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ana1.tex

@@ -299,7 +299,7 @@ Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^
     .\] 
 \end{proof}
 
-\begin{satz}
+\begin{satz}\label{permutesumint}
     Seien $f_n \colon [a,b] \to \R$ stetige Funktionen $(n \in \N)$ und die Reihe
     $\sum_{n=0}^{\infty} f_n$ konvergiere gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. die Folge der Partialsummen
     $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ sei gleichmäßig konvergent. Dann gilt:

ana3.tex

@@ -3,7 +3,6 @@
 \begin{document}
 \newcommand{\K}{\mathrm{K}}
 \newcommand{\qnorm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert^2}
-\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert}
 \section{Fourier-Entwicklung}
 \begin{definition}[Periodische Funktionen]
     $f: \R \to \K$ heißt $L$-periodisch $(L >0)$ falls $f(x+L) = f(x)$, $\forall x \in \R (\implies f(x+kL) = f(x),\; \forall k\in \Z)$.
@@ -13,7 +12,7 @@
     $$\tilde{f}(x) \coloneqq f\left(\frac{L}{2\pi}x\right) \implies f(x) = \tilde{f} \left(\frac{2\pi}{L}x\right)$$
     $$\tilde{f}(x + 2\pi) = f\left(\frac{L}{2\pi}(x + 2\pi)\right) = f\left(\frac{L}{2\pi}x + L\right) \overset{f\; L\text{-per}}{=} f\left(\frac{L}{2\pi}x\right) = \tilde{f}$$
 \end{bsp}
-Hier betrachten wir deshalb nur $2\pi$-periodische Funktionen $f: \R \to \K$. Weiterhin betrachen wir Funktionen $f:[0, 2\pi]\to \K$, $fin R[0,2\pi]$, $2\pi$-periodisch.
+Hier betrachten wir deshalb nur $2\pi$-periodische Funktionen $f: \R \to \K$. Weiterhin betrachen wir Funktionen $f:[0, 2\pi]\to \K$, $f\in R[0,2\pi]$, $2\pi$-periodisch.
 \begin{bsp}[\underline{Trigonometrische Polynome}]
     Für $a_k, b_k \in \C$ betrachte 
     \begin{align*}
@@ -64,7 +63,7 @@ Frage: Hat jede $2\pi$-periodische Funktion die Form $\sum_{k = -n}^{n}c_ke^{ixk
     Die (formale) \underline{Fourier-Reihe} von $f$ ist $$\sum_{k = -\infty}^{\infty}c_k e^{ikx}$$ mit der n-ten Partialsumme $$s_n(x) = s_n(f,x) \coloneqq \sum_{k = -n}^{n}c_ke^{ikx}.$$ Die Fourier-Reihe läßt sich in der Form schreiben
     $$\frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty}(a_k\cos(kx) + b_k \sin(kx))$$ wobei \begin{align*}
         a_k &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \cos(kx) \d x\\
-        b_k &= \frac{1}{\pi} \int_0^{1\pi} f(x) \sin(kx)\d x
+        b_k &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \sin(kx)\d x
     \end{align*}
 \end{definition}
 \begin{satz}
@@ -156,7 +155,7 @@ $$F_n(x) = \int_\pi^x \frac{1}{2 \sin\left(\frac{y}{2}\right)} \cdot \sin\left(\
     \begin{align*}
         \frac{(x - \pi)^2}{4} - \frac{(y-4)^1}{4} &= \int_y^x \frac{t-\pi}{2}\d t\\
         &\stackrel{\ref{HilfslemmaC}}{=} -\int_y^x \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\sin(kt)}{k} \d t\\
-        &\stackrel{\text{glm. Konv.}}{\stackrel{\text{Satz reference 1.3.2}}{=}} \qquad - \sum_{k = 1}^{\infty}\int_y^x\frac{\sin(kt)}{k}\d t\\
+        &\stackrel{\text{glm. Konv.}}{\stackrel{\text{Satz \ref{permutesumint}}}{=}} \qquad - \sum_{k = 1}^{\infty}\int_y^x\frac{\sin(kt)}{k}\d t\\
         &= \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\cos(kx)}{k^2} - \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\cos(ky)}{k^2}\\
     \end{align*}
     $$\xRightarrow{y \text{ fest}} \frac{(x-\pi)^2}{4}  =\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\cos(kx)}{k^2} + C\quad \forall x\in (0, 2\pi), C \text{ konst}$$
@@ -239,7 +238,7 @@ $$F_n(x) = \int_\pi^x \frac{1}{2 \sin\left(\frac{y}{2}\right)} \cdot \sin\left(\
 \end{proof}
 \begin{satz}
     Sei $f\in R[0,2\pi]$ eine $2\pi$-periodische Treppenfunktion. Dann konvergiert die Fourier-Reihe von $f$ im quadratischen Mittel gegen $f$ und es gilt die Parsevalsche Gleichung (sog. Vollständigkeitsrelation)
-    $$2 \pi \underbrace{\int_0^{2\pi} |f(x)|^2\d x}_{=\qnorm{f}} = \sum_{k = -\infty}^{\infty}|c_k|^2$$
+    $$\frac{1}{2\pi} \underbrace{\int_0^{2\pi} |f(x)|^2\d x}_{=\qnorm{f}} = \sum_{k = -\infty}^{\infty}|c_k|^2$$
 \end{satz}
 \begin{proof}
     O.B.d.A. sei $f$ reellwertig (sonst werden Real- und Imaginärteil getrennt behandelt) und $|f(x)| \leq 1 \forall x\in [0, 2\pi]$ (sonst betrachte $\overline{f}(x) \coloneqq \frac{f(x)}{M},\; M = \sup\limits_{x\in [0, 2\pi]} |f(x)|$).

lecture.cls

@@ -21,6 +21,7 @@
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@@ -137,3 +138,6 @@
 
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