ana7 done, fixed all bad breaks and overfull boxes

ana1.tex

@@ -32,8 +32,8 @@
             $x=0$: $f_n(0) = 0 = f(0)$\\
             $0 < x \le 2$: $\forall n \ge \frac{2}{x}$, $f_n(x) = 0 = f(x)$
         \item $f_n(x) = x^{n}$, $f_n\colon [0,1] \to \R$.
-            \begin{figure}[h!]
-                \begin{tikzpicture}
+            \begin{figure}[ht!]
+                \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
                     \begin{axis}%
                         [grid=both,
                          minor tick num=4,
@@ -50,7 +50,7 @@
                         \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^4};
                       \end{axis}
                 \end{tikzpicture}
-                \begin{tikzpicture}
+                \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
                     \begin{axis}%
                         [grid=both,
                          minor tick num=4,
@@ -95,8 +95,8 @@
         \text{graph}(f_n) \subset \epsilon\text{-Umgebung von Graphen von } f
         := \{ (x, y) \in D \times \R  \mid | y - f(x)| < \epsilon\} 
     .\] 
-    \begin{figure}[h!]
-        \begin{tikzpicture}
+    \begin{figure}[ht!]
+        \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
             \begin{axis}%
                 [grid=both,
                  minor tick num=4,
@@ -113,7 +113,7 @@
                 \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.3};
               \end{axis}
         \end{tikzpicture}
-        \begin{tikzpicture}
+        \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
             \begin{axis}%
                 [grid=both,
                  minor tick num=4,
@@ -293,10 +293,12 @@ Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^
     $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f \implies f$ stetig $\implies f$ Riemann-integrierbar.
 
     Es gilt
-    \[
-        \left| \int_{a}^{b} f_n(x) dx - \int_{a}^{b} f(x) dx\right| = \left| \int_{a}^{b} (f_n(x) - f(x))dx\right|   
-        \le \int_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)| dx \le \underbrace{\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)|}_{= \underbrace{\Vert f_n - f \Vert_\infty}_{\xrightarrow{n \to \infty} 0}\underbrace{(b-a)}_{\text{beschränkt}}}
-    .\] 
+    \begin{align*}
+        \left| \int_{a}^{b} f_n(x) dx - \int_{a}^{b} f(x) dx\right| &= \left| \int_{a}^{b} (f_n(x) - f(x))dx\right|\\
+        &\le \int_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)| dx\\
+        &\le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| \cdot (a-b)\\
+        &=\underbrace{\norm{f_n - f}_\infty}_{\xrightarrow{n \to \infty} 0}\underbrace{(b-a)}_{\text{beschränkt}}.
+    \end{align*}
 \end{proof}
 
 \begin{satz}\label{permutesumint}

ana4.tex

@@ -86,19 +86,18 @@
 		&\left| x_{i}^{(k)} - x_{i} \right| \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0, i = 1,...,n.
 	\end{align*}
 	Das heißt $\lim_{n \to \infty} x_{i}^{(k)} = x_{i}$ (komponentenweise Konvergenz in $\R$ oder $\C$)
-\end{bem}
-
+\end{bem}\vspace*{-3mm}
 \begin{satz}[Satz von Cauchy und Satz von Bolzano-Weierstraß]
-    \label{satz:bolzano}
+    \label{satz:bolzano}\ \vspace*{-3mm}
 	\begin{enumerate}[1)]
-		\item 	Jede Cauchy-Folge in $K^{n}$ konvergiert, d.h. der normierte Raum $(K^{n}, \norm{\cdot}_{\infty})$ ist vollständig. Ein vollständiger normierter Raum wird Banach-Raum genannt.
+		\item 	Jede Cauchy-Folge in $K^{n}$ konvergiert, d.h. der normierte Raum $(K^{n}, \norm{\cdot}_{\infty})$ ist vollständig. Ein vollständiger normierter Raum wird Banach-Raum genannt. \vspace*{-2mm}
 		\item 	Jede beschränkte Folge in $K^{n}$ besitzt eine konvergente Teilfolge.
-	\end{enumerate}
+	\end{enumerate}\vspace*{-3mm}
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
 	\begin{enumerate}[1)]
-		\item 	Sei $(x^{(k)})_{k \in \N}$ eine Cauchy-Folge, d.h. $\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon}, \forall k,l \geq N_{\varepsilon}$ gilt $\norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon$.
+		\item 	Sei $(x^{(k)})_{k \in \N}$ eine Cauchy-Folge, d.h. $\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon}, \forall k,l \geq N_{\varepsilon}:\norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon$.
 	Betrachte Komponentenfolge $(x_{i}^{(k)})_{k \in \N}, i = 1,...,n$. Die Komponentenfolgen sind Cauchy-Folgen, weil $$\left| x_{i}^{(k)} - x_{i}^{(l)} \right| \leq \norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon, \forall k,l \geq N_{\varepsilon}, \forall i = 1,...,n.$$ 
 	$\implies \lim_{k \to \infty} x_{i}^{(k)} \eqqcolon x_{i} \implies x^{(k)} \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} x = \icol{x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}}$ in $\ell_{\infty}$ Norm.
 		\item 	Sei $(x^{(k)})_{k \in \N}$ beschränkt $\implies$ $(x_{i}^{(k)})_{k \in \N}, \forall i = 1,...,n$ auch beschränkt \\
@@ -202,7 +201,7 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 	\end{enumerate}
 \end{bsp}
 
-\begin{satz}[Eigenschaften abgeschlossener Mengen]
+\begin{satz}[Eigenschaften abgeschlossener Mengen]\ 
 	\begin{enumerate}[(1)]
 		\item 	Sind $V, U$ ($V,U \subset \K^{n}$) abgeschlossen, dann ist $U \cup V \subset \K^{n}$ auch abgeschlossen.
 		\item 	Sind $U_{i}, (i \in I)$ abgeschlossene Mengen in $\K^{n}$. Dann ist $\underset{i \in I}{\bigcap} U_{i}$ auch abgeschlossen.

ana5.tex

@@ -7,8 +7,8 @@
     \[
     A \text{ abgeschlossen}
     \iff
-    \text{Ist } \left(x^{(k)}\right)_{k\in\N} \text{ konvergente Folge in } A
-    \text{ mit } \lim_{k \to \infty} x^{(k)} = a\text{, dann } a \in A
+    \text{Ist}\; \big(x^{(k)}\big)_{k\in\N} \text{ konvergente Folge in } A
+    \text{ mit } \lim_{k \to \infty} x^{(k)}\! = a\text{, dann } a \in A
     .\] 
 \end{satz}
 
@@ -80,12 +80,12 @@
 
 \begin{definition}[Inneres, Abschluss]
     Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$
-    \begin{itemize}
+    \begin{itemize}\vspace*{-3mm}
         \item Die Menge $M^{\circ} := M \setminus \partial M$ heißt das
             \underline{Innere} von $M$.
         \item Die Menge $\overline{M} := M \cup \partial M$ heißt
             der \underline{Abschluss} von $M$.
-    \end{itemize}
+    \end{itemize}\vspace*{-3mm}
 \end{definition}
 
 \begin{satz}[Inneres ist Offen, Abschluss ist abgeschlossen]
@@ -153,7 +153,7 @@
 
 \begin{definition}[Kompaktheit]
     Eine Menge $M \subset \mathbb{K}^{n}$ heißt \underline{kompakt}
-    (bzw. \underline{folgenkompakt}), wenn jede Folge aus $M$ eine
+    (\underline{folgenkompakt}), wenn jede Folge aus $M$ eine
     konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $M$ besitzt.
 \end{definition}
 

ana6.tex

@@ -0,0 +1,200 @@
+\documentclass{lecture}
+
+
+\begin{document}
+
+\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
+
+
+\section{Geometrie in \texorpdfstring{$K^{n}$}{K\unichar{"207F}}}
+
+\begin{definition}[Skalarprodukt]
+    Sei $V$ irgendein Raum über dem Körper $\K$. Eine Abbildung $(\cdot,\cdot): V \times V \to \K$ heißt \underline{Skalarprodukt}, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind
+    \begin{enumerate}[S1]
+        \item \label{def:definitheit}
+            (Definitheit) $(x,x) \in \R$ und $(x,x) \geq 0, \quad (x,x) = 0 \iff x = 0$
+        \item \label{def:symmetrie}
+            (Symmetrie) $(x,y) = \overline{(y,x)}$
+        \item \label{def:linear}
+            (Linearität im ersten Argument) $(\alpha x_1 + \beta x_2, y) = \alpha(x_1,y) + \beta(x_2,y) \quad \forall x_1, x_2, y \in V, \ \forall \alpha, \beta \in \K$
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item Falls nur $(x,x) \in \R, (x,x) \geq 0$ gilt (es ist möglich, dass $(x,x) = 0$ und $x \neq 0$), dann ist $(\cdot,\cdot)$ ein \glqq semi-skalarprodukt\grqq.
+        \item Aus \ref{def:symmetrie} und \ref{def:linear} folgt die Linearität im zweiten Argument und damit sog. Bilinearität des Skalarprodukts als eine Sesquilinearform in $\C$ bzw. eine Bilinearform in $\R$
+        \item \ref{def:linear} $\implies 
+            \begin{cases}
+                \text{Additivität} &(x_1 + x_2, y) = (x_1,y) + (x_2,y)\\
+                \text{Homogenität} &(\alpha x, y) = \alpha (x,y), \alpha \in \K
+            \end {cases}$
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{lemma}[Schwarz-Ungleichung]
+    Für ein Skalarprodukt $(\cdot,\cdot)$ auf $V$ über $\K$ gilt die Schwarz-Ungleichung
+    $$\left| (x,y)^2 \right| \leq (x,x) \cdot (y,y), \quad x,y \in V$$
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    $y = 0 \implies$ trivial.
+    Sei $y \neq 0$, und sei $\alpha \in \K$ beliebig.
+    \begin{align*}
+        0 &\stackrel{\ref{def:definitheit}}{\leq} (x + \alpha y, x + \alpha y) \  \stackrel{\ref{def:symmetrie},\ref{def:linear}}{=} \ (x,x) + \alpha (y,x) + \overline{\alpha}(x,y) + \alpha\overline{\alpha}(y,y)
+        \intertext{Setze $\alpha = - \frac{(x,y)}{(y,y)}$}
+        0 &\leq (x,x) - \frac{(x,y)(y,x)}{(y,y)} - \frac{\overline{(x,y)}(x,y)}{(y,y)} + \frac{(x,y)}{(y,y)} \cdot \frac{\overline{(x,y)}}{(y,y)} \cdot (y,y) \\
+        &= (x,x) - \frac{\left|(x,y)^2\right|}{(y,y)} \\
+        \implies 0 &\leq (x,x)\cdot(y.y) - \left|(x,y)^2\right|
+    \end{align*}
+\end{proof}
+
+\begin{korrolar}
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Ein Skalarprodukt $(\cdot,\cdot)$ auf $V$ über $\K$ erzeugt eine Norm durch $\norm{x} \coloneqq \sqrt{(x,x)}, \ x \in V$. Falls ein normierter Raum $\left(V, (\cdot,\cdot)\right)$ vollständig ist, so heißt das Paar $\left(V, (\cdot,\cdot)\right)$ \underline{Hilbert-Raum}.
+        \item Das euklidische Skalarprodukt $(\cdot,\cdot)_2$ auf $\K^n$
+            $$(x,y)_2 \coloneqq \sum_{i=1}^n x_i\overline{y_i}$$
+            erzeugt die euklidische Norm
+            $$\norm{x}_2 \coloneqq \sqrt{(x,x)_2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}.$$
+            $\left(\K^n, (\cdot,\cdot)_2\right)$ ist ein Hilbert-Raum.
+        \end{enumerate}
+\end{korrolar}
+
+\begin{proof}
+    Normeigenschaften Definitheit und Homogenität folgen aus \ref{def:definitheit}-\ref{def:linear}. Die Dreicksungleichung folgt aus der Schwarz-Ungleichung.
+    \begin{align*}
+        \norm{x+y}^2 &= (x+y,x+y) = (x,x) + (x,y) + (y,x) + (y,y) \\
+        &\leq \norm{x}^2 + 2\left|(x,y)\right| + \norm{y}^2 \\
+        &\stackrel{\text{Schwarz}}{\leq} \quad \norm{x}^2 + 2\norm{x} \cdot \norm{y} + \norm{y}^2 \\
+        &= \left( \norm{x} + \norm{y}\right)^2 \\
+        \implies \norm{x+y} &\leq \norm{x} + \norm{y}
+    \end{align*}
+\end{proof}
+
+Wichtige Ungleichungen
+
+\begin{lemma}[Ungleichung von Young]
+    Seien $p,q \in \R, p>1, \ q<\infty, \ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Dann gilt
+    $$|x\cdot y| \leq \frac{|x|^p}{p} + \frac{|y|^q}{q} \quad x,x \in \R$$
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Übung
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}[Ungleichung von Hölder]
+    Seien $p,q \in \R, p>1, \ q<\infty, \ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Dann gilt
+    $$\underbrace{|(x,y)_2|}_{%
+        \text{\footnotesize\begin{tabular}{c}euklidisches\\Skalarprodukt\end{tabular}}}
+    \leq \underbrace{\norm{x}_p}_{%
+        \text{\footnotesize\begin{tabular}{c}$\ell_p$-Norm\\ von $x$\end{tabular}}}
+    \cdot \underbrace{\norm{y}_q}_{%
+        \text{\footnotesize\begin{tabular}{c}$\ell_q$-Norm\\ von $y$\end{tabular}}}$$
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Falls $x = 0$ oder $y = 0 \implies$ klar.
+    Sei $\norm{x}_p \neq 0, \ \norm{y}_q \neq 0$
+    \begin{align*}
+        \frac{\left|(x,y)_2\right|}{\norm{x}_p \cdot \norm{y}_q} \ &\stackrel{\text{Def.}}{=} \  \frac{1}{\norm{x}_p \cdot \norm{y}_q} \left|\sum_{i=1}^n x_i \overline{y_i}\right| \\
+        &\leq \sum_{i=1}^n \frac{\left|x_i \overline{y_i}\right|}{\norm{x}_p \cdot \norm{y}_q} \\
+        &\stackrel{\text{Young-Ungl.}}{\leq} \qquad \  \sum_{i=1}^n \left(\frac{|x_i|^p}{p\cdot \norm{x}_p^p} + \frac{|y_i|^q}{q\cdot \norm{x}_q^q}\right) \\
+        &= \frac{1}{p\cdot \norm{x}_p^p} \underbrace{\sum_{i=1}^n |x_i|^p}_{= \norm{x}_p^p} + \frac{1}{q\cdot \norm{y}_q^q} \underbrace{\sum_{i=1}^n |y_i|^q}_{= \norm{y}_q^q} \\
+        &= \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \\
+        \implies \left|(x,y)_2\right| &\leq \norm{x}_p \cdot \norm{y}_q
+    \end{align*}
+\end{proof}
+
+
+\begin{lemma}[Ungleichung von Minkowski]
+    Sei $p\in\R, 1 \leq p < \infty$ oder $p=\infty$. Dann gilt
+    $$\norm{x+y}_p \leq \norm{x}_p + \norm{y}_p$$
+    $\leadsto$ Dreicksungleichung für die $\ell_p$-Norm.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Für $p = 1$
+    $$\norm{x+y}_1 \quad \stackrel{\text{Def. } \ell_1}{=} \quad \sum_{i=1}^n |x_i+y_i| \quad \stackrel{\triangle\text{-UG}}{\leq} \quad \sum_{i=1}^n |x_i| + \sum_{i=1}^n |y_i| \quad \stackrel{\text{Def. }\ell_1}{=} \quad \norm{x}_1 + \norm{y}_1$$
+    Für $p = \infty$
+    $$\norm{x+y}_\infty \quad \stackrel{\text{Def. } \ell_\infty}{=} \quad \max_{i=1,\dots,n} |x_i+y_i| \quad \stackrel{\triangle\text{-UG}}{\leq} \quad \max_{i=1,\dots,n} |x_i| + \max_{i=1,\dots,n} |y_i| \quad \stackrel{\text{Def. }\ell_\infty}{=} \quad \norm{x}_\infty + \norm{y}_\infty$$
+    Sei $1<p<\infty$. Definiere $q \coloneqq \frac{p}{p-1} \ \left(\implies \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{p} + \frac{p-1}{p} = 1 \right)$ und setze $\xi_i = |x_i + y_i|^{p-1}, \ i = 1,\dots,n$ und $\xi \coloneqq \left(\begin{smallmatrix}\xi_1 \\ \vdots \\ \xi_n \end{smallmatrix}\right)$. Es gilt
+    $$\norm{\xi}_q^q = \sum_{i=1}^n |\xi_i|^q = \sum_{i=1}^n {\underbrace{\left( |x_i+y_i|^{p-1} \right)}_{\xi_i}}^{q = \frac{p}{p-1}} = \sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^p = \norm{x+y}_p^p$$
+    Dann
+    \begin{align*}
+        \norm{x+y}_p^p \ &\stackrel{\text{Def.}}{=} \ 
+        \sum_{i=1}^n \underbrace{|x_i+y_i|^p}_{\mathrlap{ = \underbrace{|x_i + y_i|^{p-1}}_{\xi_i} \cdot |x_i + y_i|}} \\
+        &= \sum_{i=1}^n |x_i+y_i|\cdot \xi_i \\
+        &\leq \underbrace{\sum_{i=1}^n|x_i|\cdot \xi_i}_{|(x,\xi)_2|} + \underbrace{\sum_{i=1}^n|y_i|\cdot \xi_i}_{|(y,\xi)_2|} \\
+        & \stackrel{\text{Hölder-Ungl.}}{\leq} \qquad \norm{x}_p\cdot \norm{\xi}_q + \norm{y}_p\cdot\norm{\xi}_q \\
+        &= \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{\xi}_q \\
+        & \stackrel{\text{Def.} \, \xi}{=} \ \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{x+y}_p^{\frac{p}{q}} \\
+        & \stackrel{\text{Def.} \, q}{=} \ \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{x+y}_p^{p-1} \\
+        \implies \norm{x+y}_p &\leq \norm{x}_p + \norm{y}_p 
+    \end{align*}
+\end{proof}
+
+
+\begin{definition}[Orthogonalität]
+    $x,y\in \K^n$ heißen \underline{orthogonal} $(x\perp y)$, falls \underline{$(x,y)_2=0$}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Orthogonalsystem/Orthogonalbasis]
+    Ein Satz von Vektoren \\ $\{a^{(1)},\dots,a^{(m)}\},\ a^{(i)}\neq0,\ a^{(i)}\in \K^n,\ i=1,\dots,m$ und $\underbrace{(a^{(k)},a^{(l)})_2=0}_{\text{paarweise orthogonal}}$ für $k\neq l$ heißt Orthogonalsystem bzw. falls $m=n$ Orthogonalbasis. \\Falls $(a^{(k)},a^{(k)})_2=1$, dann heißen die Vektoren $\{a^{(1)},\dots,a^{(m)}\}$ ein Orthonormalsystem bzw. Orthonormalbasis.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    Die orthogonalen Vektoren (wie in Def.) sind linear unabhängig:
+    $$\text{Sei } \sum_{k=1}^m c_ka^{(k)}=0\Longleftrightarrow \sum_{k=1}^m c_k(a^{(k)},a^{(l)})\overset{\substack{a^{(i)}\\ \text{paarweise}\\ \text{orthog.}}}{=} c_l\underbrace{(a^{(l)},a^{(l)})}_{\substack{\neq0\\ \text{ für } a^{(l)}\neq0}}=0\Longleftrightarrow c_l=0,\ l=1,\dots ,m$$
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}
+    $e^{(1)},\dots,e^{(n)}$ ist eine Orthogonalbasis in $\R^n$.
+\end{bsp}
+
+\begin{lemma}
+\label{Lemma 2.3.3.}
+    Sei $\{a^{(k)},\ k=1,\dots,n\}$ eine Orthonormalbasis des $\K^n$. Dann gibt es $\forall x\in \K^n$ eine Darstellung $$x=\sum_{k=1}^n(x,a^{(k)})_2\cdot a^{(k)},\ x\in \K^n.$$
+    \begin{align*}
+        \left(
+        \begin{array}{lll}
+            \sim &\text{Fourierentwicklung}\\
+            &a^{(k)}\sim e^{i xk}&f(x)=\sum_{k\in \Z}c_k\cdot e^{ixk}\\
+            &x\sim f(x)\\
+            &c_k\sim (f,e^{ixk})_{L^2}
+        \end{array}
+        \right)
+    \end{align*}
+    und es gilt die \underline{Vollständigkeitsrelation} (Gleichung von Parseval) $$\| x\|_2^2=\sum_{k=1}^n\bigl|(x,a^{(k)})_2\bigr|^2$$
+    $$\centering \bigl(\sim \| f\|_{L^2}^2=\sum_{k\in \Z} |c_k^2|\cdot 2\pi \bigr)$$
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    $\exists \, \alpha_j, \text{ sodass } x=\sum_{j=1}^n\alpha_j a^{(j)}$
+    \begin{align*}
+        &\Longrightarrow (x,a^{(k)})_2=\sum_{j=1}^n\alpha_j\underbrace{(a^{(j)},a^{(k)})_2}_{\delta_{jk}}=\alpha_k,\ k=1,\dots ,n\\ &\Longrightarrow \text{Darstellung von }x
+    \end{align*}
+    Außerdem gilt 
+    \begin{align*}
+      \|x\|_2^2=(x&,x)_2=\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^n(x,a^{(k)})_2\cdot \overline{(x,a^{(j)})_2}\cdot \underbrace{(a^{(k)},a^{(j)})_2}_{\delta_{jk}}=\sum_{k=1}^n\bigl|(x,a^{(k)})_2\bigr|^2\\ &\Longrightarrow \text{Gleichung von Parseval}  
+    \end{align*} 
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Lemma \ref{Lemma 2.3.3.} gilt in unendlichdimensionalen Skalarprodukträumen mit vollständigem Orthonormalsystem. 
+    Beispiel: Fourier-Reihen in $R[0,2\pi]$, trigonometrische Funktionen $e^{ikx}$ als vollständiges Orthonormalsystem.
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[Gram-Schmidt-Verfahren]
+    Sei $\{a^{(1)},\dots ,a^{(n)}\}$ eine Basis des $\K^n$. Dann ist $\{b^{(1)},\dots ,b^{(n)}\}$ konstruirt durch das \underline{Orthogonalisierungsverfahren} von Gram und Schmidt eine \underline{Orhonormalbasis}.
+    \begin{align*}
+        b^{(1)}&\coloneqq\frac{a^{(1)}}{\norm{a^{(1)}}_2}\\
+        \Tilde{b}^{(k)}&\coloneqq a^{(k)}-\sum_{j=1}^{k-1}(a^{(k)},b^{(j)})_2\cdot b^{(j)}\\
+        b^{(k)}&\coloneqq\frac{\Tilde{b}^{(k)}}{\norm{\Tilde{b}^{(k)}}_2},\quad k=2,\dots,n
+    \end{align*}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Rannacher
+\end{proof}
+
+\end{document}

ana7.tex

@@ -0,0 +1,179 @@
+\documentclass{lecture}
+
+
+\begin{document}
+
+\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
+
+
+\section{Lineare Abbildungen auf dem \texorpdfstring{$K^{n}$}{K\unichar{"207F}}}
+\begin{definition}[Lineare Abbildung]
+    Eine lineare Abbildung $\varphi: \K^n \to \K^m$ heißt linear, falls $\forall \alpha. \beta \in \K$ gilt $$\varphi (\alpha x + \beta y) = \alpha \varphi(x) + \beta \varphi(y)\qquad\forall x,y \in \K^n$$
+\end{definition}
+\begin{bem}
+    Eine lineare Abbildung läßt sich als Matrix darstellen. Betrachte $x\in \K^n$ und euklidische /kartesische Basis $e^{(i)},\; i = 1,\dots n$. Dann $\exists !$ Darstellung von $x$ bezüglich der Basis
+    $$x = \sum_{i = 1}^{n}x_i\cdot e^{(i)}.$$
+    Die Koeffizienten $x_i, i = 1, \dots n$ sind Koordinaten. Wir definieren Koordinatenvektor $\hat x = \begin{pmatrix}
+        x_1\\\vdots\\x_n
+    \end{pmatrix}$. Dann ist $$\varphi(x) = \varphi\left(\sum_{i = 1}^{n}x_i\cdot e^{(i)}\right) = \sum_{i = 1}^{n}x_i \cdot \varphi\left(e^{(i)}\right).$$
+    $\varphi(x)$ hat auch eine (eindeutige) Darstellung bzgl. Basis in $\K^m$.
+    $$\varphi(x) = \sum_{j = 1}^{m} \underbrace{\varphi_j(x)}_{*} = \sum_{j = 1}^{m}\underbrace{\left(\sum_{i = 1}^{n}x_i\overbrace{\varphi_j\left(e^{(i)}\right)}^{a_{ji}}\right)}_{= \varphi_j(x)} \cdot e^{(j)}$$
+    \begin{center}
+        (*) Koordinaten von $\varphi_j(x)$ bzgl. Basis $e^{(j)}, j = 1, \dots, m$
+    \end{center}
+    Dabei sind die $\varphi_j(x)$ Koordinaten und der Koordinatenvektor ist $\hat\varphi(x) = \begin{pmatrix}
+        \varphi_1(x)\\
+        \dots\\
+        \varphi_m(x)
+    \end{pmatrix}$. Dann erhalten wir eine Matrix
+    $$\begin{pmatrix}
+        \varphi_1\left(e^{(1)}\right) & \dots & \varphi_1\left(e^{(n)}\right)\\
+        &\vdots & & \vdots\\
+        \varphi_m\left(e^{(1)}\right) & \dots & \varphi_m\left(e^{(n)}\right)
+    \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+        a_{11} & \dots & a_{1n}\\
+        \vdots & & \vdots \\
+        a_{m1} & \dots & a_{mn}
+    \end{pmatrix} = A \in \K ^{m\times n}$$
+    Für einen Koordinatenvektor bezüglich Basis $e^{(j)}$ gilt $$\varphi(x) = \left(A\hat x\right)_j = \sum_{i = 1}^{n}a_{ij} x_i, \qquad j = 1, \dots, m$$
+    Die lineare Abbildung $\varphi: \K^n \to \K^m$ lässt sich bezüglich festgelegter Basen von $\K^n$ und $\K^m$ eindeutig durch die Matrix $A\in K^{m\times n}$ beschreiben.
+    $$\hat \varphi(x) = A\hat x, \qquad x\in \K^n$$
+    Im folgenden wird der Punkt $x$ mit seiner speziellen kartesischen Darstellung $\hat x$ identifiziert.
+    Konvention: $A\in \K^{m\times n}$
+    \begin{itemize}
+        \item Anzahl an Zeilen $m =$ Dimension des Bildraums $\K^m$
+        \item Anzahl an Spalten $n =$ Dimension des Urbildraums $\K^n$
+    \end{itemize}
+    Falls $m =n$ definiert $A\in K^{n\times n}$ eine lineare Abbildung in $\K^n$.
+\end{bem}
+\begin{lemma}[Lineare Abbildungen in $\K^n$]
+    Sei $A = (a_{ij})_{i,j}^n \in \K^{n\times n}$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
+    \begin{enumerate}
+        \item $A$ ist regulär
+        \item $Ax = b$ ist eindeutig lösbar $\forall b\in \K^n$ (Bijektivität der linearen Abbildung)
+        \item $Ax = 0$ hat nur eine Lösung $x = 0$ (Injektivität)
+        \item $Ax = b$ ist $\forall b \in \K^n$ lösbar (Surjektivität)
+        \item Rang$(A) = n$
+        \item $\det (A) \neq 0$
+        \item Alle Eigenwerte $\lambda \in \C$ von $A$ sind ungleich Null
+        \item Die (komplex) transponierte Matrix $\overline{A}^T$ ist regulär.
+    \end{enumerate}  
+\end{lemma}
+Weitere Begriffe und Eigenschaften
+\begin{itemize}
+    \item $A, A' \in \K^{n\times n}$ sind \textbf{identisch} $(a_{ij} = a_{ij}' \forall i, j) \Leftrightarrow Ax = A'x \forall c \in \K^n$
+    \item $A, A' \in \K^{n\times n}$ sind \textbf{ähnlich}, wenn $\exists T \in \K^{n\times n}$ regulär, sodass $$A' = T^{-1} AT$$
+    Übergang $A \to A'$ heißt Ähnlichkeitstransformation und es gilt für $z \in \C$
+    \begin{align*}
+        \underbrace{\det(A' - z \mathbb{I})}_{\overset{\text{\footnotesize Charakt. Polynom für $A'$}}{\text{\footnotesize Nullstellen $=$ EW von $A'$}}}
+        &= \det\left(T^{-1}AT - z \underbrace{T^{-1}T}_{= \mathbb{I}}\right)\\
+        &= \det(T^{-1}(A- z \mathbb{I})T)\\
+        &\stackrel{\det(AB) = \det(A)\det(B)}{=}\qquad \qquad \det(T^{-1}) \det(A - z \mathbb{I})\det(T)\\
+        &\stackrel{\det(T^{-1}\det(T) = 1 = \det(\mathbb{I}))}{=} \qquad \qquad  \underbrace{\det(A - z \mathbb{I})}_{\mathclap{\text{char. Pol. von $A$}}}
+    \end{align*}
+    Ähnliche Matrizen haben also die gleichen Eigenwerte, aber im Allgemeinen unterschiedliche Eigenvektoren.
+    \item $n \times n$ Matrizen $A\in \K^{m\times n}$ bilden einen Vektorraum.
+    \begin{itemize}
+        \item \textbf{Konvergenz} von Folgen von Matrizen ist komponentenweise Konvergenz
+        $$A^{(k)} \to A, k \to \infty \Leftrightarrow a_{ij}^{(k)} \overset{k \to \infty}{\to} a_{ij} \forall i = 1, \dots, m, \forall j = 1, \dots n$$
+    \end{itemize}
+    \item Sei $\Vert \cdot \Vert$ eine beliebige Norm auf $\K^n$. Dann 
+    $$\norm{A} \coloneqq \sup\limits_{x \in \K^n\setminus \{0\}} \frac{\norm{Ax}}{\norm{x}} = \sup\limits_{x\in \K ^n} \norm{Ax}\; \text{für}\; \norm{x} = 1$$ ist die von $\norm{\cdot}$ in $\K^n$ erzeugte natürliche \textbf{Matrixnorm}
+    \begin{itemize}
+        \item Für natürliche Matrixnorm gilt notwendig $\norm{\mathbb{I}} = 1$
+        \item Natürliche Matrixnorm ist \underline{verträglich} mit $\norm{\cdot}$, d.h. für $A\in K^{n\times n}$ ist $\norm{Ax} \leq \norm{A}\cdot \norm{x}, x\in \K^n$
+        \item und \underline{submultiplikativ}, d.h.
+        $\norm{AB} \leq \norm{A}\norm{B}$ für $A, B \in \K^{n\times n}$
+    \end{itemize}
+\end{itemize}
+\begin{bsp}
+    $\norm{A}_F = \left(\sum_{j, k = 1}^{n}|a_{jk}|^2   \right)^{\frac{1}{2}}$ heißt \textbf{Frobenius}-Norm. Sie ist verträglich mit $\norm{\cdot}_2$ in $\K^n$ und submultiplikativ, aber keine natürliche Matrixnorm, weil $\norm{\mathbb{I}}_F = \sqrt{n} \neq 1$ für $n \geq 2$.
+\end{bsp}
+\begin{lemma}[Natürliche Matrixnormen]
+    Die natürliche Matrixnormen zu $\norm{\cdot}_\infty$ ($l_\infty$ / Maximumnorm) und $\norm{\cdot}_1$ ($l_1$-Norm) in $\K^n$ sind
+    $$\norm{A}_\infty \coloneqq \max\limits_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}|\qquad \text{Maximale Zeilen-Summen-Norm}$$
+    $$\norm{A}_\infty \coloneqq \max\limits_{1 \leq j \leq n} \sum_{i = 1}^{n}|a_{ij}|\qquad \text{Maximale Spalten-Summen-Norm}$$
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+        \item Matrixnorm $\norm{\cdot}_\infty$ ist eine Norm (d.h. erfüllt Normeigenschaften (N1), (N2) und (N3))
+        \item Z.z. Verträglichkeit
+        $$\norm{Ax}_\infty\! = \max\limits_{1 \leq i \leq n} \left| \sum_{j = 1}^{n}a_{ij}x_j\right| \leq \max\limits_{1 \leq i \leq n}\left(\sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}| \cdot |x_j|\right)\! \leq \norm{x}_\infty \cdot \max_{1\leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} |a_{ij}| = \norm{x}_\infty \cdot \norm{A}_\infty$$
+        $\implies$ Verträglichkeit mit $\norm{\cdot}_\infty$
+        \item Z.Z. $\norm{A}_\infty = \sup\limits_{\norm{x}_\infty = 1} \norm{Ax}_\infty$
+        $$\norm{Ax}_\infty = 0 \implies A = 0\implies \norm{A}_\infty = 0 = \sup\limits_{\norm{x}_\infty = 1} \norm{Ax}_\infty$$
+        Sei $A \neq 0$, dann $\norm{A}_\infty > 0$ (Definitheit von Normen). Sei $$\norm{A}_\infty = \max\limits_{1\leq i\leq n} \sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}| = \sum_{j = 1}^{n}|a_{mj}|\text{ für ein }m\in \{1, \dots, n\}.$$ Setze $z_j = \frac{|a_{mj}|}{a_{mj}}$, falls $a_{mj} \neq 0$ und sonst $z_j = 0$. ($z_j = \operatorname{sign}(a_{mj})$). Für   $z = \begin{pmatrix}
+            z_1 \\ \vdots \\ z_n
+        \end{pmatrix}$ gilt dann $\norm{z}_\infty = 1$ und $$(Az)_m = \sum_{j = 1}^{n}a_{mj}z_j = \sum_{j = 1}^{n}|a_{mj}| = \norm{A}_\infty.$$ Es folgt
+        $$\norm{A}_\infty = (Az)_m \leq \norm{Az}_\infty \leq \sup\limits_{\norm{y}_\infty = 1} \norm{Ay}_\infty \leq \sup\limits_{\norm{y}_\infty = 1} \norm{A}_\infty \cdot \underbrace{\norm{y}_\infty}_{=1} = \norm{A}_\infty$$
+        $$\implies \norm{A}_\infty = \sup\limits_{\norm{y}_\infty = 1} \norm{Ay}_\infty$$
+    \end{enumerate}
+    Beweis für $l_1$ analog.
+\end{proof}
+\begin{definition}
+    \begin{enumerate}
+        \item Eigenwerte $\lambda \in \K$ einer Matrix $A\in \K^{n\times n} = $ Nullstellen des charakteristischen Polynoms
+        $$p(\lambda) = \det(A - \lambda \mathbb{I})$$
+        \item $\sigma(A) = \{\lambda |\lambda\text{ Eigenwert von } A\}$ heißt \textbf{Spektrum} von $A$.
+        \item $\forall \lambda \in \sigma(A) \exists \text{Eigenvektor } w\in \K^n\setminus\{0\}:$
+        $$A w = \lambda w$$
+        Die Eigenvektoren zu $\lambda$ bilden einen Vektorraum, den \textbf{Eigenraum} zu $\lambda$ mit Dimension = \textbf{geometrische Vielfachheit} von $\lambda$.
+        \item Abschätzung der Eigenwerte: Sei $\lambda \in \sigma(A)$ und $w$ ein Eigenvektor zu $\lambda$ mit $\norm{w} = 1$.
+        Dann $|\lambda| = |lambda| \cdot \norm{w} = \norm{\lambda w} = \norm{Aw} \underset{\text{Verträglichkeit}}{\leq} \norm{A}\cdot \norm{w} = \norm{A} \implies |\lambda| \leq \norm{A}$
+        \item $A$ heißt \textbf{hermitesch}, falls gilt 
+        $$A = \overline{A}^T\quad (a_{ij} = \overline{a_{ji}})$$
+        Reelle hermitesche Matrizen heißen \textbf{symmetrisch}. Für das Skalarproukt gilt 
+        $$A = \overline{A}^T \Leftrightarrow (Ax, y)_2 = (x, Ay)_2 \forall x, y \in \K^n$$
+        Hermitesche Matrizen sind diagonalisierbar = ähnlich zu einer Diagonalmatrix, alle Eigenwerte einer hermiteschen Matrix sind reell. $\exists$ eine orthonormale Basis aus Eigenvektoren.
+        \item $A\in \K^{n\times n}$ heißt \textbf{positiv definit}, wenn gilt $(Ax, x)_2 \in \R$, $(Ax, x)_2 > 0\forall x \in \K^n\setminus\{0\}$. Eine hermitesche Matrix ist positiv definit $\Leftrightarrow$ alle Eigenwerte sind positiv.
+        \item $\norm{\cdot}_2$ ($l_2$-Norm) im $\K^n$ erzeugt eine natürliche \textbf{Matrixnorm(Spektralnorm)} $\norm{\cdot}_2$ 
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+\begin{lemma}[Spektralnorm]
+    Sei $A \in \K^{n\times n}$. Dann ist $\overline{A}^TA \in \K^{n\times n}$ hermitesch und positiv semidefinit. Für die Spektralnorm gilt
+    $$\norm{A}_2 = \max \{\sqrt{|\lambda|}, \lambda \in \sigma(\overline{A}^TA)\}$$
+    Sei $A$ hermitesch, bzw. symmetrisch, dann gilt $\norm{A}_2 = \max\{\sqrt{|\lambda|}, \lambda\in \sigma(A)\}$
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    später
+\end{proof}
+\begin{definition}[orthonormale/unitäre Matrizen]
+    Eine Matrix $Q\in \K^{m\times n}$ heißt \textbf{orthonormal}, wenn ihre Spaltenvektoren ein Orthonormalsystem im $\K^m$ bilden, d.h.
+    $$Q = (q_1, \dots, q_n)\qquad q_j \in \K^m$$
+    $$(q_i, q_j)_2 = \sum_{k = 1}^{m} q_{ik}\cdot \overline{q_{kj}} = \begin{cases}
+        1, &i =j\\
+        0, &\text{sonst}
+    \end{cases}$$
+    Falls $m =n$ heißt $Q$ unitär.
+\end{definition}
+\begin{lemma}
+    Sei $Q\in \K^{n\times n}$ unitär. Dann ist $Q$ regulär, $Q^{-1} = \overline{Q}^T$ und $(Qx, Qy)_2 = (x,y)_2,\; x,y\in \K^n$
+    $$\norm{Qx}_2 = \norm{x}_2, \; x\in \K^n$$
+    d.h. euklidisches Skalarproukt und euklidische Norm sind invariant unter unitären Transformationen und folglich $\norm{Q}_2 = \norm{Q^{-1}}_2 = 1$
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+        \item Z.Z. $Q^{-1} = \overline{Q}^T$\\
+        Sei $Q = (q_1, \dots, q_n), \overline{Q}^T = \begin{pmatrix}
+            \overline{q}_1^T\\
+            \dots\\
+            \overline{q}_n^T
+        \end{pmatrix}$. Dann gilt 
+        $$\overline{Q}^T \cdot Q = \begin{pmatrix}
+            \overline{q}_1^T \cdot q_1 & \dots & \overline{q}_1^T \cdot q_n\\
+            \vdots & & \vdots\\
+            \overline{q}_n^T \cdot q_1 & \dots & \overline{q}_n^T \cdot q_n
+        \end{pmatrix} \overset{Q \text{ unitär}}{=} \begin{pmatrix}
+            1 & & 0\\
+            & \ddots & \\
+            0 & & 1
+        \end{pmatrix}$$
+        \item \begin{align*}
+            (Qx, Qy)_2 &= (x, \overline{Q}^TQ y)_2 = (x,y)_2\\
+            \norm{Qx}_2^2 &= (Qx, Qx)_2 = (x,x)_2 = \norm{x}_2^2\\
+            \norm{Q}_2 &= \sup\limits_{\norm{x_2} =1} \norm{Qx}_2 = \sup\limits_{\norm{x_2} =1} \norm{x}_2 = 1\\
+            \norm{Q^{-1}}_2 &= \sup\limits_{\norm{x_2} =1} \norm{Q^{-1}x}_2 = \sup\limits_{\norm{x_2} =1} \norm{QQ^{-1}x}_2 = \sup\limits_{\norm{x_2} =1} \norm{x}_2 = 1 
+        \end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+\end{document}

analysisII.tex

@@ -21,5 +21,7 @@
 \input{ana3.tex}
 \input{ana4.tex}
 \input{ana5.tex}
+\input{ana6.tex}
+\input{ana7.tex}
 
 \end{document}