finish peano proof in ana16, add ana17

ana16.tex

@@ -91,7 +91,7 @@ Notationen: $x' = f(t,x), \dot x = f(t,x), \dv{x}{t} = f(t,x)$ (Dynamischer Proz
             [%minor tick num=4,
              %grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
              %major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
-             %axis lines=middle,
+             axis lines=middle,
              %enlargelimits={abs=0.2},
              %ymax=5,
              %ymin=0
@@ -120,12 +120,12 @@ Notationen: $x' = f(t,x), \dot x = f(t,x), \dv{x}{t} = f(t,x)$ (Dynamischer Proz
                 }
             ]
             \addplot3 (x,y,0);
-            \addlegendentry{$f(t,x)$}
+            \addlegendentry{$f(t,y)$}
             \addplot{(x-0.25)^2+0.15};
             \addlegendentry{$y(t)$}
           \end{axis}
     \end{tikzpicture}
-    \caption{Veranschaulichung: Richtungsfeld für DGL der Form $y' = f(x)$}
+    \caption{Veranschaulichung: Richtungsfeld für DGL der Form $y' = f(t,y)$}
 \end{figure}
 
 \begin{definition}[System erster Ordnung]
@@ -398,6 +398,65 @@ Reminder:
         \[\max_{t\in I} \norm{y^{h_i} - y(t)} \xrightarrow{i\to \infty} 0\]
         Offenbar ist $\graph(y)\subset D$.
         \item \textbf{z.Z.} $y(t)$ erfüllt die Differentialgleichung $y'(t) = f(t,y(t))$ oder äquivalent dazu: $y(t)$ erfüllt die Integralgleichung \[y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s,y(s))\d s\]
+
+            Sei dazu $t \in [t_{k-1}, t_k] \subseteq I$, $y^{i}(t) \coloneqq y^{h_i}(t)$. Für
+            ein $i$ gilt
+            \begin{salign*}
+                y^{i}(t) \stackrel{\text{\ \ \ \ }}{=}& y_{k-1}^{i} + (t - t_{k-1}) f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \\
+                         =& y_{k-2}^{i} + (t_{k-1} - t_{k-2})f(t_{k-2}, y_{k-2}^{i})
+                         + (t - t_{k-1}) f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \\
+                        \vdots \; & \\
+                         =& y_0 + \sum_{j=1}^{k-1} (t_j - t_{j-1}) f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i})
+                         + (t-t_{k-1})f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \\
+                         =& y_0 + \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) \d s
+                         + \int_{t_{k-1}}^{t} f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \d s \\
+                         &+ \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s - \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s \\
+                         =& y_0 + \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} (f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i})
+                         - f(s, y^{i}(s)) \d s \\
+                         &+ \int_{t_{k-1}}^{t} (f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s))) \d s
+                         + \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s
+                         \tageq \label{eq:peano:1}
+            .\end{salign*}
+            Die Funktionen der Folge $(y^{i})_{i \in \N}$ sind gleichgradig stetig, d.h.
+            $\forall i$, $\forall \epsilon' > 0$, $\exists \delta _{\epsilon'}$ s.d.
+            \[
+                |t-t'| < \delta_{\epsilon'} \implies \Vert y^{i}(t) - y^{i}(t') \Vert < \epsilon'
+            .\]
+            Da $D$ kompakt, ist die stetige Funktion $f(t,x)$ auch gleichmäßig stetig. Damit folgt
+            $\forall \epsilon > 0$, $\exists \epsilon' < \epsilon$, $\exists \delta_{\epsilon'}$, s.d.
+            \[
+                |t-t'| < \delta_{\epsilon'}, \Vert y^{i}(t) - y^{i}(t') \Vert < \epsilon'
+                \implies \Vert f(t, y^{i}(t)) - f(t', y^{i}(t')) \Vert < \epsilon
+            .\] Falls $h_i$ hinreichend klein folgt damit $\forall k$
+            \[
+                \max_{s \in [t_{k-1}, t_k]} \Vert f(t, y^{i}(t)) - f(s, y^{i}(s) \Vert \le \epsilon
+                \tageq \label{eq:peano:2}
+            .\] Damit folgt
+            \begin{salign*}
+                \left\Vert y^{i}(t) - y_0 - \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s \right\Vert
+                \kern -1mm \stackrel{\ref{eq:peano:1}}{=}&
+                \Bigg\Vert \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j}
+                \left( f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \right)  \d s \\
+                &+ \int_{t_{k-1}}^{t} \left( f(t_{k-1} y_{k-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \right) \d s
+                \Bigg\Vert \\
+                \le& \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} \Vert f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \Vert \d s \\
+                &+ \int_{t_{k-1}}^{t} \Vert f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \Vert \d s \\
+                \stackrel{\ref{eq:peano:2}}{\le}& \sum_{j=1}^{k-1} \epsilon \int_{t_{j-1}}^{t_j}  \d s
+                + \epsilon \int_{t_{k-1}}^{t}  \d s \\
+                =& \epsilon |t - t_0|
+                \intertext{Damit folgt}
+                \Bigg\Vert \underbrace{y^{i}(t)}_{\xrightarrow{i \to \infty} y(t)} - y_0
+                - \int_{t_0}^{t} \underbrace{f(s, y^{i}(s))}_{\xrightarrow{i \to \infty} f(s, y(s))} \d s
+                \Bigg\Vert
+                \kern -1mm \le& \epsilon |t-t_0|
+                \intertext{Also folgt}
+                \left\Vert y(t) - y_0 - \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s \right\Vert \kern -1mm\le& \epsilon |t-t_0|
+            .\end{salign*}
+            Da $\epsilon$ beliebig ist, folgt damit
+            \[
+                y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s 
+            .\] 
     \end{enumerate}
 \end{proof}
+
 \end{document}

ana17.tex

@@ -0,0 +1,236 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\begin{bem}[Bedeutung des Existenzsatz von Peano]
+    Für die lokale Lösbarkeit des Systems $y' = f(t,y)$ reicht
+    die Stetigkeit der rechten Seite. Aber auch wenn $f(t,y)$ auf einem
+    Streifen $[a,b] \times \R^{n}$ stetig ist, kann nicht erwartet werden, dass die Lösung
+    der AWA im Intervall $[a,b]$ definiert ist.
+
+    Zum Beispiel: $y' = 1 + y^2$. $f(t,y) = 1 + y^2$ ist stetig auf $\R \times \R$. Als Lösung
+    folgt $y = \tan(t + c)$, denn
+    \begin{align*}
+        y' = \frac{1}{\cos^2(t+c)} = \frac{\cos^2(t+c) + \sin^2(t+c)}{\cos^2(t+c)}
+        = 1 + \tan^2(t+c) = 1 + y^2
+    .\end{align*}
+    Das heißt Lösungen sind nur in Intervallen der Länge $\pi$ definiert. Der Satz von Peano
+    macht eine Aussage über die Größe des Existenzintervalls (die nur von Stetigkeitseigenschaften
+    von $f(t,x)$ abhängig ist).
+\end{bem}
+\begin{figure}[h]
+    \label{fig:tan-dgl-solution}
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+        \begin{axis}%
+            [default 2d plot,
+             ymax=4,
+             ymin=-4,
+             xmin=-4,
+             xmax=4,
+             xtick={-3.14, -1.57, 0, 1.57, 3.14},
+             xticklabels={$\pi$, $-\frac{\pi}{2}$, $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$}
+            ]
+            \addplot[domain=1.58:4.70,samples=100,smooth,red] {tan(deg(x))};
+            \addplot[domain=-1.56:1.56,samples=100,smooth,red] {tan(deg(x))};
+            \addplot[domain=-4.72:-1.58,samples=100,smooth,red] {tan(deg(x))};
+          \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Lösung $y = \tan(t+c)$ nur in Intervallen der Länge $\pi$ definiert.}
+\end{figure}
+
+\begin{satz}[Fortsetzungssatz]
+    Sei $f(t,x)$ stetig auf $D \subseteq \R \times \R^{n}$, $D$ abgeschlossen und $(t_0, y_0) \in D$.
+    Sei weiter $y(t)$ Lösung der AWA für $t \in [t_0 - T, t_0 + T]$.
+
+    Dann ist $y$ nach rechts und links auf ein maximales Existenzintervall $I_{\text{max}} = (t_0 - T^{*}, t_0 + T^{*})$
+    bis zum Rand von $D$ (stetig diff'bar) fortsetzbar.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Wiederholte Anwendung des Satz von Peano (siehe R.R. S. 111).
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Die maximal fortgesetzten Lösungen nach links und rechts laufen bis der Graph von $y$ an
+    den Rand von $D$ stößt. Dabei ist es möglich, dass
+    \[
+        \text{Graph}(y) = \{ (t, y(t)) , t \in I_{\text{max}}\}
+    \] unbeschränkt ist, weil $t \to t_0 + T^{*} = \infty$ oder
+    $\Vert y(t) \Vert \xrightarrow{t \to t_0 + T^{*}} \infty$.
+\end{bem}
+
+\begin{korollar}[Globale Existenz]
+    Sei $f(t,x)$ auf ganz $\R \times \R^{n}$ definiert und stetig. Seien alle lokalen Lösungen
+    $y(t)$ beschränkt durch eine stetige Funktion $\rho\colon \R \to \R$ mit
+    \[
+        \Vert y(t) \Vert \le \rho(t), \quad t \in [t_0 - T, t_0 + T]
+    .\] Dann ist $y$ fortsetzbar auf ganz $\R$.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+    Wegen der Schranke, kann keine lokale Lösung auf einem beschränkten Zeitintervall
+    einen unbeschränkten Graphen haben. Also ist $y$ fortsetzbar auf ganz $\R$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Regularitätssatz]
+    Sei $y$ eine Lösung der AWA $y' = f(t,y)$ auf dem Intervall $I$ und
+    sei $f \in C^{m}(D)$ mit $m \ge 1$. Dann gilt $y \in C^{m+1}(I)$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Da $y(t)$ Lösung, folgt
+    \[
+        y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s,y(s)) \d s, \quad t \in I
+    .\] Sei nun $f \in C^{1}(D)$. Dann ist $y$ zweimal stetig differenzierbar
+    mit
+    \begin{align*}
+        y''(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(t, y(t))
+        = \underbrace{\frac{\partial}{\partial t} f(t, y(t))}_{\text{stetig}}
+        + \underbrace{\frac{\partial}{\partial y} f(t, y(t))}_{\text{stetig}}
+        \underbrace{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}_{= f \text{ also stetig}}
+    .\end{align*}
+    Durch Wiederholung dieses Arguments folgt $y \in C^{m+1}$ falls $f \in C^{m}(D)$ ist.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    Was kann passieren, falls $f(t,x)$ nicht stetig ist? Beispiel: Coulomb Reibung. Sei
+    $c > 0$ und $v(0) = v_0$.
+    \begin{align*}
+        \dot{s} &= v \\
+        \dot{v} &= -c \cdot \text{sign}(v)
+    .\end{align*}
+    Lösung: $v(t) = v_0 - ct$. Lösungen der DGL existieren ab $t = \frac{v_0}{c}$ nicht.
+    Abhilfe: Philipov Regel (siehe Literatur).
+    \begin{figure}[h]
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}[declare function={f(\x) = -2;}]
+            \begin{axis}%
+                [%minor tick num=4,
+                 %grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+                 %major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+                 axis lines=middle,
+                 legend pos=outer north east,
+                 %enlargelimits={abs=0.2},
+                 %ymax=5,
+                 %ymin=0
+                 width=0.6\textwidth, % Overall width of the plot
+                 axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length
+                 view={0}{90}, % We need to use "3D" plots, but we set the view so we look at them from straight up
+                 xmin=0, xmax=2, % Axis limits
+                 ymin=-1.1, ymax=1.1,
+                 domain=0:2, y domain=-1:1, % Domain over which to evaluate the functions
+                 xtick=\empty, ytick={1}, % Tick marks
+                 xticklabels={$t_0$},
+                 yticklabels={$v_0$},
+                 xlabel=$t$,
+                 ylabel=$v$,
+                 samples=7, % How many arrows?
+                ]
+                \addplot3[
+                    y domain=1:0.1,
+                    gray,
+                    quiver={
+                        u={1}, v={-2}, % End points of the arrows
+                        scale arrows=0.1,
+                        every arrow/.append style={
+                            -latex % Arrow tip
+                        },
+                    }] (x,y+0.1,0);
+                \addplot3[
+                    forget plot,
+                    y domain=-1:-0.1,
+                    gray,
+                    quiver={
+                        u={1}, v={2}, % End points of the arrows
+                        scale arrows=0.1,
+                        every arrow/.append style={
+                            -latex % Arrow tip
+                        },
+                    }] (x, y-0.1,0);
+                \addlegendentry{$f(t,v) = - c \cdot \text{sign}(v)$}
+                \addplot[blue, domain=0:1] {2 - 2*x};
+                \addlegendentry{$v^{(1)}(t) = - c + v_0^{(1)}$}
+                \addplot[forget plot, blue, domain=0:0.5] {1 - 2*x};
+                \addplot[red, domain=0:0.75] {-1.5 + 2*x};
+                \addlegendentry{$v^{(2)}(t) = + c + v_0^{(2)}$}
+              \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+        \caption{Mögliche Lösungen der DGL $\dot{v} = - c \cdot \text{sign}(v)$ mit
+        $v_0^{(1)} > 0$ und $v_0^{(2)} < 0$. Ab $t = \frac{v_0}{c}$ existiert keine Lösung.}
+    \end{figure}
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Uneindeutigkeit von AWA]
+    Sei $y' = f(t,y) \coloneqq \sqrt{|y(t)|}$ mit $y(t_0) = y_0$. Es
+    ist $f(t,y)$ stetig auf $\R \times \R$.
+
+    Für $y_0 \ge 0$ gilt $\forall t_0 \in \R$:
+    \begin{align*}
+        y(t) &= \frac{(t-t_0 + 2 \sqrt{y_0})^2}{4} \qquad t_0 - 2 \sqrt{y_0} \le t < \infty
+        \intertext{Für $y_0 \le 0$ gilt $\forall t_0 \in \R$:}
+        y(t) &= - \frac{(t-t_0 - 2 \sqrt{-y_0})^2}{4} \qquad -\infty < t \le t_0 + 2 \sqrt{-y_0}
+        \intertext{Für $y_0 = 0$ ist jedoch $\forall t_0 \in \R$ auch}
+        y(t) &= 0
+    .\end{align*}
+    eine Lösung der AWA.
+
+    Falls $y_0 > 0$ oder $y_0 < 0$ ist $y(t; t_0, y_0)$ eindeutig bestimmt, aber für $y(t_0) = 0$
+    existieren unendlich viele Lösungen.
+    
+    \begin{figure}[h]
+        \begin{subfigure}[b]{.5\linewidth}
+            \begin{tikzpicture}
+                \begin{axis}%
+                    [default 2d plot,
+                     grid=none,
+                     ymax=10,
+                     ymin=-10,
+                     xmin=-10,
+                     xmax=20,
+                     xtick={6}, ytick={4,-4},
+                     yminorticks=false,
+                     minor tick style={draw=none},
+                     xticklabels={$t_0$}, yticklabels={$y_0$, $y_0$}
+                    ]
+                    \addplot[domain=2:10,samples=100,smooth,red] {((x-6+4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=-10:10,samples=100,smooth,blue] {-((x-6-4)^2)/4};
+                    \addplot[dashed,domain=10:20,samples=100,smooth,red] {((-(x-6)+4)^2)/4};
+                    \addplot[dashed,domain=-10:2,samples=100,smooth,blue] {-((x-6+4)^2)/4};
+                  \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+            \caption{Lösungen für $y_0 > 0$ (rot) bzw. $y_0 < 0$ (blau) und ihre Fortsetzungen.}
+        \end{subfigure}
+        \begin{subfigure}[b]{.5\linewidth}
+            \begin{tikzpicture}
+                \begin{axis}%
+                    [default 2d plot,
+                     grid=none,
+                     ymax=10,
+                     ymin=-10,
+                     xmin=-10,
+                     xmax=20,
+                     xtick={6}, ytick=\empty,
+                     xticklabels={$t_0$}
+                    ]
+                    \addplot[domain=-2:14,samples=100,smooth,orange] {0};
+                    \addplot[domain=14:20,samples=100,smooth,orange] {((x-18+4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=-20:-2,samples=100,smooth,orange] {-((x+6-4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=2:10,samples=100,smooth,blue] {0};
+                    \addplot[domain=10:20,samples=100,smooth,blue] {((x-14+4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=-20:2,samples=100,smooth,blue] {-((x+2-4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=4:8,samples=100,smooth,red] {0};
+                    \addplot[domain=8:20,samples=100,smooth,red] {((x-12+4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=-20:4,samples=100,smooth,red] {-((x-4)^2)/4};
+                    %\addplot[dashed,domain=10:20,samples=100,smooth,red] {((-(x-6)+4)^2)/4};
+                    %\addplot[dashed,domain=-10:2,samples=100,smooth,blue] {-((x-6+4)^2)/4};
+                  \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+            \caption{Für $y_0 = 0$ existieren beliebig viele zusammengesetzte Lösungen.}
+        \end{subfigure}
+    \end{figure}
+
+    Beobachtung: $f(t,x)$ ist stetig auf $\R \times \R$, aber $f(t,x)$ ist nicht Lipschitz stetig
+    in $(t,0)$ $\forall t \in \R$.
+\end{bsp}
+
+\end{document}

analysisII.tex

@@ -39,5 +39,6 @@ Rui Yang (\href{mailto:rui.yang@stud.uni-heidelberg.de}{rui.yang@stud.uni-heidel
 \input{ana14.tex}
 \input{ana15.tex}
 \input{ana16.tex}
+\input{ana17.tex}
 
 \end{document}