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@@ -41,7 +41,7 @@ Hier betrachten wir deshalb nur $2\pi$-periodische Funktionen $f: \R \to \K$. We
     \begin{align*}
         \int_a^b e^{i\lambda x} \d x &= \int_a^b \cos(\lambda x)\d x + i \int_a^b \sin(\lambda x)\d x\\
         &= \frac{1}{\lambda} \sin(\lambda x)\bigg|_a^b - \frac{1}{\lambda} i \cos(\lambda x)\bigg|_a^b\\
-        &\stackrel{=}{\frac{1}{i} = -i} \frac{1}{\lambda i} (\cos(\lambda x) + i \sin(\lambda x)) \bigg |_a^b\\
+        &\stackrel{\frac{1}{i} = -i}{=}\quad \frac{1}{\lambda i} (\cos(\lambda x) + i \sin(\lambda x)) \bigg |_a^b\\
         &= \frac{1}{\lambda i } e^{i\lambda x} \bigg|_a^b\\
     \end{align*}
     $$\implies \int_0^{2\pi} e^{ikx} \d x = 0\qquad \forall k \in \Z \setminus \{0\}$$
@@ -72,7 +72,7 @@ Frage: Hat jede $2\pi$-periodische Funktion die Form $\sum_{k = -n}^{n}c_ke^{ixk
     $$\qnorm{f-s_n} = \qnorm{f} - 2\pi \sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2$$
 \end{satz}
 \begin{proof}
-    Notation $e_n(x) \coloneqq e^{ikx}$
+    Notation $e_n(x) \coloneqq e^{inx}$
     \begin{align*}
         (e_k, e_l) &= \int_0^{2\pi} e_{ikx} e^{-ikx} \d x = \int_0^{2\pi} e^{i(k-l)x}\d x = \begin{cases}
             2\pi, & k = l\\
@@ -94,7 +94,7 @@ Frage: Hat jede $2\pi$-periodische Funktion die Form $\sum_{k = -n}^{n}c_ke^{ixk
     \end{align*}
 \end{proof}
 \begin{satz}[Besselsche Umgebung]\label{bessel}
-    Sei $f \in R[0, 2\pi]$ eine $2\pi$-periodische Funktion mit Fourier-Koeffizienten $c_k,\; k\in \Z$. Dann $$\exists \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2$$ und $$\sum_{k = -\infty}^{\infty} |c_k|^2 = \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2 \leq \qnorm{f}$$
+    Sei $f \in R[0, 2\pi]$ eine $2\pi$-periodische Funktion mit Fourier-Koeffizienten $c_k,\; k\in \Z$. Dann $$\exists \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2$$ und $$\sum_{k = -\infty}^{\infty} |c_k|^2 = \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2 \leq \frac{\qnorm{f}}{2\pi}$$
 \end{satz}
 \begin{proof}
     Aus Satz \ref{fourierungleichung}
@@ -102,7 +102,7 @@ Frage: Hat jede $2\pi$-periodische Funktion die Form $\sum_{k = -n}^{n}c_ke^{ixk
     Die Konvergenz folgt unter Beachtung der Monotonie und Beschränktheit der Folge $$\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2$$
 \end{proof}
 \begin{bem}
-    Sei $f\in R[0, 2\pi]$ $2\pi$-periodisch und $\qnorm{f-s_n} \underset{\to}{L^2} 0,\; n\to \infty$, d.h. die Fourier-Reihe konvergiert gegen $f$ in $L^2$. Das ist nach Satz \ref{fourierungleichung} äquivalent zu
+    Sei $f\in R[0, 2\pi]$ $2\pi$-periodisch und $\qnorm{f-s_n} \overset{L^2}{\to} 0,\; n\to \infty$, d.h. die Fourier-Reihe konvergiert gegen $f$ in $L^2$. Das ist nach Satz \ref{fourierungleichung} äquivalent zu
     $$\qnorm{f} = 2\pi \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2 \Leftrightarrow 2 \pi \sum_{k = -\infty}^{\infty}|c_k|^2$$
 \end{bem}
 \underline{Frage:} Unter welchen Bedingungen für $f$ gilt die Parsevalsche Gleichung
@@ -260,7 +260,7 @@ $$F_n(x) = \int_\pi^x \frac{1}{2 \sin\left(\frac{y}{2}\right)} \cdot \sin\left(\
     $$\implies s_n(f) \xrightarrow{L^2} f, \; n \to \infty$$
 \end{proof}
 \begin{bem}
-    Konvergenz in $L^2$ ist \glqq sehr schwach \grqq\. Für \glqq glattere\grqq\ Funktionen konvergiert die Fourier-Reihe gleichmäßig.
+    Konvergenz in $L^2$ ist \glqq sehr schwach\grqq\ Für \glqq glattere\grqq\ Funktionen konvergiert die Fourier-Reihe gleichmäßig.
 \end{bem}
 \begin{satz}
     Sei $f: \R \to \C$ $2\pi$-periodisch, stetig und stückweise stetig differenzierbar, d.h. $\exists $ Unterteilung von $[0, 2\pi]$