 							Also $\left(\alpha u + \beta v\right) \in H$.
 				\end{itemize}
 		
-		\item 	Sei $\{y_{0}^{1},...,y_{0}^{n}\}$ eine Basis des $\R^{n}$. Seien $\{y^{1},...,y^{n}\}$ die eindeutigen Lösungen der AWAn (nach Satz \ref{satz:lineare-awa}). Seien $\alpha_{i} \in \R$, $i \in \{1,...,n\}$ sodass für $t \geq t_{0}$ gilt:
+		\item 	Sei $\{y_{0}^{1},\dots,y_{0}^{n}\}$ eine Basis des $\R^{n}$. Seien $\{y^{1},\dots,y^{n}\}$ die eindeutigen Lösungen der AWAn (nach Satz \ref{satz:lineare-awa}). Seien $\alpha_{i} \in \R$, $i \in \{1,\dots,n\}$ sodass für $t \geq t_{0}$ gilt:
 				\[
 					\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y^{i}(t) = 0.
 				\]
-				Für $t = t_{0}$ gilt dann $\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y_{0}^{i} = 0$, da die $y_{0}^{i}$ linear unabhängig sind, folgt $\alpha_{i} = 0$ für alle $i \in \{1,...,n\}$. Daraus folgt, dass die $y^{i}(t)$ ($i \in \{1,...,n\}$) linear unabhängig sind, also bereits, dass die $y^{i}$ ($i \in \{1,...,n\}$) linear unabhängig sind. \\
+				Für $t = t_{0}$ gilt dann $\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y_{0}^{i} = 0$, da die $y_{0}^{i}$ linear unabhängig sind, folgt $\alpha_{i} = 0$ für alle $i \in \{1,\dots,n\}$. Daraus folgt, dass die $y^{i}(t)$ ($i \in \{1,\dots,n\}$) linear unabhängig sind, also bereits, dass die $y^{i}$ ($i \in \{1,\dots,n\}$) linear unabhängig sind. \\
 				Da es höchstens $n$ linear unabhängige Anfangswerte gibt, sind nicht mehr als $n$ Funktionen aus $H$ linear abhängig, also $\dim(H) = n$. 
 		\item 	Analog zu 2).
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 
 \begin{definition}
-	Eine Basis $\{\varphi^{1},...,\varphi^{n}\}$ des Lösungsraums $H$ von $y'(t) = A(t)y(t)$ zu den Anfangswerten $\varphi^{i}(t_{0}) = e^{i}$ heißt \underline{Fundamentalsystem} des linearen Systems von DGLs. \\
-	Die Matrix $\phi =  \left[\varphi^{1},...,\varphi^{n} \right] $ der Spaltenvektoren $\varphi^{i}$ heißt \underline{Fundamentalmatrix} des linearen Systems von DGLs. \\
+	Eine Basis $\{\varphi^{1},\dots,\varphi^{n}\}$ des Lösungsraums $H$ von $y'(t) = A(t)y(t)$ zu den Anfangswerten $\varphi^{i}(t_{0}) = e^{i}$ ($e^i$ Standardbasisvektor) heißt \underline{Fundamentalsystem} des linearen Systems von DGLn. \\
+	Die Matrix $\phi =  \left[\varphi^{1},\dots,\varphi^{n} \right] $ der Spaltenvektoren $\varphi^{i}$ heißt \underline{Fundamentalmatrix} des linearen Systems von DGLn. \\
 	Diese Matrix ist regulär und löst die AWA (komponentenweise):
 		\[
-			\phi'(t) = A(t)\phi(t), \ \ \ \ t \geq t_{0}, \ \ \ \ \phi(t_{0}) = I.
+			\phi'(t) = A(t)\phi(t), \ \ \ \ t \geq t_{0}, \ \ \ \ \phi(t_{0}) = \mathbb{I}.
 		\]
 \end{definition}
 
 \begin{satz}[Inhomogene lineare Systeme]
-	Ein inhomogenes lineare System von DGLs ist der Form
+	Ein inhomogenes lineare System von DGLn ist der Form
 		\[
-			y'(t) = A(t))y(t) + b(t).
+			y'(t) = A(t)y(t) + b(t).
 		\]
 	Seien $A \colon [t_{0},\infty) \to \R^{n \times n}$, $b \colon [t_{0},\infty) \to \R^{n}$ stetig. Dann gilt:
 	\begin{enumerate}[1)]
-		\item 	Die partikuläre Lösung ist für $\text{const} \ c \in R^{n}$:
+		\item 	Für konstantes $c \in \R^{n}$ ist
 				\[
-					y_{b}(t) = \phi(t) \left( \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + c \right).
+					y_{b}(t) \coloneqq \phi(t) \left( \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + c \right)
 				\]
+				eine partikuläre Lösung des inhomogenen linearen Systems.
 		\item 	Alle Lösungen der inhomogenen Gleichung haben die Form:
 				\[
-					y(t) = y_{b}(t) + v(t)
+					y(t) = y_{b}(t) + v(t),
 				\]				
 				wobei $v \in H$ (Lösungsraum des assoziierten homogenen Systems).
 		\item 	Gilt $c = y_{0}$, dann gilt $y_{b}(t_{0}) = y_{0}$.
@@ -258,7 +259,7 @@
 				Also ist $y_{b}$ eine Lösung des inhomogenen Systems und gilt $c=y_{0}$, dann löst $y_{b}$ die AWA $y' = Ay + b$, $y(t_{0}) = y_{0}$. Daraus folgt 1) und 3).
 		\item 	Sei $y$ eine zweite Lösung des inhomogenen Systems. Für $w=y-y_{b}$ gilt dann:
 				\[
-					w' = y' - y_{b}' = Ay + b - (Ay_{b} + b) = A(y-y_{0}) = Aw.
+					w' = y' - y_{b}' = Ay + b - (Ay_{b} + b) = A(y-y_{b}) = Aw.
 				\]
 				Also bereits $w \in H$.
 	\end{enumerate}
@@ -268,14 +269,14 @@
 	\begin{enumerate}[(1)]
 		\item 	Die Lösung $y_{b}(t) = \phi(t) \left( \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + y_{0} \right)$ entspricht genau der Lösung 
 				\[
-					y(t) = \exp\left( \int_{t_{0}}^{t} a(s) \d{s} \right) \left(y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \exp\left( -\int_{t_{0}}^{t} a(s) \d{s} \right)b(t) \d{s} \right)
+					y(t) = \exp\left( \int_{t_{0}}^{t} a(s) \d{s} \right) \left(y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \exp\left( -\int_{t_{0}}^{t} a(s) \d{s} \right)b(\tau) \d{\tau} \right)
 				\]
 				der skalaren linearen AWA $y'(t) = a(t)y(t) + b(t)$ ($t \geq t_{0}$) (Variation der Konstanten).
 		\item 	Für lineare DGL mit konstanten Koeffizienten 
 				\[
 					y'(t) = Ay(t), \ \ \ \ \ A \in \R^{n\times n}
 				\]
-				gibt es eine Lösungstheorie, die auf algebraischen Argumente zurückgreift.
+				gibt es eine Lösungstheorie, die auf algebraische Argumente zurückgreift.
 	\end{enumerate}
 \end{bem}
 
@@ -288,7 +289,7 @@
 		\end{salign*}
 	Gesucht ist eine stetig differenzierbare Lösung $y \colon I \to \R^{n}$ die beide Bedingungen erfüllt. Die zweite Bedingung lässt sich verallgemeinern zu einer Mehrpunkt RWA:
 		\[
-			r\left( y(t_{1}),...,y(t_{k}) \right) = 0.
+			r\left( y(t_{1}),\dots,y(t_{k}) \right) = 0.
 		\]
 \end{bem}
 
@@ -299,7 +300,7 @@
 		\]
 	für $t \in [0,\pi]$. Dies ist äquivalent zu folgenden System:
 		\begin{salign*}
-			y_{1} = y, y_{2} = y', && 	\begin{cases}
+			y_{1} = y,\ y_{2} = y', && 	\begin{cases}
 											y_{1}' = y_{2} \\
 											y_{2}' = -y_{1}
 										\end{cases}.
@@ -311,13 +312,13 @@
 	\begin{enumerate}[1)]
 		\item 	Für $y(0) = y(\pi)$, $y'(0)=y'(\pi)$. $r = \begin{pmatrix}
 				y_{1}(0)-y_{1}(\pi) \\ y_{2}(0)-y_{2}(\pi)
-				\end{pmatrix} = 0$ ist die Lösung des RWP $y(t) \equiv 0$, $t \in [0,\pi]$ eindeutig.
+				\end{pmatrix} = 0$ ist die Lösung des RWA $y(t) \equiv 0$, $t \in [0,\pi]$ eindeutig.
 		\item 	Für $y(0) = 0$, $y(\pi) = 0$, $r = \begin{pmatrix}
 				y_{1}(0) \\ y_{1}(\pi)
-				\end{pmatrix} = 0$ hat das RWP unendlich viele Lösungen $y(t) = c_{1}\sin(t)$ ($t \in [0,t]$).
+				\end{pmatrix} = 0$ hat das RWA unendlich viele Lösungen $y(t) = c_{1}\sin(t)$ ($t \in [0,t]$).
 		\item 	Für $y(0) = 0$, $y(\pi) = 1$, $r = \begin{pmatrix}
 				y_{1}(0) \\ y_{1}(\pi) -1
-				\end{pmatrix} = 0$  hat das RWP keine Lösung.
+				\end{pmatrix} = 0$  hat das RWA keine Lösung.
 	\end{enumerate}
 \end{bsp}
 
@@ -330,7 +331,7 @@
 \end{definition}
 
 \begin{bem}
-	Eine Lösung des inhomogenen DLG-System ist von der Form:	
+	Eine Lösung des inhomogenen DGL-System ist von der Form:	
 		\[
 			y(t,s) = \varphi^{0}(t) + \sum_{i=1}^{n} s_{i}\varphi^{i}(t) = \varphi^{0}(t) + \phi(t)s.
 		\]
@@ -338,13 +339,13 @@
 		\[
 			(\varphi^{0})'(t) = A(t)\varphi^{0}(t) + f(t), \ \ \ \ t \geq a, \ \varphi^{0}(a) = 0.
 		\]
-	$\varphi^{i}$ ($i \in \{1,...,n\}$) lösen die AWA:
+	$\varphi^{i}$ ($i \in \{1,\dots,n\}$) lösen die AWA:
 		\[
 			(\varphi^{i})'(t) = A(t)\varphi^{i}(t), \ \ \ \ t \geq a, \ \varphi^{i}(a) = e^{i}.
 		\]
-	$\varphi^{0}, \varphi^{i}$ ($i \in \{1,...,n\}$) sind eindeutige Lösungen, außerdem:
+	$\varphi^{0}, \varphi^{i}$ ($i \in \{1,\dots,n\}$) sind eindeutige Lösungen, außerdem:
 		\[
-			\phi(t) = \left[\varphi^{1}(t),...,\varphi^{n}(t) \right].
+			\phi(t) = \left[\varphi^{1}(t),\dots,\varphi^{n}(t) \right].
 		\]
 	Offenbar löst $y(t,s)$ die DGL:
 		\begin{salign*}
@@ -356,7 +357,7 @@
 		\]
 	Dies lässt sich umformen zu:
 		\[
-			B_{a}(\varphi^{0}(a) + \phi(a)s) + B_{b}(\varphi^{0}(b) + \phi(b)s) = g.
+			B_{a}(\underbrace{\varphi^{0}(a)}_{=0} + \underbrace{\phi(a)}_{=\mathbb{I}}s) + B_{b}(\varphi^{0}(b) + \phi(b)s) = g.
 		\]
 	Also:
 		\[
@@ -365,7 +366,7 @@
 \end{bem}
 
 \begin{satz}[Existenzsatz für lineare RWA]
-	Die lineare RWA besitzt eine eindeutige Lösung $y(t)$ für beliebige $f(t)$ und $g$ genau dann wenn: $B_{a} + B_{b}\phi(b) \in \R^{n\times n}$ regulär ist, bzw. die assoziierte RWA nur die triviale Lösung $y \equiv 0$ hat.
+	Die lineare RWA besitzt eine eindeutige Lösung $y(t)$ für beliebige $f(t)$ und $g$ genau dann, wenn $B_{a} + B_{b}\phi(b) \in \R^{n\times n}$ regulär ist, bzw. die assoziierte homogene RWA nur die triviale Lösung $y \equiv 0$ hat.
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
@@ -374,11 +375,11 @@
 			\left( B_{a} + B_{b}\phi(b) \right)s = g - B_{b}\varphi^{0}(b)
 		\]
 		eindeutig lösbar für $s \in \R^{n}$ und somit löst $y(t,s)$ die RWA. \\
-	\glqq $\Rightarrow$ \grqq: Die Lösung der RWA kann man darstellen als
+	\glqq $\Rightarrow$\grqq: Die Lösung der RWA kann man darstellen als
 		\[
-			y(t) = \varphi^{0}(t) + \phi(t)s, \ \ \ s \in \R^{n}.
+			y(t) = \varphi^{0}(t) + \phi(t)s, \ \ \ s \in \R^{n},
 		\]
-	weil die Funktionen $\{ \varphi^{1},...,\varphi^{n}\}$ eine Basis des Lösungsraum des assoziierten homogenen DGL bilden. \\
+	weil die Funktionen $\{ \varphi^{1},\dots,\varphi^{n}\}$ eine Basis des Lösungsraum des assoziierten homogenen DGL bilden. \\
 	Für homogene RWA gilt $g - B_{b}\varphi^{0}(b) = 0$ und die Gleichung für $s$ lautet
 		\[
 			\left( B_{a} +B_{b}\phi(b)\right)s = 0
@@ -390,28 +391,25 @@
 	Die Lösung einer linearen RWA ist im Kern die Lösung eines LGS.
 \end{bem}
 
-\begin{bem}
-	Nun betrachten wir die nichtlineare RWA
-		\[
-			y' = f(t,y), \ \ \ t \in [a,b], \ \ \ \ \ r(y(a),y(b)) = 0.
-		\]
-	Frage: falls die nichtlineare RWA eine Lösung $y(t)$ besitzt, ist diese lokal eindeutig? \\
-	Also existiert eine Umgebung $U_{R}(y) = \{ v \in C[a,b] \ | \ \norm{y-v}_{\infty} < R\}$, sodass es keine andere Lösung $\tilde{y} \neq y$ existiert? \\
-	Wir führen folgende Notationen ein:
-		\begin{salign*}
-			f_{x}'(t,x) &= \left( \frac{\partial f_{i}(t,x)}{\partial x_{j}} \right)_{i,j=1}^{n} \\
-			r_{x}'(t,x) &= \left( \frac{\partial r_{i}(x,y)}{\partial x_{j}} \right)_{i,j=1}^{n} \\
-			r_{y}'(t,x) &= \left( \frac{\partial r_{i}(x,y)}{\partial y_{j}} \right)_{i,j=1}^{n}
-		\end{salign*}
-	für die Jacobi-Matrizen von $f(t,\cdot)$, $r(\cdot,\cdot)$ ein.
-\end{bem}
+Nun betrachten wir die nichtlineare RWA
+	\[
+		y' = f(t,y), \ \ \ t \in [a,b], \ \ \ \ \ r(y(a),y(b)) = 0.
+	\]
+Frage: falls die nichtlineare RWA eine Lösung $y(t)$ besitzt, ist diese lokal eindeutig? \\
+Also existiert eine Umgebung $U_{R}(y) = \{ v \in C[a,b] \ | \ \norm{y-v}_{\infty} < R\}$, sodass keine andere Lösung $\tilde{y} \neq y$ existiert? \\
+Wir führen die Notationen
+	\begin{salign*}
+		f_{x}'(t,x) &= \left( \frac{\partial f_{i}(t,x)}{\partial x_{j}} \right)_{i,j=1}^{n} \\
+		r_{x}'(x,y) &= \left( \frac{\partial r_{i}(x,y)}{\partial x_{j}} \right)_{i,j=1}^{n} \\
+		r_{y}'(x,y) &= \left( \frac{\partial r_{i}(x,y)}{\partial y_{j}} \right)_{i,j=1}^{n}
+	\end{salign*}
+für die Jacobi-Matrizen von $f(t,\cdot)$, $r(\cdot,\cdot)$ ein.
 
 \begin{satz}[Lokale Eindeutigkeit]
-	Eine Lösung $y$ von nichtlinearen RWA ist lokal eindeutig genau dann wenn: \\
-	die lineare RWA 
+	Eine Lösung $y$ von nichtlinearen RWA ist lokal eindeutig genau dann, wenn die lineare RWA 
 		\begin{salign*}
 			& v'(t) = f_{x}'(t,y(t))v(t), \ \ \ \ \ \ t \in I, \\
-			& r_{x}'(y(a),y(b))v(a) + r_{y}'(y(a),y(b))v(b) = 0.
+			& r_{x}'(y(a),y(b))\cdot v(a) + r_{y}'(y(a),y(b))\cdot v(b) = 0
 		\end{salign*}
 	nur die triviale Lösung $v \equiv 0$ besitzt.
 \end{satz}