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2020-05-06 18:35:25 +02:00
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Das heißt $\lim_{n \to \infty} x_{i}^{(k)} = x_{i}$ (komponentenweise Konvergenz in $\R$ oder $\C$) Das heißt $\lim_{n \to \infty} x_{i}^{(k)} = x_{i}$ (komponentenweise Konvergenz in $\R$ oder $\C$)
\end{bem} \end{bem}
\begin{satz} \begin{satz}[Satz von Cauchy und Satz von Bolzano-Weierstraß]
(Satz von Cauchy und Satz von Bolzano-Weierstraß) \label{satz:bolzano}
\begin{enumerate}[1)] \begin{enumerate}[1)]
\item Jede Cauchy-Folge in $K^{n}$ konvergiert, d.h. der normierte Raum $(K^{n}, \norm{\cdot}_{\infty})$ ist vollständig. Ein vollständiger normierter Raum wird Banach-Raum genannt. \item Jede Cauchy-Folge in $K^{n}$ konvergiert, d.h. der normierte Raum $(K^{n}, \norm{\cdot}_{\infty})$ ist vollständig. Ein vollständiger normierter Raum wird Banach-Raum genannt.
\item Jede beschränkte Folge in $K^{n}$ besitzt eine konvergente Teilfolge. \item Jede beschränkte Folge in $K^{n}$ besitzt eine konvergente Teilfolge.
@@ -166,8 +166,8 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{satz} \begin{satz}[Eigenschaften offener Mengen]
(Eigenschaften offener Mengen) Es gilt: Es gilt:
\begin{enumerate}[(1)] \begin{enumerate}[(1)]
\item Sind $U$ und $V (\subseteq \K^{n})$ offen, dann ist $U \cap V$ offen. \item Sind $U$ und $V (\subseteq \K^{n})$ offen, dann ist $U \cap V$ offen.
\item Sei $U_{i} \subset \K^{n}, i \in I$ eine Familie offener Teilmengen. Dann ist auch $\underset{i \in I}{\bigcup} U_{i}$ offen. \item Sei $U_{i} \subset \K^{n}, i \in I$ eine Familie offener Teilmengen. Dann ist auch $\underset{i \in I}{\bigcup} U_{i}$ offen.
@@ -188,8 +188,8 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{korrolar} \end{korrolar}
\begin{definition} \begin{definition}[Abgeschlossene Menge]
(Abgeschlossene Menge) Eine Teilmenge $A \subset \K^{n}$ heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement $A^{c} \coloneqq \K^{n} \setminus A$ offen ist. Eine Teilmenge $A \subset \K^{n}$ heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement $A^{c} \coloneqq \K^{n} \setminus A$ offen ist.
\end{definition} \end{definition}
\begin{bsp} \begin{bsp}
@@ -202,8 +202,7 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{satz} \begin{satz}[Eigenschaften abgeschlossener Mengen]
(Eigenschaften abgeschlossener Mengen)
\begin{enumerate}[(1)] \begin{enumerate}[(1)]
\item Sind $V, U$ ($V,U \subset \K^{n}$) abgeschlossen, dann ist $U \cup V \subset \K^{n}$ auch abgeschlossen. \item Sind $V, U$ ($V,U \subset \K^{n}$) abgeschlossen, dann ist $U \cup V \subset \K^{n}$ auch abgeschlossen.
\item Sind $U_{i}, (i \in I)$ abgeschlossene Menge in $\K^{n}$. Dann ist $\underset{i \in I}{\bigcap} U_{i}$ auch abgeschlossen. \item Sind $U_{i}, (i \in I)$ abgeschlossene Menge in $\K^{n}$. Dann ist $\underset{i \in I}{\bigcap} U_{i}$ auch abgeschlossen.
@@ -226,15 +225,4 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{bsp} \end{bsp}
\end{document} \end{document}