replace w with omega, replace bold face with underlines, fix some typos in last proof

ana12.tex

@@ -2,14 +2,22 @@
 \begin{document}
 \newcommand{\pdv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
 \newcommand{\dv}[2]{\frac{\d #1}{\d #2}}
+
 \section{Totale Differenzierbarkeit}
-Erinnerung (Analysis 1) $f \colon D \to \R,\; D \subset \R$, ist genau dann in $x\in D$ differenzierbar, falls $f$ in $x$ "gut" linear approximierbar ist, d.h. $\exists a\in \R$ mit $f(x + h) = f(x) + a\cdot h + w(h)$ wobei $\lim\limits_{h\to 0} \frac{w(h)}{|h|} = 0 (f'(x) = a)$.
+Erinnerung (Analysis 1) $f \colon D \to \R,\; D \subset \R$, ist genau dann in $x\in D$ differenzierbar, falls $f$ in $x$ ,,gut`` linear approximierbar ist, d.h. $\exists a\in \R$ mit $f(x + h) = f(x) + a\cdot h + w(h)$ wobei $\lim\limits_{h\to 0} \frac{w(h)}{|h|} = 0 (f'(x) = a)$.
+
 \begin{definition}[total differenzierbar]
-    Es sei $D\subset \R^n$ offen und $f\colon D \to \R^m$ eine Abbildung. $f$ heißt im Punkt $x\in D$ \textbf{(total) differenzierbar}, falls es eine \textbf{lineare Abbildung} $A \colon \R^n \to \R^m$ gibt, sodass 
+    Es sei $D\subset \R^n$ offen und $f\colon D \to \R^m$ eine Abbildung. $f$ heißt im Punkt $x\in D$ \underline{(total) differenzierbar}, falls es eine lineare Abbildung $A \colon \R^n \to \R^m$ gibt, sodass 
     \begin{equation}\label{eq:diffbar}
         \lim\limits_{\stackrel{h\to 0}{h\neq 0}} \frac{f(x + h) - f(x) - A\cdot h}{\norm{h}} = 0
     \end{equation}
-    Oft wird (\ref{eq:diffbar}) durch eine Bedingung an den Rest $w(h),\; w\colon D \to \R^m$ definiert $f(x + h) = f(x) + A\cdot h + w(h)$, wobei $\lim\limits_{h\to 0} \frac{\norm{w(h)}}{\norm{h}} = 0 (\Leftrightarrow (\ref{eq:diffbar}), \Leftrightarrow w(h) = o(\norm{h}))$. Da alle Normen auf $\R^m$ äquivalent sind, ist es gleichgültig, welche Norm man in (\ref{eq:diffbar}) verwendet. $A$ heißt das \textbf{Differential} von $f$ im Punkt $x$. 
+    Oft wird (\ref{eq:diffbar}) durch eine Bedingung an den Rest $\omega(h),\; \omega\colon D \to \R^m$
+    definiert:
+    \[
+        f(x + h) = f(x) + A\cdot h + \omega(h)
+    ,\] wobei $\lim\limits_{h\to 0} \frac{\norm{\omega(h)}}{\norm{h}} = 0 \;(\Leftrightarrow (\ref{eq:diffbar}), \Leftrightarrow \omega(h) = o(\norm{h}))$. Da alle Normen auf $\R^m$ äquivalent sind, ist es gleichgültig, welche Norm man in (\ref{eq:diffbar}) verwendet.
+
+    $A$ heißt das \underline{Differential} von $f$ im Punkt $x$. 
     Schreibweise: \[\d f(x),\; \d f\bigg|_x,\; \d f_x,\; Df(x),\; Df\bigg|_x,\; Df_x,\; \d f(x)\bigg|_{x = x_0},\; Df(x_0).\]
 \end{definition}
 \begin{bem}
@@ -27,8 +35,8 @@ Erinnerung (Analysis 1) $f \colon D \to \R,\; D \subset \R$, ist genau dann in $
     \begin{enumerate}[1)]
         \item Sei $f$ differenzierbar. Dann gilt \begin{align*}
             \lim\limits_{h_i\to 0} \frac{f(x + h_i \cdot e^{(i)}) - f(x)}{h_i}
-            &= \lim\limits_{h_i\to 0} \left(Df(x) \cdot e^{(i)} + \frac{w(h_i)}{h_i}\right)\\
-            &= Df(x) \cdot e^{(i)} + \underbrace{\lim\limits_{h_i\to 0} \frac{w(h_i)}{h_i}}_{\to 0}\\
+            &= \lim\limits_{h_i\to 0} \left(Df(x) \cdot e^{(i)} + \frac{\omega(h_i)}{h_i}\right)\\
+            &= Df(x) \cdot e^{(i)} + \underbrace{\lim\limits_{h_i\to 0} \frac{\omega(h_i)}{h_i}}_{\to 0}\\
             &= Df(x) \cdot e^{(i)}
         \end{align*}
             $ \implies f$ partiell differenzierbar und $Df(x)e^{(i)} = \begin{pmatrix}
@@ -43,19 +51,19 @@ Erinnerung (Analysis 1) $f \colon D \to \R,\; D \subset \R$, ist genau dann in $
             f(x + h) - f(x)&\stackrel{\text{MWS}}{=} h_2 \partial_2 f(x_1 + h_1, x_2 + \theta_2 \cdot h_2) + h_1 \partial_1 f(x_1 + \theta_1 \cdot h_1, x_2)\\
             &= h_2(\partial_2f(x_1,x_2) + w_2(h_1,h_2)) + h_1(\partial_1f(x_1, x_2) + w_1(h_1,h_2)),
             \intertext{wobei}
-            w_1(h_1, h_2) &= \partial_1f(x_1 + \theta_1 h_1, x_2) - \partial_1 f(x_1, x_2)
+            \omega_1(h_1, h_2) &= \partial_1f(x_1 + \theta_1 h_1, x_2) - \partial_1 f(x_1, x_2)
             \intertext{und}
-            w_2(h_1,h_2) &= \partial_2f(x_1  + h_1, x_2 + \theta_2 h_2) - \partial_2f(x_1,x_2).
-        \intertext{$\partial_1f(x), \partial_2f(x)$ stetig $\implies \lim\limits_{h\to 0} w_1(h_1,h_2) = 0,\; \lim\limits_{h\to 0} w_2(h_1,h_2) = 0$. Daher gilt}
-            f(x + h) - f(x) &= h_1\partial_1 f(x) + h_2\partial_2f(x) + h_1w_1(h) + h_2w_2(h)\\
+            \omega_2(h_1,h_2) &= \partial_2f(x_1  + h_1, x_2 + \theta_2 h_2) - \partial_2f(x_1,x_2).
+        \intertext{$\partial_1f(x), \partial_2f(x)$ stetig $\implies \lim\limits_{h\to 0} \omega_1(h_1,h_2) = 0,\; \lim\limits_{h\to 0} \omega_2(h_1,h_2) = 0$. Daher gilt}
+            f(x + h) - f(x) &= h_1\partial_1 f(x) + h_2\partial_2f(x) + h_1\omega_1(h) + h_2\omega_2(h)\\
             &= (\partial f_1(x), \partial f_2(x))\begin{pmatrix}
                 h_1\\h_2
-            \end{pmatrix} + (w_1(h), w_2(h))\begin{pmatrix}
+            \end{pmatrix} + (\omega_1(h), \omega_2(h))\begin{pmatrix}
                 h_1\\h_2
             \end{pmatrix}\\
-            &= Df(x) \cdot h + \tilde{w}(h)
+            &= Df(x) \cdot h + \tilde{\omega}(h)
         \end{salign*}
-        mit $\lim\limits_{h\to 0} \frac{\norm{\tilde{w}(h)}}{\norm{h}} = 0$.
+        mit $\lim\limits_{h\to 0} \frac{\norm{\tilde{\omega}(h)}}{\norm{h}} = 0$.
         Also ist $f$ differenzierbar und $Df(x) = \nabla^Tf(x)$.
         \end{enumerate}
 \end{proof}
@@ -63,7 +71,7 @@ Erinnerung (Analysis 1) $f \colon D \to \R,\; D \subset \R$, ist genau dann in $
     stetig partiell differenzierbar $\implies$ (total) differenzierbar $\implies$ partiell differenzierbar. Die umgekehrten Implikationen gelten im Allgemeinen nicht.
 \end{korrolar}
 \begin{lemma}[Richtungsableitung]\label{lemma:richtungsableitung}
-    Sei $D\in \R^n$ offen, $f \colon D \to \R$ im Punkt $x\in D$ differenzierbar. Dann gilt $\forall v \in \R^n$ mit $\norm{v}_2 = 1$ existiert die Ableitung in Richtung $v$ (sog. \textbf{Richtungsableitung})
+    Sei $D\in \R^n$ offen, $f \colon D \to \R$ im Punkt $x\in D$ differenzierbar. Dann gilt $\forall v \in \R^n$ mit $\norm{v}_2 = 1$ existiert die Ableitung in Richtung $v$ (sog. \underline{Richtungsableitung})
     \[\pdv{f}{v}(x) \coloneqq \lim\limits_{t\searrow 0} \frac{f(x + tv) - f(x)}{t}\] und \[\pdv{f}{v}(x) = (\nabla f(x), v)_2\]
 \end{lemma}
 \begin{proof}
@@ -96,31 +104,43 @@ Erinnerung (Analysis 1) $f \colon D \to \R,\; D \subset \R$, ist genau dann in $
 \begin{proof}
     Seien $x\in D_g$ und $y = g(x) \in D_f$. Dann gilt nach Voraussetzungen 
     \begin{align*}
-        g(x + \xi) &= \underbrace{g(x)}_{\eqqcolon y} + \underbrace{D_xg(x) \xi + w_g(\xi)}_{\eqqcolon \eta} &&\text{mit } \lim\limits_{\stackrel{x+\xi \in D_g}{\norm{\xi} \to 0}} \frac{\norm{w_g(\xi)}}{\norm{\xi}} = 0\\
-        f(y + \eta) &= f(y) + D_yf(y) \eta + w_f(\eta)&&\text{mit } \lim\limits_{\stackrel{x+\eta \in D_f}{\norm{\eta} \to 0}} \frac{\norm{w_f(\eta)}}{\norm{\eta}} = 0\\
+        g(x + \xi) &= \underbrace{g(x)}_{\eqqcolon y} + \underbrace{D_xg(x) \xi + \omega_g(\xi)}_{\eqqcolon \eta} &&\text{mit } \lim\limits_{\stackrel{x+\xi \in D_g}{\norm{\xi} \to 0}} \frac{\norm{\omega_g(\xi)}}{\norm{\xi}} = 0\\
+        f(y + \eta) &= f(y) + D_yf(y) \eta + \omega_f(\eta)&&\text{mit } \lim\limits_{\stackrel{x+\eta \in D_f}{\norm{\eta} \to 0}} \frac{\norm{\omega_f(\eta)}}{\norm{\eta}} = 0\\
     \end{align*}
     Dann erhalten wir 
     \begin{salign*}
         (f\circ g)(x + \xi) &= f(g(x + \xi))\\
         &\stackrel{g(x + \xi) = g(x) + \eta = y + \eta}{=} f(y + \eta)\\
-        &= f(y) + D_yf(y)\cdot \eta + w_f(\eta)\\
-        &= f(y) + D_yf(y) (D_xg(x)\xi + w_g(\xi)) + w_f(\eta)\\
-        &= f(y) + D_yf(y)D_x g(x) \cdot \xi + D_yf(y) w_g(\xi) + w_f(\eta)\\
-        &= (f\circ g)(x) + \underbrace{D_yf(y)D_xg(x)}_{D_x(f\circ g)} \cdot \xi + w_{f\circ g}(\xi),
+        &= f(y) + D_yf(y)\cdot \eta + \omega_f(\eta)\\
+        &= f(y) + D_yf(y) (D_xg(x)\xi + \omega_g(\xi)) + \omega_f(\eta)\\
+        &= f(y) + D_yf(y)D_x g(x) \cdot \xi + D_yf(y) \omega_g(\xi) + \omega_f(\eta)\\
+        &= (f\circ g)(x) + \underbrace{D_yf(y)D_xg(x)}_{D_x(f\circ g)} \cdot \xi + \omega_{f\circ g}(\xi),
     \end{salign*}%eta = D_xg(x)\xi + w_g(\xi)
-    wobei hier $w_{f\circ g}(\xi) = D_yf(y)w_g(\xi) + w_f(\eta)$. Es genügt also zu zeigen, dass \[\lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{w_{f\circ g}(\xi)}}{\norm{\xi}} = 0.\]
-    Aus $\lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{w_g(\xi)}}{\norm{\xi}} = 0$ folgt sofort $\lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{D_yf(y)w_g(\xi)}}{\norm{\xi}} = 0$. Wir schließen aber auch, dass es eine Konstante $c >0$ geben muss, sodass $\norm{w_g(\xi)} \leq c \norm{\xi}$. Wegen $\lim\limits_{\norm{\eta}\to 0} \frac{\norm{w_f(\eta)}}{\norm{\eta}} = 0$ muss es ein $\tilde{w_f}(\eta)$ mit $\lim\limits_{\eta\to 0} \tilde{w}_f(\eta) = 0$ geben, sodass $w_f(\eta) = \norm{\eta}\cdot \tilde{w}_f(\eta)$. Mit diesen Aussagen gilt:
+    wobei hier $\omega_{f\circ g}(\xi) = D_yf(y)\omega_g(\xi) + \omega_f(\eta)$. Es genügt also zu zeigen, dass \[\lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{\omega_{f\circ g}(\xi)}}{\norm{\xi}} = 0.\]
+    Aus $\lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{\omega_g(\xi)}}{\norm{\xi}} = 0$ folgt sofort
+    $\lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{D_yf(y)\omega_g(\xi)}}{\norm{\xi}} = 0$.
+    Wir schließen aber auch, dass es eine Konstante $c >0$ geben muss, sodass $\norm{\omega_g(\xi)} \leq c
+    \norm{\xi}$. Wegen $\lim\limits_{\norm{\eta}\to 0} \frac{\norm{\omega_f(\eta)}}{\norm{\eta}} = 0$
+    muss es ein $\tilde{\omega}_f(\eta)$ mit $\lim\limits_{\eta\to 0} \tilde{\omega}_f(\eta) = 0$ geben,
+    sodass $\omega_f(\eta) = \norm{\eta}\cdot \tilde{\omega}_f(\eta)$. Mit diesen Aussagen gilt:
     \begin{salign*}
-        \norm{w_f(\eta)} %&\stackrel{w_f(\eta) = \norm{\eta} \tilde{w}_f(\eta)}{\le} \norm{D_x g(x)\xi + w_g(\xi)} \tilde{w}_f (\eta)\\
-        &\le \norm{D_x g(x)\xi + w_g(\xi)} \tilde{w}_f (\eta)\\
-        &\le \left(\norm{D_xg(x)} \norm{\xi} + \norm{w_g(\xi)}\right) \cdot \norm{\tilde{w}_f(\eta)}\\
-        &\le \left(\norm{D_xg(x)} + c\right)\norm{\xi} \cdot \norm{\tilde{w}_f(\eta)}\\
-        \implies \frac{\norm{w_f(\eta)}}{\norm{\xi}} &= \left(\norm{D_xg(x)} + c\right) \cdot \norm{\tilde{w}_f(\eta)}
-        \intertext{Wegen $\lim\limits_{\xi\to 0} \eta = \lim\limits_{\xi\to 0} D_xg(x)\xi + w_g(\xi) = 0$ und der Stetigkeit von $\tilde{w}_f$ gilt}
-        \lim\limits_{\xi\to 0} \frac{\norm{w_f(\eta)}}{\norm{\xi}} &= \lim\limits_{\xi\to 0} \left(\norm{D_xg(x)} + c\right) \cdot \norm{\tilde{w}_f(\eta)} = \left(\norm{D_xg(x)} + c\right) \cdot \tilde{w}_f\left(\lim\limits_{\xi\to 0} \eta\right) = 0
+        \norm{\omega_f(\eta)} %&\stackrel{w_f(\eta) = \norm{\eta} \tilde{w}_f(\eta)}{\le} \norm{D_x g(x)\xi + w_g(\xi)} \tilde{w}_f (\eta)\\
+        &= \norm{D_x g(x)\xi + \omega_g(\xi)} \norm{\tilde{\omega}_f (\eta)}\\
+        &\le \left(\norm{D_xg(x)} \norm{\xi} + \norm{\omega_g(\xi)}\right) \cdot \norm{\tilde{\omega}_f(\eta)}\\
+        &\le \left(\norm{D_xg(x)} + c\right)\norm{\xi} \cdot \norm{\tilde{\omega}_f(\eta)}\\
+        \implies \frac{\norm{\omega_f(\eta)}}{\norm{\xi}} &\le \left(\norm{D_xg(x)} + c\right)
+        \cdot \norm{\tilde{\omega}_f(\eta)}
+        \intertext{Wegen $\lim\limits_{\xi\to 0} \eta = \lim\limits_{\xi\to 0} D_xg(x)\xi + \omega_g(\xi) = 0$
+        folgt $\displaystyle \lim_{\xi \to 0} \tilde{\omega}_f(\eta) = 0$ und damit}
+        0 \le \lim\limits_{\xi\to 0} \frac{\norm{\omega_f(\eta)}}{\norm{\xi}}
+        &\le \lim\limits_{\xi\to 0} \left(\norm{D_xg(x)} + c\right) \cdot \norm{\tilde{\omega}_f(\eta)}
+        = \left(\norm{D_xg(x)} + c\right) \cdot \norm{ \lim_{\xi \to 0} \tilde{\omega}_f(\eta)}
+        = 0
     \end{salign*}
-    Insgesamt erhalten wir 
-    \[\lim\limits_{\xi\to 0} \frac{\norm{w_{f\circ g}(\xi)}}{\norm{\xi}} = \lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{D_yf(y)w_g(\xi)}}{\norm{\xi}} + \lim\limits_{\xi\to 0} \frac{\norm{w_f(\eta)}}{\norm{\xi}} = 0\]
+    Insgesamt erhalten wir
+    \[\lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{\omega_{f\circ g}(\xi)}}{\norm{\xi}}
+    \le \lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{D_yf(y)\omega_g(\xi)}}{\norm{\xi}}
+    + \lim\limits_{\xi\to 0} \frac{\norm{\omega_f(\eta)}}{\norm{\xi}} = 0\]
 \end{proof}
 \begin{bem}[Komponentenweise für $i = 1,\dots,m$ und $j = 1, \dots, r$]
     \[D_xh(x) = D_yf(y) D_xg(x) \Leftrightarrow \underbrace{\pdv{h_j}{x_i}(x)}_{\partial_i(f\circ g)_j} = \sum_{i = 1}^{n} \pdv{f_j}{y_k}(g_1(x)\dots, g_n(x))\cdot \pdv{g_k}{x_i}(x_1, \dots, x_m)\]