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2020-05-20 00:23:58 +02:00
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ana8.tex
+15 -15
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@@ -15,28 +15,28 @@
\begin{proof}
Sei $x \in \mathbb{K}^{n}$. Dann ist
\begin{align*}
\Vert (\mathbb{I} + B) x \Vert \qquad
&= \qquad \Vert x + B x\Vert \\
&\stackrel{\text{Dreiecksungl.}}{\ge } \qquad \Vert x \Vert - \Vert Bx \Vert \\
\begin{salign}
\Vert (\mathbb{I} + B) x \Vert
&= \Vert x + B x\Vert \\
&\stackrel{\text{Dreiecksungl.}}{\ge } \Vert x \Vert - \Vert Bx \Vert \\
&\stackrel{\Vert Bx \Vert \le \Vert B \Vert \Vert x \Vert}{\ge }
\qquad \Vert x \Vert - \Vert B \Vert \cdot \Vert x \Vert \\
&= \qquad ( \underbrace{1 - \Vert B \Vert}_{> 0}) \Vert x \Vert
.\end{align*}
\Vert x \Vert - \Vert B \Vert \cdot \Vert x \Vert \\
&= ( \underbrace{1 - \Vert B \Vert}_{> 0}) \Vert x \Vert
.\end{salign}
Also hat die Gleichung $(\mathbb{I} + B) x = 0$ nur die Lösung $x = 0$, also
ist $(\mathbb{I} + B)$ injektiv und mit \ref{lemma:linabb} regulär.
Bleibt zu zeigen: $\Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \le \frac{1}{1 - \Vert B \Vert}$.
Es gilt
\begin{align*}
1 \qquad &= \qquad \Vert \mathbb{I}\Vert \\
&= \qquad \Vert (\mathbb{I} + B) (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
&= \qquad \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} + B (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
&\stackrel{\text{Dreicksungl.}}{\ge } \qquad \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert
\begin{salign}
1 &= \Vert \mathbb{I}\Vert \\
&= \Vert (\mathbb{I} + B) (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
&= \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} + B (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
&\stackrel{\text{Dreicksungl.}}{\ge } \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert
- \Vert B (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
&\ge \qquad \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert - \Vert B \Vert \cdot \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
&= \qquad (1 - \Vert B \Vert) \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert
.\end{align*}
&\ge \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert - \Vert B \Vert \cdot \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
&= (1 - \Vert B \Vert) \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert
.\end{salign}
Damit folgt die Behauptung.
\end{proof}