little mistakes

ana4.tex

@@ -71,11 +71,11 @@
 \begin{definition}
 	Eine Folge $(x^{(k)})_{k \in \N}, x^{(k)} \in \K$, heißt 
 	\begin{enumerate}[i)]
-		\item 	beschränkt, falls $\forall x^{(k)} \in K_{R}(0)$, $K_{R}(0)$ eine Kugelumgebung von $0$ mit Radius $R$. 
+		\item 	beschränkt, falls $\forall k\in \N:\; x^{(k)} \in K_{R}(0)$, $K_{R}(0)$ eine Kugelumgebung von $0$ mit Radius $R$. 
 				$$K_{r}(0) \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{x-a}_{\infty} < r\}.$$
 		\item 	Cauchy-Folge, wenn $\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon} \in \N$ sodass $\forall k,l \geq N_{\varepsilon}$ gilt: $\norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon$.
 		\item 	konvergent gegen ein $x \in \K^{n}$, wenn $\norm{x^{(k)} - x}_{\infty} \to 0$ für $k \to \infty$. \\
-				geometrisch: jede Kugelumgebung $K_{\varepsilon}(x)$ enthält fast alle Folgenelemente $x^{(k)}$ enthält (d.h. alle bis auf endlich viele).
+				geometrisch: jede Kugelumgebung $K_{\varepsilon}(x)$ enthält fast alle Folgenelemente $x^{(k)}$ (d.h. alle bis auf endlich viele).
 	\end{enumerate}
 \end{definition}
 
@@ -121,8 +121,8 @@
 	Wobei $M \coloneqq \sum_{k=1}^{n} \norm{e^{(k)}}$. \\ Setze $$S_{1} \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{x}_{\infty} = 1\}, \ \ m \coloneqq \inf \{ \norm{x} \ | \ x \in S_{1} \} \geq 0.$$ \\
 	Es gzz.: $m > 0$. Annahme $m=0$. Dann existiert eine Folge $(x^{(k)})_{k \in \N}$, $x^{(k)} \in S_{1}$, sodass $\norm{ x^{(k)} } \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0$. Aus $x^{(k)} \in S_{1}$ folgt $(x^{(k)})_{k \in \N}$ ist beschränkt in der $\ell_{\infty}$-Norm. Dann impliziert der Satz von Bolzano-Weierstraß: es existiert eine konvergente Teilfolge, o.B.d.A. $(x^{(k)}) \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} x$ in der $\ell_{\infty}$-Norm, dann:
 	\begin{align*}
-		& \ \ \ \underbrace{\left| \underbrace{\norm{x^{(k)}}_{\infty}}_{=1} - \norm{x}_{\infty} \right|}_{=|1-\norm{x}_{\infty}} \leq \underbrace{\norm{x^{(k)} -x}_{\infty}}_{\overset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0} 
-		\implies  |1-\norm{x}_{\infty} \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0  
+		& \ \ \ \underbrace{\left| \underbrace{\norm{x^{(k)}}_{\infty}}_{=1} - \norm{x}_{\infty} \right|}_{=|1-\norm{x}_{\infty}|} \leq \underbrace{\norm{x^{(k)} -x}_{\infty}}_{\overset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0} 
+		\implies  |1-\norm{x}_{\infty}| \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0  
 		\implies  \norm{x}_{\infty} = 1 \implies x\in S_{1}.
 	\end{align*}	 
 	Anderseits:
@@ -134,7 +134,7 @@
 \end{proof}
 
 \begin{korrolar}
-	Auf $K^{n}$ sind alle Komvergenzen in irgendeiner Norm äquivalent zur Konvergenz in der $\ell_{\infty}$-Norm. (= komponentenweiser Konvergenz)
+	Auf $K^{n}$ sind alle Konvergenzen in irgendeiner Norm äquivalent zur Konvergenz in der $\ell_{\infty}$-Norm. (= komponentenweiser Konvergenz)
 \end{korrolar}
 
 \begin{bem}
@@ -160,9 +160,9 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 
 \begin{bsp}
 	\begin{enumerate}[(1)]
-		\item 	$]a,b[ \subseteq \R$ ist offen ($a<b, a,b \in \R$), weil: sei $x \in ]a,b[$, definiere $\varepsilon \coloneqq \min\{ |a-x|, |b-x|\}$, $\varepsilon > 0$, die $a<x<b$, dann $K_{\varepsilon}(x) \subseteq ]a,b[$
+		\item 	$]a,b[ \subseteq \R$ ist offen ($a<b, a,b \in \R$), weil: sei $x \in ]a,b[$, definiere $\varepsilon \coloneqq \min\{ |a-x|, |b-x|\}$, $\varepsilon > 0$, da $a<x<b$ ist $K_{\varepsilon}(x) \subseteq ]a,b[$
 		\item  	$\emptyset$ leere Menge ist immer offen, $\K^{n}$ ist immer offen
-		\item 	Die Kugel $K_{r}(a)$ ist immer offen: sei $x \in K_{r}(a)$, setze $\varepsilon \coloneqq r - \norm{x-y}$, dann $K_{\varepsilon}(x) \subseteq K_{r}(x)$, weil: sei $y \in K_{\varepsilon}(x)$. Dann gilt $$ \norm{y-a} \leq \underbrace{\norm{y-x}}_{< \varepsilon = r - \norm{x-y}} + \norm{x-a} < r - \norm{x-a} + \norm{x+a} = r.$$
+		\item 	Die Kugel $K_{r}(a)$ ist immer offen: sei $x \in K_{r}(a)$, setze $\varepsilon \coloneqq r - \norm{x-a}$, dann $K_{\varepsilon}(x) \subseteq K_{r}(x)$, weil: sei $y \in K_{\varepsilon}(x)$. Dann gilt $$ \norm{y-a} \leq \underbrace{\norm{y-x}}_{< \varepsilon = r - \norm{x-a}} + \norm{x-a} < r - \norm{x-a} + \norm{x-a} = r.$$
 	\end{enumerate}
 \end{bsp}
 
@@ -212,7 +212,7 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 
 \begin{proof}
 	\begin{enumerate}[(1)]
-		\item 	$(U \subset V)^{c} = \underbrace{U^{c}}_{\text{offen}} \cap \underbrace{V^{c}}_{\text{offen}}$ offen.
+		\item 	$(U \cup V)^{c} = \underbrace{U^{c}}_{\text{offen}} \cap \underbrace{V^{c}}_{\text{offen}}$ offen.
 		\item 	$\left( \underset{i \in I}{\bigcap} U_{i} \right)^{c} = \underset{i \in I}{\bigcup} \underbrace{U_{i}^{c}}_{\text{offen}}$ offen.
 	\end{enumerate}
 \end{proof}