diff --git a/ana11.pdf b/ana11.pdf index 42d7160..878c63f 100644 Binary files a/ana11.pdf and b/ana11.pdf differ diff --git a/ana11.tex b/ana11.tex index f23224b..248db81 100644 --- a/ana11.tex +++ b/ana11.tex @@ -174,7 +174,7 @@ Für $n > 2$ analog. \end{enumerate} \end{proof} -\begin{definition}[Begriffe der Vektoranalysis] +\begin{definition}[Begriffe der Vektoranalysis]\ \begin{itemize} \item \underline{Gradient}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und $f \colon D \to \R$ eine partiell differenzierbare Funktion. Der Vektor diff --git a/ana12.pdf b/ana12.pdf new file mode 100644 index 0000000..18649db Binary files /dev/null and b/ana12.pdf differ diff --git a/ana12.tex b/ana12.tex new file mode 100644 index 0000000..cf3fd78 --- /dev/null +++ b/ana12.tex @@ -0,0 +1,138 @@ +\documentclass{lecture} +\begin{document} +\newcommand{\pdv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} +\newcommand{\dv}[2]{\frac{\d #1}{\d #2}} +\section{Totale Differenzierbarkeit} +Erinnerung (Analysis 1) $f \colon D \to \R,\; D \subset \R$, ist genau dann in $x\in D$ differenzierbar, falls $f$ in $x$ "gut" linear approximierbar ist, d.h. $\exists a\in \R$ mit $f(x + h) = f(x) + a\cdot h + w(h)$ wobei $\lim\limits_{h\to 0} \frac{w(h)}{|h|} = 0 (f'(x) = a)$. +\begin{definition}[total differenzierbar] + Es sei $D\subset \R^n$ offen und $f\colon D \to \R^m$ eine Abbildung. $f$ heißt im Punkt $x\in D$ \textbf{(total) differenzierbar}, falls es eine \textbf{lineare Abbildung} $A \colon \R^n \to \R^m$ gibt, sodass + \begin{equation}\label{eq:diffbar} + \lim\limits_{\stackrel{h\to 0}{h\neq 0}} \frac{f(x + h) - f(x) - A\cdot h}{\norm{h}} = 0 + \end{equation} + Oft wird (\ref{eq:diffbar}) durch eine Bedingung an den Rest $w(h),\; w\colon D \to \R^m$ definiert $f(x + h) = f(x) + A\cdot h + w(h)$, wobei $\lim\limits_{h\to 0} \frac{\norm{w(h)}}{\norm{h}} = 0 (\Leftrightarrow (\ref{eq:diffbar}), \Leftrightarrow w(h) = o(\norm{h}))$. Da alle Normen auf $\R^m$ äquivalent sind, ist es gleichgültig, welche Norm man in (\ref{eq:diffbar}) verwendet. $A$ heißt das \textbf{Differential} von $f$ im Punkt $x$. + Schreibweise: \[\d f(x),\; \d f\bigg|_x,\; \d f_x,\; Df(x),\; Df\bigg|_x,\; Df_x,\; \d f(x)\bigg|_{x = x_0},\; Df(x_0).\] +\end{definition} +\begin{bem} + Für $n=m=1$ ist die Definition der totalen Ableitung äquivalent zur Definition der Ableitung von Funktionen einer Variablen. +\end{bem} +\begin{satz}[Differenzierbarkeit] + Sei $D \subset \R^n$ offen. Für Funktionen $f: D \to \R^m$ gilt: + \begin{enumerate}[1)] + \item Sei $f$ in $x\in D$ differenzierbar, dann ist $f$ partiell differenzierbar und $Df(x) = J_f(x),\; J_f(x)$ Jacobi-Matrix + \item Sei $f$ partiell differenzierbar in einer Umgebung von $x\in D$ und die partiellen Ableitungen stetig in $x$, dann ist $f$ differenzierbar in $x$. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + $n=2$ und $m = 1$. + \begin{enumerate}[1)] + \item Sei $f$ differenzierbar. Dann gilt \begin{align*} + \lim\limits_{h_i\to 0} \frac{f(x + h_i \cdot e^{(i)}) - f(x)}{h_i} + &= \lim\limits_{h_i\to 0} \left(Df(x) \cdot e^{(i)} + \frac{w(h_i)}{h_i}\right)\\ + &= Df(x) \cdot e^{(i)} + \underbrace{\lim\limits_{h_i\to 0} \frac{w(h_i)}{h_i}}_{\to 0}\\ + &= Df(x) \cdot e^{(i)} + \end{align*} + $ \implies f$ partiell differenzierbar und $Df(x)e^{(i)} = \begin{pmatrix} + \partial_i f_1\\ \vdots \\ \partial_i f_m + \end{pmatrix} \implies Df(x) = J_f(x)$. + \item Sei $f$ stetig partiell differenzierbar und $h = \begin{pmatrix} + h_1 \\ h_2 + \end{pmatrix}$. Dann gilt + \begin{salign*} + f(x + h) - f(x) &= f(x_1 + h_1, x_2 + h_2) - f(x_1 + h_1, x_2) + f(x_1 + h_1, x_2) - f(x_1, x_2) + \intertext{$\exists \theta_1, \theta_2 \in (0,1)$ mit } + f(x + h) - f(x)&\stackrel{\text{MWS}}{=} h_2 \partial_2 f(x_1 + h_1, x_2 + \theta_2 \cdot h_2) + h_1 \partial_1 f(x_1 + \theta_1 \cdot h_1, x_2)\\ + &= h_2(\partial_2f(x_1,x_2) + w_2(h_1,h_2)) + h_1(\partial_1f(x_1, x_2) + w_1(h_1,h_2)), + \intertext{wobei} + w_1(h_1, h_2) &= \partial_1f(x_1 + \theta_1 h_1, x_2) - \partial_1 f(x_1, x_2) + \intertext{und} + w_2(h_1,h_2) &= \partial_2f(x_1 + h_1, x_2 + \theta_2 h_2) - \partial_2f(x_1,x_2). + \intertext{$\partial_1f(x), \partial_2f(x)$ stetig $\implies \lim\limits_{h\to 0} w_1(h_1,h_2) = 0,\; \lim\limits_{h\to 0} w_2(h_1,h_2) = 0$. Daher gilt} + f(x + h) - f(x) &= h_1\partial_1 f(x) + h_2\partial_2f(x) + h_1w_1(h) + h_2w_2(h)\\ + &= (\partial f_1(x), \partial f_2(x))\begin{pmatrix} + h_1\\h_2 + \end{pmatrix} + (w_1(h), w_2(h))\begin{pmatrix} + h_1\\h_2 + \end{pmatrix}\\ + &= Df(x) \cdot h + \tilde{w}(h) + \end{salign*} + mit $\lim\limits_{h\to 0} \frac{\norm{\tilde{w}(h)}}{\norm{h}} = 0$. + Also ist $f$ differenzierbar und $Df(x) = \nabla^Tf(x)$. + \end{enumerate} +\end{proof} +\begin{korrolar} + stetig partiell differenzierbar $\implies$ (total) differenzierbar $\implies$ partiell differenzierbar. Die umgekehrten Implikationen gelten im Allgemeinen nicht. +\end{korrolar} +\begin{lemma}[Richtungsableitung]\label{lemma:richtungsableitung} + Sei $D\in \R^n$ offen, $f \colon D \to \R$ im Punkt $x\in D$ differenzierbar. Dann gilt $\forall v \in \R^n$ mit $\norm{v}_2 = 1$ existiert die Ableitung in Richtung $v$ (sog. \textbf{Richtungsableitung}) + \[\pdv{f}{v}(x) \coloneqq \lim\limits_{t\searrow 0} \frac{f(x + tv) - f(x)}{t}\] und \[\pdv{f}{v}(x) = (\nabla f(x), v)_2\] +\end{lemma} +\begin{proof} + Sei $x \in D$ und definiere die Funktion $\xi(t) \coloneqq x + tv$. $\xi(t)\in D$ für $t \in [0, \epsilon)$ für genügend kleine $\epsilon > 0$. Betrachte die Komposition $h \coloneqq f\circ \xi: [0,\epsilon) \to \R$. Dann gilt + \begin{salign*} + \pdv{f}{v}(x) &\stackrel{\text{Def. Richtungsabl.}}{=} \lim\limits_{t\searrow 0} \frac{f(x + tv) - f(x)}{t}\\ + &\stackrel{\text{Def. Abl.}}{=} \dv{}{t} f(x + tv)\bigg|_{t=0}\\ + &\stackrel{f(x + tv) = (f \circ \xi)(t)}{=}\dv{h}{t}\bigg|_{t=0}\\ + &= h'(0) + \intertext{Kettenregel:} + h'(t) &= \sum_{i = 1}^{n} \pdv{f}{x_i}(\xi(t))\cdot \xi_i'(t)\\ + \implies h'(0) &\stackrel{\xi(0) = x + 0\cdot v, \xi_i'(t) = v_i}{=} \sum_{i = 1}^{n}\pdv{f}{x_i}(x)\cdot v_i\\ + &= (\nabla f(x),v)_2 + \end{salign*} +\end{proof} +\begin{korrolar} + Sei $\nabla f(X) \neq 0$. Dann ist der Winkel $\theta$ zwischen zwei Vektoren $v\in \R^n$ und $\nabla f(x) \in \R^n$ definiert durch \[\cos(\theta) = \frac{(\nabla f(x), v)_2}{\norm{\nabla f(x)}_2\cdot \norm{v}_2}.\] + Damit gilt für $\norm{v}_2 = 1$ \[\pdv{f}{v}(x) \oldstackrel{\text{Lemma } \ref{lemma:richtungsableitung}}{=} (\nabla f, v)_2 = \norm{\nabla f(x)}_2 \cdot \norm{v}_2 \cdot \cos(\theta) \oldstackrel{\norm{v}_2 =1}{=} \norm{\nabla f(x)}_2 \cdot \cos(\theta)\] + $\pdv{f}{v}(x)$ wird maximal, wenn $\cos(\theta) = 1 \implies v$ und $\nabla f(x)$ die gleiche Richtung haben: d.h. Der Vektor $\nabla f(x)$ ist die Richtung des stärksten Anstiegs von $f$ im Punkt $x$. +\end{korrolar} +\begin{bem} + \begin{enumerate} + \item Es gibt Funktionen, für welche alle Richtungsableitungen existieren, die aber dennoch nicht (total) differenzierbar sind. + \item Es gibt Funktionen, die stetig und partiell differenzierbar, aber nicht (total) differenzierbar sind. + \end{enumerate} +\end{bem} +\begin{satz}[Kettenregel] + Seien $D_f \subset \R^n$ und $D_g \subset \R^m$ offen, $g \colon D_g \to \R^n, f: D_f \to \R^r$ Abbildungen. Falls $g$ im Punkt $x \in D_g$ und $f$ im Punkt $y = g(x) \in D_f$ differenzierbar sind, gilt: Die Komposition $h = f\circ g$ ist im Punkt $x$ differenzierbar und \[\underbrace{D_x h(x)}_{\in \R^{r \times m}} = \underbrace{D_y f(g(x))}_{\in \R^{r \times n}} \underbrace{D_x g(x)}_{\in \R^{n \times m}}\] +\end{satz} +\begin{proof} + Seien $x\in D_g$ und $y = g(x) \in D_f$. Dann gilt nach Voraussetzungen + \begin{align*} + g(x + \xi) &= \underbrace{g(x)}_{\eqqcolon y} + \underbrace{D_xg(x) \xi + w_g(\xi)}_{\eqqcolon \eta} &&\text{mit } \lim\limits_{\stackrel{x+\xi \in D_g}{\norm{\xi} \to 0}} \frac{\norm{w_g(\xi)}}{\norm{\xi}} = 0\\ + f(y + \eta) &= f(y) + D_yf(y) \eta + w_f(\eta)&&\text{mit } \lim\limits_{\stackrel{x+\eta \in D_f}{\norm{\eta} \to 0}} \frac{\norm{w_f(\eta)}}{\norm{\eta}} = 0\\ + \end{align*} + Dann erhalten wir + \begin{salign*} + (f\circ g)(x + \xi) &= f(g(x + \xi))\\ + &\stackrel{g(x + \xi) = g(x) + \eta = y + \eta}{=} f(y + \eta)\\ + &= f(y) + D_yf(y)\cdot \eta + w_f(\eta)\\ + &= f(y) + D_yf(y) (D_xg(x)\xi + w_g(\xi)) + w_f(\eta)\\ + &= f(y) + D_yf(y)D_x g(x) \cdot \xi + D_yf(y) w_g(\xi) + w_f(\eta)\\ + &= (f\circ g)(x) + \underbrace{D_yf(y)D_xg(x)}_{D_x(f\circ g)} \cdot \xi + w_{f\circ g}(\xi), + \end{salign*}%eta = D_xg(x)\xi + w_g(\xi) + wobei hier $w_{f\circ g}(\xi) = D_yf(y)w_g(\xi) + w_f(\eta)$. Es genügt also zu zeigen, dass \[\lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{w_{f\circ g}(\xi)}}{\norm{\xi}} = 0.\] + Aus $\lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{w_g(\xi)}}{\norm{\xi}} = 0$ folgt sofort $\lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{D_yf(y)w_g(\xi)}}{\norm{\xi}} = 0$. Wir schließen aber auch, dass es eine Konstante $c >0$ geben muss, sodass $\norm{w_g(\xi)} \leq c \norm{\xi}$. Wegen $\lim\limits_{\norm{\eta}\to 0} \frac{\norm{w_f(\eta)}}{\norm{\eta}} = 0$ muss es ein $\tilde{w_f}(\eta)$ mit $\lim\limits_{\eta\to 0} \tilde{w}_f(\eta) = 0$ geben, sodass $w_f(\eta) = \norm{\eta}\cdot \tilde{w}_f(\eta)$. Mit diesen Aussagen gilt: + \begin{salign*} + \norm{w_f(\eta)} %&\stackrel{w_f(\eta) = \norm{\eta} \tilde{w}_f(\eta)}{\le} \norm{D_x g(x)\xi + w_g(\xi)} \tilde{w}_f (\eta)\\ + &\le \norm{D_x g(x)\xi + w_g(\xi)} \tilde{w}_f (\eta)\\ + &\le \left(\norm{D_xg(x)} \norm{\xi} + \norm{w_g(\xi)}\right) \cdot \norm{\tilde{w}_f(\eta)}\\ + &\le \left(\norm{D_xg(x)} + c\right)\norm{\xi} \cdot \norm{\tilde{w}_f(\eta)}\\ + \implies \frac{\norm{w_f(\eta)}}{\norm{\xi}} &= \left(\norm{D_xg(x)} + c\right) \cdot \norm{\tilde{w}_f(\eta)} + \intertext{Wegen $\lim\limits_{\xi\to 0} \eta = \lim\limits_{\xi\to 0} D_xg(x)\xi + w_g(\xi) = 0$ und der Stetigkeit von $\tilde{w}_f$ gilt} + \lim\limits_{\xi\to 0} \frac{\norm{w_f(\eta)}}{\norm{\xi}} &= \lim\limits_{\xi\to 0} \left(\norm{D_xg(x)} + c\right) \cdot \norm{\tilde{w}_f(\eta)} = \left(\norm{D_xg(x)} + c\right) \cdot \tilde{w}_f\left(\lim\limits_{\xi\to 0} \eta\right) = 0 + \end{salign*} + Insgesamt erhalten wir + \[\lim\limits_{\xi\to 0} \frac{\norm{w_{f\circ g}(\xi)}}{\norm{\xi}} = \lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{D_yf(y)w_g(\xi)}}{\norm{\xi}} + \lim\limits_{\xi\to 0} \frac{\norm{w_f(\eta)}}{\norm{\xi}} = 0\] +\end{proof} +\begin{bem}[Komponentenweise für $i = 1,\dots,m$ und $j = 1, \dots, r$] + \[D_xh(x) = D_yf(y) D_xg(x) \Leftrightarrow \underbrace{\pdv{h_j}{x_i}(x)}_{\partial_i(f\circ g)_j} = \sum_{i = 1}^{n} \pdv{f_j}{y_k}(g_1(x)\dots, g_n(x))\cdot \pdv{g_k}{x_i}(x_1, \dots, x_m)\] + Spezialfall: $m = r = 1 (g \colon D_g \subset \R \to \R^n),\; f\colon D_f\in \R^n \to \R$ + \[h'(x) = \dv{}{x} h(x) = \dv{}{x} f(g(x)) = \sum_{k = 1}^{n} \pdv{f}{y_k}\ (g_1(x), \dots, g_n(x))\cdot \dv{}{x} g_k (x) = (\nabla_yf(g(x)), g'(x))_2\] +\end{bem} +\end{document} +Kostinas Version des letzen Beweises vor der Bemerkung +\begin{salign*} + \norm{w_{f\circ g}(\xi)} &= \Vert w_f(\underbrace{D_xg(x)\xi + w_g(\xi)}_{\eta})\Vert\\ + &\stackrel{w_f(\eta) = \norm{\eta} \tilde{w}_f(\eta)}{\le} \norm{D_x g(x)\xi + w_g(\xi)} \tilde{w}_f (D_xg(x)\xi + w_g(\xi))\\ + &\le (\norm{D_xg(x)} \norm{\xi} + \norm{w_g(\xi)}) \cdot \norm{\tilde{w}_f(D_xg(x)\xi + w_g(\xi))}\\ + &\le (\norm{D_xg(x)} + c)\norm{\xi} \cdot \norm{\tilde{w}_f(D_xg(x)\xi + w_g(\xi))}\\ + \implies \frac{\norm{w_{f\circ g}(\xi)}}{\norm{\xi}} &= (\norm{D_xg(x)} + c) \cdot \norm{\tilde{w}_f(D_xg(x)\xi + w_g(\xi))} +\end{salign*} diff --git a/ana7.pdf b/ana7.pdf index c1d6c38..bcd5fac 100644 Binary files a/ana7.pdf and b/ana7.pdf differ diff --git a/analysisII.pdf b/analysisII.pdf index 1851037..f32a071 100644 Binary files a/analysisII.pdf and b/analysisII.pdf differ diff --git a/analysisII.tex b/analysisII.tex index c474825..2373a09 100644 --- a/analysisII.tex +++ b/analysisII.tex @@ -27,5 +27,6 @@ \input{ana9.tex} \input{ana10.tex} \input{ana11.tex} +\input{ana12.tex} \end{document}