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@@ -14,23 +14,23 @@
 
 \begin{proof}
     \begin{itemize}
-        \item ,,$\implies$'': Sei $A$ abgeschlossen und $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$
+        \item \glqq$\implies$\grqq: Sei $A$ abgeschlossen und $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$
             konvergente Folge in $A$ mit
             \[
                 \lim_{k \to \infty} x^{(k)} = x
             .\] 
             Ang.: $x \not\in A$, d.h. $x \in A^{C}$. Da $A^{C}$ offen, folgt, es ex.
-            ein $\epsilon > 0$, s.d. $K_{\epsilon}(x) \subset A^{C}$.
+            ein $\varepsilon > 0$, s.d. $K_{\varepsilon}(x) \subset A^{C}$.
             Mit $x = \displaystyle \lim_{k \to \infty} x^{(k)}$ folgt, dass fast alle
-            Folgenelemente $x^{(k)}$ in $K_{\epsilon}(x) \subset A^{C}$ liegen.
+            Folgenelemente $x^{(k)}$ in $K_{\varepsilon}(x) \subset A^{C}$ liegen.
             
             Widerspruch zu: $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subset A $. Damit folgt
             $x \in A$.
-        \item ,,$\impliedby$'': Sei $A \subset \mathbb{K}^{n}$ s.d. alle konvergenten
+        \item \glqq$\impliedby$\grqq: Sei $A \subset \mathbb{K}^{n}$ s.d. alle konvergenten
             Folgen in $A$ einen Grenzwert in $A$ haben.
 
-            Zu zeigen: $A^{C}$ offen. Sei $x \in A^{C}$ beliebig. Dann g.z.z.: $\exists \epsilon > 0$
-            s.d. $K_{\epsilon}(x) \subset A^{C}$.
+            Zu zeigen: $A^{C}$ offen. Sei $x \in A^{C}$ beliebig. Dann g.z.z.: $\exists \varepsilon > 0$
+            s.d. $K_{\varepsilon}(x) \subset A^{C}$.
 
             Ang.: $A^{C}$ nicht offen. Dann ex. $\forall k \in \N$ ein Punkt $x^{(k)}$
             mit $x^{(k)} \in A \cap K_{\frac{1}{k}}(x)$. Dann ist $x^{(k)} \in A$
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             \begin{align*}
                 \partial K_1(0) &= \partial \{x \in \R^{n}  \mid \Vert x \Vert < 1\} \\
                                 &= \;\; \{ x \in \R^{n}  \mid \Vert x \Vert = 1 \} \\
-                                & \quad \quad \text{,,Einheitssphäre''}
+                                & \quad \quad \text{\grqq Einheitssphäre\glqq}
             .\end{align*}
         \item $\Q \subset \R$, $\partial \Q = \R$, weil in jeder Umgebung eines Punktes in
             $\Q$, gibt es rationale und irrationale Zahlen. Der Rand von $\R$ ist leer.
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     \begin{enumerate}[(i)]
         \item Z.z.: $M \setminus \partial M$ offen.
 
-            Sei $x \in M \setminus \partial M$ beliebig, dann ex. $\epsilon > 0$, s.d.
-            $K_{\epsilon}(x) \subset M$ $(\implies K_{\epsilon}(x) \cap M^{C} = \emptyset)$, sonst
+            Sei $x \in M \setminus \partial M$ beliebig, dann ex. $\varepsilon > 0$, s.d.
+            $K_{\varepsilon}(x) \subset M$ $(\implies K_{\varepsilon}(x) \cap M^{C} = \emptyset)$, sonst
             wäre $x \in \partial M$.
             
-            Für dieses $\epsilon$ gilt auch
-            $K_{\epsilon}(x) \cap \partial M = \emptyset$, denn
-            falls $z \in K_{\epsilon}(x) \cap \partial M$ existiert, dann ist
-            $K_{\epsilon}(x)$ Umgebung von $z$ und folglich
-            $K_{\epsilon}(x) \cap M^{C} \neq \emptyset$.
+            Für dieses $\varepsilon$ gilt auch
+            $K_{\varepsilon}(x) \cap \partial M = \emptyset$, denn
+            falls $z \in K_{\varepsilon}(x) \cap \partial M$ existiert, dann ist
+            $K_{\varepsilon}(x)$ Umgebung von $z$ und folglich
+            $K_{\varepsilon}(x) \cap M^{C} \neq \emptyset$.
 
             Damit folgt:
             \[
-                K_{\epsilon}(x) \subset M \setminus \partial M \implies M \setminus \partial M \text{ offen}
+                K_{\varepsilon}(x) \subset M \setminus \partial M \implies M \setminus \partial M \text{ offen}
             .\] 
 
             Sei $U \subset M$ offen, dann ist analog $U \cap \partial M = \emptyset$. Damit gilt
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             Also existiert eine Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$ mit
             $x^{(k_j)} \xrightarrow{k \to \infty} x \in M$
         \item (ii) $\implies$ (iii): Sei $M$ beschränkt und abgeschlossen und sei
-            $\{U_i, \in I\} $ eine offene Überdeckung von $M$.
+            $\{U_i, i \in I\} $ eine offene Überdeckung von $M$.
 
             Zu zeigen: Es existiert eine endliche Überdeckung von $M$.
 
@@ -250,7 +250,7 @@
                 \item Kantenlänge von $Q_m = 2^{-m}$ Kantenlänge von $Q_0$.
             \end{enumerate}
             Sei $Q$ beschränkter abgeschlossener Würfel in $\mathbb{K}^{n}$ mit
-            Kantenlänge $L$, s.d. $M \subset \Q$.
+            Kantenlänge $L$, s.d. $M \subset Q$.
             \begin{figure}[h!]
                 \begin{tikzpicture}[scale=0.2]
                     \draw (0,0) -- (0,10) -- (10,10) -- (10,0) -- (0,0);
@@ -268,7 +268,7 @@
         .\] Länge $(I_k)$ = Kantenlänge $(Q_m)$ $\forall k$ = $2^{-m} L$
 
         Wir zerlegen jedes $I_i$ in 2 abgeschlossene Intervalle mit halber Länge
-        $I_i^{(1)}$ und $I_i(^{2)}$ und setzen für $(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}$
+        $I_i^{(1)}$ und $I_i^{(2)}$ und setzen für $(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}$
         \[
             Q_m^{s_1, \ldots, s_n} := I_1^{(s_1)} \times \ldots \times I_n^{(s_n)}
         .\] Wir erhalten $2^{n}$ Würfel mit