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@@ -0,0 +1,238 @@ |
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\documentclass{lecture} |
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\begin{document} |
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\chapter{Kurven im \texorpdfstring{$\R^{n}$}{R\unichar{"207F}}} |
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\section{Kurven} |
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\begin{definition}[Kurve] |
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Eine Kurve $\gamma$ im $\R^n$ ist eine stetige Abbildung $\gamma\colon I\to \R^n$, $I$ Intervall (z.B. $I = [a,b]$ oder $I = \R$.) Schreibweise: \[\gamma(t) = \begin{pmatrix} |
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\gamma_1(t)\\ |
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\vdots\\ |
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\gamma_n(t) |
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\end{pmatrix}.\] |
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Dabei gilt $\gamma$ stetig $\Leftrightarrow$ $\gamma_i$ stetig $\forall i = 1,\dots, n$. |
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\end{definition} |
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\begin{bsp} |
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\begin{enumerate} |
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\item Gerade in $\R^n$ durch einen Punkt $a\in \R^n$ in Richtung $v \in \R^n\setminus\{0\}: \gamma(t) = a + tv,\; I = \R$. |
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\item Kreis in $\R^2$ um $a\in \R^2$ mit Radius $r > 0$ |
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\[ |
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\gamma(t) = a + r\begin{pmatrix} |
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\cos(t)\\ |
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\sin(t) |
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\end{pmatrix},\; t\in [0, 2\pi] |
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\] |
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\item Helix in $\R^3$ mit $r > 0, c \neq 0$. |
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\[ |
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\gamma(t) = \begin{pmatrix} |
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r\cos(T)\\ |
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r\sin(t)\\ |
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c\cdot t |
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\end{pmatrix} |
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\] |
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\end{enumerate} |
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\end{bsp} |
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\begin{definition}[Differenzierbarkeit] |
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\begin{enumerate} |
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\item $\gamma$ heißt stetig differenzierbar, wenn $\gamma_1, \dots, \gamma_n$ stetig differenzierbar sind. Dabei bezeichnet man |
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\[\gamma'(t) = \begin{pmatrix} |
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\gamma_1'(t)\\ |
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\vdots\\ |
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\gamma_n'(t) |
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\end{pmatrix}\] |
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als Tangential- bzw. Geschwindigkeitsvektor. |
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\item $\gamma$ heißt regulär, wenn gilt: $\forall t\in I$ gilt $\gamma'(t)\neq 0$. |
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\item $r(t) \coloneqq \norm{\gamma'(t)}_2\colon I\to \R$ heißt Geschwindigkeit von $\gamma$. |
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\[ |
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\norm{\gamma'(t)}_2 = \sqrt{|\gamma_1'(t)|^2 + \dots + |\gamma_n'(t)|^2} |
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\] |
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\end{enumerate} |
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\end{definition} |
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\begin{bsp} |
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\begin{enumerate} |
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\item Gerade: $\gamma(t) = a + v\cdot t$. |
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\[ |
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\gamma'(t) = \begin{pmatrix} |
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v_1\\ |
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\vdots\\ |
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v_n |
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\end{pmatrix} = v,\; r(t) = \norm{v}_2 \xRightarrow{v\neq 0} \gamma \text{ ist regulär} |
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\] |
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\item Kreis: $\gamma(t) = a + r\begin{pmatrix} |
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\cos(t)\\ |
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\sin(t) |
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\end{pmatrix}$. |
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\[ |
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\gamma'(t) = r\begin{pmatrix} |
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-\sin(t)\\ |
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\cos(t) |
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\end{pmatrix} \xRightarrow{r \neq 0} \gamma'(t) \neq 0\;\forall t, |
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\] |
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da $\sin$ und $\cos$ keine gemeinsamen Nullstellen haben. |
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\[ |
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r(t) = \norm{\gamma'(t)}_2 = \sqrt{r^2\sin^2(t) + r^2\cos^2(t)} = r |
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\] |
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\item Helix: $\gamma(t) = \left(r\cos(t), r\sin(t), ct\right)^T$ |
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\[ |
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\gamma'(t) = \begin{pmatrix} |
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-r\sin(t)\\ |
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r\cos(t)\\ |
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c |
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\end{pmatrix} \neq 0\; (c \neq 0) |
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\] |
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Außerdem ist |
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\[ |
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r(t) = \sqrt{r^2 + c^2} > 0 |
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\] |
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\item Kurven stellen nicht notwendig injektive Abbildungen dar. |
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\[ |
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\gamma\colon \R\to \R^2,\quad \gamma(t) = \begin{pmatrix} |
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t^2-1\\ |
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t^3-t |
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\end{pmatrix} |
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\] |
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Das Bild von $\gamma$ ist $\gamma(\R) = \{(x,y)\in \R^2\colon y^2 = x^2 + x^3\}$. Dabei ist $\gamma(-1) = \begin{pmatrix} |
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0\\0 |
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\end{pmatrix} = \gamma(1)$. Allerdings ist $\gamma'(t) = \begin{pmatrix} |
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2t\\3t^2-1 |
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\end{pmatrix}$ bei $-1$ gleich $\begin{pmatrix} |
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-2\\2 |
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\end{pmatrix}$ und bei $1$ gleich $\begin{pmatrix} |
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2\\2 |
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\end{pmatrix}$. |
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\item Neilsche Parabel $\gamma\colon \R \to \R^2, \quad \gamma(t) = (t^2, t^3)$. Das Bild von $\gamma$ ist $\gamma(\R) = \{(x,y) \in \R^2\colon x\geq 0, y = \pm \sqrt{x^3}\}$. Es gilt $\gamma'(t) = \begin{pmatrix} |
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2t\\3t^2 |
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\end{pmatrix}$ und daher insbesondere $\gamma'(0) = \begin{pmatrix} |
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0\\0 |
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\end{pmatrix}$. Daher ist $\gamma(t)$ nicht regulär und $t = 0$ ist ein singulärer Punkt. |
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\end{enumerate} |
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\end{bsp} |
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\begin{definition}[Tangente] |
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Sei $\gamma\in C^1(I;\R^n)$. Sei ein $t_0\in I$ regulär (d.h. $\gamma'(t_0) \neq 0$). Dann ist die Tangente an $\gamma(t_0)$ eine Gerade durch $\gamma(t_0)$ in Richtung $\gamma'(t_0)$ |
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\[ |
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\gamma(t_0) + s\gamma'(t_0) \mid s\in \R\}. |
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\] |
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\end{definition} |
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\section{Die Bogenlänge} |
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Sei $\gamma\colon I \to \R^n$ eine stetige Kurve. Sei $\mathcal{Z} = \{t_0,t_1,\dots, t_M\},\;t_i\in I$ eine Partition des Intervalls $I$. $\mathcal{Z}$ definiert ein Sehnenpolygon von $\gamma$ mit Ecken $\gamma(t_0),\dots, \gamma(t_M)$ der Länge |
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\[ |
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S(\mathcal{Z})\coloneqq \sum_{i = 1}^{M}\norm{\gamma(t_i)- \gamma(t_{i-1})}_2,\; S(\mathcal{Z})\in \R. |
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\] |
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Sei $\mathcal{Z}^*$ eine weitere Partition des Intervalls $I$, die aus $z$ durch Hinzunahme weiterer Teilungspunkte entsanden ist, dann gilt $S(\mathcal{Z}^*) \geq S(\mathcal{Z})$. |
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Betrachte Teilintervall $[t_0,t_1]$ und sei $t_0 = s_0 < s_1 < \dots < s_K = t_1$, dann ist |
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\[ |
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\norm{\gamma(t_1) - \gamma(t_0)} = \norm{\sum_{i = 1}^{K} \gamma(s_i) - \gamma(s_{i-1})} \leq \sum_{i = 1}^{K}\norm{\gamma(s_i) - \gamma(s_{i-1})} \implies S(\mathcal{Z}) \leq S(\mathcal{Z}^*). |
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\] |
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Seien $\mathcal{Z}_1$ und $\mathcal{Z}_2$ zwei Zerlegungen und $\mathcal{Z}^*$ eine gemeinsame Verfeinerung. Dann gilt $S(\mathcal{Z}^*) \geq \max(S(\mathcal{Z}_1), S(\mathcal{Z}_2))$ |
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\begin{definition}[Rektifizierbarkeit] |
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Eine stetige Kurve $\gamma\in C^0(I;\R^n)$ heißt rektifizierbar, wenn die Menge aller Längen $S(\mathcal{Z})$ von Polygonen zu Partitionen $\mathcal{Z}$ von $I$ beschränkt ist. In diesem Fall heißt $S(\gamma) \colon \sup\{S(\mathcal{Z})\mid \mathcal{Z} \text{ Partition von } I\}$ die Länge von $\gamma$, in anderen Worten $\forall\epsilon > 0,\; \exists \delta > 0, \;\forall$ Partitionen von $I$ gilt: |
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\[ |
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\max_i |t_{i-1} - t_i| < \delta \implies |S(\mathcal{Z}) - S(\gamma)| < \epsilon |
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\] |
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\end{definition} |
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\begin{bsp}[Lipschitz-stetige Kurven] |
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Sei $\gamma\colon I\to \R$ Lipschitz-stetig mit $|I| < \infty$, dann gilt für alle Zerlegungen $\mathcal{Z}$ von $I$: |
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\[ |
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S(\mathcal{Z}) = \sum_{i = 1}^{M}\norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \oldstackrel{\gamma \text{ L-stetig}}{\le} \sum_{i = 1}^{M} L\cdot |t_i - t_{i-1}| = L\cdot |I| |
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\] |
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Also ist $\gamma$ rektifizierbar. |
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\end{bsp} |
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\begin{satz}[Kurvenlänge stückweiser $C^1$-Kurven] |
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Sei $\gamma\in C^0([a,b],\R^n)$ eine stetige Kurve mit $[a,b]$ kompakt, $\gamma$ stückweise $C^1$, d.h. $\exists$ Zerlegung $a = s_0 < s_1 <\dots < s_M = b$ mit |
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\[ |
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\left.\gamma\right|_{[s_{i-1}, s_i]} \in C^1([s_{i-1},s_i], \R^n),\quad \forall i = 1, \dots, M. |
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\] |
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Dann ist $\gamma$ rektifizierbar und hat die Länge \[S(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}_2\d t = \sum_{i = 1}^{M}\int_{s_{i-1}}^{s_i} \norm{\gamma'(t)}_2 \d t.\] |
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Insbesondere hat der Graph einer $C_1$-Funktion $f\in C^1([a,b], \R), \quad \gamma_f(t)\colon (t, f(t))^T$ die Länge \[S(\gamma_f) = \int_a^b \sqrt{1 + f'(t)^2} \d t.\] |
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\end{satz} |
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\begin{proof} |
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Sei $\mathcal{Z} = \{t_0, \dots, t_N\}$ eine Partition, betrachte $\mathcal{Z}^* = \mathcal{Z} \cup \{s_0,\dots, s_M\} = \{x_0,\dots, x_K\}$. Dann gilt |
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\begin{salign*} |
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S(\mathcal{Z}) &\leq S(\mathcal{Z}^*)\\ |
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&= \sum_{i = 1}^{K}\norm{\gamma(x_i) - \gamma(x_{i-1})}\\ |
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&\stackrel{\text{HDI}}{=} \sum_{i = 1}^{K}\norm{\int_{x_{i-1}}^{x_i} \gamma'(t)\d t}\\ |
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&\stackrel{\triangle-\text{UGl.}}{\le} \sum_{i = 1}^{K}\int_{x_{i-1}}^{x_i} \norm{\gamma'(t)} \d t\\ |
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&= \int_a^b\norm{\gamma'(t)}\d t |
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\end{salign*} |
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Also ist $\gamma$ rektifizierbar und $S(\gamma) \leq \int_a^b \norm{y'(t)}\d t$. |
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Z.Z. $\forall \epsilon > 0\; \exists$ Zerlegung mit |
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\[ |
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S(\mathcal{Z}) \geq \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t - \epsilon. |
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\] |
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Fixiere dazu ein $\epsilon > 0$. Wähle dann eine Treppenfunktion $\varphi$ auf $[a,b]$ mit \[\norm{\gamma'(t) - \varphi(t)} \le \frac{\epsilon}{2(b-a)} \forall t\in [a,b]\setminus\{s_0,\dots, s_M\}\] |
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($\varphi$ existiert, weil $\gamma'(t)$ stückweise stetig ist). Wähle ferner eine (feine) Partition $a = t_0< t_1< \dots < t_N = b$, s.d. $\varphi\big|_{[t_{i-1}, t_i]}$ konstant ist $\forall i = 1,\dots, N$. Dann gilt nämlich |
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\begin{salign*} |
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S(Z) &= \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \gamma'(t) \d t}\\ |
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&= \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t) + (\gamma'(t) - \varphi(t))\d t}\\ |
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&\geq \sum_{i = 1}^{N}\left( \norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t)\d t} - \norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} (\gamma'(t) - \varphi(t)) \d t}\right)\\ |
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&\geq \sum_{i = 1}^{N}\left( \norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t)\d t} - \frac{\epsilon}{2(b-a)} |t_i-t_{i-1}|\right)\\ |
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&\geq \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t) \d t} - \sum_{i = 1}^{N}\frac{\epsilon}{2(b-a)}|t_i-t_{i-1}|\\ |
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&= \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t) \d t} - \frac{\epsilon}{2}\\ |
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&\stackrel{\varphi(t) = \mathrm{const}}{=} \sum_{i = 1}^{N}\int_{t_{i-1}}^{t_i} \norm{\varphi(t)} \d t - \frac{\epsilon}{2}\\ |
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&= \sum_{i = 1}^{N}\norm{\gamma'(t) + (\varphi(t) - \gamma'(t))} \d t - \frac{\epsilon}{2}\\ |
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&\stackrel{\text{analog}}{\geq} \sum_{i = 1}^{N}\int_{t_{i-1}}^{t_i} \norm{\gamma'(t)} \d t - \epsilon = \int_a^b\norm{\gamma'(t)} \d t - \epsilon |
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\end{salign*} |
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Also existiert für ein beliebiges $\epsilon > 0$ eine Zerlegung $\mathcal{Z}$ mit $S(\mathcal{Z}) \geq \int_a^b\norm{\gamma'(t)}\d t - \epsilon$. Zusammen mit $S(y) \leq \int_a^b\norm{\gamma'(t)}\d t$ folgt $S(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t$. |
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\end{proof} |
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\begin{bsp} |
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\begin{enumerate} |
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\item Kreisbogen: $\gamma(t) = \begin{pmatrix} |
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r\cos(t)\\ |
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r\sin(t)\\ |
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\end{pmatrix},\; \gamma \in C^\infty([0,\varphi], \R^2),\; r > 0,\; \varphi > 0$ fest. Es gilt $S(\gamma) = \int_0^\varphi\norm{\gamma'(t)}_2 \d t = \int_0^\varphi \norm{\begin{pmatrix} |
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-r\sin(t)\\ r\cos(t) |
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\end{pmatrix}}_2 \d t = \int_0^\varphi r\d t = r\varphi$. Also ist der Umfang des Einheitskreises genau $\int_0^{2\pi} \underbrace{r}_{=1} \d t = 2\pi$. |
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\item Zykloide $\gamma\colon [0,2\pi] \to \R^2,\; r(t) = \begin{pmatrix} |
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t-\sin(t)\\1-\cos(t) |
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\end{pmatrix}$. |
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Wir erhalten $\gamma'(t) = \begin{pmatrix} |
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1 - \cos(t)\\\sin(t) |
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\end{pmatrix}$ und daher |
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$\norm{\gamma'(t)}_2^2 = 1 - 2 \cos(t) + \cos^2(t) + \sin^2(t) = 2 - 2\cos(t) = 4 \sin^2(\frac{t}{2})$. Insgesamt gilt also |
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\[ |
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S(\gamma) = \int_0^{2\pi} \underbrace{\left|2\sin\left(\frac{t}{2}\right)\right|}_{\geq 0} \d t \oldstackrel{x = \frac{t}{2}}{=} 4\int_0^\pi \sin(x) \d x = 8\] |
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\end{enumerate} |
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\end{bsp} |
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\section{Parametertransformationen} |
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\begin{definition}[Parametertransformation] |
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\begin{enumerate} |
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\item Sei $\varphi\colon [\alpha, \beta]\! \to\! [a,b]$ eine $C^k$-Abbildung $(k\in \N_0 \cup \infty_+)$ zwischen den Intervallen $[\alpha,\beta]$ und $[a,b]$, |
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sei außerdem $\varphi$ bijektiv und $\varphi^{-1} \in C^k([a,b],\;[\alpha, \beta])$. |
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Dann heißt $\varphi$ eine $C^k$-Parametertransformation. |
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\item Sei weiter $\gamma\colon [a,b]\to\R^n$ eine Kurve. Dann heißt die Kurve $\delta:[\alpha, \beta] \to \R^n,\;\delta \coloneqq \gamma\circ \varphi$ die Umparametrisierung von $\gamma$ (mittels $\varphi$). |
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\item Die Parametertransformation $\varphi\colon [\alpha,\beta] \to [a,b]$ heißt orientierungstreu (oder orientierungserhaltend), wenn $\varphi$ streng monoton wächst; $\varphi$ heißt orientierungsumkehrend, wenn $\varphi$ streng monoton fällt. |
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\end{enumerate} |
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\end{definition} |
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\begin{bem} |
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\begin{enumerate} |
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\item Falls $\varphi$ eine $C^1$-Parametertransformation ist, dann gilt \[\varphi'(t) \neq 0,\;\forall t\in I,\]d.h. $\varphi$ ist ein Diffeomorphismus. Ferner heißt $\varphi$ orientierungstreu, falls $\varphi'(t) > 0$ und orientierungsumkehrend, falls $\varphi'(t) < 0$. |
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\item Die Bogenlänge $S(\gamma)$ ändert sich nicht beim Umparametrisieren: Seien $\varphi, \varphi^{-1}$ stetig differenzierbar, $\gamma\in C^1([a,b], \R^n)$. Dann gilt für die Bogenlänge |
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\begin{salign*} |
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S(\gamma\circ \varphi) &= \int_\alpha^\beta \norm{(\gamma\circ \varphi)'(\tau)} \d \tau\\ |
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&\stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \int_\alpha^\beta\norm{\gamma'(\varphi(\tau)) \cdot \varphi'(\tau)} \d \tau\\ |
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&= \begin{cases} |
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\int_\alpha^\beta \norm{\gamma'(\varphi(\tau))}\cdot \varphi'(\tau) \d \tau&\varphi'(\tau) > 0, \tau \in [a,b]\\ |
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-\int_\alpha^\beta \norm{\gamma'(\varphi(\tau))}\cdot \varphi'(\tau) \d \tau&\varphi'(\tau) < 0, \tau \in [a,b]\\ |
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\end{cases}\\ |
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&\stackrel{\substack{t=\varphi(\tau)\\\d t = \varphi'(\tau)\d \tau}}{=} |
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\begin{cases} |
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\int_a^b\norm{\gamma'(t)} \d t&\varphi'(\tau) > 0, \tau \in [a,b]\\ |
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-\int_b^a \norm{\gamma'(t)} \d t &\varphi'(\tau) < 0, \tau \in [a,b]\\ |
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\end{cases}\\ |
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&= \int_a^b\norm{\gamma'(t)} \d t\\ |
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&= S(\gamma) |
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\end{salign*} |
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\item Umparametrisierung auf Bogenlänge. Sei $\gamma\colon [a,b] \to \R^n$ eine reguläre $C^1$-Kurve, d.h. $\gamma'(t) \neq 0\forall t\in [a,b]$. Definiere die Abbildung $\sigma\colon [a,b] \to [0, S(\gamma)]$ durch |
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\[ |
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\sigma(t) \coloneqq \int_a^t\norm{\gamma'(\tau)} \d \tau \left(= S(\gamma(t))\bigg|_{[a,t]}\right). |
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\] |
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Wir können zeigen, dass $\varphi\coloneqq \sigma^{-1}$ eine orientierungstreue $C^1$-Parametertransformation ist und für die (\glqq auf Bogenlänge\grqq) umparametrisierte Kurve $\beta\colon [0,S(\gamma)]\to \R^n$ gilt \[S\left(\beta\big|_{[0,x]}\right) = x,\; \norm{\beta'(x)} = 1,\; \forall x\in [0,S(\gamma)].\] |
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\begin{proof} |
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Es gilt $\sigma \in C^1([a,b];\;[0,S(\gamma)])$ mit $\sigma'(t) = \norm{\gamma'(t)} > 0$. Daher ist $\sigma$ streng monoton wachsend und bijektiv. Wegen Satz \ref{umkehrfunktion} folgt |
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\[ |
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\underbrace{\sigma^{-1}}_{\eqqcolon \varphi} \in C^1([0,S(y)];\; [a,b]),\; (\sigma^{-1})'(x) = \varphi'(x) = \frac{1}{\norm{\gamma'(\varphi(x))}} > 0. |
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\] |
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Also ist $\varphi$ streng monoton wachsend und daher muss $\varphi$ orientierungstreu sein. Für \[\beta\colon [0,S(\gamma)]\to \R^n,\quad \beta \coloneqq \gamma \circ \varphi\] gilt \[\beta'(x) \oldstackrel{\text{Kettenregel}}{=} \gamma'(\varphi(x))\cdot \varphi'(x) = \frac{\gamma'(\varphi(x))}{\norm{\gamma'(\varphi(x))}}.\] Also erhalten wir $\norm{\beta'(x)} = 1\;\forall x\in [0,S(\gamma)]$ und damit $S\left(\beta|_{[0,x]}\right) = \int_0^x \norm{\beta'(s)}\d s = x$. |
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\end{proof} |
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\end{enumerate} |
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\end{bem} |
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\end{document} |
