minor corrctions, added ref to spektralsatz

ana10.tex

@@ -16,7 +16,7 @@ eine Vektorform $f(x) = b$ und ein $b \in \mathbb{K}^{n}$ gegeben, s.d.
 .\] 
 Ziel: $x = f^{-1}(b)$ finden als Grenzwert einer Folge $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$.
 
-Ansatz: Definiere $g(x) := x - \sigma (f(x) - b)$ für ein $\sigma \in \mathbb{K} \setminus \{0\} $
+Ansatz: Definiere $g(x) \coloneqq x - \sigma (f(x) - b)$ für ein $\sigma \in \mathbb{K} \setminus \{0\} $
 und suche \underline{Fixpunkt} von $g\colon D \to \mathbb{K}^{n}$ $(x = g(x))$.
 
 Fixpunktiteration: Startwert $x^{(0)}$. Iterationsschritt
@@ -34,7 +34,7 @@ $x = g(x) = x - \sigma (f(x) - b) \implies f(x) = b$.
 Frage: Unter welchen Bedingungen konvergiert die Fixpunktiteration?
 
 \begin{definition}[Lipschitz-Stetigkeit]
-    Eine Funktion $f\colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}^{n}$ heißt\\
+    Eine Funktion $g\colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}^{n}$ heißt\\
     \underline{Lipschitz-stetig}, wenn eine Konstante $L < \infty$ existiert, s.d.
     \[
         \Vert g(x) - g(y) \Vert \le L \Vert x - y \Vert, \qquad \forall x, y \in D
@@ -88,7 +88,7 @@ Frage: Unter welchen Bedingungen konvergiert die Fixpunktiteration?
                                                 \intertext{Seien $k, m$ beliebig. Dann gilt
                                                 $\forall \epsilon > 0$}
                 \Vert x^{(k+m)} - x^{(k)} \Vert &= \Vert x^{(k+m)} - x^{(k+m-1)} + x^{(k+m-1)} - \ldots x^{(k+1)} - x^{(k)} \Vert \\
-                                                &\le \Vert x^{(k+m)} - x^{(k+m+1)} \Vert
+                                                &\le \Vert x^{(k+m)} - x^{(k+m-1)} \Vert
                                                 + \ldots + \Vert x^{(k+1)} - x^{(k)} \Vert \\
                                                 &= L^{m-1} \Vert x^{(k+1)} - x^{(k)} \Vert
                                                 + L^{m-2} \Vert x^{k+1} - x^{k} \Vert
@@ -123,7 +123,7 @@ Frage: Unter welchen Bedingungen konvergiert die Fixpunktiteration?
 
 \begin{bem}[Anwendung: Lineare Gleichungssysteme]
     $A = \left( a_{ij} \right)_{i,j = 1}^{n} \in \mathbb{K}^{n \times n}$ regulär und $b = (b_i)_{i = 1}^{n} \in \mathbb{K}^{n}$. Da $A$ regulär, hat das LGS $Ax = b$ genau
-    eine Lösung $x^{*} = A^{-1}b$. Sei $g(x) := x - \sigma (Ax - b)$ mit
+    eine Lösung $x^{*} = A^{-1}b$. Sei $g(x) \coloneqq x - \sigma (Ax - b)$ mit
     $\sigma \in \mathbb{K} \setminus \{0\} $.
 
     Fixpunktiteration $x^{(k)} = x^{(k-1)} - \sigma (Ax^{(k-1}) - b)$, $k \in \N$ konvergiert, wenn
@@ -139,8 +139,8 @@ Frage: Unter welchen Bedingungen konvergiert die Fixpunktiteration?
     $\left\Vert \mathbb{I} - \frac{A}{\Vert A \Vert_{\infty}} \right\Vert_2 < 1$.
     Da $A$ positiv definit und hermitesch, sind alle Eigenwerte $\lambda > 0$. Es gilt
     $\forall $ EW: $0 < \lambda \le \Vert A \Vert_{\infty}$. Für EW von $\mathbb{I} - \frac{A}{\Vert A\Vert_{\infty}} $ gilt $\mu = 1 - \frac{\lambda}{\Vert A \Vert_{\infty}}$, $\lambda$ Eigenwert von $A$. Also
-    $0 \le \underbrace{1 - \frac{\lambda}{\Vert A \Vert_{\infty}}}_{= \mu} < 1$, also
-    $\underbrace{\Big\Vert \underbrace{\mathbb{I} - \frac{A}{\Vert A \Vert_{\infty}}}_{\text{hermitesch}} \Big\Vert_2}_{\text{Spektralnorm}} < 1$. Falls $A$ hermitesch und positiv definit, ist also
+    $0 \le \underbrace{1 - \frac{\lambda}{\Vert A \Vert_{\infty}}}_{= \mu} < 1$, mit \ref{lemma:spektralnorm} folgt
+    $\Big\Vert \underbrace{\mathbb{I} - \frac{A}{\Vert A \Vert_{\infty}}}_{\text{hermitesch}} \Big\Vert_2 < 1$. Falls $A$ hermitesch und positiv definit, ist also
     die Richardson Iteration konvergent.
 \end{bem}
 
@@ -154,7 +154,7 @@ Frage: Unter welchen Bedingungen konvergiert die Fixpunktiteration?
 
 \begin{bem}[Anwendung: Nichtlineare Gleichungssysteme]
     Sei $f\colon D \subseteq \R^{n} \to \R^{n}$ Lipschitz stetig mit $L$ und stark monoton mit $m > 0$.
-    Betrachte $f(x) = b$, $g(x) := x - \theta (f(x) - b)$.
+    Betrachte $f(x) = b$, $g(x) \coloneqq x - \theta (f(x) - b)$.
 
     Frage: Wahl von $\theta$, s.d. $\forall x ^{(0)} \in D$ die Fixpunktiteration konvergiert?
     Es ist
@@ -175,7 +175,7 @@ Frage: Unter welchen Bedingungen konvergiert die Fixpunktiteration?
         0 &= (\underbrace{f(x) - b + b -f(x')}_{= 0}, x - x')_2 \\
         &= (f(x) - f(x'), x-x')_2 \\
         &\stackrel{f\text{ stark monoton}}{\ge} m \Vert x - x' \Vert_2^2 \\
-        &> 0
+        &\ge 0
     .\end{salign*}
     Also $x = x'$, damit ist $x^{*}$ eindeutig.
 \end{bem}

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@@ -7,7 +7,7 @@
 Betrachte die Abbildung $f \colon D \subseteq \R^{n} \to \R^{n}$. Die Stetigkeitsdefinition von $f$ entspricht
 der Stetigkeit von $f$ in $\R$. Aber: Differenzierbarkeit einer Funktion $g\colon I \subseteq \R \to \R$,
 \[
-    g'(x_0) := \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
+    g'(x_0) \coloneqq \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
 .\] Für $h \in \R^{n}$ \underline{nicht sinnvoll}.
 
 \section{Partielle Differenzierbarkeit}
@@ -19,8 +19,8 @@ der Stetigkeit von $f$ in $\R$. Aber: Differenzierbarkeit einer Funktion $g\colo
     im Punkt $x \in D$ partiell differenzierbar nach $i$-ter Koordinatenrichtung, falls der
     Grenwert
     \[
-        \partial_i f(x) := \lim_{h \to 0} \frac{f\left( x + h \cdot e^{(i)} \right) - f(x)}{h}
-        .\] existiert mit $e^{(i)} := $ $i$-te Spalte der $n \times n$ Einheitsmatrix.
+        \partial_i f(x) \coloneqq \lim_{h \to 0} \frac{f\left( x + h \cdot e^{(i)} \right) - f(x)}{h}
+        .\] existiert mit $e^{(i)} \coloneqq $ $i$-te Spalte der $n \times n$ Einheitsmatrix.
         Schreibweise auch $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)$ oder $\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}$.
     \item $f$ heißt partiell differenzierbar in $x \in D$, falls $\partial_i f(x)$ für alle $1 \le i \le n$
         existieren.
@@ -44,7 +44,7 @@ der Stetigkeit von $f$ in $\R$. Aber: Differenzierbarkeit einer Funktion $g\colo
 \begin{bsp}
     Die Funktion
     \[
-        r(x) := \Vert x \Vert_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}
+        r(x) \coloneqq \Vert x \Vert_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}
     .\] ist in $D = \R^{n} \setminus \{0\} $ stetig partiell differenzierbar mit den partiellen
     Ableitungen
     \begin{align*}
@@ -71,7 +71,7 @@ der Stetigkeit von $f$ in $\R$. Aber: Differenzierbarkeit einer Funktion $g\colo
     s.d. die partiellen Ableitungen $\partial_i f(y)$, $i = 1, \ldots, n$ beschränkt sind $\forall y \in K_r(x)$,
     d.h.
     \[
-        \sup_{x \in K_r(x)} | \partial_i f(y) | \le M, \quad i = 1, \ldots, n
+        \sup_{y \in K_r(x)} | \partial_i f(y) | \le M, \quad i = 1, \ldots, n
     .\] Dann gilt $f$ stetig in Punkt $x$.
 \end{satz}
 
@@ -82,15 +82,15 @@ der Stetigkeit von $f$ in $\R$. Aber: Differenzierbarkeit einer Funktion $g\colo
         \intertext{Mit $y_2$ fest, folgt mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung:
         $\exists \xi = \xi(y_2)$ zwischen $y_1$ und $x_1$, also}
         f(y_1, y_2) - f(x_1, y_2) &\stackrel{\text{MWS}}{=} \partial_1 f(\xi, y_2) (y_1 - x_1)
-        \intertext{Analog für $x_1$ fest und $\zeta(x_1)$ zwischen $y_2$ und $x_2$}
-        f(x_1, y_2) - f(x_1, x_2) &\stackrel{\text{MWS}}{=} \partial_2 f(x_1, \zeta) (y_2 - x_2)
+        \intertext{Analog für $x_1$ fest und $\eta(x_1)$ zwischen $y_2$ und $x_2$}
+        f(x_1, y_2) - f(x_1, x_2) &\stackrel{\text{MWS}}{=} \partial_2 f(x_1, \eta) (y_2 - x_2)
         \intertext{Dann folgt}
-        |f(y) - f(y)| &\le \underbrace{|\partial_1 f(\xi, y_2)|}_{\le M} |y_1 - x_1|
-        + \underbrace{|\partial_2 f(x_2, \zeta)|}_{\le M} |y_2 - x_2| \\
+        |f(y) - f(x)| &\le \underbrace{|\partial_1 f(\xi, y_2)|}_{\le M} |y_1 - x_1|
+        + \underbrace{|\partial_2 f(x_2, \eta)|}_{\le M} |y_2 - x_2| \\
         &\le M (|y_1 - x_1| + |y_2 - x_2|) \\
         &= M \Vert y - x \Vert_1
     .\end{salign*} 
-    Sei $\epsilon \in (0, r]$ beliebig, dann gilt für $\delta := \frac{\epsilon}{M}$
+    Sei $\epsilon \in (0, r]$ beliebig, dann gilt für $\delta \coloneqq \frac{\epsilon}{M}$
     \[
         \Vert y -x \Vert_1 \le \delta  \implies | f(y) - f(y) | \le \epsilon
 .\] Also $f$ stetig in $x$ und wegen $|f(y) - f(x)| \le M \Vert y - x \Vert_1$ sogar Lipschitz-stetig.
@@ -103,8 +103,8 @@ Für $n > 2$ analog.
         \item Falls $\partial_i f$ partiell differenzierbar sind, dann heißt $f$ zweimal
             partiell differenzierbar mit den partiellen Ableitungen zweiter Ordnung
             \[
-                \partial_i \partial_j f(x) := \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j}
-                := \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{\partial f(x)}{\partial x_j} \right)
+                \partial_i \partial_j f(x) \coloneqq \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j}
+                \coloneqq \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{\partial f(x)}{\partial x_j} \right)
             .\] 
         \item $f$ heißt $k$-mal stetig partiell differenzierbar, falls alle partiellen Ableitungen
             $k$-ter Ordnung von $f$ existieren und stetig sind.
@@ -128,9 +128,9 @@ Für $n > 2$ analog.
     \begin{enumerate}[1)]
         \item Sei $n = 2$ und
             \[
-                A := \underbrace{f(x_1 + h_1, x_2 + h_2) - f(x_1 + h_1, x_2)}_{= \varphi(x_1 + h_1)}
+                A \coloneqq \underbrace{f(x_1 + h_1, x_2 + h_2) - f(x_1 + h_1, x_2)}_{= \varphi(x_1 + h_1)}
                 - \underbrace{f(x_1, x_2 + h_2) + f(x_1, x_2)}_{= \varphi(x_1)}
-            .\] Definiere $\varphi(x) := f(x, x_2 + h_2) - f(x, x_2)$. Dann ist
+            .\] Definiere $\varphi(x) \coloneqq f(x, x_2 + h_2) - f(x, x_2)$. Dann ist
             $A = \varphi(x_1 + h_1) - \varphi(x_1)$. Mit dem MWS bezügl. $x_1$ folgt
             \begin{salign*}
                 \varphi(x_1 + h_1) - \varphi(x_1) &= \varphi'(x_1 + \theta_1) \cdot h_1, \quad \theta_1 \in (0, h_1)
@@ -145,11 +145,11 @@ Für $n > 2$ analog.
             \begin{salign*}
                 A &= \varphi'(x_1 + \theta_1) h_1 = \partial_2 (\partial_1 f(x_1 + \theta_1, x_2 + \theta_1'))
                 \cdot h_1 \cdot h_2
-                \intertext{Analog definiere $\psi(x) := f(x_1 + h_1, x) - f(x_1, x)$, dann}
+                \intertext{Analog definiere $\psi(x) \coloneqq f(x_1 + h_1, x) - f(x_1, x)$, dann}
                 A &= \psi(x_2 + h_2) - \psi(x_2) \\
                   &\stackrel{\text{wie oben}}{=} h_2 \psi'(x_2 + \theta_2) \\
-                  &= h_1 \cdot h_2 \partial_
-                  (\partial_2 f(x_1 + \partial_2, x_2 + \partial_2')), \quad \theta_2 \in (0, h_1),
+                  &= h_1 \cdot h_2 \partial_1
+                  (\partial_2 f(x_1 + \theta_2, x_2 + \theta_2')), \quad \theta_2 \in (0, h_1),
                   \theta_2' \in (0, h_2)
             .\end{salign*}
             Also folgt
@@ -176,22 +176,22 @@ Für $n > 2$ analog.
 
 \begin{definition}[Begriffe der Vektoranalysis]
     \begin{itemize}
-        \item \underline{Gradient}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und $f\colon D \to \R$ eine partiell
-            differenzierbare Funktion. Der Vektor
+        \item \underline{Gradient}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und
+            $f \colon D \to \R$ eine partiell differenzierbare Funktion. Der Vektor
             \[
-                \text{grad} f(x) := \nabla f(x) := \begin{pmatrix} \partial_1 f(x) \\ \vdots \\ \partial_n f(x) \end{pmatrix}  \in \R^{n}
+                \text{grad} f(x) \coloneqq \nabla f(x) \coloneqq \begin{pmatrix} \partial_1 f(x) \\ \vdots \\ \partial_n f(x) \end{pmatrix}  \in \R^{n}
             \] heißt der Gradient von $f$ in $x \in D$.
         \item \underline{Hesse-Matrix}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $f\colon D \to \R$
             eine zweimal partiell differenzierbare Funktion. Die Matrix
             \[
-                H_f(x) := \nabla^2 f(x) := (\partial_i \partial_j f(x))_{i,j=1}^{n} \in \R^{n \times n}
-            .\] heißt Hesse-Matrix von $f$ im Punkt $x \in D$.
+                H_f(x) \coloneqq \nabla^2 f(x) \coloneqq (\partial_i \partial_j f(x))_{i,j=1}^{n} \in \R^{n \times n}
+            \] heißt Hesse-Matrix von $f$ im Punkt $x \in D$.
         \item \underline{Jacobi-Matrix}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $f\colon D \to \R^{m}$
             eine partiell differenzierbare Vektorfunktion. Die Matrix
             \[
-                J_f(x) := \begin{pmatrix} \partial_1 f_1 & \ldots &\partial_n f_1 \\
-                    \vdots & & \vdots \\
-                    \partial_1 f_m & \ldots & \partial_n f_m
+                J_f(x) \coloneqq \begin{pmatrix} \partial_1 f_1 & \cdots &\partial_n f_1 \\
+                    \vdots & \ddots & \vdots \\
+                    \partial_1 f_m & \cdots & \partial_n f_m
                 \end{pmatrix} \in \R^{m \times n}
             .\] heißt Funktionalmatrix oder auch Jacobimatrix von $f$ in $x \in D$.
 
@@ -208,7 +208,7 @@ Für $n > 2$ analog.
     \[
         \partial_j \left( \frac{x_i}{r(x)}\right)
         = \begin{cases}
-            \frac{r(x) - x_i \frac{x_i}{r(x)}}{r(x)^2} = \frac{1}{r(x)} - \frac{x_i^2}{r(x)^2} & i = j \\
+            \frac{r(x) - x_i \frac{x_i}{r(x)}}{r(x)^2} = \frac{1}{r(x)} - \frac{x_i^2}{r(x)^3} & i = j \\
             - \frac{x_i \frac{x_j}{r(x)}}{r(x)^2} = - \frac{x_i x_j}{r(x)^{3}} & i \neq  j
         \end{cases}
         .\] Diese Hesse-Matrix ist die Jacobi-Matrix der Vektorfunktion $v(x) = \frac{x}{r(x)} = \begin{pmatrix} \vdots \\ \frac{x_i}{r(x)} \\ \vdots \end{pmatrix} $.

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@@ -131,6 +131,7 @@ Weitere Begriffe und Eigenschaften
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 \begin{lemma}[Spektralnorm]
+    \label{lemma:spektralnorm}
     Sei $A \in \K^{n\times n}$. Dann ist $\bar{A}^TA \in \K^{n\times n}$ hermitesch und positiv semidefinit. Für die Spektralnorm gilt
     $$\norm{A}_2 = \max \left\{\sqrt{|\lambda|}, \lambda \in \sigma(\bar{A}^TA)\right\}$$
     Sei $A$ hermitesch, bzw. symmetrisch, dann gilt $\norm{A}_2 = \max\{\sqrt{|\lambda|}, \lambda\in \sigma(A)\}$