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\documentclass{lecture} |
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\begin{document} |
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\newcommand{\dv}[2]{\frac{\d #1}{\d #2}} |
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\newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}} |
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\chapter{Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen} |
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\section{Explizite Differentialgleichungen} |
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Differentialgleichungen (DGLn) sind Gleichungen der Form |
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\[ |
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F(t,y,y',\dots, y^{(n)}) = 0\quad\text{implizite Form} |
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\] oder |
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\[ |
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y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})\quad\text{explizite Form} |
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\] |
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für eine gesuchte Funktion $y = y(t),\; t\in I,\; I\subset \R$ "Zeitinvervall"% $(y^{(k)} = \frac{\d[k]}{\d t^k} y)$. |
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Differentialgleichungen $n$-ter Ordnung sind äquivalent zu speziellen Systemen DGL 1. Ordnung. Betrachte $y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})$ (sei $y\colon I\to \R,I\subset \R)$. Definiere Hilfsvariablen: |
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\begin{align*} |
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x_1 &\coloneqq y\\ |
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x_2 &\coloneqq y'\\ |
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&\vdots\\ |
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x_n\coloneqq y^{(n-1)} |
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\end{align*}, also $x\in \R^n$. Ein äquivalentes System von Differentialgleichungen 1. Ordnung ist dann |
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\[ |
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x' = \tilde{f}(t,x),\quad \tilde{f} = \begin{pmatrix} |
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x_2\\x_3\\\vdots\\f(t,x) |
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\end{pmatrix} |
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\] |
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Ein allgemeines System von Differentialgleichungen 1. Ordnung hat die Form |
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\[ |
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x' = f(t,x),\quad x\in \R^n,\quad f\in \R^n |
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\] |
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Notationen: $x' = f(t,x), \dot x = f(t,x), \dv{x}{t} = f(t,x)$ (Dynamischer Prozess, der sich mit der Zeit ändert.) |
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\begin{bsp} |
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\begin{enumerate} |
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\item einfache lineare Differentialgleichung \[x' = \alpha x,\quad \alpha \in \R\] hat die Lösung $x(t) = c\cdot e^{\alpha t}$, da \[\dv{f}{t} = c\cdot e^{\alpha t}\cdot \alpha = \alpha \cdot x(t)\] |
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\item Newton: Kraft = Masse $\cdot$ Beschleunigung. \begin{align*} |
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y(t)&\in \R &&\text{Ort eines Massenpunktes zur Zeit $t$}\\ |
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y'(t)&\in \R &&\text{Geschwindigkeit}\\ |
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y''(t)&\in \R &&\text{Beschleunigung} |
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\end{align*} |
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Kraftfunktion: $f(t,y,y') \in \R$. |
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\[ |
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my'' = f(t,y,y')\quad \text{DGL 2. Ordnung} |
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\] |
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äquivalent zum System: |
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\begin{align*} |
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x_1'&= x_2& \text{mit } x_1 &= y,\\ |
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x_2'&= \frac{1}{m}f(t,x_1,x_2)& x_2&= y' |
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\end{align*} |
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\item Räuber-Beute-Gleichungen (Lotka-Volterra-Gleichungen) |
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\begin{align*} |
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N_1 &= N_1(t) &&\text{Anzahl von Beute}\\ |
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N_2 &= N_2(t) &&\text{Anzahl von Räuber}\\ |
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N_1' &= \alpha N_1 - \beta N_1N_2 &&\alpha > 0\text{ Reproduktionsrate der Beute}\\ |
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&&&\beta > 0\text{ Fressrate der Räuber pro Beute}\\ |
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N_2' &= -\gamma N_2 + \delta N_1N_2&&\gamma > 0\text{ Sterberate der Räuber, wenn keine Beute vorhanden ist}\\ |
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& &&\delta > 0\text{ Reproduktionsrate der Räuber pro Beute} |
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\end{align*} |
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\item SIR - Modell aus Epidemiologie (z.B. Corona): |
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\item \begin{tabular}{ccc} |
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succeptible & infected & removed\\ |
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$S(t)$ & $I(t)$ & $R(t)$ |
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\end{tabular} |
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\begin{align*} |
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N &= I + S + R\\ |
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\dv{S}{t} &= \nu N - \beta \frac{SI}{N}-\mu S\\ |
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\dv{I}{t} &= \beta \frac{SI}{N} - \gamma I - \mu I\\ |
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\dv{R}{t} &= \gamma I - \mu R |
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\end{align*} |
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Dabei sei |
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\begin{align*} |
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\gamma&\text{ die Rate, mit der Infizierte genesen oder sterben,}\\ |
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\mu&\text{ die allgemeine Sterberate pro Person,}\\ |
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\nu&\text{ die Geburtsrate pro Person,}\\ |
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\beta& |
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\text{ die Anzahl neuer Infektionen, die ein erster infektiöser Fall pro Zeit verursacht und}\\ |
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\frac{\beta}{N}& \text{ die Transmissionsrate.} |
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\end{align*} |
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\end{enumerate} |
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\end{bsp} |
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%\begin{figure}[h] |
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% \caption{Veranschaulichung: Richtungsfeld |
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%\end{figure} |
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\begin{definition}[System erster Ordnung] |
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Sei $D = I\times \Omega \subset \R\times \R^n,\quad f\colon D\to \R^n$ stetig. Dann heißt |
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\begin{equation} |
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y'=f(t,y)\label{DGLOrd1}\tag{$\star$} |
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\end{equation} |
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ein System von $n$ Differentialgleichungen 1. Ordnung. |
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\end{definition} |
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Eine Lösung von \eqref{DGLOrd1} ist eine differenzierbare Funktion $y:I\to \R^n$ mit |
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\begin{enumerate}[(a)] |
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\item $\graph(y)\coloneqq \{(t,y(t))\in \R\times \R^n\mid t\in I\}\subset D$ und |
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\item $y'(t) = f(t,y(t))\quad \forall t\in I$. |
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\end{enumerate} |
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\begin{bem} |
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$y = \begin{pmatrix} |
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y_1\\\vdots\\y_n |
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\end{pmatrix}$ und $f=\begin{pmatrix} |
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f_1\\\vdots\\f_n |
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\end{pmatrix}$ Dann ist |
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\begin{align*} |
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\eqref{DGLOrd1} \Leftrightarrow y_1'&= f_1(t,y_1,\dots,y_n)\\ |
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\vdots&\\ |
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y_n'&= f_n(t,y_1,\dots,y_n) |
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\end{align*} |
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\end{bem} |
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\begin{definition}[Anfangswertaufgabe/Anfangswertproblem] |
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AWA zu \eqref{DGLOrd1} ist: |
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\begin{align*} |
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y' &= f(t,y),\quad t\in I \\ |
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y(t_0) &= y_0&&\text{Anfangsbedingung} |
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\end{align*} |
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Gesucht wird eine differenzierbare Funktion $y\colon I\to \R^n$ derart, dass |
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\begin{enumerate} |
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\item $\graph(y) \subset D$ |
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\item $y'(t) = f(t,y(t)),\;t\in I$ |
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\item $y(t_0) = y_0$ |
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\end{enumerate} |
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\end{definition} |
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\begin{satz}[DGL $\leftrightarrow$ Integralgleichung] |
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Sei $D\subset \R\times \R^n,\; f\colon D\to \R^n$ stetig, $(t_0,y_0)\in D$ und $y\colon I\to \R^n$ stetig mit $\graph(y)\subset D,\; t_0\in I$. Dann gilt |
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\[ |
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y\text{ löst AWA }y'=f(t,y),\;y(t_0)=y_0\Leftrightarrow y(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f(s,y(s))\d s \quad \forall t\in I |
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\] |
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\end{satz} |
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\begin{proof} |
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"$\Rightarrow$". Sei $y$ eine Lösung von AWA. Dann ist $y$ diffbar mit $y'(t) = f(t,y(t))$. |
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\[\implies \int_{t_0}^t f(s,y(s)) \d s= \int_{t_0}^t y'(s)\d s \oldstackrel{\text{HDI}}{=} y(t) - y(t_0) = y(t)-y_0.\] |
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"$\Leftarrow$". Sei die Integralgleichung erfüllt. Falls $t = t_0\implies y(t_0) = y_0 \implies$ c). Aus dem HDI folgt komponentenweise $y'(t) = f(t,y(t)) \implies y$ löst AWA. |
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\end{proof} |
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\section{AWA: Existenz von Lösungen} |
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\begin{satz}[Existenzsatz von Peano]\ \\ |
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Die Funktion $f(t,x)$ sei stetig auf dem $(n+1)$-dimensionalen Zylinder |
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\[ |
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D = \{(t,x)\in \R\times \R^n\mid |t-t_0| \le \alpha,\; \norm{x-y_0}\le \beta\} |
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\] |
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Dann existiert eine Lösung $y(t)$ von AWA auf dem Intervall $I \coloneqq [t_0-T,t_0+T]$ mit \[T \coloneqq \min_{y(t)}\{\alpha,\frac{\beta}{M}\},\; M\coloneqq \max_{(t,x)\in D}\norm{f(t,x)}\] |
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\end{satz} |
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Reminder: |
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\begin{enumerate} |
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\item Gleichmäßige Stetigkeit: \[f\colon D\to \R,\; D\subset \R^n\] ist gleichmäßig stetig in $D$, falls $\forall \epsilon > 0,\;\exists \delta > 0$, sodass $\forall x,x_0\in D$ gilt \[\norm{x-x_0}< \delta \implies \norm{f(x)-f(x_0)}< \epsilon\] |
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\item Gleichgradige Stetigkeit: Sei $\mathcal{F} \subset C[a,b]$. Dann ist $\mathcal{F}$ gleichgradig stetig, falls $\forall \epsilon> 0\;\exists \delta > 0$, sodass $\forall f\in \mathcal{F}$ gilt \[\forall t,t'\in [a,b],\; |t-t'| <\delta \implies \norm{f(t)-f(t')}<\epsilon\] |
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\item Satz von Arzela-Ascoli: |
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Sei $(f_n)_{n\in \N}$ eine Folge in $C[a,b]$, die gleichmäßig beschränkt und gleichgradig stetig ist, d.h. |
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\[\sup_{n\in \N} \norm{f_n}_\infty < \infty\] und |
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\[\forall\epsilon > 0,\;\exists \delta > 0,\forall n\in \N\colon\; \max_{\substack{t,t'\in [a,b]\\|t-t'|\le \delta}} \norm{f_n(t)-f_n(t')} < \epsilon.\] |
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Dann existiert eine Teilfolge $(f_{n_k})_{k\in \N}$, welche gegen $f\in C[a,b]$ konvergiert, d.h. \[\norm{f_{n_k} - f}_\infty \to 0\] |
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\item Dreiecksungleichung für Integrale. Sei $y\colon [a,b] \to\R^n$ stetig, $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm auf $\R^n$. Dann |
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\[\norm{\int_a^by(t)\d t} \le \int_a^b\norm{y(t)} \d t,\] hier: |
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\[\int_a^by(t)\d t\coloneqq \begin{pmatrix} |
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\int_a^by_1(t)\d t\\ |
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\vdots\\ |
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\int_a^by_n(t)\d t |
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\end{pmatrix}\in \R^n\] |
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\end{enumerate} |
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\begin{proof} (Satz von Peano)\\ |
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Idee: Konstruiere eine Folge stetiger Funktionen (Eulersches Polygonzugverfahren). Aus dem Satz von Arzela-Ascoli folgt dann, dass es eine Teilfolge gibt, die gegen eine Lösung von AWA konvergiert.\\ |
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O.b.d.A. betrachte Halbintervall $I = [t_0,t_0+T]$. Sei $h>0$ Schrittweitenparameter $(h\to 0)$. Wähle eine äquidistante Unterteilung des Intervalls $I$. |
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\[t_0 < t_1 < \dots < t_N = t_0 + T,\quad h = |t_k-t_{k-1}|\] |
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Eulersches Polygonzugverfahren:\begin{itemize} |
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\item Starte mit $y_0^h \coloneqq y_0$. |
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\item Für $n\ge 1$, berechne $y_n^h=y_{n-1}^h + hf(t_{n-1},y_{n-1}^h)$. |
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\end{itemize} |
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Definiere die stückweise lineare Funktion $y^h(t)$ |
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\[y^h(t)\coloneqq y_{n-1}^h + (t-t_{n-1})f(t_{n-1},y_{n-1}^h),\quad t\in [t_{n-1},t_n],\quad \forall n\ge 1\] |
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\begin{enumerate} |
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\item \textbf{z.Z.} dass dieses Verfahren durchführbar ist, d.h. $\graph(y^k)\subset D$. Sei $(t,y^h(t))\subset D$ für $t_0 \le t\le t_{k-1}$. Dann gilt |
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\[ |
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\underbrace{(y^h(t))'}_{\coloneqq \dv{y^h(t)}{t}} \equiv f(t_{k-1},y_{k-1}^h),\quad t\in [t_{k-1},t_k] |
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\] |
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Nach Konstruktion gilt für $t\in [t_{k-1},t_k]$: |
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\begin{align*} |
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y^h(t)-y_0 &= y^h(t)-y_{k-1}^h + y_{k-1}^h - y_{k-2}^h+ \dots + y_1^h-y_0^h\\ |
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&= y^k(t)-y_{k-1}^h + \sum_{i = 1}^{k-1}(y_i^h-y_{i-1}^h)\\ |
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&= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = 1}^{k-1}h\cdot f(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\ |
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\implies \norm{y^h(t)-y_0}&\le (t-t_{k-1})\norm{f(t_{k-1},y_{k-1}^h)} + h \sum_{i = 1}^{k-1}\norm{f(t_{i-1},y_{i-1}^h)}\\ |
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&\le (t-t_{k-1})\cdot M + \underbrace{h(k-1)}_{=t_{k-1}-t_0} \cdot M\\ |
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&= (t-t_0)\cdot M\\ |
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&\le T\cdot M\\ |
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&= \min \{\alpha,\frac{\beta}{M}\}\cdot M\\ |
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&\le \beta |
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\end{align*} |
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Also ist $(t,y^h(t))\in D$ für $t_{k-1} \le t\le t_k$. Mit Annahme folgt $(t,y^h(t))\in D$ für $t_0\le t\le t_k \implies \graph(y^h)\subset D$. |
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\item \begin{enumerate}[(a)] |
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\item \textbf{z.Z.} dass die Funktionenfamilie $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig ist. Seien dafür $t,t'\in I, t'\le t$ beliebig mit $t\in [t_{k-1},t_k],\; t'\in [t_{j-1},t_j]$ für ein $t_j\le t_k$.\begin{itemize} |
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\item $t,t' \in [t_{k-1},t_k]$: |
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\begin{align*} |
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y^h(t)-y^h(t')&= y_{k-1}^h + (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h)\\ |
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&\quad - (y_{k-1}^h + (t'-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h))\\ |
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&= (t-t') f(t_{k-1},y_{k-1}^h)\\ |
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\implies \norm{y^h(t)-y^h(t')} &\le |t-t'| \cdot M |
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\end{align*} |
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\item $t_j<t_k$: \begin{align*} |
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y^h(t)-y^h(t') &= y^h(t) -y_{k-1}^h + y_{k-2}^h - \dots -y_{j-1}^h + y_{j-1}^h-y^h(t')\\ |
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&= y^h(t) - y_{k-1}^h + \sum_{i = j}^{k-1}(y_i^h-y_{i-1}^h) + y_{j-1}^h -y^h(t')\\ |
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&= (t-t_{k-1}f(t_{k-1},y_{k-1}^h)) + \sum_{i = j}^{k-1}hf(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\ |
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&\quad + (t_{j-1} -t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)\\ |
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&= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = j+1}^{k-1}hf(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\ |
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&\quad +hf(t_{j-1},y_{j-1}^h) + (t_{j-1}-t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)\\ |
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&= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + h\sum_{i = j+1}^{k-1}f(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\ |
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&\quad + (\underbrace{h + t_{j-1}}_{z_j} - t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h) |
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\end{align*} |
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Daraus folgt |
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\[\norm{y^h(t)-y^h(t')}\le (t-t_{k-1})M + (t_{k-1}-t_j)M + (t_j-t')M\\ |
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= |t-t'|M\] |
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Wählt man also für ein beliebiges $\epsilon > 0$ $\delta = \frac{\epsilon}{M}$, so gilt $\forall h$ |
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\[|t-t'| < \delta \implies \norm{y^h(t)-y^h(t')} < \epsilon\] |
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Daher ist $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig (sogar gleichgradig Lipschitz-stetig). |
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\end{itemize} |
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\item \textbf{z.Z.} $y^h$ ist gleichmäßig beschränkt. Es gilt $\forall t\in [t_0,t_0+T]$ |
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\begin{align*} |
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\norm{y^h(t)} = \norm{y^h(t)-\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}} + y_0}\\ |
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&\le \underbrace{\norm{y^h(t)-y_0}}_{\text{siehe 1)}} + \norm{y_0}\\ |
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&\le M\cdot T + \norm{y_0} |
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\end{align*} |
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Also ist $y^h$ gleichmäßig beschränkt. |
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\end{enumerate} |
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Nach dem Satz von Arzela-Ascoli existiert eine Nullfolge $(h_i)_{i\in \N}$ und eine stetige Funktion $y\colon I\to \R^n$ so dass |
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\[\max_{t\in I} \norm{y^{h_i} - y(t)} \xrightarrow{i\to \infty} 0\] |
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Offenbar ist also $\graph(y)\subset D$. |
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\item \textbf{z.Z.} $y(t)$ erfüllt die Differentialgleichung $y'(t) = f(t,y(t))$ oder äquivalent dazu: $y(t)$ erfüllt die Integralgleichung \[y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s,y(s))\d s\] |
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\end{enumerate} |
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\end{proof} |
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\end{document} |
