diff --git a/ana1.pdf b/ana1.pdf index f9831df..b9ffa93 100644 Binary files a/ana1.pdf and b/ana1.pdf differ diff --git a/ana1.tex b/ana1.tex index 6fa720d..e4a6f7f 100644 --- a/ana1.tex +++ b/ana1.tex @@ -93,7 +93,7 @@ $\forall \epsilon > 0$, $\exists N = N(\epsilon)$, $\forall n \ge N$ gilt \[ \text{graph}(f_n) \subset \epsilon\text{-Umgebung von Graphen von } f - := \{ (x, y) \in D \times \R \mid | y - f(x)| < \epsilon\} + \coloneqq \{ (x, y) \in D \times \R \mid | y - f(x)| < \epsilon\} .\] \begin{figure}[ht!] \begin{tikzpicture}[scale = 0.97] @@ -138,7 +138,7 @@ \end{bem} \begin{bsp} - $f_n\colon [0,2] \to \R$, $f_n(x) := \frac{1}{n} \sin \left( 2\pi n \cdot x \right) $ konvergiert + $f_n\colon [0,2] \to \R$, $f_n(x) \coloneqq \frac{1}{n} \sin \left( 2\pi n \cdot x \right) $ konvergiert gleichmäßig gegen $f(x) = 0$. \[ | \sin(2 \pi n \cdot x) | \le 1 \quad \forall x \in R \implies @@ -188,7 +188,7 @@ Es sei $D$ ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall $I = [a,b]$ und $f\colon [a,b] \to \R$ (oder $\mathbb{C}$) stetig. Dann \[ - \Vert f \Vert_\infty := \max \{ |f(x)| \mid x \in [a,b]\} + \Vert f \Vert_\infty \coloneqq \max \{ |f(x)| \mid x \in [a,b]\} .\] Das Maximum existiert wegen der Stetigkeit des Absolutbetrags und weil $[a,b]$ beschränkt und abgeschlossen ist. \end{definition} @@ -240,7 +240,7 @@ \forall n,m \ge N_0 \quad \forall x \in [a,b] .\] $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ ist eine Cauchy-Folge in $\R$.\\ $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ konvergiert \\ - $\implies$ Definiere $f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x)$, $x \in [a,b]$. + $\implies$ Definiere $f(x) \coloneqq \lim_{n \to \infty} f_n(x)$, $x \in [a,b]$. Dann gilt $\forall n \ge N_0$, $\forall x \in [a,b]$: \[ @@ -262,7 +262,7 @@ \begin{definition} Der Funktionenraum $C[a,b]$ definiert durch \[ - C[a,b] := \{ f \colon [a,b] \to \R \mid f \text{ stetig }\} + C[a,b] \coloneqq \{ f \colon [a,b] \to \R \mid f \text{ stetig }\} ,\] ist mit $\Vert f \Vert_\infty$ ein normierter Vektorraum. \end{definition} @@ -306,7 +306,7 @@ Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^ $\sum_{n=0}^{\infty} f_n$ konvergiere gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. die Folge der Partialsummen $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ sei gleichmäßig konvergent. Dann gilt: \[ - f(x) := \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \quad \forall x \in [a,b] + f(x) \coloneqq \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \quad \forall x \in [a,b] .\] ist stetig und Riemann-integrierbar und \begin{align*} \int_{a}^{b} f(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \\ diff --git a/ana10.pdf b/ana10.pdf index aff7bda..425869a 100644 Binary files a/ana10.pdf and b/ana10.pdf differ diff --git a/ana11.pdf b/ana11.pdf index 689a8a1..0439da2 100644 Binary files a/ana11.pdf and b/ana11.pdf differ diff --git a/ana13.pdf b/ana13.pdf index 0613749..a266048 100644 Binary files a/ana13.pdf and b/ana13.pdf differ diff --git a/ana13.tex b/ana13.tex index c91ca5d..e233751 100644 --- a/ana13.tex +++ b/ana13.tex @@ -9,9 +9,9 @@ \begin{enumerate}[(1)] \item Ist $f: [a,b] \to \R$ differenzierbar, dann gilt (HDI): \begin{salign*} - f(x+h) - f(x) = \int_{0}^{1} \dv{}{s} f(x+sh) \d{s} &\stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \int_{0}^{1} f'(x+sh) \cdot h \d{s} \\ &= \left( \int_{0}^{1} f'(x+sh) \d{x} \right) \cdot h. + f(x+h) - f(x) = \int_{0}^{1} \dv{}{s} f(x+sh) \d{s} &\stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \int_{0}^{1} f'(x+sh) \cdot h \d{s} \\ &= \left( \int_{0}^{1} f'(x+sh) \d{s} \right) \cdot h. \end{salign*} -. \item Mittelwertsatz der Differentialrechnung: $\exists \tau \in (0,1)$ sodass: + \item Mittelwertsatz der Differentialrechnung: $\exists \tau \in (0,1)$ sodass: \begin{salign*} f(x+h) - f(x) = f'(x+ \tau h) \cdot h. \end{salign*} @@ -22,7 +22,7 @@ \end{enumerate} \end{bem} \begin{satz}[Mittelwertsatz] - Seien $D \in \R^{n}$ offen, $f: D \to \R$ stetig differenzierbar, sei $x \in D$ und $h \in \R^{n}$ sodass $x + sh \in D$, für $s \in [0,1]$. Dann gilt: + Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R$ stetig differenzierbar, sei $x \in D$ und $h \in \R^{n}$ sodass $x + sh \in D$, für $s \in [0,1]$. Dann gilt: \begin{salign*} f(x+h) - f(h) = \left( \int_{0}^{1} \nabla f(x+sh) \d{s}, h \right)_{2} = \left( \int_{0}^{1} \nabla f(x+sh) \d{s}\right)^{T} \cdot h. \end{salign*} @@ -32,13 +32,13 @@ \end{salign*} \end{satz} \begin{proof} - Sei $f: D \to \R^{m}$. Sei $g_{j}: [0,1] \to \R ,g_{j}(s) \coloneqq f_{j}(x+sh)$. Dann gilt: + Sei $f: D \to \R^{m}$. Sei $g_{j}: [0,1] \to \R ,\ g_{j}(s) \coloneqq f_{j}(x+sh)$. Dann gilt: \begin{salign*} - f_{j}(x+h) - f_{j}(x) = g_{j}(1) - g_{j}(0) & \ \ \stackrel{\text{MWS}}{=} \ \ \int_{0}^{1} g_{j}'(s) \d{s} \ \ \ \ \stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \ \ \ \ \int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n} \pdv{f}{x_{i}}(x+sh) \cdot h_{i} \d{s}. + f_{j}(x+h) - f_{j}(x) = g_{j}(1) - g_{j}(0) & \overset{\text{HDI}}{=} \int_{0}^{1} g_{j}'(s) \d{s} \overset{\text{Kettenregel}}{=} \int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n} \pdv{f_j}{x_{i}}(x+sh) \cdot h_{i} \d{s}. \end{salign*} Ist $m = 1$, so gilt: \begin{salign*} - f(x+h) - f(x) &= \int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n} \pdv{f}{x_{i}}(x+sh) \d{s} \cdot h_{i} = \sum_{i=1}^{n} \left( \int_{0}^{1} \pdv{f_{i}}{x_{i}}(x+sh) \d{s} \right) \cdot h_{i} \\ &= \left( \int_{0}^{1} \nabla f(x+sh) \d{s}, h\right)_{2} + f(x+h) - f(x) &= \int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n} \pdv{f}{x_{i}}(x+sh) \d{s} \cdot h_{i} = \sum_{i=1}^{n} \left( \int_{0}^{1} \pdv{f}{x_{i}}(x+sh) \d{s} \right) \cdot h_{i} \\ &= \left( \int_{0}^{1} \nabla f(x+sh) \d{s}, h\right)_{2} \end{salign*} Ist $m \geq 2$, so gilt analog zu oben: \begin{salign*} @@ -46,11 +46,11 @@ \end{salign*} \end{proof} \begin{bem} - Für $m = 1$, d.h. $f: \R^{n} \supset D \to \R$ gilt sogar für ein bestimmtest $\tau \in (0,1)$: + Für $m = 1$, d.h. $f: \R^{n} \supset D \to \R$ gilt sogar für ein bestimmtes $\tau \in (0,1)$: \begin{salign*} f(x+h) - f(x) = \int_{0}^{1} \left( \nabla^{T} f(x+sh) \cdot h \right)\d{s} = \nabla^{T} f(x+\tau h) \cdot h. \end{salign*} - Für $m \geq 2$ im Allgemeinen aber (da $\tau \in [0,1]$ nicht für alle Komponenten gleich gewählt werden kann): + Für $m \geq 2$ im Allgemeinen aber nicht (da $\tau \in [0,1]$ nicht für alle Komponenten gleich gewählt werden kann): \begin{salign*} f(x+h) - f(x) \neq J_{f}(x + \tau h) \cdot h. \end{salign*} @@ -74,29 +74,29 @@ \end{proof} \begin{definition} $D \subset \mathbb{K}^{n}$ heißt \underline{konvex}, genau dann wenn: für alle $x,x' \in D$ und für alle $\lambda \in [0,1]$ gilt $\lambda \cdot x + (1-\lambda)x' \in D$. \\ - Geometrische: für zwei Punkte in $D$ liegt die Verbindungsstrecke der beiden Punkte stets ganz in $D$. + Geometrisch: Für zwei Punkte in $D$ liegt die Verbindungsstrecke der beiden Punkte stets ganz in $D$. \end{definition} \begin{korrolar} - Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R^{n}$ stetig differenzierbar. Sei $x \in D$ und $\varepsilon > 0$ sodass $K_{\varepsilon}(x) \subset D$. Dann gilt: + Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R^{m}$ stetig differenzierbar. Sei $x \in D$ und $\varepsilon > 0$ sodass $K_{\varepsilon}(x) \subset D$. Dann gilt: \begin{salign*} \norm{f(y) - f(x)}_{2} \leq M \cdot \norm{y-x}_{2} \ \ \ \ \ \forall y \in K_{\varepsilon} \end{salign*} mit $M \coloneqq \sup_{z \in K_{\varepsilon}(x)} \norm{J_{f}(z)}_{2}$, das heißt $f$ ist lokal Lipschitz-stetig. \\ Sei $D$ konvex, dann gilt \begin{salign*} - \norm{f(y) - f(x)}_{2} \leq M \cdot \norm{y-x}_{2} \ \ \ \ \ \forall x,y \in K_{\varepsilon} + \norm{f(y) - f(x)}_{2} \leq M \cdot \norm{y-x}_{2} \ \ \ \ \ \forall x,y \in D \end{salign*} mit $M \coloneqq \sup_{z \in D} \norm{J_{f}(z)}_{2}$, das heißt $f$ ist auf $D$ Lipschitz-stetig. \end{korrolar} \begin{proof} Aus obigem Lemma folgt: \begin{salign*} - \norm{\int_{0}^{2} J_{f}(x+sh) h \d{s} }_{2} &\leq \int_{0}^{1} \norm{J_{f}(x+sh)}_{2} \norm{h}_{2} \d{s} \\ & \leq \int_{0}^{1} \norm{J_{f}(x+sh)}_{2} \norm{h}_{2} \d{s} \leq \sup_{0