minor corrections, ... replaced with dots

ana13.tex

@@ -95,7 +95,7 @@
         \norm{\int_{0}^{1} J_{f}(x+sh) h \d{s} }_{2} &\leq \int_{0}^{1} \norm{J_{f}(x+sh) h}_{2} \d{s} \\ & \leq \int_{0}^{1} \norm{J_{f}(x+sh)}_{2} \norm{h}_{2} \d{s} \\ &\leq \sup_{0<s<1} \norm{J_{f}(x+sh)}_{2} \cdot \norm{h}_{2} \\ \hfill \\ \implies \ & \norm{f(x+h) - f(x)}_{2} = \norm{\int_{0}^{1} J_{f}(x+sh)h \d{s}}_{2} \leq M \cdot \norm{x+h-x}_{2}.
 	\end{salign*}
 	Sei $D$ nun konvex. Für $x,y \in D$ gilt dann: $$z = ty + (1-t)x = x + t(y-x) \in D, \ \ \ \ \ t \in [0,1].$$
-	Sei $g(t) \coloneqq f(x+ t(y-x))$ für $t \in [0,1]$. Dann gilt für $i \in \{1,...,m\}$:
+	Sei $g(t) \coloneqq f(x+ t(y-x))$ für $t \in [0,1]$. Dann gilt für $i \in \{1,\dotsc,m\}$:
 	\begin{salign*}
 		f_{i}(y) - f_{i}(x) = g_{i}(1) - g_{i}(0) = \int_{0}^{1} g_{i}'(s) \d{s} = \int_{0}^{1} \sum_{j=1}^{n} \pdv{f_{i}(x+s(y-x))}{x_{j}}(y_{i}-x_{i}) \d{s}.
 	\end{salign*}
@@ -110,7 +110,7 @@
 	\end{salign*}	
 \end{proof}
 \begin{bem}
-	Obige Lipschitz-Konstante liefert eine Abschätzung für die Ableitungen/Jacobi-Matrix von $f$. 
+	Obige Lipschitz-Konstante liefert eine Abschätzung für die Ableitungen/ Jacobi-Matrix von $f$. 
 \end{bem}
 
 \section{Taylor-Entwicklung}
@@ -119,18 +119,18 @@
 	\begin{enumerate}[(1)]
 		\item 	Sei $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R^{m}$ partiell differenzierbar. Seien alle partiellen Ableitungen $$\partial_{i}f: D \to \R^{m}, \ \partial_{i}f = \begin{pmatrix}
 			\partial_{i} f_{1} \\ \vdots \\ \partial_{i}f_{m}
-		\end{pmatrix}, \ \ \ \partial_{i}f = \pdv{}{x_{i}} f$$ wieder partiell differenzierbar. Dann ist $f$ zweimal differenzierbar auf $D$ \ (mit Ableitungen $\partial_{j}\partial_{i}f, \ i,j \in \{1,...,n\}$). \\ Allgemein: (induktiv) $f: D \to \R^{m}$ ist $(k+1)$-mal partiell differenzierbar, wenn $f$ $k$-mal partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen $k$-ter Ordnung $\partial_{i_{k}}\partial_{i_{k-1}}...\partial_{i_{1}}f$
-        \ ($i_{k},...,i_{1} \in \{1,...,n\}$) partiell differenzierbar sind.
+		\end{pmatrix}, \ \ \ \partial_{i}f = \pdv{}{x_{i}} f$$ wieder partiell differenzierbar. Dann ist $f$ zweimal differenzierbar auf $D$ \ (mit Ableitungen $\partial_{j}\partial_{i}f, \ i,j \in \{1,\dotsc,n\}$). \\ Allgemein: (induktiv) $f: D \to \R^{m}$ ist $(k+1)$-mal partiell differenzierbar, wenn $f$ $k$-mal partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen $k$-ter Ordnung $\partial_{i_{k}}\partial_{i_{k-1}}\dots \partial_{i_{1}}f$
+        \ ($i_{k},\dotsc,i_{1} \in \{1,\dotsc,n\}$) partiell differenzierbar sind.
 		\item 	$f: D \to \R^{m}$ ist $k$-mal stetig partiell differenzierbar, wenn $f$ \ $k$-mal differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen der $k$-ten Ordnung stetig sind ($f \in C^{k}(D,\R^{m})$).
 		\item 	Es gilt:
 				\begin{salign*}
-					f \in C^{1}(D,\R^{m}) \ \ \ &\Longleftrightarrow \ \ \ \partial_{i}f: D \to \R^{m} \ \text{ist stetig} \ \forall i \in \{1,...,n\} \\
-					&\Longleftrightarrow \ \ \ \partial_{i}f_{k}: D \to \R \ \text{ist stetig} \ \forall i \in \{1,...,n\}, k \in \{1,...,m\} \\
+					f \in C^{1}(D,\R^{m}) \ \ \ &\Longleftrightarrow \ \ \ \partial_{i}f: D \to \R^{m} \ \text{ist stetig} \ \forall i \in \{1,\dotsc,n\} \\
+					&\Longleftrightarrow \ \ \ \partial_{i}f_{k}: D \to \R \ \text{ist stetig} \ \forall i \in \{1,\dotsc,n\}, k \in \{1,\dotsc,m\} \\
 					&\Longleftrightarrow \ \ \ f \ \text{ist total differenzierbar in} \ D \ \text{und} \ x \mapsto J_{f}(x) = (\partial_{i}f_{k})_{i,k} \ \text{stetig}
 				\end{salign*}
-		\item 	Ist $f \in C^{k}(D,\R^{m})$, dann sind die Ableitungen der $k-1$-ten Ordnung $\partial_{i_{k-1}}...\partial_{i_{1}}f: D \to \R^{m}$ total differenzierbar, weil stetig partiell differenzierbar. Also ist $\partial_{i_{k-1}}...\partial_{i_{1}}f$ stetig und damit sind alle Ableitungen $k-1$-ter Ordnung stetig. Ananolg folgt induktiv, dass alle Ableitungen $j$-ter Ordnung mit $j\leq k$ stetig auf $D$ sind.
-		\item 	Seien $D \subset \R^{m}$ offen, $f: D \to \R^{m}$. Existieren $\partial_{i}f, \partial_{j}f$ und $\partial_{j}\partial_{i}f$ auf $D$ \ ($i,j \in \{1,...,n\}$) \ und $\partial_{j}\partial_{i}f$ stetig in $a \in D$. Dann existiert $\partial_{i}\partial_{j}f$ und es gilt $$ \partial_{i}\partial_{j}f(a) = \partial_{j}\partial_{i}f(a).$$
-		\item 	Seien $D \subset \R^{m}$ und $f \in C^{k}(D, \R^{m})$. Sei $\pi \in \mathcal{S}_{k}$ eine Permutation, dann gilt: $$ \partial_{i_{k}}...\partial_{i_{1}}f = \partial_{i_{\pi(k)}}...\partial_{i_{\pi(1)}}f, \ \ \ \ \ \ \ \forall i_{1},...,i_{k} \in \{1,...,n\}.$$
+		\item 	Ist $f \in C^{k}(D,\R^{m})$, dann sind die Ableitungen der $k-1$-ten Ordnung $\partial_{i_{k-1}}\dots\partial_{i_{1}}f: D \to \R^{m}$ total differenzierbar, weil stetig partiell differenzierbar. Also ist $\partial_{i_{k-1}}\dots\partial_{i_{1}}f$ stetig und damit sind alle Ableitungen $k-1$-ter Ordnung stetig. Ananolg folgt induktiv, dass alle Ableitungen $j$-ter Ordnung mit $j\leq k$ stetig auf $D$ sind.
+		\item 	Seien $D \subset \R^{m}$ offen, $f: D \to \R^{m}$. Existieren $\partial_{i}f, \partial_{j}f$ und $\partial_{j}\partial_{i}f$ auf $D$ \ ($i,j \in \{1,\dotsc,n\}$) \ und $\partial_{j}\partial_{i}f$ stetig in $a \in D$. Dann existiert $\partial_{i}\partial_{j}f$ und es gilt $$ \partial_{i}\partial_{j}f(a) = \partial_{j}\partial_{i}f(a).$$
+		\item 	Seien $D \subset \R^{m}$ und $f \in C^{k}(D, \R^{m})$. Sei $\pi \in \mathcal{S}_{k}$ eine Permutation, dann gilt: $$ \partial_{i_{k}}\dots\partial_{i_{1}}f = \partial_{i_{\pi(k)}}\dots\partial_{i_{\pi(1)}}f, \ \ \ \ \ \ \ \forall i_{1},\dotsc,i_{k} \in \{1,\dotsc,n\}.$$
 	\end{enumerate}
 	Reminder - Taylor-Entwicklung in $\R$:
 	\begin{enumerate}[(1)]
@@ -151,23 +151,23 @@
 \begin{satz}[Taylor-Formel]
 	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $x \in D$, $h \in \R^{n}$ mit $\{x+th \ | \ t \in [0,1] \} \subset D$ und $f \in C^{r+1}(D,\R)$. Dann existiert ein $\theta \in [0,1]$ sodass gilt:
 	\begin{salign*}
-		f(x+h) &= \underbrace{f(x) + \sum_{k=1}^{r} \frac{1}{k!} \sum_{i_{1},...,i_{k} = 1}^{n} \partial_{i_{k}}...\partial_{i_{1}}f(x) \cdot h_{i_{1}} \cdot...\cdot h_{i_{k}}}_{\text{Taylor-Polynom}} \\ &+ \underbrace{\frac{1}{(r+1)!} \sum_{i_{1},...,i_{r+1} = 1}^{n} \partial_{i_{r+}}...\partial_{i_{1}}f(x+\theta h) \cdot h_{i_{1}} \cdot...\cdot h_{i_{r+1}}}_{\text{Restglied}}
+		f(x+h) &= \underbrace{f(x) + \sum_{k=1}^{r} \frac{1}{k!} \sum_{i_{1},\dotsc,i_{k} = 1}^{n} \partial_{i_{k}}\dots\partial_{i_{1}}f(x) \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}}}_{\text{Taylor-Polynom}} \\ &+ \underbrace{\frac{1}{(r+1)!} \sum_{i_{1},\dotsc,i_{r+1} = 1}^{n} \partial_{i_{r+1}}\dots\partial_{i_{1}}f(x+\theta h) \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{r+1}}}_{\text{Restglied}}
 	\end{salign*}
 \end{satz}
 \begin{proof}
 	Sei $g \colon [0,1] \to \R, g(t) \coloneqq f(x+th)$. Es gilt $g \in C^{r+1}([0,1], \R)$ und
 	\begin{equation} \label{eq::taylor-hilfsfkt}
-		\frac{\text{d}^{k} g}{\d t^{k}} =\sum_{i_{1},...,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f}{\partial x_{i_{k}}...\partial x_{i_{1}}}(x+th) \cdot h_{i_{1}} \cdot ... \cdot h_{i_{k}}.
+		\frac{\text{d}^{k} g}{\d t^{k}} =\sum_{i_{1},\dotsc,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f}{\partial x_{i_{k}}\dots\partial x_{i_{1}}}(x+th) \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}}.
 	\end{equation}
 	Wir zeigen (\ref{eq::taylor-hilfsfkt}) durch Induktion nach $k$. \\
 	(IA) \ $k=1$ \ Es ist $g \in C^{1}$ und nach Kettenregel gilt: $$ \frac{\d{g}}{\d{t}}(t) = \frac{\d}{\d{t}}f(x+th) = \sum_{i=1}^{n} \pdv{f(x+th)}{x_{i}} \cdot h_{i}. $$
-	(IV) Für ein $k \in \N$ gilt \ref{eq::taylor-hilfsfkt}. \\
-	(IS) \ $k \mapsto k+1$ \ Nach Induktionsvoraussetzung gilt: $$\frac{\text{d}^{k} g(t)}{\d t^{k}} =\sum_{i_{1},...,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f(x+th)}{\partial x_{i_{k}}...\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \cdot ... \cdot h_{i_{k}}.$$
+	(IV) Für ein $k \in \N$ gilt (\ref{eq::taylor-hilfsfkt}). \\
+	(IS) \ $k \mapsto k+1$ \ Nach Induktionsvoraussetzung gilt: $$\frac{\text{d}^{k} g(t)}{\d t^{k}} =\sum_{i_{1},\dotsc,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f(x+th)}{\partial x_{i_{k}}\dots\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}}.$$
 	Aus $f \in C^{k+1}(D, \R)$ folgt, dass $\frac{\text{d}^{k} g}{\d{t^{k}}} \in C^{1}([0,1], \R)$, womit nach Kettenregel folgt:
 	\begin{salign*}
-		\frac{\text{d}^{k+1} g(t)}{\d{t^{k+1}}} &= \frac{\d}{\d{t}} \left( \sum_{i_{1},...,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f(x+th)}{\partial x_{i_{k}}...\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \cdot ... \cdot h_{i_{k}} \right) \\  
-		&= \sum_{j=1}^{n} \pdv{}{x_{j}} \left( \sum_{i_{1},...,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f(x+th)}{\partial x_{i_{k}}...\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \cdot ... \cdot h_{i_{k}} \right) \cdot h_{j} \\
-		&= \sum_{i_{1},...,i_{k+1}=1}^{n} \frac{\partial^{k+1}f(x+th)}{\partial x_{i_{k+1}}...\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \cdot ... \cdot h_{i_{k+1}}.
+		\frac{\text{d}^{k+1} g(t)}{\d{t^{k+1}}} &= \frac{\d}{\d{t}} \left( \sum_{i_{1},\dotsc,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f(x+th)}{\partial x_{i_{k}}\dots\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}} \right) \\  
+		&= \sum_{j=1}^{n} \pdv{}{x_{j}} \left( \sum_{i_{1},\dotsc,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f(x+th)}{\partial x_{i_{k}}\dots\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}} \right) \cdot h_{j} \\
+		&= \sum_{i_{1},\dotsc,i_{k+1}=1}^{n} \frac{\partial^{k+1}f(x+th)}{\partial x_{i_{k+1}}\dots\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k+1}}.
 	\end{salign*}
 	Ferner liefert die Taylor-Formel in $\R$ für $g$ die Existenz eines $\theta \in [0,1]$ sodass gilt:
 	\begin{salign*}
@@ -177,12 +177,12 @@
 \end{proof}
 \begin{bem}
 	Um die Notation vieler, verschieden indizierter partieller Ableitungen zu erleichtern, führen wir die \underline{Multiindex-Notation} ein: \\
-	Für $\alpha = (\alpha_{1},...,\alpha_{n}) \in \N_{0}^{n}$ seien:
+	Für $\alpha = (\alpha_{1},\dotsc,\alpha_{n}) \in \N_{0}^{n}$ seien:
 	\begin{salign*}
-		\vert \alpha \vert  \ &\coloneqq \ \alpha_{1} + ... +\alpha_{n} \in \N_{0} \\
-		\partial^{\alpha}f \ &\coloneqq \ \partial_{1}^{\alpha_{1}}...\partial_{n}^{\alpha_{n}}f = \frac{\partial^{\vert \alpha \vert}f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}} ... \partial x_{n}^{\alpha_{n}}}, & \ \text{für} \ f \in C^{\vert \alpha \vert}(D, \R), \\
-		\alpha ! \ &\coloneqq \ \alpha_{1} ! \cdot ... \cdot \alpha_{n} ! \in \N_{0}, \\
-		h^{\alpha} \ &\coloneqq \ h_{1}^{\alpha_{1}} \cdot ... \cdot h_{n}^{\alpha_{n}} \in \R, & \ \text{für} \ h = (h_{1},...,h_{n})^{T} \in \R^{n}.
+		\vert \alpha \vert  \ &\coloneqq \ \alpha_{1} + \dots +\alpha_{n} \in \N_{0} \\
+		\partial^{\alpha}f \ &\coloneqq \ \partial_{1}^{\alpha_{1}}\dots\partial_{n}^{\alpha_{n}}f = \frac{\partial^{\vert \alpha \vert}f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}} \dots \partial x_{n}^{\alpha_{n}}}, & \ \text{für} \ f \in C^{\vert \alpha \vert}(D, \R), \\
+		\alpha ! \ &\coloneqq \ \alpha_{1} ! \dotsm \alpha_{n} ! \in \N_{0}, \\
+		h^{\alpha} \ &\coloneqq \ h_{1}^{\alpha_{1}} \dotsm h_{n}^{\alpha_{n}} \in \R, & \ \text{für} \ h = (h_{1},\dotsc,h_{n})^{T} \in \R^{n}.
 	\end{salign*}	 
 \end{bem}
 \begin{bsp}
@@ -194,7 +194,7 @@
 	\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
 		$\alpha$ & $(2,0,0)$ & $(0,2,0)$ & $(0,0,2)$ & $(1,1,0)$ & $(1,0,1)$ & $(0,1,1)$ \\
 		\hline 
-		$\alpha !$ & $2! \cdot 0! \cdot 0! = 2$ & $2$ & $2$ & $1$, & $1$ & $1$ \\
+		$\alpha !$ & $2! \cdot 0! \cdot 0! = 2$ & $2$ & $2$ & $1$ & $1$ & $1$ \\
 		\hline 
 		$\partial^{\alpha}f$ & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}$ & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}$ & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{3}^{2}}$ & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1} \partial x_{2}}$, & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1} \partial x_{3}}$ & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2} \partial x_{3}}$
 	\end{tabular}
@@ -209,12 +209,12 @@
 	\end{salign*}
 \end{bem}
 \begin{proof}
-	Die Reihenfolge der Differenzierung kann vertauscht werden. Daraus folgt für alle $k$-Tupel $(i_{1},...,i_{k})$ mit $i_{j} \in \{1,...,n\}$ für $j \in \{1,...,k\}$: $$\partial_{i_{k}}...\partial_{i_{1}}f(y)\cdot h_{i_{1}} \cdot ... \cdot h_{i_{k}} = \partial_{1}^{\alpha_{1}}...\partial_{n}^{\alpha_{n}}f(y) \cdot h_{1}^{\alpha_{1}} \cdot ... \cdot h_{n}^{\alpha_{n}} = \partial^{\alpha} f(y) \cdot h^{\alpha} $$
-	wobei $\alpha = (\alpha_{1},...,\alpha_{n})$ mit $\alpha_{s} \coloneqq \#\{ i_{j} \ | \ i_{j} = s \ \text{für} \ j \in \{1,...,k\} \}$ (Anzahl wie oft Index $s$ in $(i_{1},...,i_{k})$ vorkommt). \\
-	Ohne Beweis (siehe S.72 Skript Ana2 Rolf Rannacher): für $\alpha\in \N_{0}^{n}$ mit $\vert \alpha \vert = k$ gilt: die Anzahl von $k$-Tupeln $(i_{1},...,i_{k})$ bei denen der Index $s$ genau $\alpha_{s}$-mal vorkommt ist $$\frac{k!}{\alpha_{1}! \cdot ... \cdot \alpha_{n}!} = \frac{k!}{\alpha!}.$$
+	Die Reihenfolge der Differenzierung kann vertauscht werden. Daraus folgt für alle $k$-Tupel $(i_{1},\dotsc,i_{k})$ mit $i_{j} \in \{1,\dotsc,n\}$ für $j \in \{1,\dotsc,k\}$: $$\partial_{i_{k}}\dots\partial_{i_{1}}f(y)\cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}} = \partial_{1}^{\alpha_{1}}\dots\partial_{n}^{\alpha_{n}}f(y) \cdot h_{1}^{\alpha_{1}} \dotsm h_{n}^{\alpha_{n}} = \partial^{\alpha} f(y) \cdot h^{\alpha} $$
+	wobei $\alpha = (\alpha_{1},\dotsc,\alpha_{n})$ mit $\alpha_{s} \coloneqq \#\{ i_{j} \ | \ i_{j} = s \ \text{für} \ j \in \{1,\dotsc,k\} \}$ (Anzahl wie oft Index $s$ in $(i_{1},\dotsc,i_{k})$ vorkommt). \\
+	Ohne Beweis (siehe S.72 Skript Ana2 Rolf Rannacher): für $\alpha\in \N_{0}^{n}$ mit $\vert \alpha \vert = k$ gilt: die Anzahl von $k$-Tupeln $(i_{1},\dotsc,i_{k})$ bei denen der Index $s$ genau $\alpha_{s}$-mal vorkommt ist $$\frac{k!}{\alpha_{1}! \dotsm \alpha_{n}!} = \frac{k!}{\alpha!}.$$
 	Daraus folgt
 	\begin{salign*}
-		\frac{\text{d}^{k} g}{\d{t^{k}}}(t) &= \sum_{i_{1},...,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f(x+th)}{\partial x_{i_{k}}...\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \cdot ... \cdot h_{i_{k}} = \sum_{\vert \alpha \vert = k} \frac{k!}{\alpha_{1}!\cdot ... \cdot \alpha_{n}!} \partial_{1}^{\alpha_{1}}...\partial_{n}^{\alpha_{n}}f(x+th) h_{1}^{\alpha_{1}} \cdot ... \cdot h_{n}^{\alpha_{n}} \\
+		\frac{\text{d}^{k} g}{\d{t^{k}}}(t) &= \sum_{i_{1},\dotsc,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f(x+th)}{\partial x_{i_{k}}\dots\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}} = \sum_{\vert \alpha \vert = k} \frac{k!}{\alpha_{1}!\dotsm \alpha_{n}!} \partial_{1}^{\alpha_{1}}\dots\partial_{n}^{\alpha_{n}}f(x+th) h_{1}^{\alpha_{1}} \dotsm h_{n}^{\alpha_{n}} \\
 		&= \sum_{\vert \alpha \vert = k} \frac{k!}{\alpha !} \partial^{\alpha}f(x+th)h^{\alpha},
 	\end{salign*}
 	womit insbesondere auch gilt 
@@ -233,34 +233,34 @@
 	\end{salign*}
 \end{proof}
 \begin{korollar} \label{kor::taylor-omega-form}
-	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f\in C^{r+1}(D,\R)$. Dann gilt für alle $x \in D$ und $h \in \R^{n}$, für die $x+th \in D$ (für alle $t \in [0,1]$) $$f(x+h) = \sum_{\vert \alpha \vert \leq r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \omega_{r+1}(x, h),$$ sodass $$\frac{\omega_{r+1}(x,h)}{\norm{h}^{r+1}} \oldstackrel{h \to \infty}{\longrightarrow} 0,$$ also $\omega_{r+1}(x,h) = o(\norm{h}^{r+1})$.
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f\in C^{r+1}(D,\R)$. Dann gilt für alle $x \in D$ und $h \in \R^{n}$, für die $x+th \in D$ (für alle $t \in [0,1]$) $$f(x+h) = \sum_{\vert \alpha \vert \leq r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \omega_{r+1}(x, h),$$ sodass $$\frac{\omega_{r+1}(x,h)}{\norm{h}^{r+1}} \oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0,$$ also $\omega_{r+1}(x,h) = o(\norm{h}^{r+1})$.
 \end{korollar}
 \begin{proof}
 	Da $D$ offen ist, existiert ein $\delta > 0$ mit $K_{\delta}(x) \subset D$. Nach Taylor-Formel existiert für alle $h \in \R^{n}$ mit $\norm{h} < \delta$ ein $\theta \in [0,1]$ sodass 
 	\begin{salign*}
 		f(x+h) &= \sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x+\theta h)}{\alpha!}h^{\alpha} \\
-		&= \sum_{\vert \alpha \vert \leq r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \underbrace{\sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x+\theta h)-\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha}}_{\omega_{r+1}(x,h) \coloneqq}
+		&= \sum_{\vert \alpha \vert \leq r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \underbrace{\sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x+\theta h)-\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha}}_{\eqqcolon \, \omega_{r+1}(x,h)}
 	\end{salign*}
-	Nun gilt noch zu zeigen, dass: $\frac{\omega_{r+1}(x,h)}{\norm{h}^{r+1}} \oldstackrel{h \to \infty}{\longrightarrow} 0$. \\
+	Nun gilt noch zu zeigen, dass: $\frac{\omega_{r+1}(x,h)}{\norm{h}^{r+1}} \oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0$. \\
 	Es gilt: 
 	\begin{salign*}
-		\vert h^{\alpha} \vert = \vert h_{1}^{\alpha_{1}} \vert \cdot ... \cdot \vert h_{n}^{\alpha_{n}} \vert \leq \norm{h}^{\alpha_{1}} \cdot ... \cdot \norm{h}^{\alpha_{n}} = \norm{h}^{\vert \alpha \vert}.
+		\vert h^{\alpha} \vert = \vert h_{1}^{\alpha_{1}} \vert \dotsm \vert h_{n}^{\alpha_{n}} \vert \leq \norm{h}^{\alpha_{1}} \dotsm \norm{h}^{\alpha_{n}} = \norm{h}^{\vert \alpha \vert}.
 	\end{salign*}
 	Womit wir abschätzen können:
 	\begin{salign*}
-		\frac{\vert \omega_{r+1}(x,h) \vert}{\norm{h}^{r+1}} &= \frac{1}{\norm{h}^{r+1}} \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{1}{\alpha !} \vert \partial^{\alpha}f(x+\theta h)-\partial^{\alpha}f(x) \vert \cdot \vert h_{1}^{\alpha_{1}} \vert \cdot ... \cdot \vert h_{n}^{\alpha_{n}} \vert \\
+		\frac{\vert \omega_{r+1}(x,h) \vert}{\norm{h}^{r+1}} &= \frac{1}{\norm{h}^{r+1}} \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{1}{\alpha !} \vert \partial^{\alpha}f(x+\theta h)-\partial^{\alpha}f(x) \vert \cdot \vert h_{1}^{\alpha_{1}} \vert \dotsm \vert h_{n}^{\alpha_{n}} \vert \\
 		&= \frac{\vert h^{r+1} \vert}{\norm{h}^{r+1}}\sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{1}{\alpha !} \vert \partial^{\alpha}f(x+\theta h)-\partial^{\alpha}f(x) \vert \\
-		&\stackrel{\vert h^{r+1} \vert \leq \norm{h}^{r+1}}{\leq} \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{1}{\alpha !} \underbrace{\vert \partial^{\alpha}f(x+\theta h)-\partial^{\alpha}f(x) \vert}_{\oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0, \ \text{weil stetig sind alle} \ \partial^{\alpha}f} \oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0.
+		&\stackrel{\vert h^{r+1} \vert \leq \norm{h}^{r+1}}{\leq} \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{1}{\alpha !} \underbrace{\vert \partial^{\alpha}f(x+\theta h)-\partial^{\alpha}f(x) \vert}_{\oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0, \ \text{weil alle} \ \partial^{\alpha}f \text{ stetig sind}} \oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0.
 	\end{salign*}
 \end{proof}
 \begin{korollar}
 	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f \in C^{2}(D,\R)$. Dann gilt für alle $x \in D$ und $h \in \R^{n}$, sodass $x+th \in D$ (für alle $t \in [0,1]$):
 	\begin{salign*}
-		f(x+h) = f(x) + \left( \nabla f(x), h \right)_{2} + \frac{1}{2} \left( H_{f}(x)h, h\right)_{2} + \omega_{2}(x,h), && \text{mit} \ \frac{\omega_{2}(x,h)}{\norm{h}^{2}} \oldstackrel{h \to \infty}{\longrightarrow} 0.
+		f(x+h) = f(x) + \left( \nabla f(x), h \right)_{2} + \frac{1}{2} \left( H_{f}(x)h, h\right)_{2} + \omega_{2}(x,h), && \text{mit} \ \frac{\omega_{2}(x,h)}{\norm{h}^{2}} \oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0.
 	\end{salign*}
 	Dabei ist $H_{f}(x)$ die Hesse-Matrix von $f$. Das heißt das Taylor-Polynom 2. Ordnung ist eine quadratische Approximation von $f$. Für $f \in C^{1}(D,\R)$ gilt:
 	\begin{salign*}
-		f(x+h) = f(x) + \left( \nabla f(x), h \right)_{2} + \omega_{1}(x,h), && \text{mit} \ \frac{\omega_{1}(x,h)}{\norm{h}} \oldstackrel{h \to \infty}{\longrightarrow} 0.
+		f(x+h) = f(x) + \left( \nabla f(x), h \right)_{2} + \omega_{1}(x,h), && \text{mit} \ \frac{\omega_{1}(x,h)}{\norm{h}} \oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0.
 	\end{salign*}
 	Das heißt das Taylor-Polynom 1. Ordnung ist eine lineare Approximation von $f$.
 \end{korollar}
@@ -277,7 +277,7 @@
 	$$ T_{\infty}^{f}(x+h) = \sum_{\vert \alpha \vert = 0}^{\infty} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha}.$$
 \end{definition}
 \begin{korollar}
-	Seien $D \subset \R^{n}$ offen und $f\colon D \to \R$ eine beliebig oft differenzierbare Funktion. Dann gilt $$ T_{r}^{f}(x+h) = \sum_{\vert \alpha \vert = 0}^{r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} \oldstackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} f(x+h)$$ wenn  
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen und $f\colon D \to \R$ eine beliebig oft differenzierbare Funktion. Dann gilt $$ T_{r}^{f}(x+h) = \sum_{\vert \alpha \vert = 0}^{r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} \oldstackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} f(x+h),$$ wenn  
 	\begin{equation} \label{eqq::taylor-rest-gegen-null}
 		R_{r+1}^{f}(x,h) \oldstackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} 0, \ \ \ \ \ x \in D.
 	\end{equation}