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2020-07-01 15:05:40 +02:00
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ana18.tex
+6 -6
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@@ -73,7 +73,7 @@
.\end{salign*} .\end{salign*}
\end{proof} \end{proof}
\begin{satz}[Stabilitäts und Eindeutigkeitssatz] \begin{satz}[Stabilitäts- und Eindeutigkeitssatz]
Sei $f(t,x)$ stetig auf $D \subseteq \R \times \R^{n}$ und lokal Lipschitz-stetig Sei $f(t,x)$ stetig auf $D \subseteq \R \times \R^{n}$ und lokal Lipschitz-stetig
bezüglich $x$. Seien $y, v$ zwei beliebige Lösungen der Differentialgleichung bezüglich $x$. Seien $y, v$ zwei beliebige Lösungen der Differentialgleichung
\[ \[
@@ -81,10 +81,10 @@
\] auf einem gemeinsamen Existenzintervall $I$. Dann gilt \] auf einem gemeinsamen Existenzintervall $I$. Dann gilt
\[ \[
\Vert y(t) - v(t) \Vert \le e^{L(t-t_0)} \Vert y(t_0) - v(t_0)\Vert, \quad t \in I, t \ge t_0 \Vert y(t) - v(t) \Vert \le e^{L(t-t_0)} \Vert y(t_0) - v(t_0)\Vert, \quad t \in I, t \ge t_0
,\] wobei $t_0 \in I$ und $L$ die Lipschitz-konstante $L = L_K$ von $f(t,x)$ auf ,\] wobei $t_0 \in I$ und $L$ die Lipschitz-Konstante $L = L_K$ von $f(t,x)$ auf
$K \subseteq D$ mit $K$ beschränkt und $\text{Graph}(y) \subseteq K$, $\text{Graph}(v) \subseteq K$. $K \subseteq D$ mit $K$ beschränkt und $\text{Graph}(y) \subseteq K$, $\text{Graph}(v) \subseteq K$.
Weiterhin: Falls $y(t_0) = v(t_0)$ (d.h. $y$ und $v$ lösen AWA $y' = f(t,y), y(t_0) = y_0)$, dann Weiterhin: Falls $y(t_0) = v(t_0)$ (d.h. $y$ und $v$ lösen AWA $y' = f(t,y),\ y(t_0) = y_0)$, dann
gilt $y(t) = v(t)$, $\forall t \in I$, d.h. die lokale Lösung der AWA (nach Peano) ist eindeutig bestimmt. gilt $y(t) = v(t)$, $\forall t \in I$, d.h. die lokale Lösung der AWA (nach Peano) ist eindeutig bestimmt.
\end{satz} \end{satz}
@@ -92,7 +92,7 @@
Sei $K \subseteq D$ eine beschränkte Teilmenge und $\text{Graph}(y) \subseteq K$, $\text{Graph}(v) \subseteq K$. Sei $K \subseteq D$ eine beschränkte Teilmenge und $\text{Graph}(y) \subseteq K$, $\text{Graph}(v) \subseteq K$.
Betrachte Betrachte
\begin{salign*} \begin{salign*}
y(t) - v(t) &\stackrel{\text{Integralform}}{=} h(t) \coloneqq y(t) - v(t) &\stackrel{\text{Integralform}}{=}
y(t_0) + \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s - v(t_0) - \int_{t_0}^{t} f(s, v(s)) \d s \\ y(t_0) + \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s - v(t_0) - \int_{t_0}^{t} f(s, v(s)) \d s \\
&= \int_{t_0}^{t} \left( f(s, y(s)) - f(s, v(s)) \right) \d s + y(t_0) - v(t_0) &= \int_{t_0}^{t} \left( f(s, y(s)) - f(s, v(s)) \right) \d s + y(t_0) - v(t_0)
\intertext{Dann folgt} \intertext{Dann folgt}
@@ -154,7 +154,7 @@
\Vert g(y)(t) - y_0 \Vert &= \left\Vert \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s \right\Vert \\ \Vert g(y)(t) - y_0 \Vert &= \left\Vert \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s \right\Vert \\
&\le \int_{t_0}^{t} \left\Vert f(s, y(s))\right\Vert \d s \\ &\le \int_{t_0}^{t} \left\Vert f(s, y(s))\right\Vert \d s \\
&\stackrel{f \text{ beschr.}}{\le } M \int_{t_0}^{t} \d s \\ &\stackrel{f \text{ beschr.}}{\le } M \int_{t_0}^{t} \d s \\
&= M|t-t_0 &= M|t-t_0|
\le M\epsilon \le M\epsilon
\le \delta \le \delta
.\end{salign*} .\end{salign*}
@@ -184,7 +184,7 @@
y^{k}(t) \coloneqq y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y^{k-1}(s)) \d s y^{k}(t) \coloneqq y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y^{k-1}(s)) \d s
\xrightarrow{k \to \infty} \text{Lösung der AWA} \xrightarrow{k \to \infty} \text{Lösung der AWA}
.\end{align*} .\end{align*}
\item Ohne Die Forderung der Lipschitz-stetigkeit geht die Eindeutigkeit der Lösung verloren \item Ohne die Forderung der Lipschitz-stetigkeit geht die Eindeutigkeit der Lösung verloren
(siehe Beispiel \ref{bsp:dgl-uneindeutig}), aber die Existenz gilt nach dem Satz von Peano (siehe Beispiel \ref{bsp:dgl-uneindeutig}), aber die Existenz gilt nach dem Satz von Peano
immer noch. immer noch.
\end{enumerate} \end{enumerate}
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