added homotopie figure

ana1.tex

@@ -33,7 +33,7 @@
             $0 < x \le 2$: $\forall n \ge \frac{2}{x}$, $f_n(x) = 0 = f(x)$
         \item $f_n(x) = x^{n}$, $f_n\colon [0,1] \to \R$.
             \begin{figure}[ht!]
-                \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
+                \begin{tikzpicture}[scale = 0.95]
                     \begin{axis}%
                         [grid=both,
                          minor tick num=4,
@@ -50,7 +50,7 @@
                         \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^4};
                       \end{axis}
                 \end{tikzpicture}
-                \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
+                \begin{tikzpicture}[scale = 0.95]
                     \begin{axis}%
                         [grid=both,
                          minor tick num=4,
@@ -61,7 +61,7 @@
                          ymax=1,
                          ymin=0
                         ]
-                        \addplot[domain=0:1.1,samples=1000,smooth,red] {(and(x>=0  , x<1)   * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
+                        \addplot[domain=0:1.001,samples=1000,red] {(and(x>=0  , x<1)   * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
                       \end{axis}
                 \end{tikzpicture}
                 \caption{$f_n(x) = x^{n}$ und ihre Grenzfunktion}
@@ -96,7 +96,7 @@
         \coloneqq \{ (x, y) \in D \times \R  \mid | y - f(x)| < \epsilon\} 
     .\] 
     \begin{figure}[ht!]
-        \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
+        \begin{tikzpicture}[scale = 0.95]
             \begin{axis}%
                 [grid=both,
                  minor tick num=4,
@@ -113,7 +113,7 @@
                 \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.3};
               \end{axis}
         \end{tikzpicture}
-        \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
+        \begin{tikzpicture}[scale = 0.95]
             \begin{axis}%
                 [grid=both,
                  minor tick num=4,
@@ -124,10 +124,10 @@
                  ymax=1,
                  ymin=-0.4,
                 ]
-                \addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3};
+                \addplot[domain=0:1.001,samples=1000,red] {(and(x>=0  , x<1)   * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
-                \addplot[domain=0:1.001,samples=1000,smooth,red] {(and(x>=0  , x<1)   * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
                 \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,blue] {x^8};
-                \addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {-0.3};
+                \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3};
+                \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {-0.3};
               \end{axis}
         \end{tikzpicture}
         \caption{Links: ,,$\epsilon$-Schlauch``, Rechts: \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (b) nicht gleichmäßig konvergent}
@@ -141,7 +141,7 @@
     $f_n\colon [0,2] \to \R$, $f_n(x) \coloneqq \frac{1}{n} \sin \left( 2\pi n \cdot x \right) $ konvergiert
     gleichmäßig gegen $f(x) = 0$.
     \[
-        | \sin(2 \pi n \cdot x) | \le 1 \quad \forall x \in R \implies
+        | \sin(2 \pi n \cdot x) | \le 1 \quad \forall x \in \R \implies
         f_n(x) \xrightarrow{n \to \infty} 0 \quad \forall x \in [0,2] \implies \text{punktweise Konvergenz}
     .\] Sei nun $\epsilon > 0$, dann $\exists N \in \N$ mit $\frac{1}{N} < \epsilon$. Damit folgt
     \[
@@ -197,10 +197,10 @@
     Es sei $D = [a,b]$ und $f\colon [a,b] \to \R$ stetig. Dann gilt
     \begin{enumerate}[(i)]
         \item $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig gegen $f \colon [a,b] \to \R
-            \iff \Vert f_n - f \Vert_\infty \to 0$, $n \to \infty$
+            \iff \Vert f_n - f \Vert_\infty \xrightarrow{n \to \infty} 0$.
         \item Cauchy-Kriterium: $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]
             \iff \forall \epsilon > 0$ $\exists N_0 \in \N$, s.d. $\forall n, m \ge N_0$ gilt
-            $\Vert f_n - f_m \Vert_{\infty} < \epsilon$
+            $\Vert f_n - f_m \Vert_{\infty} < \epsilon$.
     \end{enumerate}
 \end{satz}
 
@@ -280,7 +280,7 @@
 Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^{b} f$?
 
 \begin{satz}
-    Seien $f_n \colon [a,b] \to R$ stetige Riemann-integrierbare Funktionen und $f\colon [a,b] \to \R$
+    Seien $f_n \colon [a,b] \to \R$ stetige Riemann-integrierbare Funktionen und $f\colon [a,b] \to \R$
     mit $\Vert f_n - f \Vert_\infty \xrightarrow{n \to \infty} 0$ (gleichmäßige Konvergenz). Dann gilt
     $f$ stetig und Riemann-integrierbar und
     \[
@@ -296,7 +296,7 @@ Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^
     \begin{align*}
         \left| \int_{a}^{b} f_n(x) dx - \int_{a}^{b} f(x) dx\right| &= \left| \int_{a}^{b} (f_n(x) - f(x))dx\right|\\
         &\le \int_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)| dx\\
-        &\le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| \cdot (a-b)\\
+        &\le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| \cdot (b-a)\\
         &=\underbrace{\norm{f_n - f}_\infty}_{\xrightarrow{n \to \infty} 0}\underbrace{(b-a)}_{\text{beschränkt}}.
     \end{align*}
 \end{proof}
@@ -304,32 +304,32 @@ Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^
 \begin{satz}\label{permutesumint}
     Seien $f_n \colon [a,b] \to \R$ stetige Funktionen $(n \in \N)$ und die Reihe
     $\sum_{n=0}^{\infty} f_n$ konvergiere gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. die Folge der Partialsummen
-    $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ sei gleichmäßig konvergent. Dann gilt:
+    $(\sum_{k=0}^{n} f_k)_{n\in\N}$ sei gleichmäßig konvergent. Dann gilt:
     \[
         f(x) \coloneqq \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \quad \forall x \in [a,b]
     .\] ist stetig und Riemann-integrierbar und
     \begin{align*}
-        \int_{a}^{b} f(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \\
+        \int_{a}^{b} f(x) \d x &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x \\
-        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx  
+        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \d x &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x
     ,\end{align*} d.h. die Reihe wird gliedweise integriert.
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
-    $f_n$ sind stetig $\implies \sum_{n=0}^{N} f_n(x)$ stetig und Riemann-integrierbar.
+    $f_n$ sind stetig $\implies \sum_{k=0}^{n} f_k(x)$ stetig und Riemann-integrierbar.
 
-    Die Folge der Partialsummen $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig, d.h.
+    Die Folge der Partialsummen $(\sum_{k=0}^{n} f_k)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig, d.h.
     \[
-        f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \text{ stetig } = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{n=0}^{N} f_n(x) \right) \text{ gleichmäßiger Limes}
+        f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \text{ stetig } = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=0}^{n} f_k(x) \right) \text{ gleichmäßiger Limes}
     .\] Es gilt
     \[
-        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx =
+        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \d x =
-        \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) dx + \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) dx
+        \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x + \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) \d x
     .\] Die Reihe konvergiert gleichmäßig, d.h. $\forall \epsilon > 0$ $\exists N_{\epsilon} \in \N$, s.d.
     $\forall N \ge N_{\epsilon}$ gilt
     \begin{align*}
-        &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) dx \right| \le \epsilon \cdot (b-a)  \\
+        &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) \d x \right| \le \epsilon \cdot (b-a)  \\
-        \implies &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx - \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \right| \le \epsilon \\
+        \implies &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \d x - \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x \right| \le \epsilon \cdot (b-a)\\
-        \implies& \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx   
+        \implies& \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \d x = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x   
     .\end{align*}
 \end{proof}
 
@@ -338,7 +338,7 @@ Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^
     Dann konvergiert $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^{n}$ in jedem Intervall
     $[x_0 - r, x_0 + r]$ für $0 < r < \rho$ gleichmäßig und für $[a,b] \subset \;]x_0 - \rho, x_0 + \rho[$ gilt
     \[
-        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}
+        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n} \d x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}
         \Big|_{a}^{b}
     .\] 
 \end{korollar}

ana14.tex

@@ -150,13 +150,12 @@ Gesucht: Abbildung $f$, s.d. $y = f(x)$ mit $(x,f(x))$ löst \eqref{doublestar}
 
     \begin{minipage}[c]{0.35\textwidth}
         \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
-            \draw[->] (0,-1.5) -- node[right,pos=.9] {$(x_0,y_0)$} (0,1.5);
+            \draw[->] (0,-1.5) -- node[right,pos=.9] {} (0,1.5);
             \draw[->] (-1.5,0) -- node[below,pos=1.3] {$F(x,y) = 0$} (1.5,0);
             \draw (0,0) circle (1cm);
-            \draw[fill] (0,1) circle (2pt);
+            \draw[fill=red,draw=red] (0,1) circle (2pt);
-            \draw[fill=red,draw=red] (0,0) circle (2pt);
+            \node[color=red] at (.3,1) {)};
-            \node[color=red] at (.3,0) {)};
+            \node[color=red] at (-.3,1) {(};
-            \node[color=red] at (-.3,0) {(};
             \draw[fill=blue,draw=blue] (1,0) circle (2pt);
             \node[color=blue] at (1.3,0) {)};
             \node[color=blue] at (.7,0) {(};
@@ -172,7 +171,7 @@ Für $\mathunderline{blue}{x_0 =1,\; y_0 = 0}$ hingegen gibt es keine Umgebung v
 \end{bsp}
 \begin{satz}[Satz über implizite Funktionen]
     \label{satz:sif}
-    Sei $D^x \subset \R^n$ offen, $D^y \subset \R^m$ offen, $F^1 \in C^1 (D^x\times D^y,\R^m)$ (stetig differenzierbar) und $(\hat{x}, \hat{y})\in D^x\times D^y$ mit $F(\hat x, \hat y) = 0$. Die $m\times m$ Matrix 
+    Sei $D^x \subset \R^n$ offen, $D^y \subset \R^m$ offen, $F \in C^1 (D^x\times D^y,\R^m)$ (stetig differenzierbar) und $(\hat{x}, \hat{y})\in D^x\times D^y$ mit $F(\hat x, \hat y) = 0$. Die $m\times m$ Matrix 
     \[
         D_yF(x,y) =\begin{pmatrix}
             \pdv{F_1}{y_1} &\dots &\pdv{F_1}{y_m}\\

ana17.tex

@@ -43,7 +43,7 @@
     Sei $f(t,x)$ stetig auf $D \subseteq \R \times \R^{n}$, $D$ abgeschlossen und $(t_0, y_0) \in D$.
     Sei weiter $y(t)$ Lösung der AWA für $t \in [t_0 - T, t_0 + T]$.
 
-    Dann ist $y$ nach rechts und links auf ein maximales Existenzintervall $I_{\text{max}} = (t_0 - T^{*}, t_0 + T^{*})$
+    Dann ist $y$ nach rechts und links auf ein maximales Existenzintervall $I_{\text{max}} = (t_0 - T_{*}, t_0 + T^{*})$
     bis zum Rand von $D$ (stetig diff'bar) fortsetzbar.
 \end{satz}
 

ana18.tex

@@ -73,7 +73,7 @@
     .\end{salign*}
 \end{proof}
 
-\begin{satz}[Stabilitäts und Eindeutigkeitssatz]
+\begin{satz}[Stabilitäts- und Eindeutigkeitssatz]
     Sei $f(t,x)$ stetig auf $D \subseteq \R \times \R^{n}$ und lokal Lipschitz-stetig
     bezüglich $x$. Seien $y, v$ zwei beliebige Lösungen der Differentialgleichung
     \[
@@ -81,10 +81,10 @@
     \] auf einem gemeinsamen Existenzintervall $I$. Dann gilt
     \[
         \Vert y(t) - v(t) \Vert \le e^{L(t-t_0)} \Vert y(t_0) - v(t_0)\Vert, \quad t \in I, t \ge t_0
-    ,\] wobei $t_0 \in I$ und $L$ die Lipschitz-konstante $L = L_K$ von $f(t,x)$ auf
+    ,\] wobei $t_0 \in I$ und $L$ die Lipschitz-Konstante $L = L_K$ von $f(t,x)$ auf
     $K \subseteq D$ mit $K$ beschränkt und $\text{Graph}(y) \subseteq K$, $\text{Graph}(v) \subseteq K$.
 
-    Weiterhin: Falls $y(t_0) = v(t_0)$ (d.h. $y$ und $v$ lösen AWA $y' = f(t,y), y(t_0) = y_0)$, dann
+    Weiterhin: Falls $y(t_0) = v(t_0)$ (d.h. $y$ und $v$ lösen AWA $y' = f(t,y),\ y(t_0) = y_0)$, dann
     gilt $y(t) = v(t)$, $\forall t \in I$, d.h. die lokale Lösung der AWA (nach Peano) ist eindeutig bestimmt.
 \end{satz}
 
@@ -92,7 +92,7 @@
     Sei $K \subseteq D$ eine beschränkte Teilmenge und $\text{Graph}(y) \subseteq K$, $\text{Graph}(v) \subseteq K$.
     Betrachte
     \begin{salign*}
-        y(t) - v(t) &\stackrel{\text{Integralform}}{=}
+        h(t) \coloneqq y(t) - v(t) &\stackrel{\text{Integralform}}{=}
         y(t_0) + \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s - v(t_0) - \int_{t_0}^{t} f(s, v(s)) \d s \\
         &= \int_{t_0}^{t} \left( f(s, y(s)) - f(s, v(s)) \right)  \d s + y(t_0) - v(t_0) 
         \intertext{Dann folgt}
@@ -113,7 +113,7 @@
    ,\] folgt $y(t) = v(t)$ auf dem gemeinsamen Existenzintervall $I$. 
 \end{proof}
 
-\begin{satz}[Existenzsatz von Picard-Linderlöf]
+\begin{satz}[Existenzsatz von Picard-Lindelöf]
     Sei $f\colon D \to \R^{n}$ stetig, lokal Lipschitz-stetig bezüglich $x$. Dann
     gilt $\forall (t_0, y_0) \in D$, $\exists \epsilon > 0$ und eine Lösung der AWA
     \begin{align*}
@@ -154,7 +154,7 @@
                 \Vert g(y)(t) - y_0 \Vert &= \left\Vert \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s \right\Vert \\
                 &\le \int_{t_0}^{t} \left\Vert f(s, y(s))\right\Vert \d s  \\
                 &\stackrel{f \text{ beschr.}}{\le } M \int_{t_0}^{t}  \d s \\
-                &= M|t-t_0
+                &= M|t-t_0|
                 \le M\epsilon
                 \le \delta 
             .\end{salign*}
@@ -184,7 +184,7 @@
                 y^{k}(t) \coloneqq y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y^{k-1}(s)) \d s
                 \xrightarrow{k \to \infty} \text{Lösung der AWA}
             .\end{align*}
-        \item Ohne Die Forderung der Lipschitz-stetigkeit geht die Eindeutigkeit der Lösung verloren
+        \item Ohne die Forderung der Lipschitz-Stetigkeit geht die Eindeutigkeit der Lösung verloren
             (siehe Beispiel \ref{bsp:dgl-uneindeutig}), aber die Existenz gilt nach dem Satz von Peano
             immer noch.
     \end{enumerate}

ana19.tex

@@ -0,0 +1,431 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+\section{Globale Stabilität}
+
+\begin{definition}[Exponentielle Stabilität]
+	Sei $y(t)$ die globale Lösung einer AWA. $y(t)$ heißt \underline{exponentiell stabil}, falls Konstanten $\delta, \alpha, A > 0$ existieren, sodass $\forall t_{*} \geq t_{0}$ und $\forall w_{*} \in \R^{n}$ mit $\norm{w_{*}} < \delta$ die gestörte AWA
+		\[
+			v'(t) = f\left(t,v(t)\right), \ \ \ t \geq t_{*}, \ \ \ v(t_{*}) = y(t_{*}) + w_{*}
+		\]
+	eine globale Lösung $v(t)$ hat, für welche gilt:
+		\[
+			\norm{v(t) -y(t)} \leq Ae^{-\alpha (t-t_{*})} \norm{w_{*}}, \ \ \ t \geq t_{*}.
+		\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Monotone AWA]
+	Die Funktion $f(t,x)$ heißt \underline{stark monoton} falls ein $\lambda > 0$  existiert, sodass für alle $(t,x), (t,y) \in D$ gilt:
+		\[
+			-\left( f(t,x) - f(t,y), x-y \right) \geq \lambda \norm{x-y}^{2}
+		\]
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Globaler Stabilitätssatz]
+	Sei $f(t,x)$ einer AWA stetig, lokal Lipschitz-stetig bezüglich $x$ und stark monoton. Dann sind alle Lösungen der AWA global und exponentiell stabil, mit $\delta$ beliebig und $\alpha = A = 1$. \\
+	Zusatz: Gilt $\sup_{t \geq t_{0}} \norm{f(t,0)} < \infty$, dann sind alle Lösungen gleichmäßig beschränkt. 
+		\label{satz:global-stabil}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Die Lösungen der AWA
+				\[
+					y'(t) = f(t,y(t)), \ \ \ t \geq t_{0}, \ \ \ y(t_{0}) = y_{0},
+				\]
+				und der gestörten AWA
+				\[
+					v'(t) = f(t,v(t)), \ \ \ t \geq t_{*} \geq t_{0}, \ \ \ v(t_{*}) = y(t_{*}) + w_{*}
+				\]
+				existieren global und sind eindeutig. \\
+				Da $f$ Lipschitz-stetig ist gilt:
+				\begin{salign*}
+					\norm{f(t,x)} \leq \norm{f(t,x) - f(t,0)} + \norm{f(t,0)} \leq L\norm{x} + \norm{f(t,0)}.
+				\end{salign*}
+				Für die Lösung $y(t)$ gilt:
+				\begin{salign*} 
+					y(t) &= y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} f(s,y(s)) \d{s} 
+				\intertext{und damit}
+					\norm{y(t)} &\leq \norm{y_{0}} + \int_{t_{0}}^{t} \norm{f(s,y(s))} \d{s} \\
+					&\leq \norm{y_{0}} + \int_{t_{0}}^{t} L \norm{y(s)} \d{s} + \int_{t_{0}}^{t} \norm{f(s,0)} \d{s} 
+				\intertext{$\norm{f(s,0)}$ stetig auf $[t,t_{0}]$, also gleichmäßig beschränkt, d.h. es existiert ein $M_{t} > 0$ sodass für alle $s \in [t_{0},t]$ gilt $\norm{f(s,0)} \leq M_{t}$ und damit:}
+					&\leq L \int_{t_{0}}^{t} \norm{y(s)} \d{s} + \norm{y_{0}} + M_{t}\left| t-t_{0}\right|
+				\end{salign*}
+				Mit dem Lemma von Gronwall für $w(t) = \norm{y(t)}$ folgt:
+				\[
+					\norm{y(t)} \leq e^{L(t-t_{0})} \left( \norm{y_{0}} + M_{t}\left| t-t_{0}\right| \right).
+				\]
+				Somit liefern der Satz von Peano und der Fortsetzungssatz, dass $y(t)$ auf dem maximalen Existenzintervall $I_{\max} = [t_{0},t_{\max})$ existiert, wobei entweder $t_{\max} = \infty$ gilt, oder $t_{\max} < \infty$ mit $\max_{[t_{0},t]} \norm{y(t)} \oldstackrel{t \to \infty}{\longrightarrow} \infty $. \\
+				Wir führen $t_{\max} < \infty$ mit $\max_{[t_{0},t]} \norm{y(t)} \oldstackrel{t \to \infty}{\longrightarrow} \infty $ zum Widerspruch. Bereits gezeigt wurde, dass gilt:
+				\begin{salign*}
+					\norm{y(t)} &\leq e^{L(t-t_{0})}\left( \norm{y_{0}} + M_{t}\left| t-t_{0} \right| \right) \leq e^{L(t_{\max}-t_{0})} \left( \norm{y_{0}} + M_{t_{\max}}\left| t_{\max} -t_{0} \right| \right)
+				\end{salign*}
+				Also ist $\norm{y(t)}$ beschränkt für $t \to t_{\max}$. Dies ist ein Widerspruch, also gilt bereits $t_{\max} = \infty$. Damit existiert $y(t)$ für $t \in [t_{0},\infty)$.
+		
+		\item 	$y(t)$ ist exponentiell stabil. Dafür gilt es zu zeigen, dass für $t\geq t_{*}$:
+				\[
+					\norm{v(t) - y(t)} \leq e^{-\lambda(t-t_{*})}\norm{w_{*}}.
+				\]
+				Sei $w(t) \coloneqq v(t) - y(t)$. Dann gilt:
+				\begin{align*}
+					&\frac{\d{}}{\d{t}} \norm{w(t)}^{2} = 2\left(w'(t),w(t)\right)= 2 \left(f(t,v(t))-f(t,y(t)), v(t) - y(t) \right) 
+				\intertext{und da $f$ stark monoton ist, folgt:}
+					&\frac{\d{}}{\d{t}} \norm{w(t)}^{2} \leq -2\lambda \norm{w(t)}^{2} \ \ \ \ \ \implies \ \ \ \ \ \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{w(t)}^{2} +2\lambda \norm{w(t)}^{2} \leq 0.
+				\end{align*}
+				Ferner gilt:
+				\begin{align*}
+					\frac{\d{}}{\d{t}} \left(e^{2\lambda (t-t_{*})} \norm{w(t)}^{2}\right) = \underbrace{e^{2\lambda (t-t_{*})}}_{> 0} \underbrace{\left( \frac{\d{}}{\d{t}}\norm{w(t)}^{2} + 2\lambda\norm{w(t)}^{2} \right)}_{\leq 0} \leq 0
+				\end{align*}
+				Woraus wir folgern:
+				\begin{salign*}
+					& \int_{t_{*}}^{t} \frac{\d{}}{\d{s}} \left( e^{2\lambda(s-t_{*})}\norm{w(s)}^{2} \right) \d{s} = e^{2\lambda(t-t_{*})}\norm{w(t)}^{2} - \norm{w(t_{*})}^{2} \leq 0 \\
+					\implies \ & \norm{w(t)}^{2} \leq e^{-2\lambda(t-t_{*})}\norm{w(t_{*})}^{2} \\
+					\implies \ & \norm{w(t)} \ \leq e^{-\lambda(t-t_{*})}\norm{w(t_{*})} \\
+					\implies \ & \norm{v(t) - y(t)} \leq e^{-\lambda(t-t_{*})}\norm{w_{*}}.
+				\end{salign*}
+		
+		\item 	$y(t)$ ist gleichmäßig beschränkt falls $\sup_{t \geq t_{0}} \norm{f(t,0)} < \infty$. Denn: \\
+				Es gilt:
+				\[
+					y'(t) = f(t,y(t)) \ \ \ \ \ \implies \ \ \ \ \ y'(t) - f(t,y(t)) + f(t,0) = f(t,0).
+				\]
+				Indem wir das Skalarprodukt mit $y(t)$ bilden, erhalten wir daraus:
+				\[
+					\left(y(t), y'(t)\right) - \left(f(t,y(t)) - f(t,0), y(t) - 0\right) = \left(f(t,0),y(t)\right).
+				\]
+				Außerdem gilt
+				\[
+					\left(y(t), y'(t)\right) = \frac{1}{2}\frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2}
+				\]
+				und aufgrund der Monotonie:
+				\[
+					 \left(f(t,y(t)) - f(t,0), y(t)\right) \leq -\lambda\norm{y(t)}^{2}.
+				\]
+				Somit können wir folgern:
+				\begin{salign*}
+					\frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \lambda \norm{y(t)}^{2} &\leq \frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} - \left( f(t,y(t)) - f(t,0), y(t)\right)\\
+					&= \left(f(t,0), y(t)\right) \oldstackrel{\text{CSU}}{\leq} \norm{f(t,0)}\cdot \norm{y(t)} \\
+					&\stackrel{2ab \le a^2 + b^2}{\le} \frac{1}{2\lambda} \norm{f(t,0)}^{2} + \frac{\lambda}{2} \norm{y(t)}^{2}
+				\end{salign*}
+				woraus folgt
+				\begin{salign*}
+					& \frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \lambda \norm{y(t)}^{2} - \frac{\lambda}{2} \norm{y(t)}^{2} \leq \frac{1}{2\lambda} \norm{f(t,0)}^{2} \\
+					\implies \ \ & \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \lambda \norm{y(t)}^{2} \leq \frac{1}{\lambda} \norm{f(t,0)}^{2}.
+				\end{salign*}
+				Multiplikation mit $e^{\lambda(t-t_{0})}$ liefert:
+				\begin{salign*}
+					\frac{\d{}}{\d{t}} \left( e^{\lambda(t-t_{0})}\norm{y(t)}^{2}\right) = e^{\lambda(t-t_{0})} \left( \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \lambda \norm{y(t)}^{2} \right) \leq \frac{1}{\lambda} e^{\lambda(t-t_{0})}\norm{f(t,0)}^{2}
+				\end{salign*}
+				woraus folgt:
+				\begin{salign*}
+					\int_{t_{0}}^{t} \frac{\d{}}{\d{s}} \left( e^{\lambda(s-t_{0})}\norm{y(s)}^{2}\right) \d{s} = e^{\lambda(t-t_{0})}\norm{y(t)}^{2} - \norm{y(t_{0})}^{2} \leq \frac{1}{\lambda} \int_{t_{0}}^{t} e^{\lambda(s-t_{0})}\norm{f(s,0)}^{2}\d{s}
+				\end{salign*}
+				und ferner sogar
+				\begin{salign*}
+					\norm{y(t)}^{2} &\leq e^{-\lambda(t-t_{0})}\norm{y_{0}}^{2} + \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda(t-t_{0})}\int_{t_{0}}^{t} e^{\lambda(s-t_{0})}\norm{f(s,0)}^{2}\d{s} \\
+					&\leq e^{-\lambda(t-t_{0})}\norm{y_{0}}^{2} +\frac{1}{\lambda} \max_{s \in [t_{0},t]} \norm{f(s,0)}^{2}e^{-\lambda(t-t_{0})}\int_{t_{0}}^{t} e^{\lambda(s-t_{0})} \d{s}.
+				\end{salign*}
+				Wir halten fest:
+				\begin{salign*}
+					e^{-\lambda(t-t_{0})}\int_{t_{0}}^{t} e^{\lambda(s-t_{0})} \d{s} = e^{-\lambda(t-t_{0})}\left( \frac{1}{\lambda}e^{\lambda(t-t_{0})} -\frac{1}{\lambda}\right) \leq \frac{1}{\lambda}.
+				\end{salign*}
+				Somit können wir schließen:
+				\begin{salign*}
+					\norm{y(t)}^{2} \leq e^{-\lambda(t-t_{0})}\norm{y_{0}}^{2} + \frac{1}{\lambda^{2}} \max_{s \in [t_{0},t]} \norm{f(s,0)}^{2}
+				\end{salign*}
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+
+
+\section{Lineare Systeme von Differentialgleichungen}
+
+\begin{definition}[Lineare AWA]
+	Sei $A(\cdot) \colon I \to \R^{n \times n}$ eine Matrixfunktion, sowie $b(\cdot) \colon I \to \R^{n}$ eine Vektorfunktion. Dann ist eine lineare AWA der Form:
+		\begin{salign*}
+			y'(t) &= A(t)y(t) + b(t), \ \ \ t\geq t_{0} \\
+			y(t_{0}) &= y_{0}.
+		\end{salign*}
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Lösung einer linearen AWA]
+	Seien $A \colon [t_{0}, \infty) \to \R^{n \times n}$, $b \colon [t_{0}, \infty) \to \R^{n}$ stetig. Dann gilt:
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Die lineare AWA besitzt eine eindeutige globale Lösung $y \colon [t_{0},\infty) \to \R^{n}$.
+		\item 	Falls $A(\cdot)$ gleichmäßig negativ definit auf $[t_{0},\infty)$ ist und $b(\cdot)$ beschränkt ist, dann ist $y(t)$ beschränkt und exponentiell stabil.
+	\end{enumerate}
+	\label{satz:lineare-awa}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Der Satz von Peano liefert die Existenz eines $T >0$ sodass eine lokale Lösung $y \colon [t_{0},t_{0}+T] \to \R^{n}$ der linearen AWA existieren, für welche gilt ($t \in [t_{0},t_{0}+\infty]$):
+				\begin{salign*}
+					& y(t) = y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \left( A(s)y(s) + b(s)\right) \d{s} \\
+					\implies \ \ & \norm{y(t)} \leq \norm{y_{0}} + \int_{t_{0}}^{t} \left( \norm{A(s)}\cdot\norm{y(s)} + \norm{b(s)}\right) \d{s}.
+				\end{salign*}
+				Das Lemma von Gronwall für $w(t) = \norm{y(t)}$ liefert für $t \in [t_{0},t_{0}+T]$:
+				\begin{salign*}
+					\norm{y(t)} \leq \exp\left( \int_{t_{0}}^{t} \norm{A(s)} \d{s}\right)\left(\norm{y_{0}} + \int_{t_{0}}^{t}\norm{b(s)} \d{s} \right)
+				\end{salign*}
+				Also ist $\norm{y(t)}$ beschränkt durch ein $C(T, A(\cdot), b(\cdot)) > 0$. Nach Fortsetzungssatz ist der Graph von $y(t)$ fortsetzbar bis an den Rand von $D$. Damit existiert $y(t)$ für alle $t \geq t_{0}$. \\
+				$f(t,x)$ ist Lipschitz-stetig bezüglich $x$. Denn:
+				\begin{salign*}
+					\norm{f(t,x) - f(t,y)} & = \norm{A(t)(x-y)} \leq \norm{A(t)}\cdot\norm{x-y}.
+				\end{salign*}
+				Damit folgt die Eindeutigkeitsaussage aus dem Satz von Picard-Lindelöf.
+		
+		\item 	Sei $A(t)$ negativ definit, dann existiert ein $\lambda > 0$ sodass:
+				\begin{salign*}
+					-\left(f(t,x) - f(t,y),(x-y)\right) = - \left(A(t)(x-y), (x-y)\right) \geq \lambda \norm{x-y}^{2}.
+				\end{salign*}
+				Sei $b(t)$ beschränkt, dann gilt $\sup_{t \in [t_{0},\infty)} \norm{f(t,0)} = \sup_{t \in [t_{0},\infty)} \norm{b(t)} < \infty$. Damit folgt nach Satz \ref{satz:global-stabil}, dass $y(t)$ beschränkt und exponentiell stabil ist.
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Homogene lineare Systeme]
+	Ein homogenes lineares System von DGLn ist der Form
+	\begin{equation}
+		y'(t) = A(t)y(t). \label{eqq:homog-lin-syst}
+	\end{equation}
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Die Menge der Lösungen bildet einen Vektorraum $H$.
+		\item 	Sei $\{y_{0}^{1},\dots,y_{0}^{n}\}$ eine Basis des $\R^{n}$. Seien $\{y^{1},\dots,y^{n}\}$ die Lösungen von AWA:
+					\[
+						(y^{i})' = A(t)y^{i}, \ \ \ y^{i}(t_{0}) = y_{0}^{i}, \ \ \ i\in \{1,\dots,n\}
+					\]
+				Dann ist $\{y^{1},\dots,y^{n}\}$ eine Basis von $H$ und es gilt $\dim(H) = n$.
+		\item 	Sei $\{y^{1},\dots,y^{n}\}$ eine Basis des Lösungsraums $H$, dann ist $\{y^{1}(t),\dots,y^{n}(t)\}$ für $\forall t \geq t_{0}$ eine Basis des $\R^{n}$.
+	\end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Sei $H$ die Menge der Lösungen von (\ref{eqq:homog-lin-syst}). $H$ ist ein $\R$-VR, denn:
+				\begin{itemize}
+					\item 	Nullfunktion erfüllt $0'(t) = A(t)0(t)$, also $0 \in H$.
+					\item 	Seien $\alpha, \beta \in \R$, $u,v \in H$, dann gilt:
+							\[
+								(\alpha u + \beta v)' = \alpha u' + \beta v' = \alpha A(t)u(t) + \beta A(t)v(t) = A(t)\left(\alpha u + \beta v\right).
+							\]
+							Also $\left(\alpha u + \beta v\right) \in H$.
+				\end{itemize}
+		
+		\item 	Sei $\{y_{0}^{1},\dots,y_{0}^{n}\}$ eine Basis des $\R^{n}$. Seien $\{y^{1},\dots,y^{n}\}$ die eindeutigen Lösungen der AWAn (nach Satz \ref{satz:lineare-awa}). Seien $\alpha_{i} \in \R$, $i \in \{1,\dots,n\}$ sodass für $t \geq t_{0}$ gilt:
+				\[
+					\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y^{i}(t) = 0.
+				\]
+				Für $t = t_{0}$ gilt dann $\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y_{0}^{i} = 0$, da die $y_{0}^{i}$ linear unabhängig sind, folgt $\alpha_{i} = 0$ für alle $i \in \{1,\dots,n\}$. Daraus folgt, dass die $y^{i}(t)$ ($i \in \{1,\dots,n\}$) linear unabhängig sind, also bereits, dass die $y^{i}$ ($i \in \{1,\dots,n\}$) linear unabhängig sind. \\
+				Da es höchstens $n$ linear unabhängige Anfangswerte gibt, sind nicht mehr als $n$ Funktionen aus $H$ linear abhängig, also $\dim(H) = n$. 
+		\item 	Analog zu 2).
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Eine Basis $\{\varphi^{1},\dots,\varphi^{n}\}$ des Lösungsraums $H$ von $y'(t) = A(t)y(t)$ zu den Anfangswerten $\varphi^{i}(t_{0}) = e^{i}$ ($e^i$ Standardbasisvektor) heißt \underline{Fundamentalsystem} des linearen Systems von DGLn. \\
+	Die Matrix $\phi =  \left[\varphi^{1},\dots,\varphi^{n} \right] $ der Spaltenvektoren $\varphi^{i}$ heißt \underline{Fundamentalmatrix} des linearen Systems von DGLn. \\
+	Diese Matrix ist regulär und löst die AWA (komponentenweise):
+		\[
+			\phi'(t) = A(t)\phi(t), \ \ \ \ t \geq t_{0}, \ \ \ \ \phi(t_{0}) = \mathbb{I}.
+		\]
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Inhomogene lineare Systeme]
+	Ein inhomogenes lineare System von DGLn ist der Form
+		\[
+			y'(t) = A(t)y(t) + b(t).
+		\]
+	Seien $A \colon [t_{0},\infty) \to \R^{n \times n}$, $b \colon [t_{0},\infty) \to \R^{n}$ stetig. Dann gilt:
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Für konstantes $c \in \R^{n}$ ist
+				\[
+					y_{b}(t) \coloneqq \phi(t) \left( \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + c \right)
+				\]
+				eine partikuläre Lösung des inhomogenen linearen Systems.
+		\item 	Alle Lösungen der inhomogenen Gleichung haben die Form:
+				\[
+					y(t) = y_{b}(t) + v(t),
+				\]				
+				wobei $v \in H$ (Lösungsraum des assoziierten homogenen Systems).
+		\item 	Gilt $c = y_{0}$, dann gilt $y_{b}(t_{0}) = y_{0}$.
+	\end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Sei $\psi \coloneqq \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + c$. Dann gilt für $t\geq t_{0}$: $\psi' = \phi^{-1}(t)b(t)$. Für $y_{b} = \phi\psi$ gilt dann:
+				\[
+					y_{b}' = \phi'\psi + \phi\psi' = A\phi\psi + \phi\phi^{-1}b = Ay_{b} + b.
+				\]
+				Also ist $y_{b}$ eine Lösung des inhomogenen Systems und gilt $c=y_{0}$, dann löst $y_{b}$ die AWA $y' = Ay + b$, $y(t_{0}) = y_{0}$. Daraus folgt 1) und 3).
+		\item 	Sei $y$ eine zweite Lösung des inhomogenen Systems. Für $w=y-y_{b}$ gilt dann:
+				\[
+					w' = y' - y_{b}' = Ay + b - (Ay_{b} + b) = A(y-y_{b}) = Aw.
+				\]
+				Also bereits $w \in H$.
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+	\begin{enumerate}[(1)]
+		\item 	Die Lösung $y_{b}(t) = \phi(t) \left( \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + y_{0} \right)$ entspricht genau der Lösung 
+				\[
+					y(t) = \exp\left( \int_{t_{0}}^{t} a(s) \d{s} \right) \left(y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \exp\left( -\int_{t_{0}}^{t} a(s) \d{s} \right)b(\tau) \d{\tau} \right)
+				\]
+				der skalaren linearen AWA $y'(t) = a(t)y(t) + b(t)$ ($t \geq t_{0}$) (Variation der Konstanten).
+		\item 	Für lineare DGL mit konstanten Koeffizienten 
+				\[
+					y'(t) = Ay(t), \ \ \ \ \ A \in \R^{n\times n}
+				\]
+				gibt es eine Lösungstheorie, die auf algebraische Argumente zurückgreift.
+	\end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\section{Randwertaufgaben}
+\begin{bem}
+	Wir betrachten nun sogenannte Randwertaufgaben/Randwertprobleme der Form: $f\colon I \times \R^{n} \to \R^{n}$, $r \colon \R^{n} \times \R^{n} \to \R^{n}$
+		\begin{salign*}
+			& y'(t) = f(t,y(t)), && t \in I = [a,b] \\
+			& r(y(a),y(b)) = 0
+		\end{salign*}
+	Gesucht ist eine stetig differenzierbare Lösung $y \colon I \to \R^{n}$ die beide Bedingungen erfüllt. Die zweite Bedingung lässt sich verallgemeinern zu einer Mehrpunkt RWA:
+		\[
+			r\left( y(t_{1}),\dots,y(t_{k}) \right) = 0.
+		\]
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}
+	Wann existieren solche Lösungen? Wir betrachten folgendes Beispiel:
+		\[
+			y'' + y = 0
+		\]
+	für $t \in [0,\pi]$. Dies ist äquivalent zu folgenden System:
+		\begin{salign*}
+			y_{1} = y,\ y_{2} = y', && 	\begin{cases}
+											y_{1}' = y_{2} \\
+											y_{2}' = -y_{1}
+										\end{cases}.
+		\end{salign*}
+	Dieses Problem hat die allgemeine Lösung
+		\[
+			y(t) = c_{1}\sin(t) + c_{2}\cos(t).
+		\]
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Für $y(0) = y(\pi)$, $y'(0)=y'(\pi)$. $r = \begin{pmatrix}
+				y_{1}(0)-y_{1}(\pi) \\ y_{2}(0)-y_{2}(\pi)
+				\end{pmatrix} = 0$ ist die Lösung des RWA $y(t) \equiv 0$, $t \in [0,\pi]$ eindeutig.
+		\item 	Für $y(0) = 0$, $y(\pi) = 0$, $r = \begin{pmatrix}
+				y_{1}(0) \\ y_{1}(\pi)
+				\end{pmatrix} = 0$ hat das RWA unendlich viele Lösungen $y(t) = c_{1}\sin(t)$ ($t \in [0,t]$).
+		\item 	Für $y(0) = 0$, $y(\pi) = 1$, $r = \begin{pmatrix}
+				y_{1}(0) \\ y_{1}(\pi) -1
+				\end{pmatrix} = 0$  hat das RWA keine Lösung.
+	\end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Allgemeine inhomogene lineare RWA]
+	Seien $B_{a}, B_{b} \in \R^{n\times n}$, $g \in \R^{n}$ sowie $A \colon I \to \R^{n\times n}$, $f \colon I \to \R^{n}$ stetig. Dann ist eine allgemeine inhomogene lineare RWA der Form:
+		\begin{salign*}
+			& y'(t) = A(t)y(t) + f(t), && t\in I \\
+			& B_{a}y(a) + B_{b}y(b) = g.
+		\end{salign*}
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+	Eine Lösung des inhomogenen DGL-System ist von der Form:	
+		\[
+			y(t,s) = \varphi^{0}(t) + \sum_{i=1}^{n} s_{i}\varphi^{i}(t) = \varphi^{0}(t) + \phi(t)s.
+		\]
+	Hier löst $\varphi^{0}$ die AWA:
+		\[
+			(\varphi^{0})'(t) = A(t)\varphi^{0}(t) + f(t), \ \ \ \ t \geq a, \ \varphi^{0}(a) = 0.
+		\]
+	$\varphi^{i}$ ($i \in \{1,\dots,n\}$) lösen die AWA:
+		\[
+			(\varphi^{i})'(t) = A(t)\varphi^{i}(t), \ \ \ \ t \geq a, \ \varphi^{i}(a) = e^{i}.
+		\]
+	$\varphi^{0}, \varphi^{i}$ ($i \in \{1,\dots,n\}$) sind eindeutige Lösungen, außerdem:
+		\[
+			\phi(t) = \left[\varphi^{1}(t),\dots,\varphi^{n}(t) \right].
+		\]
+	Offenbar löst $y(t,s)$ die DGL:
+		\begin{salign*}
+			y'(t,s) = (\varphi^{0})'(t) + \sum_{i=1}^{n} s_{i}(\varphi^{i})'(t) = A(t)\underbrace{\left(\varphi^{0}(t) + \sum_{i=1}^{n} s_{i}\varphi^{i}(t) \right)}_{y(t,s)} + f(t), \ \ \ t \geq t_{0}.
+		\end{salign*}
+	Wie muss $s \in \R^{n}$ gewählt werden? Ziel: $s \in \R^{n}$ so zu bestimmen, sodass gilt:
+		\[
+			B_{a}y(a,s) + B_{b}y(b,s) = g.
+		\]
+	Dies lässt sich umformen zu:
+		\[
+			B_{a}(\underbrace{\varphi^{0}(a)}_{=0} + \underbrace{\phi(a)}_{=\mathbb{I}}s) + B_{b}(\varphi^{0}(b) + \phi(b)s) = g.
+		\]
+	Also:
+		\[
+			\left( B_{a} + B_{b}\phi(b) \right)s = g - B_{b}\varphi^{0}(b).
+		\]
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[Existenzsatz für lineare RWA]
+	Die lineare RWA besitzt eine eindeutige Lösung $y(t)$ für beliebige $f(t)$ und $g$ genau dann, wenn $B_{a} + B_{b}\phi(b) \in \R^{n\times n}$ regulär ist, bzw. die assoziierte homogene RWA nur die triviale Lösung $y \equiv 0$ hat.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	\glqq $\Leftarrow$\grqq: Ist $B_{a} + B_{b}\phi(b) \in \R^{n\times n}$ regulär, so ist das System 
+		\[
+			\left( B_{a} + B_{b}\phi(b) \right)s = g - B_{b}\varphi^{0}(b)
+		\]
+		eindeutig lösbar für $s \in \R^{n}$ und somit löst $y(t,s)$ die RWA. \\
+	\glqq $\Rightarrow$\grqq: Die Lösung der RWA kann man darstellen als
+		\[
+			y(t) = \varphi^{0}(t) + \phi(t)s, \ \ \ s \in \R^{n},
+		\]
+	weil die Funktionen $\{ \varphi^{1},\dots,\varphi^{n}\}$ eine Basis des Lösungsraum des assoziierten homogenen DGL bilden. \\
+	Für homogene RWA gilt $g - B_{b}\varphi^{0}(b) = 0$ und die Gleichung für $s$ lautet
+		\[
+			\left( B_{a} +B_{b}\phi(b)\right)s = 0
+		\]
+	Daraus folgen alle Behauptungen.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+	Die Lösung einer linearen RWA ist im Kern die Lösung eines LGS.
+\end{bem}
+
+Nun betrachten wir die nichtlineare RWA
+	\[
+		y' = f(t,y), \ \ \ t \in [a,b], \ \ \ \ \ r(y(a),y(b)) = 0.
+	\]
+Frage: falls die nichtlineare RWA eine Lösung $y(t)$ besitzt, ist diese lokal eindeutig? \\
+Also existiert eine Umgebung $U_{R}(y) = \{ v \in C[a,b] \ | \ \norm{y-v}_{\infty} < R\}$, sodass keine andere Lösung $\tilde{y} \neq y$ existiert? \\
+Wir führen die Notationen
+	\begin{salign*}
+		f_{x}'(t,x) &= \left( \frac{\partial f_{i}(t,x)}{\partial x_{j}} \right)_{i,j=1}^{n} \\
+		r_{x}'(x,y) &= \left( \frac{\partial r_{i}(x,y)}{\partial x_{j}} \right)_{i,j=1}^{n} \\
+		r_{y}'(x,y) &= \left( \frac{\partial r_{i}(x,y)}{\partial y_{j}} \right)_{i,j=1}^{n}
+	\end{salign*}
+für die Jacobi-Matrizen von $f(t,\cdot)$, $r(\cdot,\cdot)$ ein.
+
+\begin{satz}[Lokale Eindeutigkeit]
+	Eine Lösung $y$ von nichtlinearen RWA ist lokal eindeutig genau dann, wenn die lineare RWA 
+		\begin{salign*}
+			& v'(t) = f_{x}'(t,y(t))v(t), \ \ \ \ \ \ t \in I, \\
+			& r_{x}'(y(a),y(b))\cdot v(a) + r_{y}'(y(a),y(b))\cdot v(b) = 0
+		\end{salign*}
+	nur die triviale Lösung $v \equiv 0$ besitzt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	Siehe Skript von Rolf Rannacher Seite 128.
+\end{proof}
+
+
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+
+
+
+
+
+
+
+\end{document}

ana2.tex

@@ -7,7 +7,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
 \section{Der Funktionen-Raum \texorpdfstring{$R[a,b]$}{\textit{R[a,b]}}}
 
 \begin{definition}
-    Eine $f\colon [a,b] \to \mathbb{C}$, $[a,b] \subset \R$ heißt
+    Eine Funktion $f\colon [a,b] \to \mathbb{C}$, $[a,b] \subset \R$ heißt
     Riemann-integrierbar auf $[a,b]$, falls $\text{Re}(f)$ und
     $\text{Im}(f)$ Riemann-integrierbar sind.
     Man setzt
@@ -21,7 +21,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
     \begin{enumerate}
         \item Analog: Definitionen von uneigentlichen Riemann-integralen für
             komplexwertige Funktionen
-        \item Die Rechenregeln f+r das reelle Riemann-integral übertragen sich auf komplexwertige
+        \item Die Rechenregeln für das reelle Riemann-integral übertragen sich auf komplexwertige
             Integrale, insbesondere gilt:
             \begin{align*}
                 \int_{a}^{b} \overline{f(x)} \d x &= \int_{a}^{b} \left( \text{Re}f(x) - i \cdot \text{Im}f(x) \right)  \d x \\
@@ -62,7 +62,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[Skalarprodukt]
-    Sei $V$ Vektorraum über $\mathbb{K}$. Die Abbildung $<\cdot, \cdot >\colon V \times V \to \mathbb{K}$
+    Sei $V$ Vektorraum über $\mathbb{K}$. Die Abbildung $\langle\cdot, \cdot \rangle\colon V \times V \to \mathbb{K}$
     heißt Skalarprodukt auf $V$, falls $\forall u, v, w \in V$ und $\alpha \in \mathbb{K}$ gilt:
     \begin{enumerate}[(S1)]
         \item $\langle v, u\rangle = \overline{\langle u, v\rangle}$ (Symmetrie,
@@ -150,7 +150,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
 
 \begin{definition}[Konvergenz im Quadratischen Mittel ($L^2$-Konvergenz)]
     Seien $f_n \in R[a,b], n \in \N, f \in R[a,b]$. $f_n$ konvergiert gegen $f$ im Quadratischen
-    Mittel $f_n \xrightarrow[L^2]{n \to \infty}$, wenn gilt
+    Mittel $f_n \xrightarrow[L^2]{n \to \infty}f$, wenn gilt
     \[
         \Vert f_n - f \Vert_{L^2} \xrightarrow{n \to \infty} 0
     .\] Das heißt, dass die quadratische Abweichung zwischen $f_n$ und $f$ gegen Null konvergiert:

ana20.tex

@@ -0,0 +1,349 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+    \chapter{Kurven im \texorpdfstring{$\R^{n}$}{R\unichar{"207F}}}
+    \section{Kurven}
+    \begin{definition}[Kurve]
+        Eine Kurve $\gamma$ im $\R^n$ ist eine stetige Abbildung $\gamma\colon I\to \R^n$, $I$ Intervall (z.B. $I = [a,b]$ oder $I = \R$). Schreibweise: \[\gamma(t) = \begin{pmatrix}
+            \gamma_1(t)\\
+            \vdots\\
+            \gamma_n(t)
+        \end{pmatrix}.\]
+        Dabei gilt $\gamma$ stetig $\Leftrightarrow$ $\gamma_i$ stetig $\forall i = 1,\dots, n$.
+    \end{definition}
+    \begin{bsp}
+        \begin{figure}[h]
+            \centering
+            \captionsetup[subfigure]{justification=justified,singlelinecheck=false}
+            \begin{subfigure}[b]{0.3\textwidth}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \draw[color=white] (-.5,-.5) -- (0,0);
+                    \draw[->,color=blue, thick] (0.5,0.5) -- node[above left] {$v$} (1.5,1.5);
+                    \draw (0,0) -- (2,2);
+                    \node at (0.5,0.5) {\textbullet};
+                    \node[below right] at (0.5,0.5) {$a$};
+                \end{tikzpicture}
+                \subcaption{Beispiel 1, Gerade}
+            \end{subfigure}
+            \begin{subfigure}[b]{0.3\textwidth}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \draw (0,0) circle (1.5cm);
+                    \node at (0,0) {\textbullet};
+                    \node[below right] at (0,0) {$a$};
+                    \draw[->, thick] (0,0) -- node[pos=.5, above left] {$r$} (1.05,1.05);
+                \end{tikzpicture}
+                \subcaption{Beispiel 2, Kreis}
+            \end{subfigure}
+            \begin{subfigure}[b]{0.35\textwidth}
+                \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
+                    \begin{axis}[
+                        grid = major
+                        ]
+                        \addplot3[variable=t,mesh,samples=70,domain=0:2] (cos(360*t), { sin(360* t) }, 0.5*t);
+                    \end{axis}
+                \end{tikzpicture}
+                \subcaption{Beispiel 3, Helix}
+            \end{subfigure}
+        \end{figure}
+        \begin{enumerate}
+            \item Gerade in $\R^n$ durch einen Punkt $a\in \R^n$ in Richtung $v \in \R^n\setminus\{0\}$:
+            \[
+                \gamma(t) = a + tv,\; I = \R.
+            \]
+            \item Kreis in $\R^2$ um $a\in \R^2$ mit Radius $r > 0$
+            \[
+                \gamma(t) = a + r\begin{pmatrix}
+                    \cos(t)\\
+                    \sin(t)
+                \end{pmatrix},\; t\in [0, 2\pi]  
+            \]
+            \item Helix in $\R^3$ mit $r > 0, c \neq 0$.
+            \[
+                \gamma(t) = \begin{pmatrix}
+                    r\cos(t)\\
+                    r\sin(t)\\
+                    c\cdot t
+                \end{pmatrix}
+            \]
+        \end{enumerate}
+    \end{bsp}
+    \begin{definition}[Differenzierbarkeit]
+        \begin{enumerate}
+            \item $\gamma$ heißt stetig differenzierbar, wenn $\gamma_1, \dots, \gamma_n$ stetig differenzierbar sind. Dabei bezeichnet man
+            \[\gamma'(t) = \begin{pmatrix}
+                \gamma_1'(t)\\
+                \vdots\\
+                \gamma_n'(t)
+            \end{pmatrix}\]
+            als Tangential- bzw. Geschwindigkeitsvektor.
+            \item $\gamma$ heißt regulär, wenn gilt: $\forall t\in I$ gilt $\gamma'(t)\neq 0$.
+            \item $r(t) \coloneqq \norm{\gamma'(t)}_2\colon I\to \R$ heißt Geschwindigkeit von $\gamma$.
+            \[
+                \norm{\gamma'(t)}_2 = \sqrt{|\gamma_1'(t)|^2 + \dots + |\gamma_n'(t)|^2}  
+            \]
+        \end{enumerate}
+    \end{definition}
+    \begin{figure}
+        \centering
+        \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
+            \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
+                \begin{axis}[axis lines=middle]
+                    \addplot [domain=-2:2,samples=40]({x^2-1},{x^3-x}); 
+                    \node[color=red] (a) at (0,0) {\textbullet};
+                \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+            \subcaption{Beispiel 4: nicht injektive Kurve,\\ \textcolor{red}{\textbullet} liegt bei $t = \pm 1$.}
+        \end{subfigure}
+        \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
+            \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
+                \begin{axis}[axis lines=middle]
+                    \addplot [domain=-2:2,samples=40]({x^2},{x^3}); 
+                    \node[color=red] (a) at (0,0) {\textbullet};
+                \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+            \subcaption{Beispiel 5: Neilsche Parabel, \textcolor{red}{\textbullet} liegt bei $t = 0$ und ist ein singulärer Punkt.}
+        \end{subfigure}
+    \end{figure}
+    \begin{bsp}
+        \begin{enumerate}
+            \item Gerade: $\gamma(t) = a + v\cdot t$.
+            \[
+                \gamma'(t) = \begin{pmatrix}
+                    v_1\\
+                    \vdots\\
+                    v_n
+                \end{pmatrix} = v,\; r(t) = \norm{v}_2 \xRightarrow{v\neq 0} \gamma \text{ ist regulär}
+            \]
+            \item Kreis: $\gamma(t) = a + r\begin{pmatrix}
+                \cos(t)\\
+                \sin(t)
+            \end{pmatrix}$.
+            \[
+                \gamma'(t) = r\begin{pmatrix}
+                    -\sin(t)\\
+                    \cos(t)
+                \end{pmatrix} \xRightarrow{r \neq 0} \gamma'(t) \neq 0\;\forall t,
+            \]
+            da $\sin$ und $\cos$ keine gemeinsamen Nullstellen haben.
+            \[
+                r(t) = \norm{\gamma'(t)}_2 = \sqrt{r^2\sin^2(t) + r^2\cos^2(t)} = r  
+            \]
+            \item Helix: $\gamma(t) = \left(r\cos(t), r\sin(t), ct\right)^T$
+            \[
+                \gamma'(t) = \begin{pmatrix}
+                    -r\sin(t)\\
+                    r\cos(t)\\
+                    c
+                \end{pmatrix} \neq 0\; (c \neq 0)
+            \]
+            Außerdem ist
+            \[
+                r(t) = \sqrt{r^2 + c^2} > 0  
+            \]
+            \item Kurven stellen nicht notwendig injektive Abbildungen dar.
+            \[
+                \gamma\colon \R\to \R^2,\quad \gamma(t) = \begin{pmatrix}
+                    t^2-1\\
+                    t^3-t
+                \end{pmatrix} 
+            \]
+            Das Bild von $\gamma$ ist $\gamma(\R) = \{(x,y)\in \R^2\colon y^2 = x^2 + x^3\}$. Dabei ist $\gamma(-1) = \begin{pmatrix}
+                0\\0    
+            \end{pmatrix} = \gamma(1)$. Allerdings ist $\gamma'(t) = \begin{pmatrix}
+                2t\\3t^2-1
+            \end{pmatrix}$ bei $-1$ gleich $\begin{pmatrix}
+                -2\\2
+            \end{pmatrix}$ und bei $1$ gleich $\begin{pmatrix}
+                2\\2
+            \end{pmatrix}$.
+            \item Neilsche Parabel $\gamma\colon \R \to \R^2, \quad \gamma(t) = (t^2, t^3)$. Das Bild von $\gamma$ ist $\gamma(\R) = \{(x,y) \in \R^2\colon x\geq 0, y = \pm \sqrt{x^3}\}$. Es gilt $\gamma'(t) = \begin{pmatrix}
+                2t\\3t^2
+            \end{pmatrix}$ und daher insbesondere $\gamma'(0) = \begin{pmatrix}
+                0\\0
+            \end{pmatrix}$. Daher ist $\gamma(t)$ nicht regulär und $t = 0$ ist ein singulärer Punkt.
+        \end{enumerate}
+    \end{bsp}
+    \begin{definition}[Tangente]
+        Sei $\gamma\in C^1(I;\R^n)$. Sei ein $t_0\in I$ regulär (d.h. $\gamma'(t_0) \neq 0$). Dann ist die Tangente an $\gamma(t_0)$ eine Gerade durch $\gamma(t_0)$ in Richtung $\gamma'(t_0)$
+        \[
+            \{\gamma(t_0) + s\gamma'(t_0) \mid s\in \R\}.  
+        \]
+    \end{definition}
+    \section{Die Bogenlänge}
+    Sei $\gamma\colon I \to \R^n$ eine stetige Kurve. Sei $\mathcal{Z} = \{t_0,t_1,\dots, t_M\},\;t_i\in I$ eine Partition des Intervalls $I$. $\mathcal{Z}$ definiert ein Sehnenpolygon von $\gamma$ mit Ecken $\gamma(t_0),\dots, \gamma(t_M)$ der Länge 
+    \[
+        S(\mathcal{Z})\coloneqq \sum_{i = 1}^{M}\norm{\gamma(t_i)- \gamma(t_{i-1})}_2,\; S(\mathcal{Z})\in \R.
+    \]
+    Sei $\mathcal{Z}^*$ eine weitere Partition des Intervalls $I$, die aus $z$ durch Hinzunahme weiterer Teilungspunkte entsanden ist, dann gilt $S(\mathcal{Z}^*) \geq S(\mathcal{Z})$.
+    Betrachte Teilintervall $[t_0,t_1]$ und sei $t_0 = s_0 < s_1 < \dots < s_K = t_1$, dann ist
+    \[
+        \norm{\gamma(t_1) - \gamma(t_0)} = \norm{\sum_{i = 1}^{K} \gamma(s_i) - \gamma(s_{i-1})} \leq \sum_{i = 1}^{K}\norm{\gamma(s_i) - \gamma(s_{i-1})} \implies S(\mathcal{Z}) \leq S(\mathcal{Z}^*).  
+    \]
+    Seien $\mathcal{Z}_1$ und $\mathcal{Z}_2$ zwei Zerlegungen und $\mathcal{Z}^*$ eine gemeinsame Verfeinerung. Dann gilt $S(\mathcal{Z}^*) \geq \max(S(\mathcal{Z}_1), S(\mathcal{Z}_2))$
+    \begin{definition}[Rektifizierbarkeit]
+        Eine stetige Kurve $\gamma\in C^0(I;\R^n)$ heißt rektifizierbar, wenn die Menge aller Längen $S(\mathcal{Z})$ von Polygonen zu Partitionen $\mathcal{Z}$ von $I$ beschränkt ist. In diesem Fall heißt $S(\gamma) \coloneqq \sup\{S(\mathcal{Z})\mid \mathcal{Z} \text{ Partition von } I\}$ die Länge von $\gamma$, in anderen Worten $\forall\epsilon > 0,\; \exists \delta > 0, \;\forall$ Partitionen von $I$ gilt:
+        \[
+            \max_i |t_{i-1} - t_i| < \delta \implies |S(\mathcal{Z}) - S(\gamma)| < \epsilon
+        \]
+    \end{definition}
+    \begin{bsp}[Lipschitz-stetige Kurven]
+        Sei $\gamma\colon I\to \R$ Lipschitz-stetig mit $|I| < \infty$, dann gilt für alle Zerlegungen $\mathcal{Z}$ von $I$:
+        \[
+            S(\mathcal{Z}) = \sum_{i = 1}^{M}\norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \oldstackrel{\gamma \text{ L-stetig}}{\le} \sum_{i = 1}^{M} L\cdot |t_i - t_{i-1}| = L\cdot |I|  
+        \]
+    Also ist $\gamma$ rektifizierbar.
+    \end{bsp}
+    \begin{satz}[Kurvenlänge stückweiser $C^1$-Kurven]
+        Sei $\gamma\in C^0([a,b],\R^n)$ eine stetige Kurve mit $[a,b]$ kompakt, $\gamma$ stückweise $C^1$, d.h. $\exists$ Zerlegung $a = s_0 < s_1 <\dots < s_M = b$ mit 
+        \[
+            \left.\gamma\right|_{[s_{i-1}, s_i]} \in C^1([s_{i-1},s_i], \R^n),\quad \forall i = 1, \dots, M.  
+        \]
+        Dann ist $\gamma$ rektifizierbar und hat die Länge \[S(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}_2\d t = \sum_{i = 1}^{M}\int_{s_{i-1}}^{s_i} \norm{\gamma'(t)}_2 \d t.\]
+        Insbesondere hat der Graph einer $C^1$-Funktion $f\in C^1([a,b], \R), \ \gamma_f(t)\coloneqq (t, f(t))^T$ die Länge \[S(\gamma_f) = \int_a^b \sqrt{1 + f'(t)^2} \d t.\]
+     \end{satz}
+     \begin{proof}
+         Sei $\mathcal{Z} = \{t_0, \dots, t_N\}$ eine Partition, betrachte $\mathcal{Z}^* = \mathcal{Z} \cup \{s_0,\dots, s_M\} = \{x_0,\dots, x_K\}$. Dann gilt
+         \begin{salign*}
+            S(\mathcal{Z}) &\leq S(\mathcal{Z}^*)\\
+            &= \sum_{i = 1}^{K}\norm{\gamma(x_i) - \gamma(x_{i-1})}\\
+            &\stackrel{\text{HDI}}{=} \sum_{i = 1}^{K}\norm{\int_{x_{i-1}}^{x_i} \gamma'(t)\d t}\\
+            &\stackrel{\triangle-\text{UGl.}}{\le} \sum_{i = 1}^{K}\int_{x_{i-1}}^{x_i} \norm{\gamma'(t)} \d t\\
+            &= \int_a^b\norm{\gamma'(t)}\d t 
+        \end{salign*}
+        Also ist $\gamma$ rektifizierbar und $S(\gamma) \leq \int_a^b \norm{y'(t)}\d t$.
+        Z.Z. $\forall \epsilon > 0\; \exists$ Zerlegung mit 
+        \[
+            S(\mathcal{Z}) \geq \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t - \epsilon.  
+        \]
+        Fixiere dazu ein $\epsilon > 0$. Wähle dann eine Treppenfunktion $\varphi$ auf $[a,b]$ mit \[\norm{\gamma'(t) - \varphi(t)} \le \frac{\epsilon}{2(b-a)} \quad \forall t\in [a,b]\setminus\{s_0,\dots, s_M\}\]
+        ($\varphi$ existiert, weil $\gamma'(t)$ stückweise stetig ist). Wähle ferner eine (feine) Partition $a = t_0< t_1< \dots < t_N = b$, s.d. $\varphi\big|_{[t_{i-1}, t_i]}$ konstant ist $\forall i = 1,\dots, N$. Dann gilt nämlich 
+        \begin{salign*}
+            S(Z) &= \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \gamma'(t) \d t}\\
+            &= \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t) + (\gamma'(t) - \varphi(t))\d t}\\
+            &\geq \sum_{i = 1}^{N}\left( \norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t)\d t} - \norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} (\gamma'(t) - \varphi(t)) \d t}\right)\\
+            &\geq \sum_{i = 1}^{N}\left( \norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t)\d t} - \frac{\epsilon}{2(b-a)} |t_i-t_{i-1}|\right)\\
+            &\geq \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t) \d t} - \sum_{i = 1}^{N}\frac{\epsilon}{2(b-a)}|t_i-t_{i-1}|\\
+            &= \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t) \d t} - \frac{\epsilon}{2}\\
+            &\stackrel{\varphi(t) = \mathrm{const}}{=} \sum_{i = 1}^{N}\int_{t_{i-1}}^{t_i} \norm{\varphi(t)} \d t - \frac{\epsilon}{2}\\
+            &= \sum_{i = 1}^{N}\int_{t_{i-1}}^{t_i}\norm{\gamma'(t) + (\varphi(t) - \gamma'(t))} \d t - \frac{\epsilon}{2}\\
+            &\stackrel{\text{analog}}{\geq} \sum_{i = 1}^{N}\int_{t_{i-1}}^{t_i} \norm{\gamma'(t)} \d t - \epsilon = \int_a^b\norm{\gamma'(t)} \d t - \epsilon
+        \end{salign*}
+        Also existiert für ein beliebiges $\epsilon > 0$ eine Zerlegung $\mathcal{Z}$ mit $S(\mathcal{Z}) \geq \int_a^b\norm{\gamma'(t)}\d t - \epsilon$. Zusammen mit $S(y) \leq \int_a^b\norm{\gamma'(t)}\d t$ folgt $S(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t$.
+     \end{proof}
+     \begin{figure}[h]
+        \centering
+        \captionsetup[subfigure]{justification=justified,singlelinecheck=false}
+        \begin{subfigure}[b]{0.3\textwidth}
+            \begin{tikzpicture}
+                \draw[color=white] (-.5,-.5) -- (0,0);
+                \draw[color=black] (1.5,0) -- node[below] {$r$} (0,0) -- node[below] {$r$} (200:1.5);
+                \draw[color=black] (.4,0) arc [start angle=0, end angle=200, radius=.4] node[pos=0.45, below] {$\varphi$};
+                \draw[color=blue] (1.5,0) arc [start angle=0, end angle=200, radius=1.5] node[near start, right] {$\gamma$};
+            \end{tikzpicture}
+            \subcaption{Beispiel 1: Kreisbogen}
+        \end{subfigure}
+        \begin{subfigure}[b]{0.6\textwidth}
+            \begin{tikzpicture}
+                \begin{axis}[axis equal image, axis lines=middle, xticklabels={0, $\pi$, $2\pi$}, xtick={0,3.14,6.28}, ymin=0,ymax=2.2, xmax=6.5, smooth]
+                    \addplot[blue, domain=0:6.28] ({x-sin(180/3.14 * x)},{1-cos(180/3.14 * x)});
+                    \node[blue] at (5.9,1) {$\gamma$};
+                    \draw (3.14,1) circle [radius=1];
+                    \node at (3.14,2) {\textbullet};
+                \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+            \subcaption{Beispiel 2: Zykloide}
+        \end{subfigure}
+     \end{figure}
+     \begin{bsp}
+         \begin{enumerate}
+             \item Kreisbogen: $\gamma(t) = \begin{pmatrix}
+                 r\cos(t)\\
+                 r\sin(t)\\
+             \end{pmatrix},\; \gamma \in C^\infty([0,\varphi], \R^2),\; r > 0,\; \varphi > 0$ fest. Es gilt $S(\gamma) = \int_0^\varphi\norm{\gamma'(t)}_2 \d t = \int_0^\varphi \norm{\begin{pmatrix}
+                 -r\sin(t)\\ r\cos(t)
+             \end{pmatrix}}_2 \d t = \int_0^\varphi r\d t = r\varphi$. Also ist der Umfang des Einheitskreises genau $\int_0^{2\pi} \underbrace{r}_{=1} \d t = 2\pi$.
+             \item Zykloide $\gamma\colon [0,2\pi] \to \R^2,\; r(t) = \begin{pmatrix}
+                 t-\sin(t)\\1-\cos(t)
+             \end{pmatrix}$.
+             Wir erhalten $\gamma'(t) = \begin{pmatrix}
+                 1 - \cos(t)\\\sin(t)
+             \end{pmatrix}$ und daher
+             $\norm{\gamma'(t)}_2^2 = 1 - 2 \cos(t) + \cos^2(t) + \sin^2(t) = 2 - 2\cos(t) = 4 \sin^2\!\left(\frac{t}{2}\right)$. Insgesamt gilt also
+             \[
+                S(\gamma) = \int_0^{2\pi} \left|\smash[b]{\underbrace{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)}_{\geq 0}}\right| \d t \oldstackrel{x = \frac{t}{2}}{=} 4\int_0^\pi \sin(x) \d x = 8
+                \vphantom{\underbrace{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)}_{\geq 0}}\]
+         \end{enumerate}
+     \end{bsp}
+     \section{Parametertransformationen}
+     \begin{definition}[Parametertransformation]
+        \begin{enumerate}
+            \item Sei $\varphi\colon [\alpha, \beta]\! \to\! [a,b]$ eine $C^k$-Abbildung $(k\in \N_0 \cup +\infty)$ zwischen den Intervallen $[\alpha,\beta]$ und $[a,b]$, 
+            sei außerdem $\varphi$ bijektiv und $\varphi^{-1} \in C^k([a,b],\;[\alpha, \beta])$.
+            Dann heißt $\varphi$ eine $C^k$-Parametertransformation. 
+            \item Sei weiter $\gamma\colon [a,b]\to\R^n$ eine Kurve. Dann heißt die Kurve $\delta:[\alpha, \beta] \to \R^n,\;\delta \coloneqq \gamma\circ \varphi$ die Umparametrisierung von $\gamma$ (mittels $\varphi$).
+            \item Die Parametertransformation $\varphi\colon [\alpha,\beta] \to [a,b]$ heißt orientierungstreu (oder orientierungserhaltend), wenn $\varphi$ streng monoton wächst; $\varphi$ heißt orientierungsumkehrend, wenn $\varphi$ streng monoton fällt.
+        \end{enumerate}
+    \end{definition}
+    \begin{bem}
+        \begin{enumerate}
+            \item Falls $\varphi$ eine $C^1$-Parametertransformation ist, dann gilt \[\varphi'(t) \neq 0,\;\forall t\in I,\]d.h. $\varphi$ ist ein Diffeomorphismus. Ferner heißt $\varphi$ orientierungstreu, falls $\varphi'(t) > 0$ und orientierungsumkehrend, falls $\varphi'(t) < 0$.
+            \item Die Bogenlänge $S(\gamma)$ ändert sich nicht beim Umparametrisieren: Seien $\varphi, \varphi^{-1}$ stetig differenzierbar, $\gamma\in C^1([a,b], \R^n)$. Dann gilt für die Bogenlänge 
+            \begin{salign*}
+                S(\gamma\circ \varphi) &= \int_\alpha^\beta \norm{(\gamma\circ \varphi)'(\tau)} \d \tau\\
+                &\stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \int_\alpha^\beta\norm{\gamma'(\varphi(\tau)) \cdot \varphi'(\tau)} \d \tau\\
+                &= \begin{cases}
+                    \int_\alpha^\beta \norm{\gamma'(\varphi(\tau))}\cdot \varphi'(\tau) \d \tau&\varphi'(\tau) > 0, \tau \in [\alpha, \beta]\\
+                    -\int_\alpha^\beta \norm{\gamma'(\varphi(\tau))}\cdot \varphi'(\tau) \d \tau&\varphi'(\tau) < 0, \tau \in [\alpha, \beta]\\
+                \end{cases}\\
+                &\stackrel{\substack{t=\varphi(\tau)\\\d t = \varphi'(\tau)\d \tau}}{=}
+                \begin{cases}
+                    \int_a^b\norm{\gamma'(t)} \d t&\varphi'(\tau) > 0, \tau \in [a,b]\\
+                    -\int_b^a \norm{\gamma'(t)} \d t &\varphi'(\tau) < 0, \tau \in [a,b]\\
+                \end{cases}\\
+                &= \int_a^b\norm{\gamma'(t)} \d t\\
+                &= S(\gamma)
+            \end{salign*}
+            \item Umparametrisierung auf Bogenlänge. Sei $\gamma\colon [a,b] \to \R^n$ eine reguläre $C^1$-Kurve, d.h. $\gamma'(t) \neq 0 \ \forall t\in [a,b]$. Definiere die Abbildung $\sigma\colon [a,b] \to [0, S(\gamma)]$ durch 
+            \[
+                \sigma(t) \coloneqq \int_a^t\norm{\gamma'(\tau)} \d \tau \left(= S\left(\gamma(t)\big|_{[a,t]}\right)\right).
+            \]
+            Wir können zeigen, dass $\varphi\coloneqq \sigma^{-1}$ eine orientierungstreue $C^1$-Parametertransformation ist und für die (\glqq auf Bogenlänge\grqq) umparametrisierte Kurve $\beta\colon [0,S(\gamma)]\to \R^n$ gilt \[S\left(\beta\big|_{[0,x]}\right) = x,\; \norm{\beta'(x)} = 1,\; \forall x\in [0,S(\gamma)].\]
+            \begin{proof}
+                Es gilt $\sigma \in C^1([a,b];\;[0,S(\gamma)])$ mit $\sigma'(t) = \norm{\gamma'(t)} > 0$. Daher ist $\sigma$ streng monoton wachsend und bijektiv. Wegen Satz \ref{umkehrfunktion} folgt 
+                \[
+                    \underbrace{\sigma^{-1}}_{\eqqcolon \varphi} \in C^1([0,S(y)];\; [a,b]),\; (\sigma^{-1})'(x) = \varphi'(x) = \frac{1}{\norm{\gamma'(\varphi(x))}} > 0.
+                \]
+                Also ist $\varphi$ streng monoton wachsend und daher muss $\varphi$ orientierungstreu sein. Für  \[\beta\colon [0,S(\gamma)]\to \R^n,\quad \beta \coloneqq \gamma \circ \varphi\] gilt \[\beta'(x) \oldstackrel{\text{Kettenregel}}{=} \gamma'(\varphi(x))\cdot \varphi'(x) = \frac{\gamma'(\varphi(x))}{\norm{\gamma'(\varphi(x))}}.\] Also erhalten wir $\norm{\beta'(x)} = 1\;\forall x\in [0,S(\gamma)]$ und damit $S\left(\beta|_{[0,x]}\right) = \int_0^x \norm{\beta'(s)}\d s = x$.
+            \end{proof}
+        \end{enumerate}
+    \end{bem}
+
+    \begin{bsp}
+        Umparametrisierung auf Bogenlänge einer Zykloide: Es gilt $\gamma(t) = (t-\sin t, 1-\cos t)^T$ und damit
+        \begin{align*}
+            \norm{\gamma'(t)} &= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right), \qquad 0\le t \le 2\pi\\
+            \implies \norm{\gamma'(t)} &> 0 \qquad \text{für }  2\varepsilon \le t \le 2\pi-2\varepsilon, \ \varepsilon > 0
+        \end{align*}
+        Betrachte also $\gamma \colon [2\varepsilon, 2\pi-2\varepsilon] \to \R^2$. Wir definieren
+        \begin{salign*}
+            \sigma(t) &= S\left(\gamma\big|_{[2\varepsilon,t]}\right)\\
+            &= \int_{2\varepsilon}^t \norm{\gamma'(\tau)} \d \tau \\
+            &= 2\int_{2\varepsilon}^t \sin\left(\frac{\tau}{2}\right) \d \tau \\
+            &\stackrel{\substack{s=\tau/2\\\mathrm{d} s=\mathrm{d}\tau/2}}{=} 4\int_{\varepsilon}^{t/2} \sin s \d s\\
+            &= -4\cos s\big|_{\varepsilon}^{t/2}
+             = 4\left(\cos\varepsilon - \cos\frac{t}{2}\right)
+        \end{salign*}
+        Somit gilt $\sigma \colon [2\varepsilon,2\pi-2\varepsilon] \to [0,8\cos\varepsilon]$. Ziel:
+        \begin{align*}
+            \varphi \colon [0,8\cos\varepsilon] &\to [2\varepsilon,2\pi-2\varepsilon]\\
+            s &\mapsto \varphi(s)=t
+        \end{align*}
+        Dazu setzen wir $\varphi = \sigma^{-1}$ und bestimmen die Umkehrfunktion von $\sigma$
+        \begin{align*}
+            s &= 4\left(\cos\varepsilon - \cos\frac{t}{2}\right)\\
+            \implies \cos\frac{t}{2} &= \cos\varepsilon - \frac{s}{4}\\
+            \implies t &= \underbrace{2 \arccos\left(\cos\varepsilon-\frac{s}{4}\right)}_{\varphi\mathrlap{(s), \ s \in [0,8\cos\varepsilon]}}
+        \end{align*}
+        Insgesamt erhalten wir $\beta(s) = \gamma(\varphi(s))$.
+    \end{bsp}
+\end{document}

ana21.tex

@@ -0,0 +1,263 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\section{Kurvenintegrale}
+
+\begin{definition}[Integrationsweg]
+    Eine Kurve $\gamma \in C^0([a,b],\R^n)$ heißt Integrationsweg, falls $\gamma$ stetig und stückweise eine $C^1$-Abbildung ist.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Skalares Kurvenintegral]
+    Sei $D \subset \R^n, \ \gamma \colon [a,b] \to D$ ein Integrationsweg und $f\colon D \to \R$ stetig. Dann heißt
+    \[\int_\gamma f \d s \coloneqq \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \norm{\gamma'(t)} \d t\]
+    das skalare Kurvenintegral von $f$ längs $\gamma$. Dabei heißt $\d s = \norm{\gamma'(t)} \d t$ das skalare Bogenelement von $\gamma$ und $f$ wird \underline{Skalarfeld} genannt.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item $f \equiv 1$: Das Kurvenintegral $\int_\gamma \d s = \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t = S(\gamma)$ entspricht der Länge von $\gamma$.
+        \item Dichtefunktion $\rho(s)$:
+        \begin{align*}
+            \rho(\gamma(t)) &: \text{ Dichte verteilt auf } \gamma(t)\\
+            \int_\gamma \rho(s) \d s \eqqcolon \mu(\gamma) &: \text{ Gesamtmasse von } \gamma
+        \end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item Das Kurvenintegral ist linear:
+        \[\int_\gamma (\lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2) \d s = \lambda_1 \int_\gamma f_1\d s + \lambda_2 \int_\gamma f_2 \d s\]
+        \item Es gilt die Abschätzung
+        \begin{align*}
+            \left|\int_\gamma f \d s\right| &= \left|\int_a^b f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t\right| \\
+            &\le \sup_{s\in [a,b]} \left|f(\gamma(s))\right| \cdot \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t \\
+            &= \sup_{s\in [a,b]} \left|f(\gamma(s))\right| \cdot S(\gamma).
+        \end{align*}
+        \item Das Kurvenintegral ist invariant unter $C^1$-Parametertransformation. Sei $\varphi \colon [\alpha, \beta] \to [a,b]$ eine $C^1$ Parametertransformation. Dann gilt
+        \begin{salign*}
+            \int_{\gamma\circ\varphi}f \d s &= \int_\alpha^\beta f(\gamma(\varphi(s))) \norm{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\gamma(\varphi(s))} \d s \\
+            &\stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \int_\alpha^\beta f(\gamma(\varphi(s))) \norm{\gamma'(\varphi(s)) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \varphi(s)} \d s \\
+            &= \begin{cases}
+                \int_\alpha^\beta f(\gamma(\varphi(s))) \norm{\gamma'(\varphi(s))} \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \varphi(s)\right) \d s, & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\varphi(s) > 0 \\
+                \int_\alpha^\beta f(\gamma(\varphi(s))) \norm{\gamma'(\varphi(s))} \left(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \varphi(s)\right) \d s, & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\varphi(s) < 0
+            \end{cases} \\
+            &\stackrel{\substack{t=\varphi(s)\\\d t = \varphi'(s)\d s}}{=}
+            \begin{cases}
+                 \int_a^b f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t, & \varphi'(s) > 0 \\
+                -\int_b^a f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t, & \varphi'(s) < 0
+            \end{cases} \\
+            &= \int_a^b f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t\\
+            &= \int_\gamma f \d s
+        \end{salign*}
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{definition}[Vektorfeld]
+    Ein Vektorfeld $F$ auf $D\subset \R^n$ ist eine Abbildung von $D$ nach $\R^n$, d.h. jedem $x\in D$ wird ein Vektor $F(x) \in \R^n$ zugeordnet.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item Windungsfeld
+        \[W\colon \R^2\setminus \{0\} \to \R^2, \quad W(x,y) \coloneqq \frac{1}{\norm{(x,y)}_2^2}\begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}\]
+        \item Gravitationsfeld
+        \[G\colon \R^3\setminus \{0\} \to \R^3, \quad G(x,y,z) \coloneqq -\frac{1}{\norm{(x,y,z)}_2^2}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}\]
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[scale=1]
+            \begin{axis}
+                [axis lines=middle,
+                 axis lines=middle,
+                 axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length
+                 xmin=-1, xmax=1.1, % Axis limits
+                 ymin=-1, ymax=1.1,
+                 ticks=none,
+                 xlabel=$x$,
+                 ylabel=$y$
+                ]
+                \foreach \r in {0.4, 0.6, 0.8}
+                \addplot[domain=0:360*(1-1/(20*\r)),
+                    blue, samples=20*\r,
+                    quiver={u={-y/(x^2+y^2)}, v={x/(x^2+y^2)}, scale arrows=0.1, every arrow/.append style={-latex} }] ({\r*sin(x)},{\r*cos(x)}); % polar coordinates
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+        \subcaption{Beispiel 1: Windungsfeld}
+    \end{subfigure}
+    \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[scale=1]
+            \begin{axis}
+                [axis lines=middle,
+                 axis lines=middle,
+                 axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length
+                 xmin=-1, xmax=1.1, % Axis limits
+                 ymin=-1, ymax=1.1,
+                 ticks=none,
+                 xlabel=$x$,
+                 ylabel=$y$
+                ]
+                \foreach \r in {0.4, 0.6, 0.8}
+                \addplot[domain=0:360*(1-1/(20*\r)), 
+                    red, samples=20*\r,
+                    quiver={u={-x/(x^2+y^2)}, v={-y/(x^2+y^2)}, scale arrows=0.1, every arrow/.append style={-latex} }] ({\r*sin(x+180/(20*\r))},{\r*cos(x+180/(20*\r))}); %polar coordinates
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+        \subcaption{Beispiel 2: Gravitationsfeld bei $z=0$.}
+    \end{subfigure}
+\end{figure}
+
+\begin{definition}[Vektorielles Kurvenintegral]
+    Sei $\gamma\colon [a,b] \to D\subset \R^n$ ein Integrationsweg und $F\colon D\to \R^n$ ein stetiges Vektorfeld. Dann ist das (vektorielle) Kurvenintegral von $F$ längs $\gamma$ definiert durch
+    \[\int_\gamma F = \int_\gamma F\d{\vec s} \coloneqq \int_a^b \underbrace{\left(F(\gamma(t)), \gamma'(t)\right)}_{\text{Skalarprodukt}} \d t = \int_a^b \sum_{i=1}^n F_i(\gamma(t)) \cdot \gamma'_i(t) \d t\]
+    Alternative Schreibweise: $\int_\gamma F = \int_\gamma F_1\d{x_1} + \dots + F_n\d{x_n} $
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    Kurvenintegral des Windungsfelds $W\colon \R^2\setminus \{0\} \to \R^2, \ W(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2} \begin{pmatrix} -y \\ x  \end{pmatrix}$ längs $\gamma(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix}, \ \gamma \colon [0,2\pi] \to \R^2 \setminus \{0\}$.
+    \begin{align*}
+        \int_\gamma W &= \int_\gamma -\frac{y}{x^2+y^2}\d x + \frac{x}{x^+y^2}\d y\\
+        &= \int_0^{2\pi} \left(-\frac{\sin t}{\cos^2t+\sin^2t}(-\sin t) + \frac{\cos t}{\cos^2t+\sin^2t}\cos t\right) \d t \\
+        &= \int_0^{2\pi} \left(\sin^2t+\cos^2t\right) \d t = 2\pi
+    \end{align*}
+\end{bsp}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+        Das Kurvenintegral ist linear: $$\int_\gamma (\lambda_1F_1+\lambda_2F_2)=\lambda_1\int_\gamma F_1+\lambda_2\int_\gamma F_2$$
+        \item
+        Standard-Abschätzung: $$\left|\int_\gamma F \right|=\left|\int_a^b\bigl(F(\gamma(t)),\gamma'(t)\bigr)\, \d t \right|\leq \sup_{t\in [a,b]}\norm{F(\gamma(t))}\cdot S(\gamma)$$
+        \item
+        Invarianz unter orientierungstreuen $C^1$-Parametertransformationen. Sei $\varphi \colon [\alpha,\beta]\to [a,b]$ eine $C^1$-Parametertransformation mit $\varphi'(s)>0,\ \forall s\in [\alpha,\beta]$ ($\Longleftrightarrow$ orientierungstreu). Dann gilt \begin{salign*}
+            \int_{\gamma \circ \varphi}F&=\int_\alpha^\beta \left(F(\gamma(\varphi(s))),\frac{\d}{\d s}\gamma(\varphi(s)) \right) \d s\\
+            &=\int_\alpha^\beta \left(F(\gamma(\varphi(s))),\gamma'(\varphi(s))\cdot \frac{\d \varphi}{\d s}(s) \right) \d s\\
+            &=\int_\alpha^\beta \left(F(\gamma(\varphi(s))),\gamma'(\varphi(s)) \right)\frac{\d \varphi}{\d s}(s) \d s\\
+            &\stackrel{\substack{t=\varphi(s)\\ \d t=\varphi'(s)\d s}}{=}\int_a^b\bigl(F(t),\gamma'(t)\bigr)\d t\\
+            &=\int_\gamma F.
+        \end{salign*}
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{definition}[Gebiet]
+    $U\subset \R^n$ heißt Gebiet, falls $U$ offen ist und wegzusammenhängend, d.h. $\forall \,x,y\in U$ existiert $\gamma \in C^0([a,b],U)$ mit $\gamma(a)=x$ und $\gamma(b)=y$.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    Sei $U\subset \R^n$ offen. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: \begin{enumerate}
+        \item 
+        $\forall \,x,y\in U$ existiert ein Integrationsweg $\gamma \colon [a,b]\to U$ mit $\gamma(a)=x$ und $\gamma(b)=y$.
+        \item
+        $U$ ist wegzusammenhängend.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Ohne Beweis.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+        Sei $U=K_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix}\, \cup \, K_1\begin{pmatrix} 3 \\ 0\end{pmatrix}$. $U$ ist kein Gebiet, denn es existiert kein stetiger Weg von $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ nach $\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ in $U$.
+        \item
+        $U\subset \R$ Gebiet $\Longleftrightarrow$ $U$ offenes Intervall
+    \end{enumerate} 
+\end{bsp}
+
+\section{Potential}
+
+\begin{definition}[Geschlossene Kurve]
+    Eine Kurve $\gamma \in C^0([a,b],\R^n)$ heißt \underline{geschlossen}, falls $\gamma(a)=\gamma(b)$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Potential]
+    Sei $D\subset \R^n$ und $F\in C^0(D,\R^n)$ ein stetiges Vektorfeld. $\varphi \in C^1(D,\R)$ heißt \underline{Potential} oder \underline{Stammfunktion} von $F$ in $D$, falls $\nabla \varphi=F$ gilt. $F$ heißt in diesem Fall \underline{konservativ} auf $D$.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Erster Hauptsatz über Kurvenintegrale]
+    Sei $D\subset \R^n$ ein Gebiet und $F\in C^0(D,\R^n)$. Dann sind folgend Aussagen äquivalent:
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item F ist konservativ.
+        \item
+        $\int_\gamma F=0$ für alle geschlossenen Integrationswege $\gamma$ in $D$.
+        \item
+        Das Kurvenintegral von $F$ in $D$ ist wegunabhängig, d.h. für beliebige Integrationswege $\gamma_1\colon [a,b]\to D,\ \gamma_2\colon [\alpha,\beta]\to D$ mit $\gamma_1(a)=\gamma_2(\alpha)$ und $\gamma_1(b)=\gamma_2(\beta)$ gilt $$\int_{\gamma_1}F=\int_{\gamma_2}F.$$
+    \end{enumerate}
+    In diesem Fall erhalten wir eine Stammfunktion $\varphi_0\in C^1(D,\R)$ durch $\varphi_0(x)\coloneqq \int_\gamma F$, wobei $\gamma$ ein Integrationsweg von einem gewählten Punkt $x_0\in D$ zu $x\in D$ ist. Die Menge aller Potentiale von $F$ ist gegeben durch $\{\varphi_0+c\,|\,c\in \R\}$.
+    \label{satz:hauptsatz-1-kurven}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    (i)$\implies$(ii): Sei $F = \nabla \varphi$, $\varphi \in C^{1}(D, \R)$ und $\gamma\colon [a,b] \to D$
+    geschlossener Integrationsweg. Dann folgt
+    \begin{salign*}
+        \int_{\gamma} F &\stackrel{\text{Def.}}{=} \int_{a}^{b} (F(\gamma(t)), \gamma'(t)) \d t \\
+        &= \int_{a}^{b} (\nabla \varphi(\gamma(t)), \gamma'(t)) \d t \\
+        &\stackrel{\gamma \text{ stückweise } C^{1}}{=}
+        \sum_{i=1}^{M} \int_{s_{i-1}}^{s_i} (\nabla \varphi(\gamma(t)), \gamma'(t)) \d t \\
+        &\stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \sum_{i=1}^{M} \int_{s_{i-1}}^{s_i} \frac{\d}{\d t} (\varphi \circ \gamma) \d t \\
+        &\stackrel{\text{HDI}}{=} \sum_{i=1}^{M} \left( \varphi(\gamma(s_i)) - \varphi(\gamma(s_{i-1})) \right) \\
+        &= \varphi(\gamma(b)) - \varphi(\gamma(a)) \\
+        &\stackrel{\gamma(b) = \gamma(a)}{=} 0
+    .\end{salign*}
+
+    (ii)$\implies$(iii): Nach Umparametrisierung gelte o.E. $[a,b] = [-1, 0] = [\alpha, \beta]$. Seien
+    $\gamma_1, \gamma_2\colon [-1,0] \to D$ Integrationswege mit gleichem Anfangs und Endpunkt, d.h.
+    $\gamma_1(-1) = \gamma_2(-1)$ und $\gamma_1(0) = \gamma_2(0)$. Dann betrachte
+    \begin{align*}
+        \gamma &\colon [-1, 1] \to D \\
+               t& \mapsto \begin{cases}
+                   \gamma_1(t) & t \in [-1, 0] \\
+                   \gamma_2(-t) & t \in [0, 1]
+               \end{cases}
+    .\end{align*}
+    Dann ist $\gamma$ ein geschlossener Integrationsweg, also folgt
+    \begin{salign*}
+        0 &= \int_{\gamma}^{} F \\
+        &= \int_{-1}^{0} (F(\gamma_1(t)), \gamma_1'(t)) \d t + \int_{0}^{1} (F(\gamma_2(-t)), - \gamma_2'(-t)) \d t \\
+        &\stackrel{s \coloneqq -t}{=} \int_{\gamma_1}^{} F + \int_{0}^{-1} (F(\gamma_2(s)), \gamma_2'(s)) \d s \\
+        &= \int_{\gamma_1}^{} F - \int_{\gamma_2}^{} F  
+    .\end{salign*}
+
+    (iii) $\implies$ (i): Fixiere $x_0 \in D$ und definiere $\varphi_0\colon D \to \R$ durch
+    $\varphi_0(x) \coloneqq \int_{\gamma}^{} F$, wobei
+    $\gamma$ irgendein Integrationsweg von $x_0$ nach $x$ ist. Zu $x \in D$ betrachte
+    $x + h e_i \in D$ für $|h| \ll 1$. Nach Umparametrisierung gelte o.E.
+    \begin{align*}
+        &\gamma_x \colon [-1, 0] \to D \\
+        &\gamma_{x + h e_i}\colon [-1, 1] \to D \\
+        &\gamma_{x + h e_i} \coloneqq \begin{cases}
+            \gamma_x(t) & t \in [-1, 0] \\
+            x + t h e_i & t \in [0,1]
+        \end{cases}
+    .\end{align*}
+    Dann folgt
+    \begin{salign*}
+        \frac{\partial \varphi_0(x)}{\partial x_i} &= \lim_{h \to 0} \frac{\varphi_0(x + h e_i) - \varphi_0(x)}{h} \\
+        &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \int_{\gamma_{x + h e_i}} F - \int_{\gamma_x}^{} F \right) \\
+        &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{0}^{1} \left( F(x + t h e_i), \gamma'_{x + h e_i}(t) \right)  \d t \\
+        &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{0}^{1} ( F(\underbrace{x + t h e_i}_{\xrightarrow{h \to 0} F(x)}), h e_i )  \d t \\
+        &= \int_{0}^{1} (F(x), e_i) \d t \\
+        &= F_i(x)
+    .\end{salign*}
+    Damit ist $\varphi_0 \in C^{1}(D, \R)$ und $\nabla \varphi_0 = F$. Das zeigt (i).
+
+    Sei $\gamma$ ein Integrationsweg von $x_0 \in D$ nach $x \in D$. Dann definiere
+    \[
+        \varphi_0(x) \coloneqq \int_{\gamma} F
+    .\]
+    Sei weiter $\varphi \in C^{1}(D, \R)$ mit $\nabla \varphi = F$. Dann gilt wegen (i) und (ii):
+    \[
+        \int_{\gamma} F = \varphi(x) - \varphi(x_0)
+    .\] Damit folgt
+    \[
+        \varphi(x) - \varphi(x_0) = \varphi_0(x) \implies \varphi(x) = \varphi_0(x) + \underbrace{\varphi(x_0)}_{\text{konst.}} = \varphi_0(x) + c
+    .\] 
+\end{proof}
+
+\end{document}

ana22.tex

@@ -0,0 +1,269 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\begin{bsp}
+    \label{bsp:windungsfeld}
+    \begin{enumerate}
+        \item Windungsfeld:
+            \[
+                W(x,y) \coloneqq \frac{1}{x^2 + y^2} \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} 
+            .\] $D \coloneqq \R^2 \setminus \left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} $. $W$ ist
+            nicht konservativ auf $D$ weil mit $\gamma\colon [0, 2\pi] \to \R^2$,
+            $\gamma(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} $ ist
+            \[
+            \int_{\gamma} W = 2 \pi \neq 0
+            .\] Aber mit $D \coloneqq \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}   \mid y > 0\right\} $
+            ist
+            \[
+                \varphi(x,y) \coloneqq - \arctan\left( \frac{x}{y} \right) 
+            \] ein Potential von $W$ auf $D$, denn
+            \begin{align*}
+                \frac{\partial \varphi(x,y)}{\partial x} &= -\frac{1}{1 + \frac{x^2}{y^2}} \frac{1}{y} = - \frac{y}{x^2 + y^2} \\
+                \frac{\partial \varphi(x,y)}{\partial y} &= \frac{x}{x^2 + y^2}
+            .\end{align*}
+            Die Existenz eines Potentials hängt also auch von $D$ ab.
+        \item Suche nach einem Potential:
+            $F\colon \R^2 \to \R^2$, $F(x,y) \coloneqq \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} $.
+            Falls Potential existiert, dann gilt
+            \[
+                \varphi_0(x,y) \coloneqq \int_{\gamma} F
+            .\] mit z.B. $\gamma(t) \coloneqq t \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $, $t \in [0,1]$.
+            Dann gilt
+            \begin{salign*}
+                \int_{\gamma} F &= \int_{0}^{1} \left( F(\gamma(t)), \gamma'(t) \right)  \d t \\
+                &= \int_{0}^{1} \left( \begin{pmatrix} ty \\ tx \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}  \right)  \d t \\
+                &= \int_{0}^{1} \left( t y x + tx y \right) \d t \\
+                &= \int_{0}^{1} 2 t x y  \d t \\
+                &= xy
+            .\end{salign*}
+            Definiere $\varphi = xy$. Dann ist $\frac{\partial \varphi}{\partial x} = y = F_1(x,y)$
+            und $\frac{\partial \varphi}{\partial y} x = F_2(x,y)$. Also $\nabla \varphi = F$.
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\section{Existenz von Potentialen}
+
+Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und $F \in C^{1}(D, \R^{n})$ ein konservatives Vektorfeld. Dann existiert
+ein $\varphi \in C^2(D, \R)$ mit $\nabla \varphi = F$, d.h. $\frac{\partial \varphi}{\partial x_i} = F_i$
+für $i = 1, \ldots, n$. Da $\varphi$ zweimal stetig differenzierbar, folgt
+\begin{align*}
+\frac{\partial F_i}{ \partial x_j} = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_j \partial x_i}
+= \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial F_j}{\partial x_i}
+.\end{align*}
+
+Ist also $F \in C^{1}(D, \R^{n})$ konservativ, dann gelten notwendig die \underline{Integrabilitätsbedingungen}
+\[
+\frac{\partial F_i}{\partial x_j} - \frac{\partial F_j}{\partial x_i} \equiv 0 \qquad \forall i, j = 1,\ldots,n
+.\]
+Speziell für $n = 2$:
+\[
+\frac{\partial F_2}{\partial x_1} = \frac{\partial F_1}{\partial x_2}
+.\] Für $n = 3$:
+\[
+    \text{rot}(F) \coloneqq \begin{pmatrix} \frac{\partial F_3}{\partial x_2} - \frac{\partial F_2}{\partial x_3} \\
+    \frac{\partial F_1}{\partial x_3} - \frac{\partial F_3}{\partial x_1} \\
+\frac{\partial F_2}{\partial x_1} - \frac{\partial F_1}{\partial x_2}\end{pmatrix}  = 0
+.\]
+
+Die Integrabilitätsbedingungen sind nicht hinreichend.
+
+\begin{bsp}[Windungsfeld]
+    \[
+        W(x,y) \coloneqq \frac{1}{x^2 + y^2} \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} 
+    .\] Dann gilt
+    \begin{align*}
+        \frac{\partial W_y}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{x^2 + y^2} \right)
+        = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} \\
+        \frac{\partial W_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( - \frac{y}{x^2 + y^2} \right)
+        = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}
+    .\end{align*}
+    Also gilt $\frac{\partial W_y}{\partial x} = \frac{\partial W_x}{\partial y}$ auf $D \coloneqq \R^2 \setminus \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}  \right\} $, aber auf $D$ existiert kein Potential
+    (vgl. \ref{bsp:windungsfeld}).
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Homotopie]
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ und $\gamma_0, \gamma_1 \in C\left( [a,b], D \right) $ stetige
+    Kurven.
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Es gelte $\gamma_0(a) = A = \gamma_1(a)$ und
+            $\gamma_0(b) = B = \gamma_1(b)$. $\gamma_0$ und $\gamma_1$ heißen \underline{homotop} in $D$, falls
+            eine stetige Abbildung $H\colon [a,b] \times [0,1] \to D$ (Homotopie) existiert, s.d.
+            $H(t, 0) = \gamma_0(t)$ und $H(t,1) = \gamma_1(t)$, $\forall t \in [a,b]$ sowie
+            $H(a, s) = A$ und $H(b,s) = B$, $\forall s \in [0,1]$.
+
+            Für $s \in [0,1]$ sind
+            $\gamma_s(t) \coloneqq H(t,s)$, $t \in [a,b]$ mit $\gamma_s(a) = A$ und $\gamma_s(b) = B$
+            stetige Kurven von $A$ nach $B$ in $D$. $H$ heißt stetige Deformation von $\gamma_0$ nach
+            $\gamma_1$.
+        \item $\gamma_0$ und $\gamma_1$ seien geschlossen. $\gamma_0$ und $\gamma_1$ heißen
+            \underline{frei homotop} in $D$, falls eine stetige Abbildung
+            $H\colon [a,b] \times [0,1] \to D$ existiert mit $H(t,0) = \gamma_0(t)$ und $H(t,1) = \gamma_1(t)$, $\forall t \in [a,b]$ und
+            $H(a,s) = H(b,s)$, $\forall s \in [0,1]$, d.h. für $s \in [0,1]$ ist $\gamma_s(t) \coloneqq H(t,s)$
+            eine geschlossene Kurve in $D$.
+
+            $H$ heißt stetige Deformation innerhalb von $D$ der
+            geschlossenen Kurve $\gamma_0$ nach der geschlossenen Kurve $\gamma_1$.
+        \item Eine geschlossene Kurve heißt \underline{zusammenziehbar} in $D$, wenn sie frei homotop zu
+            einer konstanten Kurve ist, d.h. sie sich in $D$ zu einem Punkt zusammenziehen lässt.
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+
+\begin{figure}[ht!]
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+        \draw (0,0) -- node[left] {$s$} (0,2);
+        \draw (3,0) -- (3,2);
+        \draw[red] (0,0) -- node[below, black] {$t$} (3,0);
+        \draw[blue] (0,2) -- (3,2);
+        \draw[densely dashed] (0,0.67) -- (3,0.67);
+        \draw[densely dotted] (0,1.33) -- (3,1.33);
+        \node[below] at (0.1,0) {$a$};
+        \node[below] at (2.9,0) {$b$};
+        \node[left] at (0,0.15) {$0$};
+        \node[left] at (0,1.85) {$1$};
+
+        \draw[->] (4,1) -- node[above] {$H$} (6,1);
+
+        \draw[blue] (7,0) node[below left, black] {$A$} .. controls (8,2) .. node[sloped] {\tiny $\blacktriangleright$} (10,2) node[above right, black] {$B$};
+        \draw[red] (7,0) .. controls (9,0) .. node[sloped] {\tiny $\blacktriangleright$} (10,2);
+        \draw[densely dashed] (7,0) .. controls (8.7,0.6) .. node[sloped] {\tiny $\blacktriangleright$} (10,2);
+        \draw[densely dotted] (7,0) .. controls (8.3,1.4) .. node[sloped] {\tiny $\blacktriangleright$} (10,2);
+
+        \node[red ] at (9.5,0.5) {$\gamma_0$};
+        \node[blue] at (7.5,1.5) {$\gamma_1$};
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Stetige Deformation von $\gamma_0$ nach $\gamma_1$}
+\end{figure}
+
+
+\begin{bsp}
+    \label{bsp:ellipse-und-kreis}
+    Ellipse: Seien $a, b > 0$.
+    \[
+        \epsilon(t) \coloneqq \begin{pmatrix} a \cos(t)\\ b \sin(t)\end{pmatrix}, \quad t \in [0, 2\pi]
+    \] ist frei homotop zum Kreis
+    \[
+        K(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} 
+    \] via der Homotopie
+    \begin{align*}
+        &H\colon [0, 2\pi] \times [0,1] \to \R^2 \setminus \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}  \right\} \\
+        &H(t, s) \coloneqq s K(t) + (1 - s) \epsilon(t)
+    .\end{align*}
+    Es gilt
+    \begin{align*}
+        \Vert H(t,s) \Vert^2 &= (s + a(1-s))^2 \cos^2(t) + (s + b (1-s))^2 \sin^2(t) \\
+                             &\ge \min(1, a^2, b^2) (\cos^2(t) + \sin^2(t)) \\
+                             &= \min(1, a^2, b^2) \\
+                             &> 0
+    .\end{align*}
+    Also $H(t,s) \neq 0$ $\forall t, s$.
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Zweiter Hauptsatz der Kurvenintegrale: Homotopieinvarianz]
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $F \in C^{1}(D, \R^{n})$ erfülle
+    die Integrabilitätsbedingungen und seien $\gamma_0, \gamma_1 \colon [a,b] \to D$ Integrationswege.
+
+    Sind $\gamma_0$ und $\gamma_1$ homotop in $D$ mit gemeinsamem Anfangs- und Endpunkt oder
+    geschlossen und frei homotop in $D$, dann gilt
+    \[
+    \int_{\gamma_1}^{} F = \int_{\gamma_0}^{} F
+    .\]
+    \label{satz:hauptsatz-2-kurven}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    ohne Beweis
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}[Windungsfeld]
+    \begin{enumerate}
+        \item Für Ellipse $\epsilon(t)$ und Kreis $K(t)$ (vgl. Beispiele \ref{bsp:ellipse-und-kreis} und
+            \ref{bsp:windungsfeld}) gilt
+            \[
+                \int_{K} W = 2 \pi \stackrel{\ref{satz:hauptsatz-2-kurven}}{=} 
+                \int_{\epsilon}^{} W = \int_{0}^{2 \pi} \frac{ab}{a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t} \d t
+            .\] 
+            Also folgt
+            \[
+            \int_{0}^{2\pi} \frac{\d t}{a^2 \cos^2t + b^2 \sin^2 t} = \frac{2 \pi}{ab}
+            .\] 
+        \item Kurven $\gamma_0, \gamma_1\colon [0, 2\pi] \to \R^2 \setminus \{0\} $:
+            \[
+                \gamma_0 \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix}
+                \qquad
+                \gamma_1(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ - \sin(t) \end{pmatrix} 
+            .\] $\gamma_0$ und $\gamma_1$ sind nicht frei homotop in $\R^2 \setminus \{0\} $, weil
+            \[
+            \int_{\gamma_0} W = 2 \pi \neq - 2\pi = \int_{\gamma_1}^{} W
+            .\] 
+        \item Kurven $\gamma_0, \gamma_1\colon [0, \pi] \to \R^2 \setminus \{0\}$
+            \[
+                \gamma_0 \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix}
+                \qquad
+                \gamma_1(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ - \sin(t) \end{pmatrix} 
+            .\] $\gamma_0$, $\gamma_1$ sind nicht homotop in $\R^2 \setminus \{0\} $, weil
+            \[
+            \int_{\gamma_0}^{} W = \int_{0}^{\pi} 1 \d t \neq \int_{0}^{\pi} -1 \d t = \int_{\gamma_1}^{} W \d t  
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Einfach zusammenhängend]
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ ein Gebiet. $D$ heißt einfach zusammenhängend, wenn jede geschlossene
+    Kurve in $D$ frei homotop zu einer konstanten Kurve ist, d.h. jede geschlossene Kurve in $D$
+    zusammenziehbar ist.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Sternförmig]
+    Ein Gebiet $D \subseteq \R^{n}$ heißt sternförmig,
+    wenn ein $x_1 \in D$ existiert, s.d. $\forall x \in D$ gilt:
+    \[
+        x_1 + t(x - x_1) \in D \quad \forall t \in [0,1]
+    .\] D.h. $\forall x \in D$ liegt die Verbindungsstrecke von $x_1$ nach $x$ in $D$.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    Jedes Sterngebiet ist einfach zusammenhängend.
+\end{bem}
+
+\begin{proof}
+    $H(t,s) \coloneqq x_1 + s(\gamma(t) - x_1) \in D$, $\forall t$, $\forall s \in [0,1]$.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}[]
+        \item Jede Kugel $K_r(a)$ ist sternförmig bezüglich $a$, also auch einfach zusammenhängend.
+        \item Eine gelochte Kreisscheibe $K_1(0) \setminus \{0\} $, $K_1(0) \subseteq \R^2$
+            ist kein Sterngebiet und nicht einfach zusammenhängend.
+        \item Geschlitzte Scheibe $K_1(0) \setminus \{x \in \R^2  \mid x_1 \le 0, x_2= 0\} \subseteq \R^2$
+            ist sternförmig, also einfach zusammenhängend.
+        \item Jede geschlitzte Ebene $\R^2 \setminus S_v$ mit
+            $S_v \coloneqq \{ t v | t \ge 0, \Vert v \Vert = 1\} $ ist sternförmig mit
+            Mittelpunkt $(-v)$, also auch einfach zusammenhängend.
+        \item $R^{n} \setminus \{0\} $ ist kein Sterngebiet, weil $0 \in$ Strecke von $-a$ nach $a$,
+            aber einfach zusammenhängend für $n \ge 3$.
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Lemma von Poincaré]
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und
+    $F \in C^{1}(D, \R^{n})$ erfülle die Integrabilitätsbedingunen. Dann
+    ist $F$ konservativ.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\gamma$ geschlossener Integrationsweg in $D$. Da $D$ einfach zusammenhängend, ist
+    $\gamma$ frei homotop zu einem konstanten Weg $\gamma_C$. Damit folgt
+    \[
+        \int_{\gamma} F
+        \; \stackrel{\ref{satz:hauptsatz-2-kurven}}{=} \; \int_{\gamma_C} F
+        \; \stackrel{\text{Def.}}{=} \;
+        \int_{a}^{b} (F(\gamma_C(t)), \gamma_C'(t)) \d t = 0
+    .\] Damit folgt mit \ref{satz:hauptsatz-1-kurven}, dass $F$ konservativ.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Ende]\end{proof}
+
+\end{document}

ana3.tex

@@ -93,7 +93,7 @@ Frage: Hat jede $2\pi$-periodische Funktion die Form $\sum_{k = -n}^{n}c_ke^{ixk
         &= \qnorm{f} - 2\pi \sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2
     \end{align*}
 \end{proof}
-\begin{satz}[Besselsche Umgebung]\label{bessel}
+\begin{satz}[Besselsche Ungleichung]\label{bessel}
     Sei $f \in R[0, 2\pi]$ eine $2\pi$-periodische Funktion mit Fourier-Koeffizienten $c_k,\; k\in \Z$. Dann $$\exists \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2$$ und $$\sum_{k = -\infty}^{\infty} |c_k|^2 = \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2 \leq \frac{\qnorm{f}}{2\pi}$$
 \end{satz}
 \begin{proof}

ana4.tex

@@ -74,7 +74,7 @@
 		\item 	beschränkt, falls $\forall k\in \N:\; x^{(k)} \in K_{R}(0)$, $K_{R}(0)$ eine Kugelumgebung von $0$ mit Radius $R$. 
 				$$K_{r}(a) \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{x-a}_{\infty} < r\}.$$
 		\item 	Cauchy-Folge, wenn $\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon} \in \N$ sodass $\forall k,l \geq N_{\varepsilon}$ gilt: $\norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon$.
-		\item 	konvergent gegen ein $x \in \K^{n}$, wenn $\norm{x^{(k)} - x}_{\infty} \to 0$ für $k \to \infty$. \\
+        \item 	konvergent gegen ein $x \in \K^{n}$, wenn $\norm{x^{(k)} - x}_{\infty} \xrightarrow{k \to \infty} 0$. \\
 				geometrisch: jede Kugelumgebung $K_{\varepsilon}(x)$ enthält fast alle Folgenelemente $x^{(k)}$ (d.h. alle bis auf endlich viele).
 	\end{enumerate}
 \end{definition}
@@ -154,7 +154,7 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[offene Menge]
-	Eine Menge $O \in \K^{n}$ heißt offen, falls $O$ eine Umgebung jedes Punktes aus $O$ ($ x \in O$) ist, das heißt $\forall x \in O, \exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(x) \subseteq O$.
+	Eine Menge $O \subseteq \K^{n}$ heißt offen, falls $O$ eine Umgebung jedes Punktes aus $O$ ($ x \in O$) ist, das heißt $\forall x \in O, \exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(x) \subseteq O$.
 \end{definition}
 
 \begin{bsp}

ana6.tex

@@ -185,7 +185,7 @@ Wichtige Ungleichungen
 \end{bem}
 
 \begin{satz}[Gram-Schmidt-Verfahren]
-    Sei $\{a^{(1)},\dots ,a^{(n)}\}$ eine Basis des $\K^n$. Dann ist $\{b^{(1)},\dots ,b^{(n)}\}$ konstruirt durch das \underline{Orthogonalisierungsverfahren} von Gram und Schmidt eine \underline{Orhonormalbasis}.
+    Sei $\{a^{(1)},\dots ,a^{(n)}\}$ eine Basis des $\K^n$. Dann ist $\{b^{(1)},\dots ,b^{(n)}\}$, konstruiert durch das \underline{Orthogonalisierungsverfahren} von Gram und Schmidt, eine \underline{Orhonormalbasis}.
     \begin{align*}
         b^{(1)}&\coloneqq\frac{a^{(1)}}{\norm{a^{(1)}}_2}\\
         \Tilde{b}^{(k)}&\coloneqq a^{(k)}-\sum_{j=1}^{k-1}(a^{(k)},b^{(j)})_2\cdot b^{(j)}\\

analysisII.tex

@@ -41,5 +41,9 @@ Rui Yang (\href{mailto:rui.yang@stud.uni-heidelberg.de}{rui.yang@stud.uni-heidel
 \input{ana16.tex}
 \input{ana17.tex}
 \input{ana18.tex}
+\input{ana19.tex}
+\input{ana20.tex}
+\input{ana21.tex}
+\input{ana22.tex}
 
 \end{document}