correct spelling in korollar environment

ana1.tex

@@ -333,7 +333,7 @@ Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^
     .\end{align*}
 \end{proof}
 
-\begin{korrolar}[Integration von Potenzreihen]
+\begin{korollar}[Integration von Potenzreihen]
     Es sei $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n}$ eine reelle Potenzreihe mit Konvergenzradius $\rho > 0$.
     Dann konvergiert $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^{n}$ in jedem Intervall
     $[x_0 - r, x_0 + r]$ für $0 < r < \rho$ gleichmäßig und für $[a,b] \subset \;]x_0 - \rho, x_0 + \rho[$ gilt
@@ -341,7 +341,7 @@ Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^
         \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}
         \Big|_{a}^{b}
     .\] 
-\end{korrolar}
+\end{korollar}
 
 \begin{proof}
     Nur die gleichmäßige Konvergenz für $| x - x_0| \le r$ ist zu beweisen: Für $|x - x_0| \le r$, $r < \rho$ gilt:

ana12.tex

@@ -67,9 +67,9 @@ Erinnerung (Analysis 1) $f \colon D \to \R,\; D \subset \R$, ist genau dann in $
         Also ist $f$ differenzierbar und $Df(x) = \nabla^Tf(x)$.
         \end{enumerate}
 \end{proof}
-\begin{korrolar}
+\begin{korollar}
     stetig partiell differenzierbar $\implies$ (total) differenzierbar $\implies$ partiell differenzierbar. Die umgekehrten Implikationen gelten im Allgemeinen nicht.
-\end{korrolar}
+\end{korollar}
 \begin{lemma}[Richtungsableitung]\label{lemma:richtungsableitung}
     Sei $D\in \R^n$ offen, $f \colon D \to \R$ im Punkt $x\in D$ differenzierbar. Dann gilt $\forall v \in \R^n$ mit $\norm{v}_2 = 1$ existiert die Ableitung in Richtung $v$ (sog. \underline{Richtungsableitung})
     \[\pdv{f}{v}(x) \coloneqq \lim\limits_{t\searrow 0} \frac{f(x + tv) - f(x)}{t}\] und \[\pdv{f}{v}(x) = (\nabla f(x), v)_2\]
@@ -87,11 +87,11 @@ Erinnerung (Analysis 1) $f \colon D \to \R,\; D \subset \R$, ist genau dann in $
         &= (\nabla f(x),v)_2
     \end{salign*}
 \end{proof}
-\begin{korrolar}
+\begin{korollar}
     Sei $\nabla f(x) \neq 0$. Dann ist der Winkel $\theta$ zwischen zwei Vektoren $v\in \R^n$ und $\nabla f(x) \in \R^n$ definiert durch \[\cos(\theta) = \frac{(\nabla f(x), v)_2}{\norm{\nabla f(x)}_2\cdot \norm{v}_2}.\]
     Damit gilt für $\norm{v}_2 = 1$ \[\pdv{f}{v}(x) \oldstackrel{\text{Lemma } \ref{lemma:richtungsableitung}}{=} (\nabla f, v)_2 = \norm{\nabla f(x)}_2 \cdot \norm{v}_2 \cdot \cos(\theta) \oldstackrel{\norm{v}_2 =1}{=} \norm{\nabla f(x)}_2 \cdot \cos(\theta)\]
     $\pdv{f}{v}(x)$ wird maximal, wenn $\cos(\theta) = 1$, also wenn $v$ und $\nabla f(x)$ die gleiche Richtung haben: d.h. der Vektor $\nabla f(x)$ ist die Richtung des stärksten Anstiegs von $f$ im Punkt $x$.
-\end{korrolar}
+\end{korollar}
 \begin{bem}
     \begin{enumerate}
         \item Es gibt Funktionen, für welche alle Richtungsableitungen existieren, die aber dennoch nicht (total) differenzierbar sind.

ana13.tex

@@ -77,7 +77,7 @@
 	$D \subset \mathbb{K}^{n}$ heißt \underline{konvex}, genau dann wenn: für alle $x,x' \in D$ und für alle $\lambda \in [0,1]$ gilt $\lambda \cdot x + (1-\lambda)x' \in D$. \\
 	Geometrisch: für zwei Punkte in $D$ liegt die Verbindungsstrecke der beiden Punkte stets ganz in $D$.
 \end{definition}
-\begin{korrolar}
+\begin{korollar}
 	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R^{n}$ stetig differenzierbar. Sei $x \in D$ und $\varepsilon > 0$ sodass $K_{\varepsilon}(x) \subset D$. Dann gilt:
 	\begin{salign*}
 		\norm{f(y) - f(x)}_{2} \leq M \cdot \norm{y-x}_{2} \ \ \ \ \ \forall y \in K_{\varepsilon}
@@ -88,7 +88,7 @@
 		\norm{f(y) - f(x)}_{2} \leq M \cdot \norm{y-x}_{2} \ \ \ \ \ \forall x,y \in D
 	\end{salign*}
 	mit $M \coloneqq \sup_{z \in D} \norm{J_{f}(z)}_{2}$, das heißt $f$ ist auf $D$ Lipschitz-stetig.
-\end{korrolar}
+\end{korollar}
 \begin{proof}
     Aus Lemma \ref{lemma:dreieck-integrale} folgt:
 	\begin{salign*}

ana4.tex

@@ -132,9 +132,9 @@
 	Widerspruch zu $x \in S_{1}$, also $m>0$. Dann für $x \neq 0$ ist Vektor $\frac{x \ }{\norm{x}_{\infty}} \in S_{1}$ und $m \leq \frac{\norm{x} \ }{\norm{x}_{\infty}}$ (nach Definition von $m$) und $0 < m \cdot \norm{x}_{\infty} \leq \norm{x}, \ x \in \K^{n}$.
 \end{proof}
 
-\begin{korrolar}
+\begin{korollar}
 	Auf $K^{n}$ sind alle Konvergenzen in irgendeiner Norm äquivalent zur Konvergenz in der $\ell_{\infty}$-Norm. (= komponentenweiser Konvergenz)
-\end{korrolar}
+\end{korollar}
 
 \begin{bem}
 	Obiger Satz gilt nicht für unendlich dimensionale Räume (wie z.B. $C[a,b]$ oder $R[a,b]$). Die endliche Dimension von $K^{n}$ ist entscheidend.
@@ -180,12 +180,12 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 
-\begin{korrolar}
+\begin{korollar}
 	\begin{enumerate}[1)]
 		\item	Endliche Schnitte und beliebige Vereinigung von offenen Mengen sind wieder offen.
 		\item 	(Beobachtung) Durchschnitt von unendlich vielen offenen Mengen braucht nicht offen zu sein. Z.B. $$ \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} \left]-\frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}\right[ = [0,1]$$ ist nicht offen, da $K_{\varepsilon}(0) \not\subset [0,1], \forall \varepsilon > 0$.
 	\end{enumerate}
-\end{korrolar}
+\end{korollar}
 
 \begin{definition}[Abgeschlossene Menge]
     Eine Teilmenge $A \subset \K^{n}$ heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement $A^{c} \coloneqq \K^{n} \setminus A$ offen ist.

ana5.tex

@@ -302,10 +302,10 @@
     In unendlich dimensionalen Banach-Räumen wie z.B.: $C[a,b]$ ist dies nicht möglich.
 \end{bem}
 
-\begin{korrolar}
+\begin{korollar}
     Jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge in $\mathbb{K}^{n}$ ist
     ebenfalls kompakt.
-\end{korrolar}
+\end{korollar}
 
 \begin{proof}
     Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$ kompakt und $A \subset M$ abgeschlossen. Wegen

ana6.tex

@@ -49,7 +49,7 @@
     \end{align*}
 \end{proof}
 
-\begin{korrolar}
+\begin{korollar}
     \begin{enumerate}[a)]
         \item Ein Skalarprodukt $(\cdot,\cdot)$ auf $V$ über $\K$ erzeugt eine Norm durch $\norm{x} \coloneqq \sqrt{(x,x)}, \ x \in V$. Falls ein normierter Raum $\left(V, (\cdot,\cdot)\right)$ vollständig ist, so heißt das Paar $\left(V, (\cdot,\cdot)\right)$ \underline{Hilbert-Raum}.
         \item Das euklidische Skalarprodukt $(\cdot,\cdot)_2$ auf $\K^n$
@@ -58,7 +58,7 @@
             $$\norm{x}_2 \coloneqq \sqrt{(x,x)_2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}.$$
             $\left(\K^n, (\cdot,\cdot)_2\right)$ ist ein Hilbert-Raum.
         \end{enumerate}
-\end{korrolar}
+\end{korollar}
 
 \begin{proof}
     Normeigenschaften Definitheit und Homogenität folgen aus \ref{def:definitheit}-\ref{def:linear}. Die Dreicksungleichung folgt aus der Schwarz-Ungleichung.

ana8.tex

@@ -37,11 +37,11 @@
     Damit folgt die Behauptung.
 \end{proof}
 
-\begin{korrolar}
+\begin{korollar}
     Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ regulär und
     $\tilde A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ s.d. $\Vert A - \tilde A\Vert < \frac{1}{\Vert A^{-1} \Vert}$. Dann
     ist $\tilde A$ regulär.
-\end{korrolar}
+\end{korollar}
 
 \begin{proof}
     Es ist $\tilde A = \tilde A + A - A = (\tilde A - A) + A = A

lecture.cls

@@ -49,7 +49,7 @@
 \theoremstyle{definition}
 \newmdtheoremenv{satz}{Satz}[chapter]
 \newmdtheoremenv{lemma}[satz]{Lemma}
-\newmdtheoremenv{korrolar}[satz]{Korrolar}
+\newmdtheoremenv{korollar}[satz]{Korollar}
 \newmdtheoremenv{definition}[satz]{Definition}
 
 \newtheorem{bsp}[satz]{Beispiel}