added homotopie figure

ana1.tex

@@ -33,7 +33,7 @@
             $0 < x \le 2$: $\forall n \ge \frac{2}{x}$, $f_n(x) = 0 = f(x)$
         \item $f_n(x) = x^{n}$, $f_n\colon [0,1] \to \R$.
             \begin{figure}[ht!]
-                \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
+                \begin{tikzpicture}[scale = 0.95]
                     \begin{axis}%
                         [grid=both,
                          minor tick num=4,
@@ -50,7 +50,7 @@
                         \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^4};
                       \end{axis}
                 \end{tikzpicture}
-                \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
+                \begin{tikzpicture}[scale = 0.95]
                     \begin{axis}%
                         [grid=both,
                          minor tick num=4,
@@ -61,7 +61,7 @@
                          ymax=1,
                          ymin=0
                         ]
-                        \addplot[domain=0:1.1,samples=1000,smooth,red] {(and(x>=0  , x<1)   * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
+                        \addplot[domain=0:1.001,samples=1000,red] {(and(x>=0  , x<1)   * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
                       \end{axis}
                 \end{tikzpicture}
                 \caption{$f_n(x) = x^{n}$ und ihre Grenzfunktion}
@@ -96,7 +96,7 @@
         \coloneqq \{ (x, y) \in D \times \R  \mid | y - f(x)| < \epsilon\} 
     .\] 
     \begin{figure}[ht!]
-        \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
+        \begin{tikzpicture}[scale = 0.95]
             \begin{axis}%
                 [grid=both,
                  minor tick num=4,
@@ -113,7 +113,7 @@
                 \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.3};
               \end{axis}
         \end{tikzpicture}
-        \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
+        \begin{tikzpicture}[scale = 0.95]
             \begin{axis}%
                 [grid=both,
                  minor tick num=4,
@@ -124,10 +124,10 @@
                  ymax=1,
                  ymin=-0.4,
                 ]
-                \addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3};
+                \addplot[domain=0:1.001,samples=1000,red] {(and(x>=0  , x<1)   * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
-                \addplot[domain=0:1.001,samples=1000,smooth,red] {(and(x>=0  , x<1)   * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
                 \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,blue] {x^8};
-                \addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {-0.3};
+                \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3};
+                \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {-0.3};
               \end{axis}
         \end{tikzpicture}
         \caption{Links: ,,$\epsilon$-Schlauch``, Rechts: \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (b) nicht gleichmäßig konvergent}

ana2.tex

@@ -62,7 +62,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[Skalarprodukt]
-    Sei $V$ Vektorraum über $\mathbb{K}$. Die Abbildung $<\cdot, \cdot >\colon V \times V \to \mathbb{K}$
+    Sei $V$ Vektorraum über $\mathbb{K}$. Die Abbildung $\langle\cdot, \cdot \rangle\colon V \times V \to \mathbb{K}$
     heißt Skalarprodukt auf $V$, falls $\forall u, v, w \in V$ und $\alpha \in \mathbb{K}$ gilt:
     \begin{enumerate}[(S1)]
         \item $\langle v, u\rangle = \overline{\langle u, v\rangle}$ (Symmetrie,
@@ -150,7 +150,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
 
 \begin{definition}[Konvergenz im Quadratischen Mittel ($L^2$-Konvergenz)]
     Seien $f_n \in R[a,b], n \in \N, f \in R[a,b]$. $f_n$ konvergiert gegen $f$ im Quadratischen
-    Mittel $f_n \xrightarrow[L^2]{n \to \infty}$, wenn gilt
+    Mittel $f_n \xrightarrow[L^2]{n \to \infty}f$, wenn gilt
     \[
         \Vert f_n - f \Vert_{L^2} \xrightarrow{n \to \infty} 0
     .\] Das heißt, dass die quadratische Abweichung zwischen $f_n$ und $f$ gegen Null konvergiert:

ana20.tex

@@ -199,7 +199,7 @@
             \left.\gamma\right|_{[s_{i-1}, s_i]} \in C^1([s_{i-1},s_i], \R^n),\quad \forall i = 1, \dots, M.  
         \]
         Dann ist $\gamma$ rektifizierbar und hat die Länge \[S(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}_2\d t = \sum_{i = 1}^{M}\int_{s_{i-1}}^{s_i} \norm{\gamma'(t)}_2 \d t.\]
-        Insbesondere hat der Graph einer $C_1$-Funktion $f\in C^1([a,b], \R), \ \gamma_f(t)\coloneqq (t, f(t))^T$ die Länge \[S(\gamma_f) = \int_a^b \sqrt{1 + f'(t)^2} \d t.\]
+        Insbesondere hat der Graph einer $C^1$-Funktion $f\in C^1([a,b], \R), \ \gamma_f(t)\coloneqq (t, f(t))^T$ die Länge \[S(\gamma_f) = \int_a^b \sqrt{1 + f'(t)^2} \d t.\]
      \end{satz}
      \begin{proof}
          Sei $\mathcal{Z} = \{t_0, \dots, t_N\}$ eine Partition, betrachte $\mathcal{Z}^* = \mathcal{Z} \cup \{s_0,\dots, s_M\} = \{x_0,\dots, x_K\}$. Dann gilt

ana21.tex

@@ -219,8 +219,8 @@
     Dann ist $\gamma$ ein geschlossener Integrationsweg, also folgt
     \begin{salign*}
         0 &= \int_{\gamma}^{} F \\
-        &= \int_{-1}^{0} (F(\gamma_1(t)), \gamma_1'(t)) \d t + \int_{0}^{1} (F(\gamma_2(-t), - \gamma_2'(-t)) \d t \\
+        &= \int_{-1}^{0} (F(\gamma_1(t)), \gamma_1'(t)) \d t + \int_{0}^{1} (F(\gamma_2(-t)), - \gamma_2'(-t)) \d t \\
-        &\stackrel{s \coloneqq -t}{=} \int_{\gamma_1}^{} F + \int_{0}^{-1} (F(\gamma_2(s)), \gamma_2'(s) \d s \\
+        &\stackrel{s \coloneqq -t}{=} \int_{\gamma_1}^{} F + \int_{0}^{-1} (F(\gamma_2(s)), \gamma_2'(s)) \d s \\
         &= \int_{\gamma_1}^{} F - \int_{\gamma_2}^{} F  
     .\end{salign*}
 
@@ -256,7 +256,7 @@
         \int_{\gamma} F = \varphi(x) - \varphi(x_0)
     .\] Damit folgt
     \[
-        \varphi(x) - \varphi(x_0) = \varphi_0(x) \implies \varphi(x) = \varphi_0(x) + \underbrace{\varphi(x_0)}_{\text{konst}} = \varphi_0(x) + c
+        \varphi(x) - \varphi(x_0) = \varphi_0(x) \implies \varphi(x) = \varphi_0(x) + \underbrace{\varphi(x_0)}_{\text{konst.}} = \varphi_0(x) + c
     .\] 
 \end{proof}
 

ana22.tex

@@ -31,7 +31,7 @@
             .\] mit z.B. $\gamma(t) \coloneqq t \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $, $t \in [0,1]$.
             Dann gilt
             \begin{salign*}
-                \int_{\gamma} F &= \int_{0}^{1} \left( F(\gamma(t), \gamma'(t) \right)  \d t \\
+                \int_{\gamma} F &= \int_{0}^{1} \left( F(\gamma(t)), \gamma'(t) \right)  \d t \\
                 &= \int_{0}^{1} \left( \begin{pmatrix} ty \\ tx \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}  \right)  \d t \\
                 &= \int_{0}^{1} \left( t y x + tx y \right) \d t \\
                 &= \int_{0}^{1} 2 t x y  \d t \\
@@ -87,28 +87,57 @@ Die Integrabilitätsbedingungen sind nicht hinreichend.
     Kurven.
     \begin{enumerate}[(i)]
         \item Es gelte $\gamma_0(a) = A = \gamma_1(a)$ und
-            $\gamma_0(b) = B = \gamma_1(b)$. $y_0$ und $y_1$ heißen \underline{homotop} in $D$, falls
+            $\gamma_0(b) = B = \gamma_1(b)$. $\gamma_0$ und $\gamma_1$ heißen \underline{homotop} in $D$, falls
             eine stetige Abbildung $H\colon [a,b] \times [0,1] \to D$ (Homotopie) existiert, s.d.
-            $H(t, 0) = \gamma_0(t)$ und $H(t,1) = \gamma_1(t)$, $\forall t \in [a,b]$ und
+            $H(t, 0) = \gamma_0(t)$ und $H(t,1) = \gamma_1(t)$, $\forall t \in [a,b]$ sowie
             $H(a, s) = A$ und $H(b,s) = B$, $\forall s \in [0,1]$.
 
             Für $s \in [0,1]$ sind
-            $\gamma_s^{(t)} \coloneqq H(t,s)$, $t \in [a,b]$ mit $\gamma_s(a) = A$ und $\gamma_s(b) = B$
+            $\gamma_s(t) \coloneqq H(t,s)$, $t \in [a,b]$ mit $\gamma_s(a) = A$ und $\gamma_s(b) = B$
             stetige Kurven von $A$ nach $B$ in $D$. $H$ heißt stetige Deformation von $\gamma_0$ nach
             $\gamma_1$.
         \item $\gamma_0$ und $\gamma_1$ seien geschlossen. $\gamma_0$ und $\gamma_1$ heißen
-            \underline{frei homotop} in $D$ falls eine stetige Abbildung
+            \underline{frei homotop} in $D$, falls eine stetige Abbildung
-            $H\colon [a,b] \times [0,1] \to D$ mit $H(t,0) = \gamma_0(t)$, $\forall t \in [a,b]$ und
+            $H\colon [a,b] \times [0,1] \to D$ existiert mit $H(t,0) = \gamma_0(t)$ und $H(t,1) = \gamma_1(t)$, $\forall t \in [a,b]$ und
-            $H(a,s) = H(b,s)$, $\forall x \in [0,1]$ d.h. für $s \in [0,1]$ sind $\gamma_s(t) \coloneqq H(t,s)$
+            $H(a,s) = H(b,s)$, $\forall s \in [0,1]$, d.h. für $s \in [0,1]$ ist $\gamma_s(t) \coloneqq H(t,s)$
-            geschlossene Kurven in $D$.
+            eine geschlossene Kurve in $D$.
 
             $H$ heißt stetige Deformation innerhalb von $D$ der
             geschlossenen Kurve $\gamma_0$ nach der geschlossenen Kurve $\gamma_1$.
-        \item Eine geschlossene Kurve heißt zusammenziehbar in $D$, wenn sie frei homotop zu
+        \item Eine geschlossene Kurve heißt \underline{zusammenziehbar} in $D$, wenn sie frei homotop zu
             einer konstanten Kurve ist, d.h. sie sich in $D$ zu einem Punkt zusammenziehen lässt.
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
+
+\begin{figure}[ht!]
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+        \draw (0,0) -- node[left] {$s$} (0,2);
+        \draw (3,0) -- (3,2);
+        \draw[red] (0,0) -- node[below, black] {$t$} (3,0);
+        \draw[blue] (0,2) -- (3,2);
+        \draw[densely dashed] (0,0.67) -- (3,0.67);
+        \draw[densely dotted] (0,1.33) -- (3,1.33);
+        \node[below] at (0.1,0) {$a$};
+        \node[below] at (2.9,0) {$b$};
+        \node[left] at (0,0.15) {$0$};
+        \node[left] at (0,1.85) {$1$};
+
+        \draw[->] (4,1) -- node[above] {$H$} (6,1);
+
+        \draw[blue] (7,0) node[below left, black] {$A$} .. controls (8,2) .. node[sloped] {\tiny $\blacktriangleright$} (10,2) node[above right, black] {$B$};
+        \draw[red] (7,0) .. controls (9,0) .. node[sloped] {\tiny $\blacktriangleright$} (10,2);
+        \draw[densely dashed] (7,0) .. controls (8.7,0.6) .. node[sloped] {\tiny $\blacktriangleright$} (10,2);
+        \draw[densely dotted] (7,0) .. controls (8.3,1.4) .. node[sloped] {\tiny $\blacktriangleright$} (10,2);
+
+        \node[red ] at (9.5,0.5) {$\gamma_0$};
+        \node[blue] at (7.5,1.5) {$\gamma_1$};
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Stetige Deformation von $\gamma_0$ nach $\gamma_1$}
+\end{figure}
+
+
 \begin{bsp}
     \label{bsp:ellipse-und-kreis}
     Ellipse: Seien $a, b > 0$.
@@ -134,7 +163,7 @@ Die Integrabilitätsbedingungen sind nicht hinreichend.
 
 \begin{satz}[Zweiter Hauptsatz der Kurvenintegrale: Homotopieinvarianz]
     Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $F \in C^{1}(D, \R^{n})$ erfülle
-    die Integrabilitätsbedingungen und $\gamma_0, \gamma_1 \colon [a,b] \to D$ Integrationswege.
+    die Integrabilitätsbedingungen und seien $\gamma_0, \gamma_1 \colon [a,b] \to D$ Integrationswege.
 
     Sind $\gamma_0$ und $\gamma_1$ homotop in $D$ mit gemeinsamem Anfangs- und Endpunkt oder
     geschlossen und frei homotop in $D$, dann gilt