update analysisII

ana1.tex

@@ -182,7 +182,7 @@
     .\end{align*}
 \end{proof}
 
-\section{Der Funktionenraum $C[a,b]$}
+\section{Der Funktionenraum \texorpdfstring{$C[a,b]$}{\textit{C[a,b]}}}
 
 \begin{definition}[Maximumnorm $\Vert\cdot \Vert_\infty$]
     Es sei $D$ ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall $I = [a,b]$ und

ana2.tex

@@ -4,7 +4,7 @@
 
 Jetzt: Fourier Analysis!
 
-\section{Der Funktionen-Raum $R[a,b]$}
+\section{Der Funktionen-Raum \texorpdfstring{$R[a,b]$}{\textit{R[a,b]}}}
 
 \begin{definition}
     Eine $f\colon [a,b] \to \mathbb{C}$, $[a,b] \subset \R$ heißt

ana3.tex

@@ -41,7 +41,7 @@ Hier betrachten wir deshalb nur $2\pi$-periodische Funktionen $f: \R \to \K$. We
     \begin{align*}
         \int_a^b e^{i\lambda x} \d x &= \int_a^b \cos(\lambda x)\d x + i \int_a^b \sin(\lambda x)\d x\\
         &= \frac{1}{\lambda} \sin(\lambda x)\bigg|_a^b - \frac{1}{\lambda} i \cos(\lambda x)\bigg|_a^b\\
-        &\stackrel{=}{\frac{1}{i} = -i} \frac{1}{\lambda i} (\cos(\lambda x) + i \sin(\lambda x)) \bigg |_a^b\\
+        &\stackrel{\frac{1}{i} = -i}{=} \quad \frac{1}{\lambda i} (\cos(\lambda x) + i \sin(\lambda x)) \bigg |_a^b\\
         &= \frac{1}{\lambda i } e^{i\lambda x} \bigg|_a^b\\
     \end{align*}
     $$\implies \int_0^{2\pi} e^{ikx} \d x = 0\qquad \forall k \in \Z \setminus \{0\}$$
@@ -68,13 +68,13 @@ Frage: Hat jede $2\pi$-periodische Funktion die Form $\sum_{k = -n}^{n}c_ke^{ixk
 \end{definition}
 \begin{satz}
     \label{fourierungleichung}
-    Sei $f\in R[a,b]$ eine $2\pi$-periodische Funktion mit den Fourier-Koeffizienten $c_k,\; k\in \Z$ und $s_n = \sum_{k = 1}^{n}c_ke^{ikx}$. Dann gilt für alle $n\in \N$
+    Sei $f\in R[a,b]$ eine $2\pi$-periodische Funktion mit den Fourier-Koeffizienten $c_k,\; k\in \Z$ und $s_n = \sum_{k = -n}^{n}c_ke^{ikx}$. Dann gilt für alle $n\in \N$
     $$\qnorm{f-s_n} = \qnorm{f} - 2\pi \sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2$$
 \end{satz}
 \begin{proof}
-    Notation $e_n(x) \coloneqq e^{ikx}$
+    Notation $e_k(x) \coloneqq e^{ikx}$
     \begin{align*}
-        (e_k, e_l) &= \int_0^{2\pi} e_{ikx} e^{-ikx} \d x = \int_0^{2\pi} e^{i(k-l)x}\d x = \begin{cases}
+        (e_k, e_l) &= \int_0^{2\pi} e^{ikx} e^{-ikx} \d x = \int_0^{2\pi} e^{i(k-l)x}\d x = \begin{cases}
             2\pi, & k = l\\
             0 , & k \neq l
         \end{cases}\\
@@ -94,7 +94,7 @@ Frage: Hat jede $2\pi$-periodische Funktion die Form $\sum_{k = -n}^{n}c_ke^{ixk
     \end{align*}
 \end{proof}
 \begin{satz}[Besselsche Umgebung]\label{bessel}
-    Sei $f \in R[0, 2\pi]$ eine $2\pi$-periodische Funktion mit Fourier-Koeffizienten $c_k,\; k\in \Z$. Dann $$\exists \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2$$ und $$\sum_{k = -\infty}^{\infty} |c_k|^2 = \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2 \leq \qnorm{f}$$
+    Sei $f \in R[0, 2\pi]$ eine $2\pi$-periodische Funktion mit Fourier-Koeffizienten $c_k,\; k\in \Z$. Dann $$\exists \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2$$ und $$\sum_{k = -\infty}^{\infty} |c_k|^2 = \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2 \leq \frac{\qnorm{f}}{2\pi}$$
 \end{satz}
 \begin{proof}
     Aus Satz \ref{fourierungleichung}
@@ -102,8 +102,8 @@ Frage: Hat jede $2\pi$-periodische Funktion die Form $\sum_{k = -n}^{n}c_ke^{ixk
     Die Konvergenz folgt unter Beachtung der Monotonie und Beschränktheit der Folge $$\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2$$
 \end{proof}
 \begin{bem}
-    Sei $f\in R[0, 2\pi]$ $2\pi$-periodisch und $\qnorm{f-s_n} \underset{\to}{L^2} 0,\; n\to \infty$, d.h. die Fourier-Reihe konvergiert gegen $f$ in $L^2$. Das ist nach Satz \ref{fourierungleichung} äquivalent zu
-    $$\qnorm{f} = 2\pi \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2 \Leftrightarrow 2 \pi \sum_{k = -\infty}^{\infty}|c_k|^2$$
+    Sei $f\in R[0, 2\pi]$ $2\pi$-periodisch und $\qnorm{f-s_n} \overset{L^2}{\to} 0,\; n\to \infty$, d.h. die Fourier-Reihe konvergiert gegen $f$ in $L^2$. Das ist nach Satz \ref{fourierungleichung} äquivalent zu
+    $$\qnorm{f} = 2\pi \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2 \Leftrightarrow \qnorm{f} = 2 \pi \sum_{k = -\infty}^{\infty}|c_k|^2$$
 \end{bem}
 \underline{Frage:} Unter welchen Bedingungen für $f$ gilt die Parsevalsche Gleichung
 $$\qnorm{f} = 2\pi \sum_{k = -\infty}^{\infty}|c_k|^2$$ mit den Fourier-Koeffizienten $c_k$.\\
@@ -130,8 +130,8 @@ $\implies$ Konvergenz der Fourier-Reihe in $L^2$.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
     Sei $s \neq 0$.
-    $$F_s(x) = \int_a^x f(y) \sin(sy) \d y \overset{\text{part. Integr.}}{=} f(y) \frac{1}{s} \cos(sy) \bigg|_a^x + \int_a^x \frac{1}{s} \cos(sy) f'(y) \d y.$$
-    $f,f'$ stetig auf $[a,b] \implies \exists M > 0, \text{s.d. } |f(y)| \leq M, |f'(y)\leq M$ mit $y\in[a,b]$. Dann gilt $|F_s(x)| \leq \frac{2M}{|s|} + \frac{M}{|s|}\cdot (b-a), \; \forall x\in [a,b]$. Also konvergiert $|F_s(x)|$ gleichmäßig gegen 0 für $|s| \to \infty$ und $x\in [a,b]$.
+    $$F_s(x) = \int_a^x f(y) \sin(sy) \d y \overset{\text{part. Integr.}}{=} -f(y) \frac{1}{s} \cos(sy) \bigg|_a^x + \int_a^x \frac{1}{s} \cos(sy) f'(y) \d y.$$
+    $f,f'$ stetig auf $[a,b] \implies \exists M > 0, \text{s.d. } |f(y)| \leq M, |f'(y)|\leq M$ mit $y\in[a,b]$. Dann gilt $|F_s(x)| \leq \frac{2M}{|s|} + \frac{M}{|s|}\cdot (b-a), \; \forall x\in [a,b]$. Also konvergiert $|F_s(x)|$ gleichmäßig gegen 0 für $|s| \to \infty$ und $x\in [a,b]$.
 \end{proof}
 \begin{lemma}\label{HilfslemmaC}
     Es gilt $\frac{\pi - x}{2} = \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\sin(kx)}{k}$ für $0 < x < 2\pi$ mit gleichmäßiger Konvergenz auf allen Intervallen $[\delta, 2\pi - \delta]$ für $\delta > 0$.
@@ -153,7 +153,7 @@ $$F_n(x) = \int_\pi^x \frac{1}{2 \sin\left(\frac{y}{2}\right)} \cdot \sin\left(\
 \begin{proof}
     Lemma \ref{HilfslemmaC} $\implies$ $\forall x, y \in (0, 2\pi)$
     \begin{align*}
-        \frac{(x - \pi)^2}{4} - \frac{(y-4)^1}{4} &= \int_y^x \frac{t-\pi}{2}\d t\\
+        \frac{(x - \pi)^2}{4} - \frac{(y - \pi)^2}{4} &= \int_y^x \frac{t-\pi}{2}\d t\\
         &\stackrel{\ref{HilfslemmaC}}{=} -\int_y^x \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\sin(kt)}{k} \d t\\
         &\stackrel{\text{glm. Konv.}}{\stackrel{\text{Satz \ref{permutesumint}}}{=}} \qquad - \sum_{k = 1}^{\infty}\int_y^x\frac{\sin(kt)}{k}\d t\\
         &= \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\cos(kx)}{k^2} - \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\cos(ky)}{k^2}\\
@@ -162,7 +162,7 @@ $$F_n(x) = \int_\pi^x \frac{1}{2 \sin\left(\frac{y}{2}\right)} \cdot \sin\left(\
     Die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\cos(kx)}{k^2}$ konvergiert gleichmäßig auf $[0, 2\pi]$ mit Majorante $\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$. Bestimme die Konstante $C$:
     \begin{align*}
         \int_0^{2\pi} \frac{(x-\pi)^2}{4}\d x &= \int_0^{2\pi} \left(\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\cos(kx)}{k^2} + C\right) \d x\\
-        \frac{\pi^3}{6} &= \sum_{k = 1}^{\infty}\underbrace{\int_0^{2\pi} \frac{\cos(kx)}{k^2} \d x}_{=0} + \int_0^{2\pi} C \d x
+        \frac{\pi^3}{6} &= \sum_{k = 1}^{\infty}\underbrace{\int_0^{2\pi} \frac{\cos(kx)}{k^2} \d x}_{=0} + \int_0^{2\pi} C \d x \\
         \frac{\pi^3}{6} &= C \cdot 2\pi\\
         C &= \frac{\pi^2}{12}
     \end{align*}
@@ -237,19 +237,19 @@ $$F_n(x) = \int_\pi^x \frac{1}{2 \sin\left(\frac{y}{2}\right)} \cdot \sin\left(\
     $f_{a_j}$  Spezielle Treppenfunktion mit Sprungstelle $a = a_j$ und $f_{a_j}(x) \in \{0,1\}\; \forall j, x\neq a_j$. Dann $\norm{f_{a_j} - s_n(f_{a_j})} \xrightarrow{L^2} 0, n\to \infty$. Betrachte $$s_n(f) = \sum_{j = 1}^{l}d_js_n(f_{a_j})$$ und $$\norm{f-s_n(f)} = \norm{\sum_{j = 1}^{l}d_j(f_{a_j} - s_n(f_{a_j}))} \leq \sum_{j = 1}^{l}|d_j|\underbrace{\norm{f_{a_j}-s_n(f_{a_j})}}_{\xrightarrow{L^2}0} \xrightarrow{L^2} 0, \; n\to \infty$$
 \end{proof}
 \begin{satz}
-    Sei $f\in R[0,2\pi]$ eine $2\pi$-periodische Treppenfunktion. Dann konvergiert die Fourier-Reihe von $f$ im quadratischen Mittel gegen $f$ und es gilt die Parsevalsche Gleichung (sog. Vollständigkeitsrelation)
+    Sei $f\in R[0,2\pi]$ eine $2\pi$-periodische Funktion. Dann konvergiert die Fourier-Reihe von $f$ im quadratischen Mittel gegen $f$ und es gilt die Parsevalsche Gleichung (sog. Vollständigkeitsrelation)
     $$\frac{1}{2\pi} \underbrace{\int_0^{2\pi} |f(x)|^2\d x}_{=\qnorm{f}} = \sum_{k = -\infty}^{\infty}|c_k|^2$$
 \end{satz}
 \begin{proof}
     O.B.d.A. sei $f$ reellwertig (sonst werden Real- und Imaginärteil getrennt behandelt) und $|f(x)| \leq 1 \forall x\in [0, 2\pi]$ (sonst betrachte $\overline{f}(x) \coloneqq \frac{f(x)}{M},\; M = \sup\limits_{x\in [0, 2\pi]} |f(x)|$).
     Sei $\varepsilon > 0$. Dann gibt es zu $\varepsilon$ $2\pi$-periodische Treppenfunktionen $\varphi_\varepsilon, \psi_\varepsilon: \R \to \R$ mit Eigenschaften
-    $$-1 \leq \varphi_\varepsilon \leq f \leq \psi_\varepsilon\leq 1$$ und $$\max\limits_{x\in [0, 2\pi]} |\psi_\varepsilon(x) - \varphi_\varepsilon| \leq \frac{1}{16\pi}\varepsilon^2$$
+    $$-1 \leq \varphi_\varepsilon \leq f \leq \psi_\varepsilon\leq 1$$ und $$\max\limits_{x\in [0, 2\pi]} |\psi_\varepsilon(x) - \varphi_\varepsilon(x)| \leq \frac{1}{16\pi}\varepsilon^2$$
     Konstruktion von $\varphi_\varepsilon, \psi_\varepsilon$ siehe Rannacher. Dann, $$|f-\varphi_\varepsilon|^2 \leq |\psi_\varepsilon - \varphi_\varepsilon|^2 \leq (|\psi_\varepsilon| + |\varphi_\varepsilon|)(\psi_\varepsilon - \varphi_\varepsilon) \underset{|\varphi_\varepsilon| < 1}{\underset{|\psi_\varepsilon| < 1}{\leq}} 2 (\psi_\varepsilon - \varphi_\varepsilon)$$
     und $$\qnorm{f-\varphi_\varepsilon} = \int_0^{2\pi} |f-\varphi_\varepsilon|^2 \d x\leq 2 \int_0^{2\pi}(\psi_\varepsilon - \varphi_\varepsilon) \d x\leq 2 \frac{\varepsilon^2}{16\pi}\cdot 2\pi = \frac{\varepsilon^2}{4}.$$
     Weiter gilt: $\varphi_\varepsilon$ Treppenfunktion $\xRightarrow{\ref{HilfslemmaE}}$ Fourier-Reihe von $\varphi_\varepsilon$ konvergiert gegen $\varphi_\varepsilon$ in $L^2$, d.h. 
     $$\forall \varepsilon > 0 \exists n_\varepsilon:\; \forall n \geq n_\varepsilon:\; \norm{s_n(\varphi_\varepsilon) - \varphi_\varepsilon} \leq \frac{\varepsilon}{2}$$
     Aus Satz \ref{bessel} folgt 
-    $$\qnorm{(f-\varphi_\varepsilon) - sn(f - \varphi_\varepsilon)} \leq \qnorm{f - \varphi_\varepsilon} \leq \frac{\varepsilon^2}{4}$$
+    $$\qnorm{(f-\varphi_\varepsilon) - s_n(f - \varphi_\varepsilon)} \leq \qnorm{f - \varphi_\varepsilon} \leq \frac{\varepsilon^2}{4}$$
     Dann gilt $\forall n \geq n_\varepsilon$
     \begin{align*}
         \norm{f-s_n(f)} &= \norm{f-s_n(f-\varphi_\varepsilon) - s_n(\varphi_\varepsilon) - \varphi_\varepsilon +\varphi_\varepsilon}\\
@@ -260,25 +260,25 @@ $$F_n(x) = \int_\pi^x \frac{1}{2 \sin\left(\frac{y}{2}\right)} \cdot \sin\left(\
     $$\implies s_n(f) \xrightarrow{L^2} f, \; n \to \infty$$
 \end{proof}
 \begin{bem}
-    Konvergenz in $L^2$ ist \glqq sehr schwach \grqq\. Für \glqq glattere\grqq\ Funktionen konvergiert die Fourier-Reihe gleichmäßig.
+    Konvergenz in $L^2$ ist \glqq sehr schwach\grqq. Für \glqq glattere\grqq\ Funktionen konvergiert die Fourier-Reihe gleichmäßig.
 \end{bem}
 \begin{satz}
     Sei $f: \R \to \C$ $2\pi$-periodisch, stetig und stückweise stetig differenzierbar, d.h. $\exists $ Unterteilung von $[0, 2\pi]$
     $$0 = t_0 < t_1 <\dots < t_m = 2\pi$$ mit $f\big|_{[t_{j-1}, t_j]}$ ist stetig differenzierbar für $j = 1,\dots, m$. Dann konvergiert die Fourier-Reihe von $f$ gleichmäßig gegen $f$.
 \end{satz}
 \begin{proof}
-    $f$ stetig $\implies f \in R[0, 2\pi] \implies$ Fourier-Reihe von $f$ konvergiert gegen $f$ in $L^2$, d.h. $\norm{s_n(f) - f} \xrightarrow{L^2} 0,\; n\to \infty$. Betrachte $\phi: \R \to \C, \phi(x) = \phi_j(x),\; x\in (t_{j-1}, t_j),\; \phi_j: [t_{j-1}, t_j] \to \C$ stetige Abbildung von $f\big|_{[t_{j-1}, t_j]}$. Definiere $\phi$ in $t_j$ entsprechend (möglich, da $\phi$ eine stückweise stetige Funktion ist).
-    Defininition von $R[0, 2\pi] \implies \phi \in [0,2\pi] \implies$ Für die Fourier-Koeffizienten von $\phi$ gilt: $\gamma_k\coloneqq \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \phi(x) e^{-ikx} \d x$ und $\sum_{k \in \Z} |\gamma_k|^2 = \frac{1}{2\pi}\qnorm{\phi} < \infty$.
+    $f$ stetig $\implies f \in R[0, 2\pi] \implies$ Fourier-Reihe von $f$ konvergiert gegen $f$ in $L^2$, d.h. $\norm{s_n(f) - f} \xrightarrow{L^2} 0,\; n\to \infty$. Betrachte $\phi: \R \to \C, \phi(x) = \phi_j(x),\; x\in (t_{j-1}, t_j),\; \phi_j: [t_{j-1}, t_j] \to \C$ stetige Ableitung von $f\big|_{[t_{j-1}, t_j]}$. Definiere $\phi$ in $t_j$ entsprechend (möglich, da $\phi$ eine stückweise stetige Funktion ist).
+    Defininition von $R[0, 2\pi] \implies \phi \in R[0,2\pi] \implies$ Für die Fourier-Koeffizienten von $\phi$ gilt: $\gamma_k\coloneqq \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \phi(x) e^{-ikx} \d x$ und $\sum_{k \in \Z} |\gamma_k|^2 = \frac{1}{2\pi}\qnorm{\phi} < \infty$.
     Berechne Fourier-Koeffizienten $c_k$ von $f$ 
     \begin{align*}
         c_k &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x) e^{-ikx}\d x\\
-        &\stackrel{\text{part.Integr.}}{=}\qquad \frac{1}{2\pi} f(x) \frac{i}{k}\underbrace{e^{-ikx}\big|_0^{2\pi}}_{=0} - \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \underbrace{f'(x)}_{\phi(x)} \frac{i}{k}e^{-ikx}\d x\\
+        &\stackrel{\text{part.Integr.}}{=}\qquad \underbrace{\left. \frac{1}{2\pi} f(x) \frac{i}{k}e^{-ikx}\right|_0^{2\pi}}_{=0} - \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \underbrace{f'(x)}_{\phi(x)} \frac{i}{k}e^{-ikx}\d x\\
         &= \frac{-i}{2\pi k} \int_0^{2\pi} \phi(x) e^{-ikx} \d x\\
         &= \frac{-i}{k}\gamma_k\\
         &\implies |c_k| = \frac{1}{k}|\gamma_k|
         \intertext{Es gilt $|\alpha \cdot \beta| \leq \frac{1}{2}|\alpha|^2 + \frac{1}{2}|\beta|^2$, da Quadrate größer 0 sind}
         &\leq \frac{1}{2}\frac{1}{k^2} + \frac{|\gamma_k|^2}{2}\\
-        &\implies \sum_{k = -\infty}^{\infty} |c_k| \leq \frac{1}{2}\sum_{k = -\infty}^{\infty} + \frac{1}{2} \sum_{k = -\infty}^{\infty}|\gamma_k|^2 < \infty\\
+        &\implies \sum_{k = -\infty}^{\infty} |c_k| \leq \frac{1}{2}\sum_{k = -\infty}^{\infty}\frac{1}{k^2} + \frac{1}{2} \sum_{k = -\infty}^{\infty}|\gamma_k|^2 < \infty\\
         &\implies \sum_{k = -\infty}^{\infty}|c_k| \text{ absolut konvergent}\\
         &\implies \underbrace{\sum_{k = -\infty}^{\infty}c_ke^{ikx}}_{\mathclap{\text{Fourier-Reihe von} f}}
     \end{align*} konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion $g$, die stetig ist. Also $s_n(f) \xrightarrow{\text{glm.}} g,\; n\to \infty,\; \Rightarrow s_n(f) \xrightarrow{L^2} g,\; n\to \infty$. Andererseits $s_n(f) \xrightarrow{L^2} f,\; n\to \infty$

ana4.tex

@@ -0,0 +1,228 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+\newcommand{\icol}[1]{% inline column vector
+  \left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)%
+}
+\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
+
+\chapter{Der \texorpdfstring{$n$}{n}-dimensionale Zahlenraum \texorpdfstring{$K^{n}$}{K\unichar{"207F}}}
+
+\section{Der euklidische Raum \texorpdfstring{$K^{n}$}{K\unichar{"207F}}}
+
+\begin{bem}
+	$K^{n}$ bezeichnet den Vektorraum der $n$-Tupel $x = \icol{x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} }, x_{i} \in \K, i = 1,...,n, \\ n \in \N$ 
+	mit Addition $x+y \coloneqq \icol{x_{1} + y_{1} \\ \vdots \\ x_{n}+y_{n} }$ und skalarer Multiplikation $\alpha \cdot x = \icol{\alpha x_{1} \\ \vdots \\ \alpha x_{n} }, \forall \alpha \in \K$.
+\end{bem}
+
+\begin{definition}
+	Sei $X$ irgendeine Menge. \\
+	Eine Metrik auf $X$ ist eine Abbildung $d: X \times X \to \R, \ (x,y) \to d(x,y)$ mit folgenden Eigenschaften: 
+	\begin{enumerate}[M1]
+		\item 	(Definitheit) $d(x,y) \geq 0$, $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
+		
+		\item 	(Symmetrie) $\forall x,y \in X$ gilt $d(x,y) = d(y,x)$.
+		
+		\item 	(Dreiecksungleichung) $\forall x,y,z \in X$ gilt $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$.
+	\end{enumerate}
+	Ein metrischer Raum $(X, d)$ besteht aus einer Menge $X$ mit einer Metrik $d$. Man nennt $d(x,y)$ auch den Abstand oder die Distanz von $x$ und $y$.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+	\begin{enumerate}[(1)]
+		\item 	$X = \R$ oder $\C$ mit $d(x,y) \coloneqq |x-y|$ ist ein metrischer Raum, denn: 
+			\begin{enumerate}[M1]
+				\item 	folgt aus $|x| = 0 \Leftrightarrow x=0$, $|x| \geq 0$,
+				\item 	folgt aus $|x-y| = |-(y-x)| = |y-x|$,
+				\item 	folgt aus $d(x,y) = |x-y| = |x-z+z-y| \leq |x-z| + |z-y| = d(x,z) + d(z,y)$.
+			\end{enumerate}
+		
+		\item 	(induzierte Metrik) Sei $(X,d)$ metrischer Raum und $A \subseteq X$. Die induzierte Metrik $d_{A}$ auf $A$ ist definiert durch $d_{A}: A \times A \to \R, \ d_{A}(x,y) \coloneqq d(x,y), \ \forall x,y \in A$. Dann wird $(A, d_{A})$ zu einem metrischen Raum.
+		
+		\item (triviale Metrik) Sei $X$ eine Menge. Die Triviale Metrik wird definiert durch: $$ d(x,y) = \begin{cases} 0, & \text{für} \ x=y \\ 1, & \text{für} \ x \neq y \end{cases}.$$
+		
+		\item Weiteres wichtiges Beispiel: metrische Räume entstehen aus normierten Vektorräumen.
+	\end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}
+	(normierter Raum) Sei $V$ irgendein Vektorraum über $\K$ ($\K = \R$ oder $\K = \C$). Eine Abbildung $\norm{\cdot}: V \to \R$ heißt Norm (auf V), wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 
+	\begin{enumerate}[N1]
+		\item 	(Definitheit) $\norm{x} \geq 0$, $\norm{x} = 0 \Leftrightarrow x=0$.
+		\item 	(Homogenität) $\norm{ \alpha x} = |\alpha| \cdot \norm{x}, \alpha \in \K$.
+		\item 	(Dreiecksungleichung) $\norm{x+y} \leq \norm{x} + \norm{y}$.
+	\end{enumerate}
+	Das Paar $(V, \norm{\cdot})$ heißt normierter Raum.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+	(Norm $\leadsto$ Metrik) Sei $(V, \norm{\cdot})$ ein normierter Raum. Dann ist $d(x,y) \coloneqq \norm{x-y}, \forall x,y \in V$ eine Metrik auf $V$.
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}
+	Normen in $\R^{n}$. \begin{enumerate}[(1)]
+		\item 	Euklidische Norm $\norm{x}_{2} \coloneqq \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}$.
+		\item 	Maximumsnorm oder $\ell^{\infty}$-Norm: $\norm{x}_{\infty} \coloneqq \max_{i = 1,..,n} |x_{i}|$.
+		\item 	$\ell^{1}$-Norm: $\norm{x}_{1} \coloneqq \sum_{i=1}^{n} |x_{i}|$.
+		\item 	$\ell^{p}$-Norm: $\norm{x}_{p} \coloneqq \sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p}}$.
+	\end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}
+	Eine Folge $(x^{(k)})_{k \in \N}, x^{(k)} \in \K$, heißt 
+	\begin{enumerate}[i)]
+		\item 	beschränkt, falls $\forall k\in \N:\; x^{(k)} \in K_{R}(0)$, $K_{R}(0)$ eine Kugelumgebung von $0$ mit Radius $R$. 
+				$$K_{r}(0) \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{x-a}_{\infty} < r\}.$$
+		\item 	Cauchy-Folge, wenn $\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon} \in \N$ sodass $\forall k,l \geq N_{\varepsilon}$ gilt: $\norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon$.
+		\item 	konvergent gegen ein $x \in \K^{n}$, wenn $\norm{x^{(k)} - x}_{\infty} \to 0$ für $k \to \infty$. \\
+				geometrisch: jede Kugelumgebung $K_{\varepsilon}(x)$ enthält fast alle Folgenelemente $x^{(k)}$ (d.h. alle bis auf endlich viele).
+	\end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+	Offenbar: 
+	\begin{align*}
+		&\norm{x^{(k)} - x}_{\infty} \to 0, k \to \infty & & \Leftrightarrow \\
+		&\left| x_{i}^{(k)} - x_{i} \right| \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0, i = 1,...,n.
+	\end{align*}
+	Das heißt $\lim_{n \to \infty} x_{i}^{(k)} = x_{i}$ (komponentenweise Konvergenz in $\R$ oder $\C$)
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[Satz von Cauchy und Satz von Bolzano-Weierstraß]
+    \label{satz:bolzano}
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Jede Cauchy-Folge in $K^{n}$ konvergiert, d.h. der normierte Raum $(K^{n}, \norm{\cdot}_{\infty})$ ist vollständig. Ein vollständiger normierter Raum wird Banach-Raum genannt.
+		\item 	Jede beschränkte Folge in $K^{n}$ besitzt eine konvergente Teilfolge.
+	\end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Sei $(x^{(k)})_{k \in \N}$ eine Cauchy-Folge, d.h. $\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon}, \forall k,l \geq N_{\varepsilon}$ gilt $\norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon$.
+	Betrachte Komponentenfolge $(x_{i}^{(k)})_{k \in \N}, i = 1,...,n$. Die Komponentenfolgen sind Cauchy-Folgen, weil $$\left| x_{i}^{(k)} - x_{i}^{(l)} \right| \leq \norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon, \forall k,l \geq N_{\varepsilon}, \forall i = 1,...,n.$$ 
+	$\implies \lim_{k \to \infty} x_{i}^{(k)} \eqqcolon x_{i} \implies x^{(k)} \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} x = \icol{x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}}$ in $\ell_{\infty}$ Norm.
+		\item 	Sei $(x^{(k)})_{k \in \N}$ beschränkt $\implies$ $(x_{i}^{(k)})_{k \in \N}, \forall i = 1,...,n$ auch beschränkt \\
+		$\stackrel{\text{Bo.-We. in} \ \K}{\implies}$\ \ \ \ es existiert eine konvergente Teilfolge $(x_{1}^{(k_{1,j})})_{j \in \N}$ von $(x_{1}^{(k)})_{k \in \N}$ mit $x_{1}^{(k_{1,j})} \overset{j \to \infty}{\longrightarrow} x_{1}$, \\ 
+		nach $n$ Schritten haben wir Teilfolgen $(x_{n}^{(k_{n,j})})_{j \in \N}$ von $(x_{n}^{(k)})_{k \in \N}$ für die alle Komponentenfolgen konvergieren $(x_{i}^{(k_{i,j})})_{j \in \N} \overset{j \to \infty}{\longrightarrow} x_{i}, \forall i = 1,...,n$. Daraus folgt $(x^{k_{nj}}) \overset{j \to \infty}{\longrightarrow} x$.
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+	(Äquivalenz von Normen) Sei $\K^{n}$ ein endlichdimensionaler Vektorraum. Dann sind alle Normen äquivalent zur Maximumsnorm $(\ell_{\infty})$, d.h. zu jeder Norm $\norm{\cdot}, \exists m,M >0$ sodass $$m \norm{x}_{\infty} \leq \norm{x} \leq M \norm{x}_{\infty}, \ \ \ \ x \in \K^{n}.$$
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	Sei $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm. $\forall x \in \K^{n}, x = \sum_{k=1}^{n} x_{k}e^{(k)}$, wobei $e^{(k)}, k=1,...,n$ die sogenannte euklidische Basis ist: $e^{(k)} = \icol{\delta_{k,1} \\ \vdots \\ \delta_{k,n} }$. \\
+	Dann:
+		\begin{align*}
+			\norm{x} & \leq \sum_{k=1}^{n} |x_{k}|\cdot \norm{e^{(k)}}  \\
+			& \leq \sum_{k=1}^{n} \max_{i = 1...n} |x_{i}| \cdot \norm{e^{(k)}} \leq M \cdot \norm{x}_{\infty}.
+		\end{align*}
+	Wobei $M \coloneqq \sum_{k=1}^{n} \norm{e^{(k)}}$. \\ Setze $$S_{1} \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{x}_{\infty} = 1\}, \ \ m \coloneqq \inf \{ \norm{x} \ | \ x \in S_{1} \} \geq 0.$$ \\
+	Es gzz.: $m > 0$. Annahme $m=0$. Dann existiert eine Folge $(x^{(k)})_{k \in \N}$, $x^{(k)} \in S_{1}$, sodass $\norm{ x^{(k)} } \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0$. Aus $x^{(k)} \in S_{1}$ folgt $(x^{(k)})_{k \in \N}$ ist beschränkt in der $\ell_{\infty}$-Norm. Dann impliziert der Satz von Bolzano-Weierstraß: es existiert eine konvergente Teilfolge, o.B.d.A. $(x^{(k)}) \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} x$ in der $\ell_{\infty}$-Norm, dann:
+	\begin{align*}
+		& \ \ \ \underbrace{\left| \underbrace{\norm{x^{(k)}}_{\infty}}_{=1} - \norm{x}_{\infty} \right|}_{=|1-\norm{x}_{\infty}|} \leq \underbrace{\norm{x^{(k)} -x}_{\infty}}_{\overset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0} 
+		\implies  |1-\norm{x}_{\infty}| \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0  
+		\implies  \norm{x}_{\infty} = 1 \implies x\in S_{1}.
+	\end{align*}	 
+	Anderseits:
+	\begin{align*}
+		&\norm{x} \leq \norm{x-x^{(k)}} + \norm{x^{(k)}} \leq M \cdot \norm{x-x^{(k)}}_{\infty} + \norm{x^{(k)}} \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0 \\
+		\implies \ & \ \norm{x}=0 \ \ \implies x=0.
+	\end{align*}
+	Widerspruch zu $x \in S_{1}$, also $m>0$. Dann für $x \neq 0$ ist Vektor $\frac{x \ }{\norm{x}_{\infty}} \in S_{1}$ und $m \leq \frac{\norm{x} \ }{\norm{x}_{\infty}}$ (nach Definition von $m$) und $0 < m \cdot \norm{x}_{\infty} \leq \norm{x}, \ x \in \K^{n}$.
+\end{proof}
+
+\begin{korrolar}
+	Auf $K^{n}$ sind alle Konvergenzen in irgendeiner Norm äquivalent zur Konvergenz in der $\ell_{\infty}$-Norm. (= komponentenweiser Konvergenz)
+\end{korrolar}
+
+\begin{bem}
+	Obiger Satz gilt nicht für unendlich dimensionale Räume (wie z.B. $C[a,b]$ oder $R[a,b]$). Die endliche Dimension von $K^{n}$ ist entscheidend.
+\end{bem}
+
+
+\section{Teilmengen in \texorpdfstring{$K^{n}$}{K\unichar{"207F}} (Topologische Grundbegriffe)}
+
+Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
+
+\begin{definition}
+	($\varepsilon$-Kugel, $\varepsilon$-Umgebung) Sei $a \in \K^{n}, r>0$.
+	\begin{enumerate}[(1)]
+		\item 	Dann heißt $K_{r}(a) \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{a-x} < r \}$ die offene Kugel um $a$ mit Radius $r$ bzgl. $\norm{\cdot}$.
+		\item 	$U \subset K^{n}$ heißt Umgebung von $a \in \K^{n}$, falls $\exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(a) \subseteq U$. Insbesondere ist $K_{\varepsilon}(a)$ selbst eine Umgebung von $a$, eine sogenannte $\varepsilon$-Umgebung von $a$.
+	\end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	(offene Menge) Eine Menge $O \in \K^{n}$ heißt offen, falls $O$ eine Umgebung jedes Punktes aus $O$ ($ x \in O$) ist, das heißt $\forall x \in O, \exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(x) \subseteq O$.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+	\begin{enumerate}[(1)]
+		\item 	$]a,b[ \subseteq \R$ ist offen ($a<b, a,b \in \R$), weil: sei $x \in ]a,b[$, definiere $\varepsilon \coloneqq \min\{ |a-x|, |b-x|\}$, $\varepsilon > 0$, da $a<x<b$ ist $K_{\varepsilon}(x) \subseteq ]a,b[$
+		\item  	$\emptyset$ leere Menge ist immer offen, $\K^{n}$ ist immer offen
+		\item 	Die Kugel $K_{r}(a)$ ist immer offen: sei $x \in K_{r}(a)$, setze $\varepsilon \coloneqq r - \norm{x-a}$, dann $K_{\varepsilon}(x) \subseteq K_{r}(x)$, weil: sei $y \in K_{\varepsilon}(x)$. Dann gilt $$ \norm{y-a} \leq \underbrace{\norm{y-x}}_{< \varepsilon = r - \norm{x-a}} + \norm{x-a} < r - \norm{x-a} + \norm{x-a} = r.$$
+	\end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Eigenschaften offener Mengen]
+    Es gilt:
+	\begin{enumerate}[(1)]
+		\item 	Sind $U$ und $V (\subseteq \K^{n})$ offen, dann ist $U \cap V$ offen.
+		\item 	Sei $U_{i} \subset \K^{n}, i \in I$ eine Familie offener Teilmengen. Dann ist auch $\underset{i \in I}{\bigcup} U_{i}$ offen.
+	\end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}[(1)]
+		\item 	Sei $x \in U \cap V$. Dann $\exists \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2} > 0$ mit $K_{\varepsilon_{1}}(x) \subseteq U$, $K_{\varepsilon_{2}}(x) \subseteq V$. Damit gilt für $\varepsilon \coloneqq \min\{ \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2} \}$, $K_{\varepsilon}(x) \subseteq U \cap V$. (Beachte: $\emptyset$ ist immer offen.)
+		\item 	Sei $x \in \underset{i \in I}{\bigcup} U_{i}$, dann $\exists j \in I$ mit $x \in U_{j}$. \\ $U_{j}$ offen $\implies$ $\exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(x) \subseteq U_{j}$ $\implies$ $K_{\varepsilon}(x) \subseteq \underset{i \in I}{\bigcup} U_{i}$.
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{korrolar}
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item	Endliche Schnitte und beliebige Vereinigung von offenen Mengen sind wieder offen.
+		\item 	(Beobachtung) Durchschnitt von unendlich vielen offenen Mengen braucht nicht offen zu sein. Z.B. $$ \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} ]-\frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}[ = [0,1]$$ ist nicht offen, da $K_{\varepsilon}(0) \subset [0,1], \forall \varepsilon > 0$.
+	\end{enumerate}
+\end{korrolar}
+
+\begin{definition}[Abgeschlossene Menge]
+    Eine Teilmenge $A \subset \K^{n}$ heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement $A^{c} \coloneqq \K^{n} \setminus A$ offen ist.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+	\begin{enumerate}[(1)]
+		\item 	Für $a,b \in \R, a \leq b$ ist $[a,b]$ abgeschlossen, denn $]-\infty,a[ \cup ]b, \infty[ = \R \setminus [a,b]$ ist offen, denn:
+				\begin{align*}
+					]-\infty, a[ & = \underset{n \in \N}{\bigcup} ]a-n,a[ \ \ \text{ist offen} &
+					]b, \infty[  = \underset{n \in \N}{\bigcup} ]b, b + n[ \ \ \text{ist offen}.
+				\end{align*}
+	\end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Eigenschaften abgeschlossener Mengen]
+	\begin{enumerate}[(1)]
+		\item 	Sind $V, U$ ($V,U \subset \K^{n}$) abgeschlossen, dann ist $U \cup V \subset \K^{n}$ auch abgeschlossen.
+		\item 	Sind $U_{i}, (i \in I)$ abgeschlossene Menge in $\K^{n}$. Dann ist $\underset{i \in I}{\bigcap} U_{i}$ auch abgeschlossen.
+	\end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}[(1)]
+		\item 	$(U \cup V)^{c} = \underbrace{U^{c}}_{\text{offen}} \cap \underbrace{V^{c}}_{\text{offen}}$ offen.
+		\item 	$\left( \underset{i \in I}{\bigcap} U_{i} \right)^{c} = \underset{i \in I}{\bigcup} \underbrace{U_{i}^{c}}_{\text{offen}}$ offen.
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+	\begin{enumerate}[(1)]
+		\item 	Beliebige Vereinigung abgeschlossener Mengen muss nicht abgeschlossen sein. Z.B. $]0,1[ = \underset{n \in \N}{\bigcup} \underbrace{[\frac{1}{n}, 1- \frac{1}{n}]}_{\text{abgeschlossen}}$ ist offen.
+		\item 	$\emptyset$ und $K^{n}$ sind abgeschlossen.
+		\item 	$A_{1} \subset \R^{n_{1}}$ und $A_{2} \subset \R^{n_{2}}$ abgeschlossen, dann ist auch $A_{1} \times A_{2} \subset \R^{n_{1}} \times \R^{n_{2}} = \R^{n_{1} + n_{2}}$ abgeschlossen.
+		\item 	Für $a<b \in \R$ ist $[a,b[$ weder offen noch abgeschlossen.
+	\end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\end{document}

ana5.tex

@@ -0,0 +1,316 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\begin{satz}[Charakterisierung abgeschlossener Mengen]
+    Sei $A \subset \mathbb{K}^{n}$. Dann gilt
+    \[
+    A \text{ abgeschlossen}
+    \iff
+    \text{Ist } \left(x^{(k)}\right)_{k\in\N} \text{ konvergente Folge in } A
+    \text{ mit } \lim_{k \to \infty} x^{(k)} = a\text{, dann } a \in A
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    \begin{itemize}
+        \item ,,$\implies$'': Sei $A$ abgeschlossen und $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$
+            konvergente Folge in $A$ mit
+            \[
+                \lim_{k \to \infty} x^{(k)} = x
+            .\] 
+            Ang.: $x \not\in A$, d.h. $x \in A^{C}$. Da $A^{C}$ offen, folgt, es ex.
+            ein $\epsilon > 0$, s.d. $K_{\epsilon}(x) \subset A^{C}$.
+            Mit $x = \displaystyle \lim_{k \to \infty} x^{(k)}$ folgt, dass fast alle
+            Folgenelemente $x^{(k)}$ in $K_{\epsilon}(x) \subset A^{C}$ liegen.
+            
+            Widerspruch zu: $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subset A $. Damit folgt
+            $x \in A$.
+        \item ,,$\impliedby$'': Sei $A \subset \mathbb{K}^{n}$ s.d. alle konvergenten
+            Folgen in $A$ einen Grenzwert in $A$ haben.
+
+            Zu zeigen: $A^{C}$ offen. Sei $x \in A^{C}$ beliebig. Dann g.z.z.: $\exists \epsilon > 0$
+            s.d. $K_{\epsilon}(x) \subset A^{C}$.
+
+            Ang.: $A^{C}$ nicht offen. Dann ex. $\forall k \in \N$ ein Punkt $x^{(k)}$
+            mit $x^{(k)} \in A \cap K_{\frac{1}{k}}(x)$. Dann ist $x^{(k)} \in A$
+            $\forall k \in \N$ und $\Vert x - x^{(k)} \Vert \le \frac{1}{k}$. Damit folgt
+            \[
+                x^{(k)} \xrightarrow{k \to \infty} x \stackrel{\text{Vorr.}}{\implies} x \in A \quad \contr
+                \implies A^{C} \text{ offen } \implies A \text{ abgeschlossen}
+            .\] 
+    \end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Randpunkt]
+    Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$ eine Teilmenge. Ein Punkt $a \in \mathbb{K}^{n}$ heißt
+    Randpunkt von $M$, falls in jeder Umgebung von $a$ sowohl ein Punkt von $M$, als auch
+    ein Punkt von $M^{C} = \mathbb{K}^{n} \setminus M$ liegt.
+
+    Die Menge aller Randpunkte von $M$ heißt der Rand von $M$, bezeichnet mit $\partial M$.
+\end{definition}
+
+\begin{figure}[h!]
+    \begin{tikzpicture}[scale=2]
+        \draw plot [smooth cycle] coordinates {(0,0) (1,1) (2,1) (3, 2) (3,0.5)};
+        \draw (1,1) circle [radius=0.15cm];
+        \draw[fill=black] (1,1) circle [radius=0.02cm];
+    \end{tikzpicture}
+    \centering
+    \caption{Randpunkt einer Menge $M \subset \mathbb{K}^{n}$}
+\end{figure}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item Für $I \in \{ [a,b[ \;, [a,b], \;]a,b], \;]a,b[\;\} $ gilt
+            $\partial I = \{a, b\}$.
+            
+            $\partial [a, \infty[ \; = \{a\}$\\
+            $\partial ]a, \infty[ \; = \{a\}$
+        \item Für $K_1(0)$ gilt
+            \begin{align*}
+                \partial K_1(0) &= \partial \{x \in \R^{n}  \mid \Vert x \Vert < 1\} \\
+                                &= \;\; \{ x \in \R^{n}  \mid \Vert x \Vert = 1 \} \\
+                                & \quad \quad \text{,,Einheitssphäre''}
+            .\end{align*}
+        \item $\Q \subset \R$, $\partial \Q = \R$, weil in jeder Umgebung eines Punktes in
+            $\Q$, gibt es rationale und irrationale Zahlen. Der Rand von $\R$ ist leer.
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Inneres, Abschluss]
+    Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$
+    \begin{itemize}
+        \item Die Menge $M^{\circ} := M \setminus \partial M$ heißt das
+            \underline{Innere} von $M$.
+        \item Die Menge $\overline{M} := M \cup \partial M$ heißt
+            der \underline{Abschluss} von $M$.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Inneres ist Offen, Abschluss ist abgeschlossen]
+    Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$.
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Die Menge $M^{\circ} = M \setminus \partial M$ ist offen.
+            $M^{\circ}$ ist die größte offene Menge in $M$.
+        \item Die Menge $\overline{M} = M \cup \partial M$ ist abgeschlossen.
+            $\overline{M}$ ist die kleinste abgeschlossene Menge, die $M$ umfasst.
+        \item Der Rand $\partial M$ ist abgeschlossen.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Z.z.: $M \setminus \partial M$ offen.
+
+            Sei $x \in M \setminus \partial M$ beliebig, dann ex. $\epsilon > 0$, s.d.
+            $K_{\epsilon}(x) \subset M$ $(\implies K_{\epsilon}(x) \cap M^{C} = \emptyset)$, sonst
+            wäre $x \in \partial M$.
+            
+            Für dieses $\epsilon$ gilt auch
+            $K_{\epsilon}(x) \cap \partial M = \emptyset$, denn
+            falls $z \in K_{\epsilon}(x) \cap \partial M$ existiert, dann ist
+            $K_{\epsilon}(x)$ Umgebung von $z$ und folglich
+            $K_{\epsilon}(x) \cap M^{C} \neq \emptyset$.
+
+            Damit folgt:
+            \[
+                K_{\epsilon}(x) \subset M \setminus \partial M \implies M \setminus \partial M \text{ offen}
+            .\] 
+
+            Sei $U \subset M$ offen, dann ist analog $U \cap \partial M = \emptyset$. Damit gilt
+            $U \subset M \setminus \partial M$. Da $U$ beliebig, folgt damit
+            $M \setminus \partial M =: M^{\circ}$ ist größte offene Teilmenge von $M$.
+        \item Z.z.: $M \cup \partial M$ abgeschlossen.
+
+            Betrachte $M^{C} = \mathbb{K}^{n} \setminus M$. Nach Definition des Rands
+            gilt $\partial M^{C} = \partial M$. Damit folgt mit (i), dass
+            $M^{C} \setminus \underbrace{\partial M}_{= \partial M^{C}}$ offen ist. Dann
+            \[
+                (M^{C} \setminus \partial M)^{C}
+                = \mathbb{K}^{n} \setminus (M^{C} \setminus \partial M)
+                = \underbrace{(\mathbb{K}^{n} \setminus M^{C})}_{= M} \cup \partial M = M \cup \partial M
+            .\] D.h. $M \cup \partial M$ ist abgeschlossen.
+
+            Sei $V \in K^{n}$ abgeschlossen mit $M \subset V$. Dann gilt
+            $V^{C}$ ist offen und $V^{C} \subset M^{C}$. Damit folgt mit (i):
+            \[
+                \underbrace{V^{C}}_{\text{offen}}
+                \subset M^{C} \setminus \underbrace{\partial M^{C}}_{=\partial M} = M^{C} \setminus \partial M
+                \implies \mathbb{K}^{n} \setminus (M^{C} \setminus \partial M)
+                = (M \cup \partial M) \subset V
+            .\] 
+            Da $V$ beliebig, folgt damit $M \cup \partial M$ ist kleinste abgeschlossene Menge, die
+            $M$ umfasst.
+        \item Mit $\partial M = (M \cup \partial M) \setminus (M \setminus \partial M)$ folgt
+            \[
+                \mathbb{K}^{n} \setminus \partial M
+                = \underbrace{\left( \mathbb{K}^{n} \setminus (M \cup \partial M)\right)}_{\text{offen}}
+                \cup  \underbrace{(M \setminus \partial M)}_{\text{offen}}
+            .\] Damit ist $\mathbb{K}^{n} \setminus \partial M$ offen, also $\partial M$ abgeschlossen.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Kompaktheit]
+    Eine Menge $M \subset \mathbb{K}^{n}$ heißt \underline{kompakt}
+    (bzw. \underline{folgenkompakt}), wenn jede Folge aus $M$ eine
+    konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $M$ besitzt.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Sei
+            \[
+                \left( x^{(k)}\right)_{k \in \N} \subset \mathbb{K}^{n}, x^{(k)} \xrightarrow{k \to \infty} x
+            .\] Dann ist $A := \{ x^{(k)}  \mid  k \in \N\} \cup {x}$ kompakt.
+        \item $]0,1[$ ist nicht kompakt, denn $\left( \frac{1}{2k} \right)_{k \in \N} \subset ]0,1[$,
+            $\frac{1}{2k} \xrightarrow{k \to \infty} 0$.
+
+            Auch: $\left( 1 - \frac{2}{k} \right)_{k \in \N} \subset ]0,1[$,
+            $1 - \frac{1}{2k} \xrightarrow{k \to \infty} 1$
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Überdeckung]
+    Eine Familie $(U_i)_{i\in I}$ von Teilmengen $U_i \subset \mathbb{K}^{n}$ heißt
+    Überdeckung von $M$, falls gilt
+    \[
+    M \subset \bigcup_{i \in  I} U_i
+    .\] Eine Überdeckung heißt offen bzw. abgeschlossen, wenn alle $U_i$ offen bzw. abgeschlossen sind.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Charakterisierung von Kompaktheit]
+    Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$ eine Teilmenge. Dann sind
+    die folgenden Aussagen äquivalent:
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $M$ ist folgenkompakt
+        \item $M$ ist beschränkt und abgeschlossen
+        \item Jede offene Überdeckung $\left( U_i \right)_{i \in I} $ von $M$ enthält
+            eine \underline{endliche} Überdeckung von $M$, d.h. es existieren endlich
+            viele Indizes $i_1, \ldots, i_k \in I$, s.d. $M \subset (U_{i_1} \cup \ldots \cup U_{i_k})$
+            (sogenannte Überdeckungseigenschaft von Heine und Borel).
+    \end{enumerate}
+    \label{satz:charakter-kompaktheit}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    \begin{itemize}
+        \item (i) $\implies$ (ii): Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$ folgenkompakt. Dann
+            existieren für alle konvergenten Folgen $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subset M$
+            eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $M$. Damit liegt
+            auch der Grenzwert von $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$ in $M$.
+            Also ist $M$ abgeschlossen.
+
+            Ang.: $M$ ist nicht beschränkt. Dann ex. eine Folge
+            $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$ mit $\Vert x^{(k)} \Vert \xrightarrow{n \to \infty} \infty$.
+            Damit hat $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$ keine konvergente Teilfolge.
+            Widerspruch zur Kompaktheit von $M$. Also ist $M$ beschränkt.
+        \item (ii) $\implies$ (i): Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$ beschränkt und
+            abgeschlossen. Dann folgt mit \ref{satz:bolzano}, dass alle Folgen
+            $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subset M $ beschränkt sind und eine
+            konvergente Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N} \xrightarrow{j \to \infty} x$
+            besitzen. Da $M$ abgeschlossen ist, folgt $x \in M$.
+
+            Also ist $M$ folgenkompakt.
+        \item (iii) $\implies$ (i): Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$ und $M$ besitze die
+            Überdeckungseigenschaft. Sei weiter $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subset M $ beliebig.
+
+            Z.z.: Es ex. eine konvergente Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$
+            mit $x^{(k_j)} \xrightarrow{j \to \infty} x \in M$.
+
+            Ang.: Solche Teilfolge existiert nicht. Dann gilt: $\forall x \in M$ existiert
+            eine offene Umgebung $U_x$ von $x$, die nur endlich viele
+            Folgenelemente von $\left( x^{(k)} \right) $ enthält (wären in jeder Umgebung
+            von $x$ unendlich viele Folgenelemente, dann existiert eine konvergente Teilfolge).
+
+            Damit ist $M = \bigcup_{x \in M} U_x$ eine offene Überdeckung, d.h. es existiert
+            nach Vorr. eine endliche Überdeckung von $M$, d.h. eine endliche
+            Menge $I$ mit
+            \[
+            \{x_i  \mid x_i \in M, i \in I\} =: M_i \text{ s.d. }
+            M \subset \bigcup_{x_i \in M_i} U_{x_i}
+            .\] Da $\forall i \in I$ $U_{x_i}$ nur endlich viele Folgenelemente enthält,
+            enthält $M$ endlich viele Folgenelemente von $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$, d.h.
+            $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \not\subset M$ $\contr$.
+
+            Also existiert eine Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$ mit
+            $x^{(k_j)} \xrightarrow{k \to \infty} x \in M$
+        \item (ii) $\implies$ (iii): Sei $M$ beschränkt und abgeschlossen und sei
+            $\{U_i, \in I\} $ eine offene Überdeckung von $M$.
+
+            Zu zeigen: Es existiert eine endliche Überdeckung von $M$.
+
+            Ang.: Eine solche Überdeckung existiert nicht. Konstruiere induktiv eine Folge
+            von beschränkten, abgeschlossenen Würfeln in $\mathbb{K}^{n}$:
+            \[
+            Q_0 \supset Q_1 \supset Q_2 \supset \ldots
+            .\] mit
+            \begin{enumerate}[(1)]
+                \item $M \cap Q_i$ wird nicht durch endlich viele $U_{i_k}$ überdeckt.
+                \item Kantenlänge von $Q_m = 2^{-m}$ Kantenlänge von $Q_0$.
+            \end{enumerate}
+            Sei $Q$ beschränkter abgeschlossener Würfel in $\mathbb{K}^{n}$ mit
+            Kantenlänge $L$, s.d. $M \subset \Q$.
+            \begin{figure}[h!]
+                \begin{tikzpicture}[scale=0.2]
+                    \draw (0,0) -- (0,10) -- (10,10) -- (10,0) -- (0,0);
+                    \draw plot [smooth cycle] coordinates {(2, 3) (2,7) (8,8) (8, 2)};
+                    \node at (12, 5) {$L$};
+                    \node at (5, -2) {$L$};
+                    \node at (6, 6) {$M$};
+                \end{tikzpicture}
+                \centering
+                \caption{Abgeschlossener Würfel $Q \subset K^{n}$ mit Kantenlänge $L$ und $M \subset Q$}
+            \end{figure}
+            Setze $Q_0 = Q$, Kantenlänge von $Q_0 = L$. Sei $Q_m$ bereits konstruiert. Sei
+            \[
+            Q_m = I_1 \times I_2 \times \ldots \times I_n
+        .\] Länge $(I_k)$ = Kantenlänge $(Q_m)$ $\forall k$ = $2^{-m} L$
+
+        Wir zerlegen jedes $I_i$ in 2 abgeschlossene Intervalle mit halber Länge
+        $I_i^{(1)}$ und $I_i(^{2)}$ und setzen für $(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}$
+        \[
+            Q_m^{s_1, \ldots, s_n} := I_1^{(s_1)} \times \ldots \times I_n^{(s_n)}
+        .\] Wir erhalten $2^{n}$ Würfel mit
+        \[
+            Q_m := \bigcup_{(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}} Q_m^{(s_1, \ldots, s_n)}
+        .\] Da $M \cap Q_m$ nicht von endlich vielen $U_{i_k}$ überdeckt wird, gilt dies
+        auch für einen Würfel
+        \[
+            Q_{m+1} := Q_m^{(s_1, \ldots, s_n)}
+        .\] Es gilt für die Kantenlänge $(Q_{m+1})$ = $\frac{1}{2}$ Kantenlänge $(Q_m)$ = $2^{-(m+1)} L$.
+
+        Für $k \in \N$ wähle $x^{(k)} \in Q_k \cap M$. Damit ist $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$ eine
+        Cauchy-Folge in $\mathbb{K}^{n}$, da nach Konstruktion von $Q_1, Q_2, \ldots$
+        \[
+            \Vert x^{(l)} - x^{(k)} \Vert \le 2^{-n_0} L, \quad \forall l, k \ge n_0
+        .\] 
+        Damit folgt $x^{(k)} \xrightarrow{k \to \infty} x \in M$ und
+        $x \in \bigcup_{i \in  I} U_i$, weil $M \subset \bigcup_{i \in  I} U_i$. Also
+        existiert ein $i_k$, s.d. $x \in U_{i_k}$ liegt. Damit liegen fast alle
+        $Q_m$ in $U_{i_k}$. Das heißt fast alle $M \cap Q_m$ liegen
+        in $U_{i_k}$. Widerspruch zur Annahme, dass eine endliche Überdeckung nicht existiert.
+
+        Also existiert eine endliche Überdeckung von $M$.
+    \end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Wichtige Voraussetzung für die Überdeckungseigenschaft von Heine und Borel ist, dass
+    $\mathbb{K}^{n}$ \underline{endlich}-dimensional ist.
+
+    In unendlich dimensionalen Banach-Räumen wie z.B.: $C[a,b]$ ist dies nicht möglich.
+\end{bem}
+
+\begin{korrolar}
+    Jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge in $\mathbb{K}^{n}$ ist
+    ebenfalls kompakt.
+\end{korrolar}
+
+\begin{proof}
+    Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$ kompakt und $A \subset M$ abgeschlossen. Wegen
+    \ref{satz:charakter-kompaktheit} ist $M$ beschränkt. Damit ist auch $A \subset M$ beschränkt
+    und somit nach \ref{satz:charakter-kompaktheit} kompakt.
+\end{proof}
+
+\end{document}

analysisII.tex

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+\input{ana4.tex}
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 \end{document}

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@@ -21,7 +21,9 @@
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