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@@ -4,7 +4,7 @@
     \chapter{Kurven im \texorpdfstring{$\R^{n}$}{R\unichar{"207F}}}
     \section{Kurven}
     \begin{definition}[Kurve]
-        Eine Kurve $\gamma$ im $\R^n$ ist eine stetige Abbildung $\gamma\colon I\to \R^n$, $I$ Intervall (z.B. $I = [a,b]$ oder $I = \R$.) Schreibweise: \[\gamma(t) = \begin{pmatrix}
+        Eine Kurve $\gamma$ im $\R^n$ ist eine stetige Abbildung $\gamma\colon I\to \R^n$, $I$ Intervall (z.B. $I = [a,b]$ oder $I = \R$). Schreibweise: \[\gamma(t) = \begin{pmatrix}
             \gamma_1(t)\\
             \vdots\\
             \gamma_n(t)
@@ -13,14 +13,15 @@
     \end{definition}
     \begin{bsp}
         \begin{figure}[h]
+            \centering
             \captionsetup[subfigure]{justification=justified,singlelinecheck=false}
             \begin{subfigure}[b]{0.3\textwidth}
                 \begin{tikzpicture}
                     \draw[color=white] (-.5,-.5) -- (0,0);
-                    \draw[->,color=blue, thick] (1,1) -- (2,2);
+                    \draw[->,color=blue, thick] (0.5,0.5) -- node[above left] {$v$} (1.5,1.5);
                     \draw (0,0) -- (2,2);
-                    \node at (1,1) {\textbullet};
+                    \node at (0.5,0.5) {\textbullet};
-                    \node[below] at (1,1) {$a$};
+                    \node[below right] at (0.5,0.5) {$a$};
                 \end{tikzpicture}
                 \subcaption{Beispiel 1, Gerade}
             \end{subfigure}
@@ -83,6 +84,7 @@
         \end{enumerate}
     \end{definition}
     \begin{figure}
+        \centering
         \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
             \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
                 \begin{axis}[axis lines=middle]
@@ -164,7 +166,7 @@
     \begin{definition}[Tangente]
         Sei $\gamma\in C^1(I;\R^n)$. Sei ein $t_0\in I$ regulär (d.h. $\gamma'(t_0) \neq 0$). Dann ist die Tangente an $\gamma(t_0)$ eine Gerade durch $\gamma(t_0)$ in Richtung $\gamma'(t_0)$
         \[
-            \gamma(t_0) + s\gamma'(t_0) \mid s\in \R\}.  
+            \{\gamma(t_0) + s\gamma'(t_0) \mid s\in \R\}.  
         \]
     \end{definition}
     \section{Die Bogenlänge}
@@ -179,7 +181,7 @@
     \]
     Seien $\mathcal{Z}_1$ und $\mathcal{Z}_2$ zwei Zerlegungen und $\mathcal{Z}^*$ eine gemeinsame Verfeinerung. Dann gilt $S(\mathcal{Z}^*) \geq \max(S(\mathcal{Z}_1), S(\mathcal{Z}_2))$
     \begin{definition}[Rektifizierbarkeit]
-        Eine stetige Kurve $\gamma\in C^0(I;\R^n)$ heißt rektifizierbar, wenn die Menge aller Längen $S(\mathcal{Z})$ von Polygonen zu Partitionen $\mathcal{Z}$ von $I$ beschränkt ist. In diesem Fall heißt $S(\gamma) \colon \sup\{S(\mathcal{Z})\mid \mathcal{Z} \text{ Partition von } I\}$ die Länge von $\gamma$, in anderen Worten $\forall\epsilon > 0,\; \exists \delta > 0, \;\forall$ Partitionen von $I$ gilt:
+        Eine stetige Kurve $\gamma\in C^0(I;\R^n)$ heißt rektifizierbar, wenn die Menge aller Längen $S(\mathcal{Z})$ von Polygonen zu Partitionen $\mathcal{Z}$ von $I$ beschränkt ist. In diesem Fall heißt $S(\gamma) \coloneqq \sup\{S(\mathcal{Z})\mid \mathcal{Z} \text{ Partition von } I\}$ die Länge von $\gamma$, in anderen Worten $\forall\epsilon > 0,\; \exists \delta > 0, \;\forall$ Partitionen von $I$ gilt:
         \[
             \max_i |t_{i-1} - t_i| < \delta \implies |S(\mathcal{Z}) - S(\gamma)| < \epsilon
         \]
@@ -197,7 +199,7 @@
             \left.\gamma\right|_{[s_{i-1}, s_i]} \in C^1([s_{i-1},s_i], \R^n),\quad \forall i = 1, \dots, M.  
         \]
         Dann ist $\gamma$ rektifizierbar und hat die Länge \[S(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}_2\d t = \sum_{i = 1}^{M}\int_{s_{i-1}}^{s_i} \norm{\gamma'(t)}_2 \d t.\]
-        Insbesondere hat der Graph einer $C_1$-Funktion $f\in C^1([a,b], \R), \quad \gamma_f(t)\colon (t, f(t))^T$ die Länge \[S(\gamma_f) = \int_a^b \sqrt{1 + f'(t)^2} \d t.\]
+        Insbesondere hat der Graph einer $C_1$-Funktion $f\in C^1([a,b], \R), \ \gamma_f(t)\coloneqq (t, f(t))^T$ die Länge \[S(\gamma_f) = \int_a^b \sqrt{1 + f'(t)^2} \d t.\]
      \end{satz}
      \begin{proof}
          Sei $\mathcal{Z} = \{t_0, \dots, t_N\}$ eine Partition, betrachte $\mathcal{Z}^* = \mathcal{Z} \cup \{s_0,\dots, s_M\} = \{x_0,\dots, x_K\}$. Dann gilt
@@ -213,7 +215,7 @@
         \[
             S(\mathcal{Z}) \geq \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t - \epsilon.  
         \]
-        Fixiere dazu ein $\epsilon > 0$. Wähle dann eine Treppenfunktion $\varphi$ auf $[a,b]$ mit \[\norm{\gamma'(t) - \varphi(t)} \le \frac{\epsilon}{2(b-a)} \forall t\in [a,b]\setminus\{s_0,\dots, s_M\}\]
+        Fixiere dazu ein $\epsilon > 0$. Wähle dann eine Treppenfunktion $\varphi$ auf $[a,b]$ mit \[\norm{\gamma'(t) - \varphi(t)} \le \frac{\epsilon}{2(b-a)} \quad \forall t\in [a,b]\setminus\{s_0,\dots, s_M\}\]
         ($\varphi$ existiert, weil $\gamma'(t)$ stückweise stetig ist). Wähle ferner eine (feine) Partition $a = t_0< t_1< \dots < t_N = b$, s.d. $\varphi\big|_{[t_{i-1}, t_i]}$ konstant ist $\forall i = 1,\dots, N$. Dann gilt nämlich 
         \begin{salign*}
             S(Z) &= \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \gamma'(t) \d t}\\
@@ -223,30 +225,28 @@
             &\geq \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t) \d t} - \sum_{i = 1}^{N}\frac{\epsilon}{2(b-a)}|t_i-t_{i-1}|\\
             &= \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t) \d t} - \frac{\epsilon}{2}\\
             &\stackrel{\varphi(t) = \mathrm{const}}{=} \sum_{i = 1}^{N}\int_{t_{i-1}}^{t_i} \norm{\varphi(t)} \d t - \frac{\epsilon}{2}\\
-            &= \sum_{i = 1}^{N}\norm{\gamma'(t) + (\varphi(t) - \gamma'(t))} \d t - \frac{\epsilon}{2}\\
+            &= \sum_{i = 1}^{N}\int_{t_{i-1}}^{t_i}\norm{\gamma'(t) + (\varphi(t) - \gamma'(t))} \d t - \frac{\epsilon}{2}\\
             &\stackrel{\text{analog}}{\geq} \sum_{i = 1}^{N}\int_{t_{i-1}}^{t_i} \norm{\gamma'(t)} \d t - \epsilon = \int_a^b\norm{\gamma'(t)} \d t - \epsilon
         \end{salign*}
         Also existiert für ein beliebiges $\epsilon > 0$ eine Zerlegung $\mathcal{Z}$ mit $S(\mathcal{Z}) \geq \int_a^b\norm{\gamma'(t)}\d t - \epsilon$. Zusammen mit $S(y) \leq \int_a^b\norm{\gamma'(t)}\d t$ folgt $S(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t$.
      \end{proof}
      \begin{figure}[h]
+        \centering
         \captionsetup[subfigure]{justification=justified,singlelinecheck=false}
         \begin{subfigure}[b]{0.3\textwidth}
             \begin{tikzpicture}
                 \draw[color=white] (-.5,-.5) -- (0,0);
-               \draw[color=black] (1.5,0) arc [start angle=0, end angle=200, radius=1.5] -- node[pos=.5, below] {$r$} (0,0);
+                \draw[color=black] (1.5,0) -- node[below] {$r$} (0,0) -- node[below] {$r$} (200:1.5);
-               \draw[color=blue] (1.5,0)  arc [start angle=0, end angle=200, radius=1.5];
+                \draw[color=black] (.4,0) arc [start angle=0, end angle=200, radius=.4] node[pos=0.45, below] {$\varphi$};
-               \draw[color=black] (.4,0) arc [start angle=0, end angle=200, radius=.4];
+                \draw[color=blue] (1.5,0) arc [start angle=0, end angle=200, radius=1.5] node[near start, right] {$\gamma$};
-               \draw (0,0) -- node[pos=.5,below] {$r$} (1.5,0);
-               \node[color = blue] at (1.6,.4) {$\gamma$};
-               \node at (0,.2) {$\varphi$};
             \end{tikzpicture}
             \subcaption{Beispiel 1: Kreisbogen}
         \end{subfigure}
         \begin{subfigure}[b]{0.6\textwidth}
             \begin{tikzpicture}
-                \begin{axis}[axis equal image, axis lines=middle,width=\textwidth, xticklabels={0, $\pi$, $2\pi$}, xtick={0,3.14,6.28}, ymin=0,ymax=2, smooth]
+                \begin{axis}[axis equal image, axis lines=middle, xticklabels={0, $\pi$, $2\pi$}, xtick={0,3.14,6.28}, ymin=0,ymax=2.2, xmax=6.5, smooth]
                     \addplot[domain=0:6.28] ({x-sin(180/3.14 * x)},{1-cos(180/3.14 * x)});
-                    \draw (3.14,1) circle (1);
+                    \draw (3.14,1) circle [radius=1];
                     \node at (3.14,2) {\textbullet};
                 \end{axis}
             \end{tikzpicture}
@@ -269,13 +269,14 @@
              \end{pmatrix}$ und daher
              $\norm{\gamma'(t)}_2^2 = 1 - 2 \cos(t) + \cos^2(t) + \sin^2(t) = 2 - 2\cos(t) = 4 \sin^2(\frac{t}{2})$. Insgesamt gilt also
              \[
-                S(\gamma) = \int_0^{2\pi} \underbrace{\left|2\sin\left(\frac{t}{2}\right)\right|}_{\geq 0} \d t \oldstackrel{x = \frac{t}{2}}{=} 4\int_0^\pi \sin(x) \d x = 8\]
+                S(\gamma) = \int_0^{2\pi} \left|\smash[b]{\underbrace{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)}_{\geq 0}}\right| \d t \oldstackrel{x = \frac{t}{2}}{=} 4\int_0^\pi \sin(x) \d x = 8
+                \vphantom{\underbrace{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)}_{\geq 0}}\]
          \end{enumerate}
      \end{bsp}
      \section{Parametertransformationen}
      \begin{definition}[Parametertransformation]
         \begin{enumerate}
-            \item Sei $\varphi\colon [\alpha, \beta]\! \to\! [a,b]$ eine $C^k$-Abbildung $(k\in \N_0 \cup \infty_+)$ zwischen den Intervallen $[\alpha,\beta]$ und $[a,b]$, 
+            \item Sei $\varphi\colon [\alpha, \beta]\! \to\! [a,b]$ eine $C^k$-Abbildung $(k\in \N_0 \cup +\infty)$ zwischen den Intervallen $[\alpha,\beta]$ und $[a,b]$, 
             sei außerdem $\varphi$ bijektiv und $\varphi^{-1} \in C^k([a,b],\;[\alpha, \beta])$.
             Dann heißt $\varphi$ eine $C^k$-Parametertransformation. 
             \item Sei weiter $\gamma\colon [a,b]\to\R^n$ eine Kurve. Dann heißt die Kurve $\delta:[\alpha, \beta] \to \R^n,\;\delta \coloneqq \gamma\circ \varphi$ die Umparametrisierung von $\gamma$ (mittels $\varphi$).
@@ -290,8 +291,8 @@
                 S(\gamma\circ \varphi) &= \int_\alpha^\beta \norm{(\gamma\circ \varphi)'(\tau)} \d \tau\\
                 &\stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \int_\alpha^\beta\norm{\gamma'(\varphi(\tau)) \cdot \varphi'(\tau)} \d \tau\\
                 &= \begin{cases}
-                    \int_\alpha^\beta \norm{\gamma'(\varphi(\tau))}\cdot \varphi'(\tau) \d \tau&\varphi'(\tau) > 0, \tau \in [a,b]\\
+                    \int_\alpha^\beta \norm{\gamma'(\varphi(\tau))}\cdot \varphi'(\tau) \d \tau&\varphi'(\tau) > 0, \tau \in [\alpha, \beta]\\
-                    -\int_\alpha^\beta \norm{\gamma'(\varphi(\tau))}\cdot \varphi'(\tau) \d \tau&\varphi'(\tau) < 0, \tau \in [a,b]\\
+                    -\int_\alpha^\beta \norm{\gamma'(\varphi(\tau))}\cdot \varphi'(\tau) \d \tau&\varphi'(\tau) < 0, \tau \in [\alpha, \beta]\\
                 \end{cases}\\
                 &\stackrel{\substack{t=\varphi(\tau)\\\d t = \varphi'(\tau)\d \tau}}{=}
                 \begin{cases}
@@ -301,9 +302,9 @@
                 &= \int_a^b\norm{\gamma'(t)} \d t\\
                 &= S(\gamma)
             \end{salign*}
-            \item Umparametrisierung auf Bogenlänge. Sei $\gamma\colon [a,b] \to \R^n$ eine reguläre $C^1$-Kurve, d.h. $\gamma'(t) \neq 0\forall t\in [a,b]$. Definiere die Abbildung $\sigma\colon [a,b] \to [0, S(\gamma)]$ durch 
+            \item Umparametrisierung auf Bogenlänge. Sei $\gamma\colon [a,b] \to \R^n$ eine reguläre $C^1$-Kurve, d.h. $\gamma'(t) \neq 0 \ \forall t\in [a,b]$. Definiere die Abbildung $\sigma\colon [a,b] \to [0, S(\gamma)]$ durch 
             \[
-                \sigma(t) \coloneqq \int_a^t\norm{\gamma'(\tau)} \d \tau \left(= S(\gamma(t))\bigg|_{[a,t]}\right).
+                \sigma(t) \coloneqq \int_a^t\norm{\gamma'(\tau)} \d \tau \left(= S\left(\gamma(t)\big|_{[a,t]}\right)\right).
             \]
             Wir können zeigen, dass $\varphi\coloneqq \sigma^{-1}$ eine orientierungstreue $C^1$-Parametertransformation ist und für die (\glqq auf Bogenlänge\grqq) umparametrisierte Kurve $\beta\colon [0,S(\gamma)]\to \R^n$ gilt \[S\left(\beta\big|_{[0,x]}\right) = x,\; \norm{\beta'(x)} = 1,\; \forall x\in [0,S(\gamma)].\]
             \begin{proof}
@@ -315,4 +316,33 @@
             \end{proof}
         \end{enumerate}
     \end{bem}
+
+    \begin{bsp}
+        Umparametrisierung auf Bogenlänge einer Zykloide: Es gilt $\gamma(t) = (t-\sin t, 1-\cos t)^T$ und damit
+        \begin{align*}
+            \norm{\gamma'(t)} &= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right), \qquad 0\le t \le 2\pi\\
+            \implies \norm{\gamma'(t)} &> 0 \qquad \text{für }  2\varepsilon \le t \le 2\pi-2\varepsilon, \ \varepsilon > 0
+        \end{align*}
+        Betrachte also $\gamma \colon [2\varepsilon, 2\pi-2\varepsilon] \to \R^2$. Wir definieren
+        \begin{salign*}
+            \sigma(t) &= S\left(\gamma\big|_{[2\varepsilon,t]}\right)\\
+            &= \int_{2\varepsilon}^t \norm{\gamma'(\tau)} \d \tau \\
+            &= 2\int_{2\varepsilon}^t \sin\left(\frac{\tau}{2}\right) \d \tau \\
+            &\stackrel{\substack{s=\tau/2\\\mathrm{d} s=\mathrm{d}\tau/2}}{=} 4\int_{\varepsilon}^{t/2} \sin s \d s\\
+            &= -4\cos s\big|_{\varepsilon}^{t/2}
+             = 4\left(\cos\varepsilon - \cos\frac{t}{2}\right)
+        \end{salign*}
+        Somit gilt $\sigma \colon [2\varepsilon,2\pi-2\varepsilon] \to [0,8\cos\varepsilon]$. Ziel:
+        \begin{align*}
+            \varphi \colon [0,8\cos\varepsilon] &\to [2\varepsilon,2\pi-2\varepsilon]\\
+            s &\mapsto \varphi(s)=t
+        \end{align*}
+        Dazu setzen wir $\varphi = \sigma^{-1}$ und bestimmen die Umkehrfunktion von $\sigma$
+        \begin{align*}
+            s &= 4\left(\cos\varepsilon - \cos\frac{t}{2}\right)\\
+            \implies \cos\frac{t}{2} &= \cos\varepsilon - \frac{s}{4}\\
+            \implies t &= \underbrace{2 \arccos\left(\cos\varepsilon-\frac{s}{4}\right)}_{\varphi\mathrlap{(s), \ s \in [0,8\cos\varepsilon]}}
+        \end{align*}
+        Insgesamt erhalten wir $\beta(s) = \gamma(\varphi(s))$.
+    \end{bsp}
 \end{document}