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ana18.tex

@@ -73,7 +73,7 @@
     .\end{salign*}
 \end{proof}
 
-\begin{satz}[Stabilitäts und Eindeutigkeitssatz]
+\begin{satz}[Stabilitäts- und Eindeutigkeitssatz]
     Sei $f(t,x)$ stetig auf $D \subseteq \R \times \R^{n}$ und lokal Lipschitz-stetig
     bezüglich $x$. Seien $y, v$ zwei beliebige Lösungen der Differentialgleichung
     \[
@@ -81,10 +81,10 @@
     \] auf einem gemeinsamen Existenzintervall $I$. Dann gilt
     \[
         \Vert y(t) - v(t) \Vert \le e^{L(t-t_0)} \Vert y(t_0) - v(t_0)\Vert, \quad t \in I, t \ge t_0
-    ,\] wobei $t_0 \in I$ und $L$ die Lipschitz-konstante $L = L_K$ von $f(t,x)$ auf
+    ,\] wobei $t_0 \in I$ und $L$ die Lipschitz-Konstante $L = L_K$ von $f(t,x)$ auf
     $K \subseteq D$ mit $K$ beschränkt und $\text{Graph}(y) \subseteq K$, $\text{Graph}(v) \subseteq K$.
 
-    Weiterhin: Falls $y(t_0) = v(t_0)$ (d.h. $y$ und $v$ lösen AWA $y' = f(t,y), y(t_0) = y_0)$, dann
+    Weiterhin: Falls $y(t_0) = v(t_0)$ (d.h. $y$ und $v$ lösen AWA $y' = f(t,y),\ y(t_0) = y_0)$, dann
     gilt $y(t) = v(t)$, $\forall t \in I$, d.h. die lokale Lösung der AWA (nach Peano) ist eindeutig bestimmt.
 \end{satz}
 
@@ -92,7 +92,7 @@
     Sei $K \subseteq D$ eine beschränkte Teilmenge und $\text{Graph}(y) \subseteq K$, $\text{Graph}(v) \subseteq K$.
     Betrachte
     \begin{salign*}
-        y(t) - v(t) &\stackrel{\text{Integralform}}{=}
+        h(t) \coloneqq y(t) - v(t) &\stackrel{\text{Integralform}}{=}
         y(t_0) + \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s - v(t_0) - \int_{t_0}^{t} f(s, v(s)) \d s \\
         &= \int_{t_0}^{t} \left( f(s, y(s)) - f(s, v(s)) \right)  \d s + y(t_0) - v(t_0) 
         \intertext{Dann folgt}
@@ -154,7 +154,7 @@
                 \Vert g(y)(t) - y_0 \Vert &= \left\Vert \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s \right\Vert \\
                 &\le \int_{t_0}^{t} \left\Vert f(s, y(s))\right\Vert \d s  \\
                 &\stackrel{f \text{ beschr.}}{\le } M \int_{t_0}^{t}  \d s \\
-                &= M|t-t_0
+                &= M|t-t_0|
                 \le M\epsilon
                 \le \delta 
             .\end{salign*}
@@ -184,7 +184,7 @@
                 y^{k}(t) \coloneqq y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y^{k-1}(s)) \d s
                 \xrightarrow{k \to \infty} \text{Lösung der AWA}
             .\end{align*}
-        \item Ohne Die Forderung der Lipschitz-stetigkeit geht die Eindeutigkeit der Lösung verloren
+        \item Ohne die Forderung der Lipschitz-stetigkeit geht die Eindeutigkeit der Lösung verloren
             (siehe Beispiel \ref{bsp:dgl-uneindeutig}), aber die Existenz gilt nach dem Satz von Peano
             immer noch.
     \end{enumerate}