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2020-05-29 14:42:07 +02:00
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+26 -26
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@@ -7,7 +7,7 @@
Betrachte die Abbildung $f \colon D \subseteq \R^{n} \to \R^{n}$. Die Stetigkeitsdefinition von $f$ entspricht
der Stetigkeit von $f$ in $\R$. Aber: Differenzierbarkeit einer Funktion $g\colon I \subseteq \R \to \R$,
\[
g'(x_0) := \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
g'(x_0) \coloneqq \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
.\] Für $h \in \R^{n}$ \underline{nicht sinnvoll}.
\section{Partielle Differenzierbarkeit}
@@ -19,8 +19,8 @@ der Stetigkeit von $f$ in $\R$. Aber: Differenzierbarkeit einer Funktion $g\colo
im Punkt $x \in D$ partiell differenzierbar nach $i$-ter Koordinatenrichtung, falls der
Grenwert
\[
\partial_i f(x) := \lim_{h \to 0} \frac{f\left( x + h \cdot e^{(i)} \right) - f(x)}{h}
.\] existiert mit $e^{(i)} := $ $i$-te Spalte der $n \times n$ Einheitsmatrix.
\partial_i f(x) \coloneqq \lim_{h \to 0} \frac{f\left( x + h \cdot e^{(i)} \right) - f(x)}{h}
.\] existiert mit $e^{(i)} \coloneqq $ $i$-te Spalte der $n \times n$ Einheitsmatrix.
Schreibweise auch $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)$ oder $\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}$.
\item $f$ heißt partiell differenzierbar in $x \in D$, falls $\partial_i f(x)$ für alle $1 \le i \le n$
existieren.
@@ -44,7 +44,7 @@ der Stetigkeit von $f$ in $\R$. Aber: Differenzierbarkeit einer Funktion $g\colo
\begin{bsp}
Die Funktion
\[
r(x) := \Vert x \Vert_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}
r(x) \coloneqq \Vert x \Vert_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}
.\] ist in $D = \R^{n} \setminus \{0\} $ stetig partiell differenzierbar mit den partiellen
Ableitungen
\begin{align*}
@@ -71,7 +71,7 @@ der Stetigkeit von $f$ in $\R$. Aber: Differenzierbarkeit einer Funktion $g\colo
s.d. die partiellen Ableitungen $\partial_i f(y)$, $i = 1, \ldots, n$ beschränkt sind $\forall y \in K_r(x)$,
d.h.
\[
\sup_{x \in K_r(x)} | \partial_i f(y) | \le M, \quad i = 1, \ldots, n
\sup_{y \in K_r(x)} | \partial_i f(y) | \le M, \quad i = 1, \ldots, n
.\] Dann gilt $f$ stetig in Punkt $x$.
\end{satz}
@@ -82,15 +82,15 @@ der Stetigkeit von $f$ in $\R$. Aber: Differenzierbarkeit einer Funktion $g\colo
\intertext{Mit $y_2$ fest, folgt mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung:
$\exists \xi = \xi(y_2)$ zwischen $y_1$ und $x_1$, also}
f(y_1, y_2) - f(x_1, y_2) &\stackrel{\text{MWS}}{=} \partial_1 f(\xi, y_2) (y_1 - x_1)
\intertext{Analog für $x_1$ fest und $\zeta(x_1)$ zwischen $y_2$ und $x_2$}
f(x_1, y_2) - f(x_1, x_2) &\stackrel{\text{MWS}}{=} \partial_2 f(x_1, \zeta) (y_2 - x_2)
\intertext{Analog für $x_1$ fest und $\eta(x_1)$ zwischen $y_2$ und $x_2$}
f(x_1, y_2) - f(x_1, x_2) &\stackrel{\text{MWS}}{=} \partial_2 f(x_1, \eta) (y_2 - x_2)
\intertext{Dann folgt}
|f(y) - f(y)| &\le \underbrace{|\partial_1 f(\xi, y_2)|}_{\le M} |y_1 - x_1|
+ \underbrace{|\partial_2 f(x_2, \zeta)|}_{\le M} |y_2 - x_2| \\
|f(y) - f(x)| &\le \underbrace{|\partial_1 f(\xi, y_2)|}_{\le M} |y_1 - x_1|
+ \underbrace{|\partial_2 f(x_2, \eta)|}_{\le M} |y_2 - x_2| \\
&\le M (|y_1 - x_1| + |y_2 - x_2|) \\
&= M \Vert y - x \Vert_1
.\end{salign*}
Sei $\epsilon \in (0, r]$ beliebig, dann gilt für $\delta := \frac{\epsilon}{M}$
Sei $\epsilon \in (0, r]$ beliebig, dann gilt für $\delta \coloneqq \frac{\epsilon}{M}$
\[
\Vert y -x \Vert_1 \le \delta \implies | f(y) - f(y) | \le \epsilon
.\] Also $f$ stetig in $x$ und wegen $|f(y) - f(x)| \le M \Vert y - x \Vert_1$ sogar Lipschitz-stetig.
@@ -103,8 +103,8 @@ Für $n > 2$ analog.
\item Falls $\partial_i f$ partiell differenzierbar sind, dann heißt $f$ zweimal
partiell differenzierbar mit den partiellen Ableitungen zweiter Ordnung
\[
\partial_i \partial_j f(x) := \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j}
:= \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{\partial f(x)}{\partial x_j} \right)
\partial_i \partial_j f(x) \coloneqq \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j}
\coloneqq \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{\partial f(x)}{\partial x_j} \right)
.\]
\item $f$ heißt $k$-mal stetig partiell differenzierbar, falls alle partiellen Ableitungen
$k$-ter Ordnung von $f$ existieren und stetig sind.
@@ -128,9 +128,9 @@ Für $n > 2$ analog.
\begin{enumerate}[1)]
\item Sei $n = 2$ und
\[
A := \underbrace{f(x_1 + h_1, x_2 + h_2) - f(x_1 + h_1, x_2)}_{= \varphi(x_1 + h_1)}
A \coloneqq \underbrace{f(x_1 + h_1, x_2 + h_2) - f(x_1 + h_1, x_2)}_{= \varphi(x_1 + h_1)}
- \underbrace{f(x_1, x_2 + h_2) + f(x_1, x_2)}_{= \varphi(x_1)}
.\] Definiere $\varphi(x) := f(x, x_2 + h_2) - f(x, x_2)$. Dann ist
.\] Definiere $\varphi(x) \coloneqq f(x, x_2 + h_2) - f(x, x_2)$. Dann ist
$A = \varphi(x_1 + h_1) - \varphi(x_1)$. Mit dem MWS bezügl. $x_1$ folgt
\begin{salign*}
\varphi(x_1 + h_1) - \varphi(x_1) &= \varphi'(x_1 + \theta_1) \cdot h_1, \quad \theta_1 \in (0, h_1)
@@ -145,11 +145,11 @@ Für $n > 2$ analog.
\begin{salign*}
A &= \varphi'(x_1 + \theta_1) h_1 = \partial_2 (\partial_1 f(x_1 + \theta_1, x_2 + \theta_1'))
\cdot h_1 \cdot h_2
\intertext{Analog definiere $\psi(x) := f(x_1 + h_1, x) - f(x_1, x)$, dann}
\intertext{Analog definiere $\psi(x) \coloneqq f(x_1 + h_1, x) - f(x_1, x)$, dann}
A &= \psi(x_2 + h_2) - \psi(x_2) \\
&\stackrel{\text{wie oben}}{=} h_2 \psi'(x_2 + \theta_2) \\
&= h_1 \cdot h_2 \partial_
(\partial_2 f(x_1 + \partial_2, x_2 + \partial_2')), \quad \theta_2 \in (0, h_1),
&= h_1 \cdot h_2 \partial_1
(\partial_2 f(x_1 + \theta_2, x_2 + \theta_2')), \quad \theta_2 \in (0, h_1),
\theta_2' \in (0, h_2)
.\end{salign*}
Also folgt
@@ -176,22 +176,22 @@ Für $n > 2$ analog.
\begin{definition}[Begriffe der Vektoranalysis]
\begin{itemize}
\item \underline{Gradient}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und $f\colon D \to \R$ eine partiell
differenzierbare Funktion. Der Vektor
\item \underline{Gradient}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und
$f \colon D \to \R$ eine partiell differenzierbare Funktion. Der Vektor
\[
\text{grad} f(x) := \nabla f(x) := \begin{pmatrix} \partial_1 f(x) \\ \vdots \\ \partial_n f(x) \end{pmatrix} \in \R^{n}
\text{grad} f(x) \coloneqq \nabla f(x) \coloneqq \begin{pmatrix} \partial_1 f(x) \\ \vdots \\ \partial_n f(x) \end{pmatrix} \in \R^{n}
\] heißt der Gradient von $f$ in $x \in D$.
\item \underline{Hesse-Matrix}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $f\colon D \to \R$
eine zweimal partiell differenzierbare Funktion. Die Matrix
\[
H_f(x) := \nabla^2 f(x) := (\partial_i \partial_j f(x))_{i,j=1}^{n} \in \R^{n \times n}
.\] heißt Hesse-Matrix von $f$ im Punkt $x \in D$.
H_f(x) \coloneqq \nabla^2 f(x) \coloneqq (\partial_i \partial_j f(x))_{i,j=1}^{n} \in \R^{n \times n}
\] heißt Hesse-Matrix von $f$ im Punkt $x \in D$.
\item \underline{Jacobi-Matrix}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $f\colon D \to \R^{m}$
eine partiell differenzierbare Vektorfunktion. Die Matrix
\[
J_f(x) := \begin{pmatrix} \partial_1 f_1 & \ldots &\partial_n f_1 \\
\vdots & & \vdots \\
\partial_1 f_m & \ldots & \partial_n f_m
J_f(x) \coloneqq \begin{pmatrix} \partial_1 f_1 & \cdots &\partial_n f_1 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\partial_1 f_m & \cdots & \partial_n f_m
\end{pmatrix} \in \R^{m \times n}
.\] heißt Funktionalmatrix oder auch Jacobimatrix von $f$ in $x \in D$.
@@ -208,7 +208,7 @@ Für $n > 2$ analog.
\[
\partial_j \left( \frac{x_i}{r(x)}\right)
= \begin{cases}
\frac{r(x) - x_i \frac{x_i}{r(x)}}{r(x)^2} = \frac{1}{r(x)} - \frac{x_i^2}{r(x)^2} & i = j \\
\frac{r(x) - x_i \frac{x_i}{r(x)}}{r(x)^2} = \frac{1}{r(x)} - \frac{x_i^2}{r(x)^3} & i = j \\
- \frac{x_i \frac{x_j}{r(x)}}{r(x)^2} = - \frac{x_i x_j}{r(x)^{3}} & i \neq j
\end{cases}
.\] Diese Hesse-Matrix ist die Jacobi-Matrix der Vektorfunktion $v(x) = \frac{x}{r(x)} = \begin{pmatrix} \vdots \\ \frac{x_i}{r(x)} \\ \vdots \end{pmatrix} $.