corrections

ana15.tex

@@ -55,7 +55,7 @@ $\forall x \in U(\hat{x}) \cap S$.
     \begin{align*}
         \varphi\colon U(\hat{z}) &\to U(\hat{y}) \\
         z &\mapsto \varphi(z) = y
-    , \end{align*} s.d. $\varphi$ folgende Eigenschaften erfüllt sind
+    , \end{align*} s.d. $\varphi$ folgende Eigenschaften erfüllt
     \begin{enumerate}[(1)]
         \item $g(\varphi(z), z) = 0$ $\forall z \in U(\hat{z})$
         \item $\hat{y} = \varphi(\hat{z})$

ana16.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \documentclass{lecture}
 
 \begin{document}
-\newcommand{\dv}[2]{\frac{\d #1}{\d #2}}
+\newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
 \newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}}
 
 \chapter{Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen}
@@ -13,14 +13,15 @@ Differentialgleichungen (DGLn) sind Gleichungen der Form
 \[
     y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})\quad\text{explizite Form}
 \]
-für eine gesuchte Funktion $y = y(t),\; t\in I,\; I\subset \R$ "Zeitinvervall"% $(y^{(k)} = \frac{\d[k]}{\d t^k} y)$.
-Differentialgleichungen $n$-ter Ordnung sind äquivalent zu speziellen Systemen DGL 1. Ordnung. Betrachte $y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})$ (sei $y\colon I\to \R,I\subset \R)$. Definiere Hilfsvariablen:
+für eine gesuchte Funktion $y = y(t),\; t\in I,\; I\subset \R$ ,,Zeitinvervall``. % $(y^{(k)} = \frac{\d[k]}{\d t^k} y)$.
+Differentialgleichungen $n$-ter Ordnung sind äquivalent zu speziellen Systemen von Differentialgleichungen 1. Ordnung. Betrachte $y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})$ (sei $y\colon I\to \R,I\subset \R)$. Definiere Hilfsvariablen:
 \begin{align*}
     x_1 &\coloneqq y\\
     x_2 &\coloneqq y'\\
     &\vdots\\
-    x_n\coloneqq y^{(n-1)}
-\end{align*}, also $x\in \R^n$. Ein äquivalentes System von Differentialgleichungen 1. Ordnung ist dann
+    x_n &\coloneqq y^{(n-1)},
+\end{align*}
+also $x\in \R^n$. Ein äquivalentes System von Differentialgleichungen 1. Ordnung ist dann
 \[
     x' = \tilde{f}(t,x),\quad \tilde{f} = \begin{pmatrix}
         x_2\\x_3\\\vdots\\f(t,x)
@@ -58,10 +59,12 @@ Notationen: $x' = f(t,x), \dot x = f(t,x), \dv{x}{t} = f(t,x)$ (Dynamischer Proz
                & &&\delta > 0\text{ Reproduktionsrate der Räuber pro Beute}
         \end{align*}
         \item SIR - Modell aus Epidemiologie (z.B. Corona):
-        \item \begin{tabular}{ccc}
-            succeptible & infected & removed\\
-            $S(t)$ & $I(t)$ & $R(t)$
-        \end{tabular}
+        \begin{center}
+            \begin{tabular}{ccc}
+                succeptible & infected & removed\\
+                $S(t)$ & $I(t)$ & $R(t)$
+            \end{tabular}    
+        \end{center}
         \begin{align*}
             N &= I + S + R\\
             \dv{S}{t} &= \nu N - \beta \frac{SI}{N}-\mu S\\
@@ -83,7 +86,7 @@ Notationen: $x' = f(t,x), \dot x = f(t,x), \dv{x}{t} = f(t,x)$ (Dynamischer Proz
 %    \caption{Veranschaulichung: Richtungsfeld
 %\end{figure}
 \begin{definition}[System erster Ordnung]
-    Sei $D = I\times \Omega \subset \R\times \R^n,\quad f\colon D\to \R^n$ stetig. Dann heißt 
+    Sei $D = I\times \Omega \subset \R\times \R^n,\ f\colon D\to \R^n$ stetig. Dann heißt 
     \begin{equation}
         y'=f(t,y)\label{DGLOrd1}\tag{$\star$}
     \end{equation}
@@ -113,7 +116,7 @@ Eine Lösung von \eqref{DGLOrd1} ist eine differenzierbare Funktion $y:I\to \R^n
         y(t_0) &= y_0&&\text{Anfangsbedingung}
     \end{align*}
     Gesucht wird eine differenzierbare Funktion $y\colon I\to \R^n$ derart, dass 
-    \begin{enumerate}
+    \begin{enumerate}[(a)]
         \item $\graph(y) \subset D$
         \item $y'(t) = f(t,y(t)),\;t\in I$
         \item $y(t_0) = y_0$
@@ -128,15 +131,15 @@ Eine Lösung von \eqref{DGLOrd1} ist eine differenzierbare Funktion $y:I\to \R^n
 \begin{proof}
     "$\Rightarrow$". Sei $y$ eine Lösung von AWA. Dann ist $y$ diffbar mit $y'(t) = f(t,y(t))$.
     \[\implies \int_{t_0}^t f(s,y(s)) \d s= \int_{t_0}^t y'(s)\d s \oldstackrel{\text{HDI}}{=} y(t) - y(t_0) = y(t)-y_0.\]
-    "$\Leftarrow$". Sei die Integralgleichung erfüllt. Falls $t = t_0\implies y(t_0) = y_0 \implies$ c). Aus dem HDI folgt komponentenweise $y'(t) = f(t,y(t)) \implies y$ löst AWA.
+    "$\Leftarrow$". Sei die Integralgleichung erfüllt. Falls $t = t_0\implies y(t_0) = y_0 \implies$ (c). Aus dem HDI folgt komponentenweise $y'(t) = f(t,y(t)) \implies y$ löst AWA.
 \end{proof}
-\section{AWA: Existenz von Lösungen}
+\section{Anfangswertaufgaben: Existenz von Lösungen}
 \begin{satz}[Existenzsatz von Peano]\ \\
     Die Funktion $f(t,x)$ sei stetig auf dem $(n+1)$-dimensionalen Zylinder
     \[
         D = \{(t,x)\in \R\times \R^n\mid |t-t_0| \le \alpha,\; \norm{x-y_0}\le \beta\}
     \]
-    Dann existiert eine Lösung $y(t)$ von AWA auf dem Intervall $I \coloneqq [t_0-T,t_0+T]$ mit \[T \coloneqq \min_{y(t)}\{\alpha,\frac{\beta}{M}\},\; M\coloneqq \max_{(t,x)\in D}\norm{f(t,x)}\]
+    Dann existiert eine Lösung $y(t)$ von AWA auf dem Intervall $I \coloneqq [t_0-T,t_0+T]$ mit \[T \coloneqq \min_{y(t)}\left\{\alpha,\frac{\beta}{M}\right\},\; M\coloneqq \max_{(t,x)\in D}\norm{f(t,x)}\]
 \end{satz}
 Reminder:
 \begin{enumerate}
@@ -157,7 +160,7 @@ Reminder:
 \end{enumerate}
 \begin{proof} (Satz von Peano)\\
     Idee: Konstruiere eine Folge stetiger Funktionen (Eulersches Polygonzugverfahren). Aus dem Satz von Arzela-Ascoli folgt dann, dass es eine Teilfolge gibt, die gegen eine Lösung von AWA konvergiert.\\
-    O.b.d.A. betrachte Halbintervall $I = [t_0,t_0+T]$. Sei $h>0$ Schrittweitenparameter $(h\to 0)$. Wähle eine äquidistante Unterteilung des Intervalls $I$.
+    O.B.d.A. betrachte Halbintervall $I = [t_0,t_0+T]$. Sei $h>0$ Schrittweitenparameter $(h\to 0)$. Wähle eine äquidistante Unterteilung des Intervalls $I$.
     \[t_0 < t_1 < \dots < t_N = t_0 + T,\quad h = |t_k-t_{k-1}|\]
     Eulersches Polygonzugverfahren:\begin{itemize}
         \item Starte mit $y_0^h \coloneqq y_0$.
@@ -165,8 +168,8 @@ Reminder:
     \end{itemize}
     Definiere die stückweise lineare Funktion $y^h(t)$
     \[y^h(t)\coloneqq y_{n-1}^h + (t-t_{n-1})f(t_{n-1},y_{n-1}^h),\quad t\in [t_{n-1},t_n],\quad \forall n\ge 1\]
-    \begin{enumerate}
-        \item \textbf{z.Z.} dass dieses Verfahren durchführbar ist, d.h. $\graph(y^k)\subset D$. Sei $(t,y^h(t))\subset D$ für $t_0 \le t\le t_{k-1}$. Dann gilt 
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item \textbf{z.Z.} dass dieses Verfahren durchführbar ist, d.h. $\graph(y^h)\subset D$. Sei $(t,y^h(t))\subset D$ für $t_0 \le t\le t_{k-1}$. Dann gilt 
         \[
             \underbrace{(y^h(t))'}_{\coloneqq \dv{y^h(t)}{t}} \equiv f(t_{k-1},y_{k-1}^h),\quad t\in [t_{k-1},t_k]  
         \]
@@ -179,12 +182,12 @@ Reminder:
             &\le (t-t_{k-1})\cdot M + \underbrace{h(k-1)}_{=t_{k-1}-t_0} \cdot M\\
             &= (t-t_0)\cdot M\\
             &\le T\cdot M\\
-            &= \min \{\alpha,\frac{\beta}{M}\}\cdot M\\
+            &= \min \left\{\alpha,\frac{\beta}{M}\right\}\cdot M\\
             &\le \beta
         \end{align*}
         Also ist $(t,y^h(t))\in D$ für $t_{k-1} \le t\le t_k$. Mit Annahme folgt $(t,y^h(t))\in D$ für $t_0\le t\le t_k \implies \graph(y^h)\subset D$.
         \item \begin{enumerate}[(a)]
-            \item \textbf{z.Z.} dass die Funktionenfamilie $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig ist. Seien dafür $t,t'\in I, t'\le t$ beliebig mit $t\in [t_{k-1},t_k],\; t'\in [t_{j-1},t_j]$ für ein $t_j\le t_k$.\begin{itemize}
+            \item \textbf{z.Z.} dass die Funktionenfamilie $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig ist. Seien dafür $t,t'\in I, \ t'\le t$ beliebig mit $t\in [t_{k-1},t_k],\; t'\in [t_{j-1},t_j]$ für ein $t_j\le t_k$.\begin{itemize}
                 \item $t,t' \in [t_{k-1},t_k]$:
                 \begin{align*}
                     y^h(t)-y^h(t')&= y_{k-1}^h + (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h)\\
@@ -195,23 +198,25 @@ Reminder:
                 \item $t_j<t_k$: \begin{align*}
                     y^h(t)-y^h(t') &= y^h(t) -y_{k-1}^h + y_{k-2}^h - \dots -y_{j-1}^h + y_{j-1}^h-y^h(t')\\
                     &= y^h(t) - y_{k-1}^h + \sum_{i = j}^{k-1}(y_i^h-y_{i-1}^h) + y_{j-1}^h -y^h(t')\\
-                    &= (t-t_{k-1}f(t_{k-1},y_{k-1}^h)) + \sum_{i = j}^{k-1}hf(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
+                    &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = j}^{k-1}hf(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
                     &\quad + (t_{j-1} -t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)\\
                     &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = j+1}^{k-1}hf(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
                     &\quad +hf(t_{j-1},y_{j-1}^h) + (t_{j-1}-t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)\\
                     &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + h\sum_{i = j+1}^{k-1}f(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
-                    &\quad + (\underbrace{h + t_{j-1}}_{z_j} - t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)
+                    &\quad + (\underbrace{h + t_{j-1}}_{t_j} - t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)
                 \end{align*}
                 Daraus folgt 
                 \[\norm{y^h(t)-y^h(t')}\le (t-t_{k-1})M + (t_{k-1}-t_j)M + (t_j-t')M\\
                 = |t-t'|M\]
-                Wählt man also für ein beliebiges $\epsilon > 0$ $\delta = \frac{\epsilon}{M}$, so gilt $\forall h$ 
+            \end{itemize}
+                Wählt man für ein beliebiges $\epsilon > 0$ also $\delta = \frac{\epsilon}{M}$, so gilt $\forall h$ 
                 \[|t-t'| < \delta \implies \norm{y^h(t)-y^h(t')} < \epsilon\]
                 Daher ist $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig (sogar gleichgradig Lipschitz-stetig).
-            \end{itemize}
             \item \textbf{z.Z.} $y^h$ ist gleichmäßig beschränkt. Es gilt $\forall t\in [t_0,t_0+T]$
             \begin{align*}
-                \norm{y^h(t)} = \norm{y^h(t)-\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}} + y_0}\\
+                \norm{y^h(t)} &= \norm{y^h(t) - \smash[b]{\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}}} + y_0}
+                \vphantom{\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}}}
+                \\
                 &\le \underbrace{\norm{y^h(t)-y_0}}_{\text{siehe 1)}} + \norm{y_0}\\
                 &\le M\cdot T + \norm{y_0}
             \end{align*}
@@ -219,7 +224,7 @@ Reminder:
         \end{enumerate}
         Nach dem Satz von Arzela-Ascoli existiert eine Nullfolge $(h_i)_{i\in \N}$ und eine stetige Funktion $y\colon I\to \R^n$ so dass
         \[\max_{t\in I} \norm{y^{h_i} - y(t)} \xrightarrow{i\to \infty} 0\]
-        Offenbar ist also $\graph(y)\subset D$.
+        Offenbar ist $\graph(y)\subset D$.
         \item \textbf{z.Z.} $y(t)$ erfüllt die Differentialgleichung $y'(t) = f(t,y(t))$ oder äquivalent dazu: $y(t)$ erfüllt die Integralgleichung \[y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s,y(s))\d s\]
     \end{enumerate}
 \end{proof}