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ana5.tex

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+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\begin{satz}[Charakterisierung abgeschlossener Mengen]
+    Sei $A \subset \mathbb{K}^{n}$. Dann gilt
+    \[
+    A \text{ abgeschlossen}
+    \iff
+    \text{Ist } \left(x^{(k)}\right)_{k\in\N} \text{ konvergente Folge in } A
+    \text{ mit } \lim_{k \to \infty} x^{(k)} = a\text{, dann } a \in A
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    \begin{itemize}
+        \item ,,$\implies$'': Sei $A$ abgeschlossen und $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$
+            konvergente Folge in $A$ mit
+            \[
+                \lim_{k \to \infty} x^{(k)} = x
+            .\] 
+            Ang.: $x \not\in A$, d.h. $x \in A^{C}$. Da $A^{C}$ offen, folgt, es ex.
+            ein $\epsilon > 0$, s.d. $K_{\epsilon}(x) \subset A^{C}$.
+            Mit $x = \displaystyle \lim_{k \to \infty} x^{(k)}$ folgt, dass fast alle
+            Folgenelemente $x^{(k)}$ in $K_{\epsilon}(x) \subset A^{C}$ liegen.
+            
+            Widerspruch zu: $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subset A $. Damit folgt
+            $x \in A$.
+        \item ,,$\impliedby$'': Sei $A \subset \mathbb{K}^{n}$ s.d. alle konvergenten
+            Folgen in $A$ einen Grenzwert in $A$ haben.
+
+            Zu zeigen: $A^{C}$ offen. Sei $x \in A^{C}$ beliebig. Dann g.z.z.: $\exists \epsilon > 0$
+            s.d. $K_{\epsilon}(x) \subset A^{C}$.
+
+            Ang.: $A^{C}$ nicht offen. Dann ex. $\forall k \in \N$ ein Punkt $x^{(k)}$
+            mit $x^{(k)} \in A \cap K_{\frac{1}{k}}(x)$. Dann ist $x^{(k)} \in A$
+            $\forall k \in \N$ und $\Vert x - x^{(k)} \Vert \le \frac{1}{k}$. Damit folgt
+            \[
+                x^{(k)} \xrightarrow{k \to \infty} x \stackrel{\text{Vorr.}}{\implies} x \in A \quad \contr
+                \implies A^{C} \text{ offen } \implies A \text{ abgeschlossen}
+            .\] 
+    \end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Randpunkt]
+    Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$ eine Teilmenge. Ein Punkt $a \in \mathbb{K}^{n}$ heißt
+    Randpunkt von $M$, falls in jeder Umgebung von $a$ sowohl ein Punkt von $M$, als auch
+    ein Punkt von $M^{C} = \mathbb{K}^{n} \setminus M$ liegt.
+
+    Die Menge aller Randpunkte von $M$ heißt der Rand von $M$, bezeichnet mit $\partial M$.
+\end{definition}
+
+\begin{figure}[h!]
+    \begin{tikzpicture}[scale=2]
+        \draw plot [smooth cycle] coordinates {(0,0) (1,1) (2,1) (3, 2) (3,0.5)};
+        \draw (1,1) circle [radius=0.15cm];
+        \draw[fill=black] (1,1) circle [radius=0.02cm];
+    \end{tikzpicture}
+    \centering
+    \caption{Randpunkt einer Menge $M \subset \mathbb{K}^{n}$}
+\end{figure}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item Für $I \in \{ [a,b[ \;, [a,b], \;]a,b], \;]a,b[\;\} $ gilt
+            $\partial I = \{a, b\}$.
+            
+            $\partial [a, \infty[ \; = \{a\}$\\
+            $\partial ]a, \infty[ \; = \{a\}$
+        \item Für $K_1(0)$ gilt
+            \begin{align*}
+                \partial K_1(0) &= \partial \{x \in \R^{n}  \mid \Vert x \Vert < 1\} \\
+                                &= \;\; \{ x \in \R^{n}  \mid \Vert x \Vert = 1 \} \\
+                                & \quad \quad \text{,,Einheitssphäre''}
+            .\end{align*}
+        \item $\Q \subset \R$, $\partial \Q = \R$, weil in jeder Umgebung eines Punktes in
+            $\Q$, gibt es rationale und irrationale Zahlen. Der Rand von $\R$ ist leer.
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Inneres, Abschluss]
+    Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$
+    \begin{itemize}
+        \item Die Menge $M^{\circ} := M \setminus \partial M$ heißt das
+            \underline{Innere} von $M$.
+        \item Die Menge $\overline{M} := M \cup \partial M$ heißt
+            der \underline{Abschluss} von $M$.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Inneres ist Offen, Abschluss ist abgeschlossen]
+    Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$.
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Die Menge $M^{\circ} = M \setminus \partial M$ ist offen.
+            $M^{\circ}$ ist die größte offene Menge in $M$.
+        \item Die Menge $\overline{M} = M \cup \partial M$ ist abgeschlossen.
+            $\overline{M}$ ist die kleinste abgeschlossene Menge, die $M$ umfasst.
+        \item Der Rand $\partial M$ ist abgeschlossen.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Z.z.: $M \setminus \partial M$ offen.
+
+            Sei $x \in M \setminus \partial M$ beliebig, dann ex. $\epsilon > 0$, s.d.
+            $K_{\epsilon}(x) \subset M$ $(\implies K_{\epsilon}(x) \cap M^{C} = \emptyset)$, sonst
+            wäre $x \in \partial M$.
+            
+            Für dieses $\epsilon$ gilt auch
+            $K_{\epsilon}(x) \cap \partial M = \emptyset$, denn
+            falls $z \in K_{\epsilon}(x) \cap \partial M$ existiert, dann ist
+            $K_{\epsilon}(x)$ Umgebung von $z$ und folglich
+            $K_{\epsilon}(x) \cap M^{C} \neq \emptyset$.
+
+            Damit folgt:
+            \[
+                K_{\epsilon}(x) \subset M \setminus \partial M \implies M \setminus \partial M \text{ offen}
+            .\] 
+
+            Sei $U \subset M$ offen, dann ist analog $U \cap \partial M = \emptyset$. Damit gilt
+            $U \subset M \setminus \partial M$. Da $U$ beliebig, folgt damit
+            $M \setminus \partial M =: M^{\circ}$ ist größte offene Teilmenge von $M$.
+        \item Z.z.: $M \cup \partial M$ abgeschlossen.
+
+            Betrachte $M^{C} = \mathbb{K}^{n} \setminus M$. Nach Definition des Rands
+            gilt $\partial M^{C} = \partial M$. Damit folgt mit (i), dass
+            $M^{C} \setminus \underbrace{\partial M}_{= \partial M^{C}}$ offen ist. Dann
+            \[
+                (M^{C} \setminus \partial M)^{C}
+                = \mathbb{K}^{n} \setminus (M^{C} \setminus \partial M)
+                = \underbrace{(\mathbb{K}^{n} \setminus M^{C})}_{= M} \cup \partial M = M \cup \partial M
+            .\] D.h. $M \cup \partial M$ ist abgeschlossen.
+
+            Sei $V \in K^{n}$ abgeschlossen mit $M \subset V$. Dann gilt
+            $V^{C}$ ist offen und $V^{C} \subset M^{C}$. Damit folgt mit (i):
+            \[
+                \underbrace{V^{C}}_{\text{offen}}
+                \subset M^{C} \setminus \underbrace{\partial M^{C}}_{=\partial M} = M^{C} \setminus \partial M
+                \implies \mathbb{K}^{n} \setminus (M^{C} \setminus \partial M)
+                = (M \cup \partial M) \subset V
+            .\] 
+            Da $V$ beliebig, folgt damit $M \cup \partial M$ ist kleinste abgeschlossene Menge, die
+            $M$ umfasst.
+        \item Mit $\partial M = (M \cup \partial M) \setminus (M \setminus \partial M)$ folgt
+            \[
+                \mathbb{K}^{n} \setminus \partial M
+                = \underbrace{\left( \mathbb{K}^{n} \setminus (M \cup \partial M)\right)}_{\text{offen}}
+                \cup  \underbrace{(M \setminus \partial M)}_{\text{offen}}
+            .\] Damit ist $\mathbb{K}^{n} \setminus \partial M$ offen, also $\partial M$ abgeschlossen.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Kompaktheit]
+    Eine Menge $M \subset \mathbb{K}^{n}$ heißt \underline{kompakt}
+    (bzw. \underline{folgenkompakt}), wenn jede Folge aus $M$ eine
+    konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $M$ besitzt.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Sei
+            \[
+                \left( x^{(k)}\right)_{k \in \N} \subset \mathbb{K}^{n}, x^{(k)} \xrightarrow{k \to \infty} x
+            .\] Dann ist $A := \{ x^{(k)}  \mid  k \in \N\} \cup {x}$ kompakt.
+        \item $]0,1[$ ist nicht kompakt, denn $\left( \frac{1}{2k} \right)_{k \in \N} \subset ]0,1[$,
+            $\frac{1}{2k} \xrightarrow{k \to \infty} 0$.
+
+            Auch: $\left( 1 - \frac{2}{k} \right)_{k \in \N} \subset ]0,1[$,
+            $1 - \frac{1}{2k} \xrightarrow{k \to \infty} 1$
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Überdeckung]
+    Eine Familie $(U_i)_{i\in I}$ von Teilmengen $U_i \subset \mathbb{K}^{n}$ heißt
+    Überdeckung von $M$, falls gilt
+    \[
+    M \subset \bigcup_{i \in  I} U_i
+    .\] Eine Überdeckung heißt offen bzw. abgeschlossen, wenn alle $U_i$ offen bzw. abgeschlossen sind.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Charakterisierung von Kompaktheit]
+    Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$ eine Teilmenge. Dann sind
+    die folgenden Aussagen äquivalent:
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $M$ ist folgenkompakt
+        \item $M$ ist beschränkt und abgeschlossen
+        \item Jede offene Überdeckung $\left( U_i \right)_{i \in I} $ von $M$ enthält
+            eine \underline{endliche} Überdeckung von $M$, d.h. es existieren endlich
+            viele Indizes $i_1, \ldots, i_k \in I$, s.d. $M \subset (U_{i_1} \cup \ldots \cup U_{i_k})$
+            (sogenannte Überdeckungseigenschaft von Heine und Borel).
+    \end{enumerate}
+    \label{satz:charakter-kompaktheit}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    \begin{itemize}
+        \item (i) $\implies$ (ii): Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$ folgenkompakt. Dann
+            existieren für alle konvergenten Folgen $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subset M$
+            eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $M$. Damit liegt
+            auch der Grenzwert von $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$ in $M$.
+            Also ist $M$ abgeschlossen.
+
+            Ang.: $M$ ist nicht beschränkt. Dann ex. eine Folge
+            $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$ mit $\Vert x^{(k)} \Vert \xrightarrow{n \to \infty} \infty$.
+            Damit hat $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$ keine konvergente Teilfolge.
+            Widerspruch zur Kompaktheit von $M$. Also ist $M$ beschränkt.
+        \item (ii) $\implies$ (i): Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$ beschränkt und
+            abgeschlossen. Dann folgt mit \ref{satz:bolzano}, dass alle Folgen
+            $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subset M $ beschränkt sind und eine
+            konvergente Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N} \xrightarrow{j \to \infty} x$
+            besitzen. Da $M$ abgeschlossen ist, folgt $x \in M$.
+
+            Also ist $M$ folgenkompakt.
+        \item (iii) $\implies$ (i): Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$ und $M$ besitze die
+            Überdeckungseigenschaft. Sei weiter $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subset M $ beliebig.
+
+            Z.z.: Es ex. eine konvergente Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$
+            mit $x^{(k_j)} \xrightarrow{j \to \infty} x \in M$.
+
+            Ang.: Solche Teilfolge existiert nicht. Dann gilt: $\forall x \in M$ existiert
+            eine offene Umgebung $U_x$ von $x$, die nur endlich viele
+            Folgenelemente von $\left( x^{(k)} \right) $ enthält (wären in jeder Umgebung
+            von $x$ unendlich viele Folgenelemente, dann existiert eine konvergente Teilfolge).
+
+            Damit ist $M = \bigcup_{x \in M} U_x$ eine offene Überdeckung, d.h. es existiert
+            nach Vorr. eine endliche Überdeckung von $M$, d.h. eine endliche
+            Menge $I$ mit
+            \[
+            \{x_i  \mid x_i \in M, i \in I\} =: M_i \text{ s.d. }
+            M \subset \bigcup_{x_i \in M_i} U_{x_i}
+            .\] Da $\forall i \in I$ $U_{x_i}$ nur endlich viele Folgenelemente enthält,
+            enthält $M$ endlich viele Folgenelemente von $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$, d.h.
+            $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \not\subset M$ $\contr$.
+
+            Also existiert eine Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$ mit
+            $x^{(k_j)} \xrightarrow{k \to \infty} x \in M$
+        \item (ii) $\implies$ (iii): Sei $M$ beschränkt und abgeschlossen und sei
+            $\{U_i, \in I\} $ eine offene Überdeckung von $M$.
+
+            Zu zeigen: Es existiert eine endliche Überdeckung von $M$.
+
+            Ang.: Eine solche Überdeckung existiert nicht. Konstruiere induktiv eine Folge
+            von beschränkten, abgeschlossenen Würfeln in $\mathbb{K}^{n}$:
+            \[
+            Q_0 \supset Q_1 \supset Q_2 \supset \ldots
+            .\] mit
+            \begin{enumerate}[(1)]
+                \item $M \cap Q_i$ wird nicht durch endlich viele $U_{i_k}$ überdeckt.
+                \item Kantenlänge von $Q_m = 2^{-m}$ Kantenlänge von $Q_0$.
+            \end{enumerate}
+            Sei $Q$ beschränkter abgeschlossener Würfel in $\mathbb{K}^{n}$ mit
+            Kantenlänge $L$, s.d. $M \subset \Q$.
+            \begin{figure}[h!]
+                \begin{tikzpicture}[scale=0.2]
+                    \draw (0,0) -- (0,10) -- (10,10) -- (10,0) -- (0,0);
+                    \draw plot [smooth cycle] coordinates {(2, 3) (2,7) (8,8) (8, 2)};
+                    \node at (12, 5) {$L$};
+                    \node at (5, -2) {$L$};
+                    \node at (6, 6) {$M$};
+                \end{tikzpicture}
+                \centering
+                \caption{Abgeschlossener Würfel $Q \subset K^{n}$ mit Kantenlänge $L$ und $M \subset Q$}
+            \end{figure}
+            Setze $Q_0 = Q$, Kantenlänge von $Q_0 = L$. Sei $Q_m$ bereits konstruiert. Sei
+            \[
+            Q_m = I_1 \times I_2 \times \ldots \times I_n
+        .\] Länge $(I_k)$ = Kantenlänge $(Q_m)$ $\forall k$ = $2^{-m} L$
+
+        Wir zerlegen jedes $I_i$ in 2 abgeschlossene Intervalle mit halber Länge
+        $I_i^{(1)}$ und $I_i(^{2)}$ und setzen für $(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}$
+        \[
+            Q_m^{s_1, \ldots, s_n} := I_1^{(s_1)} \times \ldots \times I_n^{(s_n)}
+        .\] Wir erhalten $2^{n}$ Würfel mit
+        \[
+            Q_m := \bigcup_{(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}} Q_m^{(s_1, \ldots, s_n)}
+        .\] Da $M \cap Q_m$ nicht von endlich vielen $U_{i_k}$ überdeckt wird, gilt dies
+        auch für einen Würfel
+        \[
+            Q_{m+1} := Q_m^{(s_1, \ldots, s_n)}
+        .\] Es gilt für die Kantenlänge $(Q_{m+1})$ = $\frac{1}{2}$ Kantenlänge $(Q_m)$ = $2^{-(m+1)} L$.
+
+        Für $k \in \N$ wähle $x^{(k)} \in Q_k \cap M$. Damit ist $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$ eine
+        Cauchy-Folge in $\mathbb{K}^{n}$, da nach Konstruktion von $Q_1, Q_2, \ldots$
+        \[
+            \Vert x^{(l)} - x^{(k)} \Vert \le 2^{-n_0} L, \quad \forall l, k \ge n_0
+        .\] 
+        Damit folgt $x^{(k)} \xrightarrow{k \to \infty} x \in M$ und
+        $x \in \bigcup_{i \in  I} U_i$, weil $M \subset \bigcup_{i \in  I} U_i$. Also
+        existiert ein $i_k$, s.d. $x \in U_{i_k}$ liegt. Damit liegen fast alle
+        $Q_m$ in $U_{i_k}$. Das heißt fast alle $M \cap Q_m$ liegen
+        in $U_{i_k}$. Widerspruch zur Annahme, dass eine endliche Überdeckung nicht existiert.
+
+        Also existiert eine endliche Überdeckung von $M$.
+    \end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Wichtige Voraussetzung für die Überdeckungseigenschaft von Heine und Borel ist, dass
+    $\mathbb{K}^{n}$ \underline{endlich}-dimensional ist.
+
+    In unendlich dimensionalen Banach-Räumen wie z.B.: $C[a,b]$ ist dies nicht möglich.
+\end{bem}
+
+\begin{korrolar}
+    Jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge in $\mathbb{K}^{n}$ ist
+    ebenfalls kompakt.
+\end{korrolar}
+
+\begin{proof}
+    Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$ kompakt und $A \subset M$ abgeschlossen. Wegen
+    \ref{satz:charakter-kompaktheit} ist $M$ beschränkt. Damit ist auch $A \subset M$ beschränkt
+    und somit nach \ref{satz:charakter-kompaktheit} kompakt.
+\end{proof}
+
+\end{document}