minor corrctions, added ref to spektralsatz

ana10.tex

@@ -16,7 +16,7 @@ eine Vektorform $f(x) = b$ und ein $b \in \mathbb{K}^{n}$ gegeben, s.d.
 .\] 
 Ziel: $x = f^{-1}(b)$ finden als Grenzwert einer Folge $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$.
 
-Ansatz: Definiere $g(x) := x - \sigma (f(x) - b)$ für ein $\sigma \in \mathbb{K} \setminus \{0\} $
+Ansatz: Definiere $g(x) \coloneqq x - \sigma (f(x) - b)$ für ein $\sigma \in \mathbb{K} \setminus \{0\} $
 und suche \underline{Fixpunkt} von $g\colon D \to \mathbb{K}^{n}$ $(x = g(x))$.
 
 Fixpunktiteration: Startwert $x^{(0)}$. Iterationsschritt
@@ -34,7 +34,7 @@ $x = g(x) = x - \sigma (f(x) - b) \implies f(x) = b$.
 Frage: Unter welchen Bedingungen konvergiert die Fixpunktiteration?
 
 \begin{definition}[Lipschitz-Stetigkeit]
-    Eine Funktion $f\colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}^{n}$ heißt\\
+    Eine Funktion $g\colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}^{n}$ heißt\\
     \underline{Lipschitz-stetig}, wenn eine Konstante $L < \infty$ existiert, s.d.
     \[
         \Vert g(x) - g(y) \Vert \le L \Vert x - y \Vert, \qquad \forall x, y \in D
@@ -88,7 +88,7 @@ Frage: Unter welchen Bedingungen konvergiert die Fixpunktiteration?
                                                 \intertext{Seien $k, m$ beliebig. Dann gilt
                                                 $\forall \epsilon > 0$}
                 \Vert x^{(k+m)} - x^{(k)} \Vert &= \Vert x^{(k+m)} - x^{(k+m-1)} + x^{(k+m-1)} - \ldots x^{(k+1)} - x^{(k)} \Vert \\
-                                                &\le \Vert x^{(k+m)} - x^{(k+m+1)} \Vert
+                                                &\le \Vert x^{(k+m)} - x^{(k+m-1)} \Vert
                                                 + \ldots + \Vert x^{(k+1)} - x^{(k)} \Vert \\
                                                 &= L^{m-1} \Vert x^{(k+1)} - x^{(k)} \Vert
                                                 + L^{m-2} \Vert x^{k+1} - x^{k} \Vert
@@ -123,7 +123,7 @@ Frage: Unter welchen Bedingungen konvergiert die Fixpunktiteration?
 
 \begin{bem}[Anwendung: Lineare Gleichungssysteme]
     $A = \left( a_{ij} \right)_{i,j = 1}^{n} \in \mathbb{K}^{n \times n}$ regulär und $b = (b_i)_{i = 1}^{n} \in \mathbb{K}^{n}$. Da $A$ regulär, hat das LGS $Ax = b$ genau
-    eine Lösung $x^{*} = A^{-1}b$. Sei $g(x) := x - \sigma (Ax - b)$ mit
+    eine Lösung $x^{*} = A^{-1}b$. Sei $g(x) \coloneqq x - \sigma (Ax - b)$ mit
     $\sigma \in \mathbb{K} \setminus \{0\} $.
 
     Fixpunktiteration $x^{(k)} = x^{(k-1)} - \sigma (Ax^{(k-1}) - b)$, $k \in \N$ konvergiert, wenn
@@ -139,8 +139,8 @@ Frage: Unter welchen Bedingungen konvergiert die Fixpunktiteration?
     $\left\Vert \mathbb{I} - \frac{A}{\Vert A \Vert_{\infty}} \right\Vert_2 < 1$.
     Da $A$ positiv definit und hermitesch, sind alle Eigenwerte $\lambda > 0$. Es gilt
     $\forall $ EW: $0 < \lambda \le \Vert A \Vert_{\infty}$. Für EW von $\mathbb{I} - \frac{A}{\Vert A\Vert_{\infty}} $ gilt $\mu = 1 - \frac{\lambda}{\Vert A \Vert_{\infty}}$, $\lambda$ Eigenwert von $A$. Also
-    $0 \le \underbrace{1 - \frac{\lambda}{\Vert A \Vert_{\infty}}}_{= \mu} < 1$, also
-    $\underbrace{\Big\Vert \underbrace{\mathbb{I} - \frac{A}{\Vert A \Vert_{\infty}}}_{\text{hermitesch}} \Big\Vert_2}_{\text{Spektralnorm}} < 1$. Falls $A$ hermitesch und positiv definit, ist also
+    $0 \le \underbrace{1 - \frac{\lambda}{\Vert A \Vert_{\infty}}}_{= \mu} < 1$, mit \ref{lemma:spektralnorm} folgt
+    $\Big\Vert \underbrace{\mathbb{I} - \frac{A}{\Vert A \Vert_{\infty}}}_{\text{hermitesch}} \Big\Vert_2 < 1$. Falls $A$ hermitesch und positiv definit, ist also
     die Richardson Iteration konvergent.
 \end{bem}
 
@@ -154,7 +154,7 @@ Frage: Unter welchen Bedingungen konvergiert die Fixpunktiteration?
 
 \begin{bem}[Anwendung: Nichtlineare Gleichungssysteme]
     Sei $f\colon D \subseteq \R^{n} \to \R^{n}$ Lipschitz stetig mit $L$ und stark monoton mit $m > 0$.
-    Betrachte $f(x) = b$, $g(x) := x - \theta (f(x) - b)$.
+    Betrachte $f(x) = b$, $g(x) \coloneqq x - \theta (f(x) - b)$.
 
     Frage: Wahl von $\theta$, s.d. $\forall x ^{(0)} \in D$ die Fixpunktiteration konvergiert?
     Es ist
@@ -175,7 +175,7 @@ Frage: Unter welchen Bedingungen konvergiert die Fixpunktiteration?
         0 &= (\underbrace{f(x) - b + b -f(x')}_{= 0}, x - x')_2 \\
         &= (f(x) - f(x'), x-x')_2 \\
         &\stackrel{f\text{ stark monoton}}{\ge} m \Vert x - x' \Vert_2^2 \\
-        &> 0
+        &\ge 0
     .\end{salign*}
     Also $x = x'$, damit ist $x^{*}$ eindeutig.
 \end{bem}