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ana1.tex

@@ -93,7 +93,7 @@
     $\forall \epsilon > 0$, $\exists N = N(\epsilon)$, $\forall n \ge N$ gilt
     \[
         \text{graph}(f_n) \subset \epsilon\text{-Umgebung von Graphen von } f
-        := \{ (x, y) \in D \times \R  \mid | y - f(x)| < \epsilon\} 
+        \coloneqq \{ (x, y) \in D \times \R  \mid | y - f(x)| < \epsilon\} 
     .\] 
     \begin{figure}[ht!]
         \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
@@ -138,7 +138,7 @@
 \end{bem}
 
 \begin{bsp}
-    $f_n\colon [0,2] \to \R$, $f_n(x) := \frac{1}{n} \sin \left( 2\pi n \cdot x \right) $ konvergiert
+    $f_n\colon [0,2] \to \R$, $f_n(x) \coloneqq \frac{1}{n} \sin \left( 2\pi n \cdot x \right) $ konvergiert
     gleichmäßig gegen $f(x) = 0$.
     \[
         | \sin(2 \pi n \cdot x) | \le 1 \quad \forall x \in R \implies
@@ -188,7 +188,7 @@
     Es sei $D$ ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall $I = [a,b]$ und
     $f\colon [a,b] \to \R$ (oder $\mathbb{C}$) stetig. Dann
     \[
-        \Vert f \Vert_\infty := \max \{ |f(x)|  \mid  x \in [a,b]\} 
+        \Vert f \Vert_\infty \coloneqq \max \{ |f(x)|  \mid  x \in [a,b]\} 
     .\] Das Maximum existiert wegen der Stetigkeit des Absolutbetrags und weil $[a,b]$ beschränkt und
     abgeschlossen ist.
 \end{definition}
@@ -240,7 +240,7 @@
                 \forall n,m \ge N_0 \quad \forall x \in [a,b]
             .\] $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ ist eine Cauchy-Folge in $\R$.\\
             $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ konvergiert \\
-            $\implies$ Definiere $f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x)$, $x \in [a,b]$.
+            $\implies$ Definiere $f(x) \coloneqq \lim_{n \to \infty} f_n(x)$, $x \in [a,b]$.
 
             Dann gilt $\forall n \ge N_0$, $\forall x \in [a,b]$:
             \[
@@ -262,7 +262,7 @@
 \begin{definition}
     Der Funktionenraum $C[a,b]$ definiert durch
     \[
-        C[a,b] := \{ f \colon [a,b] \to \R  \mid f \text{ stetig }\}
+        C[a,b] \coloneqq \{ f \colon [a,b] \to \R  \mid f \text{ stetig }\}
     ,\] ist mit $\Vert f \Vert_\infty$ ein normierter Vektorraum.
 \end{definition}
 
@@ -306,7 +306,7 @@ Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^
     $\sum_{n=0}^{\infty} f_n$ konvergiere gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. die Folge der Partialsummen
     $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ sei gleichmäßig konvergent. Dann gilt:
     \[
-        f(x) := \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \quad \forall x \in [a,b]
+        f(x) \coloneqq \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \quad \forall x \in [a,b]
     .\] ist stetig und Riemann-integrierbar und
     \begin{align*}
         \int_{a}^{b} f(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \\

ana13.tex

@@ -11,7 +11,7 @@
 				\begin{salign*}
 					f(x+h) - f(x) = \int_{0}^{1} \dv{}{s} f(x+sh) \d{s} &\stackrel{\text{Kettenregel}}{=}  \int_{0}^{1} f'(x+sh) \cdot h \d{s} \\ &= \left( \int_{0}^{1} f'(x+sh) \d{s} \right) \cdot h.
 				\end{salign*}
-.		\item 	Mittelwertsatz der Differentialrechnung: $\exists \tau \in (0,1)$ sodass:
+		\item 	Mittelwertsatz der Differentialrechnung: $\exists \tau \in (0,1)$ sodass:
 				\begin{salign*}
 					f(x+h) - f(x) = f'(x+ \tau h) \cdot h.
 				\end{salign*}
@@ -22,7 +22,7 @@
 	\end{enumerate}
 \end{bem}
 \begin{satz}[Mittelwertsatz]
-	Seien $D \in \R^{n}$ offen, $f: D \to \R$ stetig differenzierbar, sei $x \in D$ und $h \in \R^{n}$ sodass $x + sh \in D$, für $s \in [0,1]$. Dann gilt:
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R$ stetig differenzierbar, sei $x \in D$ und $h \in \R^{n}$ sodass $x + sh \in D$, für $s \in [0,1]$. Dann gilt:
 	\begin{salign*}
 		f(x+h) - f(x) = \left( \int_{0}^{1} \nabla f(x+sh) \d{s}, h \right)_{2} = \left( \int_{0}^{1} \nabla f(x+sh) \d{s}\right)^{T} \cdot h.
 	\end{salign*}	 	
@@ -32,9 +32,9 @@
 	\end{salign*}
 \end{satz}
 \begin{proof}
-	Sei $f: D \to \R^{m}$. Sei $g_{j}\colon [0,1] \to \R ,g_{j}(s) \coloneqq f_{j}(x+sh)$. Dann gilt:
+	Sei $f: D \to \R^{m}$. Sei $g_{j}\colon [0,1] \to \R ,\ g_{j}(s) \coloneqq f_{j}(x+sh)$. Dann gilt:
 	\begin{salign*}
-		f_{j}(x+h) - f_{j}(x) = g_{j}(1) - g_{j}(0) & \ \ \stackrel{\text{MWS}}{=} \ \ \int_{0}^{1} g_{j}'(s) \d{s}  \ \ \ \ \stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \ \ \ \ \int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n} \pdv{f_j}{x_{i}}(x+sh) \cdot h_{i} \d{s}.
+		f_{j}(x+h) - f_{j}(x) = g_{j}(1) - g_{j}(0) & \overset{\text{HDI}}{=} \int_{0}^{1} g_{j}'(s) \d{s} \overset{\text{Kettenregel}}{=} \int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n} \pdv{f_j}{x_{i}}(x+sh) \cdot h_{i} \d{s}.
 	\end{salign*}
 	Ist $m = 1$, so gilt:
 	\begin{salign*}
@@ -50,7 +50,7 @@
 	\begin{salign*}
 		f(x+h) - f(x) = \int_{0}^{1} \left( \nabla^{T} f(x+sh) \cdot h \right)\d{s} = \nabla^{T} f(x+\tau h) \cdot h.
 	\end{salign*}
-	Für $m \geq 2$ im Allgemeinen aber (da $\tau \in [0,1]$ nicht für alle Komponenten gleich gewählt werden kann):
+	Für $m \geq 2$ im Allgemeinen aber nicht (da $\tau \in [0,1]$ nicht für alle Komponenten gleich gewählt werden kann):
 	\begin{salign*}
 		f(x+h) - f(x) \neq J_{f}(x + \tau h) \cdot h.
 	\end{salign*}
@@ -75,10 +75,10 @@
 \end{proof}
 \begin{definition}
 	$D \subset \mathbb{K}^{n}$ heißt \underline{konvex}, genau dann wenn: für alle $x,x' \in D$ und für alle $\lambda \in [0,1]$ gilt $\lambda \cdot x + (1-\lambda)x' \in D$. \\
-	Geometrisch: für zwei Punkte in $D$ liegt die Verbindungsstrecke der beiden Punkte stets ganz in $D$.
+	Geometrisch: Für zwei Punkte in $D$ liegt die Verbindungsstrecke der beiden Punkte stets ganz in $D$.
 \end{definition}
 \begin{korollar}
-	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R^{n}$ stetig differenzierbar. Sei $x \in D$ und $\varepsilon > 0$ sodass $K_{\varepsilon}(x) \subset D$. Dann gilt:
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R^{m}$ stetig differenzierbar. Sei $x \in D$ und $\varepsilon > 0$ sodass $K_{\varepsilon}(x) \subset D$. Dann gilt:
 	\begin{salign*}
 		\norm{f(y) - f(x)}_{2} \leq M \cdot \norm{y-x}_{2} \ \ \ \ \ \forall y \in K_{\varepsilon}
 	\end{salign*}
@@ -97,7 +97,7 @@
 	Sei $D$ nun konvex. Für $x,y \in D$ gilt dann: $$z = ty + (1-t)x = x + t(y-x) \in D, \ \ \ \ \ t \in [0,1].$$
 	Sei $g(t) \coloneqq f(x+ t(y-x))$ für $t \in [0,1]$. Dann gilt für $i \in \{1,...,m\}$:
 	\begin{salign*}
-		f_{i}(y) - f_{i}(x) = g_{i}(1) - g_{i}(0) = \int_{0}^{1} g_{i}'(s) \d{s} = \int_{0}^{1} \sum_{j=1}^{n} \pdv{f_{i}(x+s(y-x))}{x_{j}}(y_{i}-x_{i}) \d{s}.
+		f_{i}(y) - f_{i}(x) = g_{i}(1) - g_{i}(0) = \int_{0}^{1} g_{i}'(s) \d{s} = \int_{0}^{1} \sum_{j=1}^{n} \pdv{f_{i}(x+s(y-x))}{x_{j}}(y_{j}-x_{j}) \d{s}.
 	\end{salign*}
 	Und damit in Vektorform:
 	\begin{salign*}
@@ -110,7 +110,7 @@
 	\end{salign*}	
 \end{proof}
 \begin{bem}
-	Obige Lipschitz-Konstante liefert eine Abschätzung für die Ableitungen/Jacobi-Matrix von $f$. 
+	Obige Lipschitz-Konstante liefert eine Abschätzung für die Ableitungen / Jacobi-Matrix von $f$. 
 \end{bem}
 
 \section{Taylor-Entwicklung}
@@ -129,8 +129,8 @@
 					&\Longleftrightarrow \ \ \ f \ \text{ist total differenzierbar in} \ D \ \text{und} \ x \mapsto J_{f}(x) = (\partial_{i}f_{k})_{i,k} \ \text{stetig}
 				\end{salign*}
 		\item 	Ist $f \in C^{k}(D,\R^{m})$, dann sind die Ableitungen der $k-1$-ten Ordnung $\partial_{i_{k-1}}...\partial_{i_{1}}f: D \to \R^{m}$ total differenzierbar, weil stetig partiell differenzierbar. Also ist $\partial_{i_{k-1}}...\partial_{i_{1}}f$ stetig und damit sind alle Ableitungen $k-1$-ter Ordnung stetig. Ananolg folgt induktiv, dass alle Ableitungen $j$-ter Ordnung mit $j\leq k$ stetig auf $D$ sind.
-		\item 	Seien $D \subset \R^{m}$ offen, $f: D \to \R^{m}$. Existieren $\partial_{i}f, \partial_{j}f$ und $\partial_{j}\partial_{i}f$ auf $D$ \ ($i,j \in \{1,...,n\}$) \ und $\partial_{j}\partial_{i}f$ stetig in $a \in D$. Dann existiert $\partial_{i}\partial_{j}f$ und es gilt $$ \partial_{i}\partial_{j}f(a) = \partial_{j}\partial_{i}f(a).$$
+		\item 	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R^{m}$. Existieren $\partial_{i}f, \partial_{j}f$ und $\partial_{j}\partial_{i}f$ auf $D$ \ ($i,j \in \{1,...,n\}$) \ und $\partial_{j}\partial_{i}f$ stetig in $a \in D$. Dann existiert $\partial_{i}\partial_{j}f$ und es gilt $$ \partial_{i}\partial_{j}f(a) = \partial_{j}\partial_{i}f(a).$$
-		\item 	Seien $D \subset \R^{m}$ und $f \in C^{k}(D, \R^{m})$. Sei $\pi \in \mathcal{S}_{k}$ eine Permutation, dann gilt: $$ \partial_{i_{k}}...\partial_{i_{1}}f = \partial_{i_{\pi(k)}}...\partial_{i_{\pi(1)}}f, \ \ \ \ \ \ \ \forall i_{1},...,i_{k} \in \{1,...,n\}.$$
+		\item 	Seien $D \subset \R^{n}$ und $f \in C^{k}(D, \R^{m})$. Sei $\pi \in \mathcal{S}_{k}$ eine Permutation, dann gilt: $$ \partial_{i_{k}}...\partial_{i_{1}}f = \partial_{i_{\pi(k)}}...\partial_{i_{\pi(1)}}f, \ \ \ \ \ \ \ \forall i_{1},...,i_{k} \in \{1,...,n\}.$$
 	\end{enumerate}
 	Reminder - Taylor-Entwicklung in $\R$:
 	\begin{enumerate}[(1)]

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@@ -12,7 +12,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
     $\text{Im}(f)$ Riemann-integrierbar sind.
     Man setzt
     \[
-        \int_{a}^{b} f(x) \d x := \int_{a}^{b} \text{Re} f(x) \d x + i \int_{a}^{b} \text{Im} f(x) \d x 
+        \int_{a}^{b} f(x) \d x \coloneqq \int_{a}^{b} \text{Re} f(x) \d x + i \int_{a}^{b} \text{Im} f(x) \d x 
     .\] 
 
 \end{definition}
@@ -39,10 +39,10 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
         \item in jeder dieser Unstetigkeitsstellen $\xi \in [a,b]$ die links- bzw.
             rechtsseitigen Grenzwerte
             \[
-                f(\xi_{\pm} := \lim_{h \searrow 0} f(\xi \pm h)
+                f(\xi_{\pm}) \coloneqq \lim_{h \searrow 0} f(\xi \pm h)
             .\] existieren. Für $\xi \in (a,b)$ wird
             \[
-                f(\xi) := \frac{f(\xi_{-} + f(\xi_{+})}{2}
+                f(\xi) \coloneqq \frac{f(\xi_{-}) + f(\xi_{+})}{2}
             .\] gesetzt.
     \end{enumerate}
 \end{definition}
@@ -57,7 +57,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
 \begin{definition}
     Wir definieren
     \[
-        (f, g) := \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} \d x \qquad (\text{,,Sesquilinearform``})
+        (f, g) \coloneqq \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} \d x \qquad (\text{,,Sesquilinearform``})
     .\] Dies ist wohldefiniert da für $f, g \in R[a,b]$ das Produkt $f(x) \cdot \overline{g(x)} \in R[a,b]$ ist.
 \end{definition}
 
@@ -113,7 +113,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
             \[
                 0 \le (f + \alpha g, f + \alpha g) = (f,f) + \alpha(g,f) + \overline{\alpha}(f,g)
                 + \alpha \cdot \overline{\alpha}(g,g)
-            .\] Setze $\alpha := - \frac{(f,g)}{(g,g)} = - \frac{\overline{(g,f)}}{(g,g)}$. Dann gilt
+            .\] Setze $\alpha \coloneqq - \frac{(f,g)}{(g,g)} = - \frac{\overline{(g,f)}}{(g,g)}$. Dann gilt
             \begin{align*}
                 0 &\le (f,f) - \frac{(f,g) \cdot (g, f)}{(g,g)} - \frac{(g, f) \cdot (f,g)}{(g,g)}
                 + \frac{(f,g)(g,f)(g,g)}{(g,g)(g,g)} \\
@@ -128,7 +128,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
 \begin{definition}[$L^2$-Norm]
     Das $L^2$-Skalarprodukt $(\cdot , \cdot )$ induziert die $L^2$-Norm auf $R[a,b]$ mit
     \[
-        \Vert f \Vert = \Vert f \Vert_{L^2} := (f,f)^{\frac{1}{2}} = \left(\int_{a}^{b} f \cdot \overline{f} \d x\right)^{\frac{1}{2}}
+        \Vert f \Vert = \Vert f \Vert_{L^2} \coloneqq (f,f)^{\frac{1}{2}} = \left(\int_{a}^{b} f \cdot \overline{f} \d x\right)^{\frac{1}{2}}
     .\] 
 \end{definition}
 
@@ -170,7 +170,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
                 \Vert f_n - f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0
                 \implies \Vert f_n - f \Vert_{L^2} \xrightarrow{n \to \infty} 0
             .\] 
-            Die Umkehrung gilt i.A. nicht! Beispiel: $f_n(x) := x^{n}$, $x \in [-1, 1]$
+            Die Umkehrung gilt i.A. nicht! Beispiel: $f_n(x) \coloneqq x^{n}$, $x \in [-1, 1]$
             \begin{figure}[h!]
                 \centering
                 \begin{tikzpicture}
@@ -249,11 +249,11 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
 \begin{satz}
     Die trigonometrischen Funktionen, für $k, l \in \N$
     \begin{align*}
-        c_k(x) &:= \begin{cases}
+        c_k(x) &\coloneqq \begin{cases}
             1 & k = 0 \\
             \cos(k x) & \text{sonst}
         \end{cases} \\
-        s_l(x) &:= \sin (l x)
+        s_l(x) &\coloneqq \sin (l x)
     \end{align*} bilden auf $R[a,b]$ bezüglich des $L^2$-Skalarprodukts ein
     Orthogonalsystem und es gilt
     \begin{align*}
@@ -261,7 +261,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
         &\int_{0}^{2\pi} c_k(x) c_l(x) \d x = \pi \delta_{kl} \\
         &\int_{0}^{2\pi} s_k(x) s_l(x) \d x = \pi \delta_{kl}
     \intertext{Hier sei}
-    &\delta_{kl} := \begin{cases}
+    &\delta_{kl} \coloneqq \begin{cases}
         1 & k = l \\
         0 & k \neq l
     \end{cases} \qquad \text{Kroneckersymbol}

ana4.tex

@@ -48,9 +48,9 @@
 \begin{definition}
 	(normierter Raum) Sei $V$ irgendein Vektorraum über $\K$ ($\K = \R$ oder $\K = \C$). Eine Abbildung $\norm{\cdot}: V \to \R$ heißt Norm (auf V), wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 
 	\begin{enumerate}[N1]
-		\item 	(Definitheit) $\norm{x} \geq 0$, $\norm{x} = 0 \Leftrightarrow x=0$.
+		\item 	(Definitheit) $\norm{x} \geq 0$, $\norm{x} = 0 \Leftrightarrow x=0$. \label{def:N1}
-		\item 	(Homogenität) $\norm{ \alpha x} = |\alpha| \cdot \norm{x}, \alpha \in \K$.
+		\item 	(Homogenität) $\norm{ \alpha x} = |\alpha| \cdot \norm{x}, \alpha \in \K$. \label{def:N2}
-		\item 	(Dreiecksungleichung) $\norm{x+y} \leq \norm{x} + \norm{y}$.
+		\item 	(Dreiecksungleichung) $\norm{x+y} \leq \norm{x} + \norm{y}$. \label{def:N3}
 	\end{enumerate}
 	Das Paar $(V, \norm{\cdot})$ heißt normierter Raum.
 \end{definition}

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@@ -81,9 +81,9 @@
 \begin{definition}[Inneres, Abschluss]
     Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$
     \begin{itemize}\vspace*{-3mm}
-        \item Die Menge $M^{\circ} := M \setminus \partial M$ heißt das
+        \item Die Menge $M^{\circ} \coloneqq M \setminus \partial M$ heißt das
             \underline{Innere} von $M$.
-        \item Die Menge $\overline{M} := M \cup \partial M$ heißt
+        \item Die Menge $\overline{M} \coloneqq M \cup \partial M$ heißt
             der \underline{Abschluss} von $M$.
     \end{itemize}\vspace*{-3mm}
 \end{definition}
@@ -162,7 +162,7 @@
         \item Sei
             \[
                 \left( x^{(k)}\right)_{k \in \N} \subset \mathbb{K}^{n}, x^{(k)} \xrightarrow{k \to \infty} x
-            .\] Dann ist $A := \{ x^{(k)}  \mid  k \in \N\} \cup {x}$ kompakt.
+            .\] Dann ist $A \coloneqq \{ x^{(k)}  \mid  k \in \N\} \cup {x}$ kompakt.
         \item $]0,1[$ ist nicht kompakt, denn $\left( \frac{1}{2k} \right)_{k \in \N} \subset ]0,1[$,
             $\frac{1}{2k} \xrightarrow{k \to \infty} 0$.
 
@@ -270,14 +270,14 @@
         Wir zerlegen jedes $I_i$ in 2 abgeschlossene Intervalle mit halber Länge
         $I_i^{(1)}$ und $I_i^{(2)}$ und setzen für $(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}$
         \[
-            Q_m^{s_1, \ldots, s_n} := I_1^{(s_1)} \times \ldots \times I_n^{(s_n)}
+            Q_m^{s_1, \ldots, s_n} \coloneqq I_1^{(s_1)} \times \ldots \times I_n^{(s_n)}
         .\] Wir erhalten $2^{n}$ Würfel mit
         \[
-            Q_m := \bigcup_{(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}} Q_m^{(s_1, \ldots, s_n)}
+            Q_m \coloneqq \bigcup_{(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}} Q_m^{(s_1, \ldots, s_n)}
         .\] Da $M \cap Q_m$ nicht von endlich vielen $U_{i_k}$ überdeckt wird, gilt dies
         auch für einen Würfel
         \[
-            Q_{m+1} := Q_m^{(s_1, \ldots, s_n)}
+            Q_{m+1} \coloneqq Q_m^{(s_1, \ldots, s_n)}
         .\] Es gilt für die Kantenlänge $(Q_{m+1})$ = $\frac{1}{2}$ Kantenlänge $(Q_m)$ = $2^{-(m+1)} L$.
 
         Für $k \in \N$ wähle $x^{(k)} \in Q_k \cap M$. Damit ist $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$ eine

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@@ -88,16 +88,18 @@ Weitere Begriffe und Eigenschaften
     \end{itemize}
 \end{itemize}
 \begin{bsp}
-    $\norm{A}_F = \left(\sum_{j, k = 1}^{n}|a_{jk}|^2   \right)^{\frac{1}{2}}$ heißt \textbf{Frobenius}-Norm. Sie ist verträglich mit $\norm{\cdot}_2$ in $\K^n$ und submultiplikativ, aber keine natürliche Matrixnorm, weil $\norm{\mathbb{I}}_F = \sqrt{n} \neq 1$ für $n \geq 2$.
+    $\norm{A}_F = \left(\sum_{j, k = 1}^{n}|a_{jk}|^2   \right)^{\frac{1}{2}}$ heißt \underline{Frobenius}-Norm. Sie ist verträglich mit $\norm{\cdot}_2$ in $\K^n$ und submultiplikativ, aber keine natürliche Matrixnorm, weil $\norm{\mathbb{I}}_F = \sqrt{n} \neq 1$ für $n \geq 2$.
 \end{bsp}
 \begin{lemma}[Natürliche Matrixnormen]
     Die natürliche Matrixnormen zu $\norm{\cdot}_\infty$ ($\ell_\infty$ / Maximumnorm) und $\norm{\cdot}_1$ ($\ell_1$-Norm) in $\K^n$ sind
-    $$\norm{A}_\infty \coloneqq \max\limits_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}|\qquad \text{Maximale Zeilen-Summen-Norm}$$
+    \begin{align*}
-    $$\norm{A}_\infty \coloneqq \max\limits_{1 \leq j \leq n} \sum_{i = 1}^{n}|a_{ij}|\qquad \text{Maximale Spalten-Summen-Norm}$$
+        \norm{A}_\infty &\coloneqq \max\limits_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}| \qquad \text{Maximale Zeilen-Summen-Norm} \\
+        \norm{A}_1 &\coloneqq \max\limits_{1 \leq j \leq n} \sum_{i = 1}^{n}|a_{ij}| \qquad \text{Maximale Spalten-Summen-Norm}
+    \end{align*}
 \end{lemma}
 \begin{proof}
     \begin{enumerate}
-        \item Matrixnorm $\norm{\cdot}_\infty$ ist eine Norm (d.h. erfüllt Normeigenschaften (N1), (N2) und (N3))
+        \item Matrixnorm $\norm{\cdot}_\infty$ ist eine Norm (d.h. erfüllt Normeigenschaften (\ref{def:N1}), (\ref{def:N2}) und (\ref{def:N3}))
         \item Z.z. Verträglichkeit
         $$\norm{Ax}_\infty\! = \max\limits_{1 \leq i \leq n} \left| \sum_{j = 1}^{n}a_{ij}x_j\right| \leq \max\limits_{1 \leq i \leq n}\left(\sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}| \cdot |x_j|\right)\! \leq \norm{x}_\infty \cdot \max_{1\leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} |a_{ij}| = \norm{x}_\infty \cdot \norm{A}_\infty$$
         $\implies$ Verträglichkeit mit $\norm{\cdot}_\infty$
@@ -160,7 +162,7 @@ Weitere Begriffe und Eigenschaften
         $\lambda_i \ge 0$ reell.
 
         Sei $y = \bar{U}^{T}x = U^{-1}x \implies x = Uy$. Damit folgt
-        mit $|\lambda_{max}| := \max \{ |\lambda_i|  \mid \lambda_i \in \sigma(\bar{A}^{T}A)\} $
+        mit $|\lambda_{max}| \coloneqq \max \{ |\lambda_i|  \mid \lambda_i \in \sigma(\bar{A}^{T}A)\} $
         \begin{align*}
             \Vert A \Vert_2^2 &= \sup_{\Vert x \Vert_2 = 1} (x, \bar{A}^{T}Ax)_2 \\
             &= \sup_{\Vert Uy \Vert_2 = 1} (\underbrace{Uy}_{= x}, \bar{A}^{T}A\underbrace{Uy}_{= x})_2 \\

analysisII.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\documentclass[titlepage]{lecture}
+\documentclass{lecture}
 
 \usepackage{standalone}
 \usepackage{tikz}

lecture.cls

@@ -28,6 +28,7 @@
 \RequirePackage{stackrel}
 
 \usetikzlibrary{quotes, angles}
+\pgfplotsset{compat=1.16} % or \pgfplotsset{compat=newest}
 
 \geometry{
     bottom=35mm