merge2

ana10.tex

@@ -42,6 +42,7 @@ Frage: Unter welchen Bedingungen konvergiert die Fixpunktiteration?
 \end{definition}
 
 \begin{satz}[Banachscher Fixpunktsatz]
+    \label{satz:banach-fix}
     Sei $g\colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}^{n}$ eine Funktion mit den Eigenschaften
     \begin{enumerate}[1)]
         \item $g(M) = M$ für ein $M \subseteq D$, $M$ abgeschlossen

ana12.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \documentclass{lecture}
 \begin{document}
 \newcommand{\pdv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
-\newcommand{\dv}[2]{\frac{\d #1}{\d #2}}
+\newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
 
 \section{Totale Differenzierbarkeit}
 Erinnerung (Analysis 1) $f \colon D \to \R,\; D \subset \R$, ist genau dann in $x\in D$ differenzierbar, falls $f$ in $x$ ,,gut`` linear approximierbar ist, d.h. $\exists a\in \R$ mit $f(x + h) = f(x) + a\cdot h + w(h)$ wobei $\lim\limits_{h\to 0} \frac{w(h)}{|h|} = 0 \ (f'(x) = a)$.

ana14.tex

@@ -1,12 +1,12 @@
 \documentclass{lecture}
 \begin{document}
 \newcommand{\pdv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
-\newcommand{\dv}[2]{\frac{\d #1}{\d #2}}
+\newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
 \def\mathunderline#1#2{\color{#1}\underline{{\color{black}#2}}\color{black}}
 \section{Extremwertaufgaben}
 
 \begin{definition}[lokales Maximum/Minimum]
-    Sei $D \subset \R^n$ offen, $f\colon D\to \R$. Ein Punkt $x\in D$ heißt lokales \underline{Minimum(Maximum)} von $f$, falls eine Umgebung $K_\delta(x)\subset \R^n$ existiert mit \[f(x)\leq f(y),\; \forall y\in K_\delta(x)\cap D\] ($f(x)\geq f(y),\; \forall y\in K_\delta(x)\cap D$). Falls \[f(x) < f(y), \forall y \in K_\delta(x)\cap D\setminus\{x\}\] ($f(x) > f(y)$), dann heißt $x$ \underline{striktes} lokales Minimum (Maximum).
+    Sei $D \subset \R^n$ offen, $f\colon D\to \R$. Ein Punkt $x\in D$ heißt lokales \underline{Minimum (Maximum)} von $f$, falls eine Umgebung $K_\delta(x)\subset \R^n$ existiert mit \[f(x)\leq f(y),\; \forall y\in K_\delta(x)\cap D\] ($f(x)\geq f(y),\; \forall y\in K_\delta(x)\cap D$). Falls \[f(x) < f(y), \forall y \in K_\delta(x)\cap D\setminus\{x\}\] ($f(x) > f(y)$), dann heißt $x$ \underline{striktes} lokales Minimum (Maximum).
 \end{definition}
 \begin{satz}[Notwendige Bedingung für lokales Extremum (Min oder Max)]
 Sei $D\subset \R^n$ offen, $f\colon D\to \R$ stetig differenzierbar und $x\in D$ ein lokales Extremum von $f$. Dann gilt : $\nabla f(x) = 0$.
@@ -35,17 +35,17 @@ Sei $D\subset \R^n$ offen, $f\colon D\to \R$ stetig differenzierbar und $x\in D$
     Nach Taylor gilt lokal um $x$:
     \[f(x+h) = f(x) + (\nabla f(x), h)_2 + \frac{1}{2}(H_f(x)h, h)_2 + \omega_2(x,h)\] mit $\frac{\omega_2(x,h)}{\norm{h}^2} \oldstackrel{h \to 0}{\to} 0$
     \begin{enumerate}
-        \item Sei $H_f(x)$ positiv definit. Betrachte $\min_{\norm{h}=1} (H_f(x)h, h)_2$. Die Menge $\{h\in \R^n\mid\norm{h} = 1\}$ ist kompakt $\implies (H_f(x)h, h)_2$. nimmt ihr Minimum auf $\{h\in \R^n\mid \norm{h} =1\}$ als stetige Funktion an. $\implies \alpha \coloneqq \min_{\norm{h} = 1} (H_f(x)h, h)_2 > 0$, da $H_f(x)$ positiv definit ist. Sei $h\in \R^n\setminus\{0\}$ beliebig. Dann gilt
-        \[(H_f(x)h, h)_2 = \norm{h}^2 \underbrace{(H_f(x)\cdot \frac{h}{\norm h}, \frac{h}{\norm h})_2}_{\geq \alpha}\geq \alpha \norm h^2 > 0\]
+        \item Sei $H_f(x)$ positiv definit. Betrachte $\min_{\norm{h}=1} (H_f(x)h, h)_2$. Die Menge $\{h\in \R^n\mid\norm{h} = 1\}$ ist kompakt $\implies (H_f(x)h, h)_2$ nimmt ihr Minimum auf $\{h\in \R^n\mid \norm{h} =1\}$ als stetige Funktion an. $\implies \alpha \coloneqq \min_{\norm{h} = 1} (H_f(x)h, h)_2 > 0$, da $H_f(x)$ positiv definit ist. Sei $h\in \R^n\setminus\{0\}$ beliebig. Dann gilt
+        \[(H_f(x)h, h)_2 = \norm{h}^2 \underbrace{\left(H_f(x)\cdot \frac{h}{\norm h}, \frac{h}{\norm h}\right)_2}_{\geq \alpha}\geq \alpha \norm h^2 > 0\]
         Wähle $\delta > 0$ klein, sodass $\forall \norm h < \delta$ gilt $|\omega_2(x,h)| \leq \frac{\alpha}{4}\norm h^2$ (weil $\omega_2(x,h) = o(\norm h^2)$). Damit gilt $\forall h, \norm h < \delta$
         \[f(x+h) = f(x) + (\underbrace{\nabla f(x)}_{=0}, h)_2 + \frac{1}{2}(H_f(x)h, h)_2 + \omega_2(x,h) \geq f(x) + \frac{\alpha}{2}\norm h^2 - \frac{\alpha}{4}\norm h^2 > f(x)\]
         $\implies x$ striktes lokales Minimum von $f$.
         \item Ersetze $f$ durch $-f$, dann 1)
         \item $\exists h \in \R^n$ mit $(H_f(x)h, h)_2 = \alpha > 0$, sodass
         \[
-          f(x + th) \oldstackrel{\text{Taylor}}{=} f(x) + \frac{1}{2}t^2\cdot \alpha + \omega_2 (x , th) = f(x) + t^2\left(\frac{\alpha}{2}+ \underbrace{\frac{\omega_2(x,th)}{t^2}}_{\oldstackrel{t\to 0}{\to}0}\right) \oldstackrel{\text{für } 0 < t << 1}{>} f(x)
+          f(x + th) \oldstackrel{\text{Taylor}}{=} f(x) + \frac{1}{2}t^2\cdot \alpha + \omega_2 (x , th) = f(x) + t^2\left(\frac{\alpha}{2}+ \underbrace{\frac{\omega_2(x,th)}{t^2}}_{\oldstackrel{t\to 0}{\longrightarrow}0}\right) \oldstackrel{\text{für } 0 < t \ll 1}{>} f(x)
         \]
-        Außerdem $\exists \eta \in \R^n$ mit $(H_f(x)\eta, \eta)_2 = \beta < 0$. Analog $\implies f(x + t\eta) \leq f(x) + \beta\frac{t^2}{4}< f(x)$ für $0 < t << 1$. $\implies f(x)$ kein Maximum/Minimum.
+        Außerdem $\exists \eta \in \R^n$ mit $(H_f(x)\eta, \eta)_2 = \beta < 0$. Analog $\implies f(x + t\eta) \leq f(x) + \beta\frac{t^2}{4}< f(x)$ für $0 < t \ll 1$. $\implies f(x)$ kein Maximum/Minimum.
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 \begin{bsp}
@@ -66,7 +66,17 @@ Sei $D\subset \R^n$ offen, $f\colon D\to \R$ stetig differenzierbar und $x\in D$
             $f(x)\leq f(y)$ &$\forall y\in D$ & globales Minimum\\
             $f(x) < f(y)$ &$\forall y\in D\setminus\{x\}$ &striktes globales Minimum
         \end{tabular}
-        \item $f_1(x,y) \coloneqq x^2 + y^4,\; f_2(x,y) \coloneqq x^2,\; f_2(x,y)\coloneqq x^2 + y^3$
+        \item $f(x,y) \coloneqq x^2 - y^2 \implies \nabla f(x,y) = \begin{pmatrix}
+            2x\\-2y
+        \end{pmatrix} = 0$ für $\begin{pmatrix}
+            x\\y
+        \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+            0\\0
+        \end{pmatrix}$.
+        $H_f(x,y) = \begin{pmatrix}
+            2 & 0\\ 0 & -2
+        \end{pmatrix}$ indefinit. $\implies 0 \in \R^2$ kein lokales Extremum.
+        \item $f_1(x,y) \coloneqq x^2 + y^4,\; f_2(x,y) \coloneqq x^2,\; f_3(x,y)\coloneqq x^2 + y^3$
         Es gilt
         \[
             \nabla f_i(0) = 0\in \R^2,\; H_{f_i}(0) = \begin{pmatrix}
@@ -79,7 +89,7 @@ Sei $D\subset \R^n$ offen, $f\colon D\to \R$ stetig differenzierbar und $x\in D$
 
         \begin{tabular}{lcl}
             für $f_1$:& Punkt 0 ist ein& \underline{striktes} lokales Maximum,\\
-            ür $f_2$:& Punkt 0 ist ein& \underline{lokales Minimum}, aber \underline{nicht strikt},\\
+            für $f_2$:& Punkt 0 ist ein& \underline{lokales Minimum}, aber \underline{nicht strikt},\\
             für $f_3$:& Punkt 0 ist ein& Sattelpunkt.
         \end{tabular}
     \end{enumerate}
@@ -122,7 +132,7 @@ Frage: \underline{Umkehrabbildung:} Auflösen von $x = g(y)$, d.h.
     \end{array}\right\}\tag{*}\label{star}
 \end{equation}
 $n$ Gleichungen, $n$ Unbekannte $y_1,\dots, y_n$.
-Gesucht: Abb $f$ mit $y = f(x)$ ($f=g^{-1})$, s.d. $(x,f(x))$ Gleichung \eqref{star} löst (lokal um $(x_0,y_0=f(x_0))$).
+Gesucht: Abbildung $f$ mit $y = f(x)$ ($f=g^{-1})$, s.d. $(x,f(x))$ Gleichung \eqref{star} löst (lokal um $(x_0,y_0=f(x_0))$).
 
 \paragraph{Implizite Funktion} $m$ Gleichungen, $m$ Unbekannte $y_1,\dots, y_m$.
 \begin{equation}
@@ -164,7 +174,7 @@ Für $\mathunderline{blue}{x_0 =1,\; y_0 = 0}$ hingegen gibt es keine Umgebung v
     \[
         D_yF(x,y) =\begin{pmatrix}
             \pdv{F_1}{y_1} &\dots &\pdv{F_1}{y_m}\\
-            \vdots & & \vdots\\
+            \vdots & \ddots & \vdots\\
             \pdv{F_m}{y_1}&\dots&\pdv{F_m}{y_m}
         \end{pmatrix}
     \]
@@ -190,7 +200,7 @@ Für $\mathunderline{blue}{x_0 =1,\; y_0 = 0}$ hingegen gibt es keine Umgebung v
         \[\norm{G(x,y)}_2 \le \norm{G(x,y)-G(x,0)}_2 + \norm{G(x,0)}_2 \le \frac{1}{2}\norm{y}_2 + \frac{1}{2}r\le r\]
         d.h. $G(x,\cdot)$ ist eine Selbstabbildung der abgeschlossenen Kugel $\overline{K_r^y(0)}$.
         
-        Außerdem, $\norm{G(x,y_1) -G(x,y_2)}_2 \le \frac{1}{2}\norm{y_1-y_2}\implies G(x,\cdot)$ ist eine Kontraktion mit Lipschitz-Konstante $L=\frac{1}{2}$. Aus dem Banachschen Fixpunktsatz %add reference?
+        Außerdem, $\norm{G(x,y_1) -G(x,y_2)}_2 \le \frac{1}{2}\norm{y_1-y_2}\implies G(x,\cdot)$ ist eine Kontraktion mit Lipschitz-Konstante $L=\frac{1}{2}$. Aus dem Banachschen Fixpunktsatz (\ref{satz:banach-fix})
         folgt $\forall x \in K_s^x(0) \exists!$ ein Fixpunkt $y(x)\in K_r^y(0)$ von $G(x,\cdot)$:
         \[y(x) = \lim\limits_{k\to \infty} y^{(k)}(x),\; y^{(k)}(x)=G(x,y^{(k-1)}(x)),\; k\in \N\] mit Startpunkt $y^{(0)}(x)\coloneqq 0$.
         Es gilt die Fehlerabschätzung $\forall x \in K_s^x(0)$:
@@ -198,7 +208,7 @@ Für $\mathunderline{blue}{x_0 =1,\; y_0 = 0}$ hingegen gibt es keine Umgebung v
         Für $k\in \N$ gilt \[y^{(k)}(x) = G(x,y^{(k-1)}(x)) = y^{(k-1)}(x)-J_y^{-1}\underbrace{F(x,y^{(k-1)}(x))}_{\text{stetig}}\]
         Induktiv folgt $y^{(k)}(x)$ stetig in $x\in K_2^x(0)$. Definiere $f(x)=y(x),\; f\colon K_s^x(0) \to K_r^y(0)$ und nach Konstruktion gilt
         \[G(x,f(x)) = f(x),\quad x\in K_s^x(0).\]
-        Aus der Abschätzung $\norm{y(x)-y^{(k)}(x)}\leq 2^{-k-1}\cdot r,\; x\in K_s^x(0)$ folgt, dass  $y^{(k)}(x)\oldstackrel{k\to \infty}{\to y(x)}$ gleichmäßig auf $K_s^x(0)$ konvergiert $\implies y(x)$ stetig.
+        Aus der Abschätzung $\norm{y(x)-y^{(k)}(x)}\leq 2^{-k-1}\cdot r,\; x\in K_s^x(0)$ folgt, dass  $y^{(k)}(x)\oldstackrel{k\to \infty}{\longrightarrow} y(x)$ gleichmäßig auf $K_s^x(0)$ konvergiert $\implies y(x)$ stetig.
         $\implies$ 1. Behauptung für $(\hat x, \hat y) = (0,0)$ mit $U(\hat x)\coloneqq K_s^x(0)$ und $U(\hat y)\coloneqq K_r^y(0)$.
         \item Die Eindeutigkeit von $y = f(x)$ folgt nun aus dem Banachschen Fixpunktsatz. Für $x\in K_s(\hat x)$ ist der Fixpunkt der Gleichung $G(x,y) = y$ eindeutig bestimmt.
         \item Da $F(x,y)$ in $(0,0)$ differenzierbar ist, gilt nach Definition der Differenzierbarkeit 
@@ -208,12 +218,12 @@ Für $\mathunderline{blue}{x_0 =1,\; y_0 = 0}$ hingegen gibt es keine Umgebung v
         wobei $\omega \colon K_s^x(0)\times K_r^y(0) \to \R^m$ die Eigenschaft $\norm{\omega(x,y)}_2 = o(\norm{(x,y)}_2)$ besitzt. Aus dem Beweis von 1. wissen wir, dass $F(x,f(x)) = 0$ für $x\in K_s^x(0)$ gilt. Einsetzen ergibt 
         \begin{align*}
             0 &= F(x,f(x)) = D_xF(0,0) \cdot x + J_y \cdot f(x) + \omega(x, f(x))\\
-            f(x) &= -J_y^{-1}\cdot D_xF(0,0) \cdot x - \underbrace{J_y^{-1} \cdot \omega(x,f(x))}_{\eqqcolon \psi(x)}\\
+            f(x) &= -J_y^{-1}\cdot D_xF(0,0) \cdot x \underbrace{ - J_y^{-1} \cdot \omega(x,f(x))}_{\eqqcolon \psi(x)}\\
             &= -J_y^{-1} D_xF(0,0) x + \psi(x)
         \end{align*}
         Reminder: Def. Differenzierbarkeit: $f(0 +x) = \underbrace{f(0)}_{=0} + Df(x) \cdot x + \psi(x)$ mit $\psi(x) = o(\norm{x}_2)$
-        Es genügt also zu zeigen, dass $\psi(x) = o(\norm{x}_2)$, d.h. $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\psi(x)}{\norm{x}_2} = 0$. Wir nutzen $\omega(x,y) = o(\norm{(x,y)}_2)$, d.h. \[\frac{\norm{\omega(x,y)}_2}{\norm{(x,y)}_2} \oldstackrel{\norm{(x,y)_2}\to 0}{\to} 0\]
-        d.h. $\forall \epsilon > 0 \exists \delta_1 \in (0,s),\; \delta_2\in (0,r)$ sodass $\forall x$ mit $\norm{x}_2\le \delta_1$ und $\forall y$ mit $\norm{y}_2 \le \delta_2$ gilt 
+        Es genügt also zu zeigen, dass $\psi(x) = o(\norm{x}_2)$, d.h. $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\psi(x)}{\norm{x}_2} = 0$. Wir nutzen $\omega(x,y) = o(\norm{(x,y)}_2)$, d.h. \[\frac{\norm{\omega(x,y)}_2}{\norm{(x,y)}_2} \xrightarrow{\norm{(x,y)_2}\to 0} 0 \]
+        d.h. $\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta_1 \in (0,s),\; \delta_2\in (0,r)$ sodass $\forall x$ mit $\norm{x}_2\le \delta_1$ und $\forall y$ mit $\norm{y}_2 \le \delta_2$ gilt 
         \[
             \norm{\omega(x,y)}_2 \le \epsilon \norm{(x,y)}_2 \le \epsilon(\norm{x}_2 + \norm{y}_2) 
         \]
@@ -223,12 +233,12 @@ Für $\mathunderline{blue}{x_0 =1,\; y_0 = 0}$ hingegen gibt es keine Umgebung v
         \]
         Dies können wir nun auf $f(x)$ anwenden.
         \begin{salign*}
-            f(x) &= -J_y^{-1} D_xF(0,0)\cdot x + \Psi(x)
+            f(x) &= -J_y^{-1} D_xF(0,0)\cdot x + \psi(x)
             \intertext{Es gilt $\psi(x) = -J_y^{-1}\omega(x,f(x))$}
             \norm{f(x)} &\le \underbrace{\norm{J_y^{-1} D_xF(0,0)}_2}_{\eqqcolon c_1} \cdot \norm{x}_2 + \underbrace{\norm{J_y^{-1}}_2}_{\eqqcolon c_2} \cdot \norm{\omega(x,f(x))}_2\\
             &\le c_1 \norm{x}_2 + c_2 \norm{\omega(x,f(x))}_2
-            \intertext{Setzen wir nun $\epsilon = \frac{1}{2c_1}$, so erhalten wir für genügend kleines $x$}
-            &\le c_1\norm{x}_2 + c_2\cdot \frac{1}{2c_1}(\norm{x}_2 + \norm{f(x)}_2)\\
+            \intertext{Setzen wir nun $\epsilon = \frac{1}{2c_2}$, so erhalten wir für genügend kleines $x$}
+            &\le c_1\norm{x}_2 + c_2\cdot \frac{1}{2c_2}(\norm{x}_2 + \norm{f(x)}_2)\\
             &= \left(c_1 + \frac{1}{2}\right) \norm{x}_2 + \frac{1}{2}\norm{f(x)}_2\\
             \implies \frac{1}{2}\norm{f(x)}_2 &\le \left(c_1+ \frac{1}{2}\right)\norm{x}_2
         \end{salign*}
@@ -236,33 +246,33 @@ Für $\mathunderline{blue}{x_0 =1,\; y_0 = 0}$ hingegen gibt es keine Umgebung v
         \begin{salign*}
             \norm{\psi(x)}_2 &\le \norm{J_y^{-1}}_2 \cdot \norm{\omega(x,f(x))}_2
             \intertext{Für $\norm{x}_2 \le \delta$ gilt}
-            &\le c_1 \cdot \epsilon(\norm{x}_2 + (2c_1 +1)\norm{x}_2)\\
-            &\le \epsilon \cdot \norm{x}_2
+            &\le c_2 \cdot \epsilon(\norm{x}_2 + (2c_1 +1)\norm{x}_2)\\
+            &\le \epsilon \cdot c_3 \cdot \norm{x}_2
             \intertext{Daraus schließen wir}
-            \frac{\norm{\psi(x)}_2}{\norm{x}_2} &\le \epsilon c_3
+            \frac{\norm{\psi(x)}_2}{\norm{x}_2} &\le \epsilon \cdot c_3
             \intertext{Da $\epsilon$ beliebig ist, folgt}
             \frac{\norm{\psi(x)}_2}{\norm{x}_2} &\stackrel{x \to 0}{\to} 0\\
             \implies \frac{\psi(x)}{\norm{x}_2} &\stackrel{x \to 0}{\to} 0
         \end{salign*}
         Daraus folgt nun schließlich für das Differential von $f$ in $x = 0$
         \[D_xf(0) = -J_y^{-1} D_xF(0,0)\]
-        Weiter müssen wir noch zeigen, dass $D_xf(x)$ in $K_s^x(0) \subset K_s^x(0)$ existiert und stetig ist in $x = 0$. Da $D_yF(x,y)$ stetig in $(0,0)$ ist, gibt es ein $\delta > 0$, sodass $\forall (x,y) \in K_s^x(0) \times K_\delta^y(0) \subset K_s^x(0)\times K_r^y(0)$ gilt
+        Weiter müssen wir noch zeigen, dass $D_xf(x)$ in $K_\delta^x(0) \subset K_s^x(0)$ existiert und stetig ist in $x = 0$. Da $D_yF(x,y)$ stetig in $(0,0)$ ist, gibt es ein $\delta > 0$, sodass $\forall (x,y) \in K_s^x(0) \times K_\delta^y(0) \subset K_s^x(0)\times K_r^y(0)$ gilt
         \[
-            \norm{D_yF(x,y) - D_yF(0,0)}_2 < \frac{1}{\norm{D_yF(0,0)^{-1}}_2}  
+            \norm{D_yF(0,0) - D_yF(x,y)}_2 < \frac{1}{\norm{D_yF(0,0)^{-1}}_2}  
         \]
-        Nach dem Störungssatz %add reference
+        Nach dem Störungssatz (\ref{kor:stoerung})
         ist also $D_yF(x,y)$ regulär, also $\det D_yF(x,y) \neq 0$. Die Elemente von $D_yF(x,y)^{-1}$ sind nach der Cramerschen Regel stetige Funktionen der Elemente von $D_yF(x,y)$.
         Daher ist \[(D_yF(x,y))^{-1}D_xF(x,y)\] als Produkt stetiger Funktionen stetig und nach Definition der Stetigkeit gilt
         \[
-            \norm{(D_yF(x,y))^{-1}D_xF(x,y) - (D_yF(0,0))^{-1}D_xF(0,0)} \oldstackrel{\norm{(x,y)}_2 \to 0}{\to} 0  
+            \norm{(D_yF(x,y))^{-1}D_xF(x,y) - (D_yF(0,0))^{-1}D_xF(0,0)} \xrightarrow{\norm{(x,y)}_2 \to 0} 0  
         \]
         Analog wie oben folgern wir
-        \[f(x+h)-f(x) = -(D_yF(x,f(x)))^{-1} D_xF(x,f(x)) \cdot h + \omega(x,h),\qquad \omega(x,h) = o(\norm{h}_2)\]
+        \[f(x+h)-f(x) = -(D_yF(x,f(x)))^{-1} D_xF(x,f(x)) \cdot h + \omega(x,h),\quad \omega(x,h) = o(\norm{h}_2)\]
         Die Ableitung $D_xf(x) = -(D_yF(x,f(x)))^{-1} D_xF(x,f(x))$ von $f$ ist stetig in $x = 0$.
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 \begin{bsp}
-    $F(x,y) \coloneqq x^2 + y^2 -1$. Dann ist $D_yF(x,y) = 2y$. Nach dem Satz über implizite Funktionen folgt,dass $F(x,y) = 0$ in einer Umgebung von $(\hat x, \hat y)$ mit $\hat x^2 + \hat y^2 -1 = 0,\; \hat y \neq 0$ (d.h. $\hat x \neq \pm 1$) eindeutig durch $y = \sqrt{1-x^2}$ oder $y = -\sqrt{1-x^2}$ nach $y$ auflösbar ist.
+    $F(x,y) \coloneqq x^2 + y^2 -1$. Dann ist $D_yF(x,y) = 2y$. Nach dem Satz über implizite Funktionen folgt,  dass $F(x,y) = 0$ in einer Umgebung von $(\hat x, \hat y)$ mit $\hat x^2 + \hat y^2 -1 = 0,\; \hat y \neq 0$ (d.h. $\hat x \neq \pm 1$) eindeutig durch $y = \sqrt{1-x^2}$ oder $y = -\sqrt{1-x^2}$ nach $y$ auflösbar ist.
 \end{bsp}
 \begin{bem}[Implizites Differenzieren]
     SIF und $F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y=f(x),\; F(x,f(x)) = 0$.
@@ -286,7 +296,7 @@ Für $\mathunderline{blue}{x_0 =1,\; y_0 = 0}$ hingegen gibt es keine Umgebung v
 \subsection{Umkehrabbildungen}
 Fragestellung: Sei $f \colon D\subset \R^n \to \R^n$. Existiert die Umkehrabbildung $f^{-1}: B_f \to \R^n$?
 \begin{definition}
-    Sei $D\subset \R^n$ offen. Eine Abbildung $f\colon D\to \R^n$ heißt regulär in $\hat x\in D$, wenn $\exists K_\delta(\hat x) \subset D$, sodass $f$ in $K_\delta(\hat x)$ stetig differenzierbar und die Jacobimatrix $J_f(\hat x)$ regulär ist. $f$ heißt regulär in $D$, wenn $f$ in jedem Punkt $\hat x \in D$ regulär ist.
+    Sei $D\subset \R^n$ offen. Eine Abbildung $f\colon D\to \R^n$ heißt \underline{regulär} in $\hat x\in D$, wenn $\exists K_\delta(\hat x) \subset D$, sodass $f$ in $K_\delta(\hat x)$ stetig differenzierbar und die Jacobimatrix $J_f(\hat x)$ regulär ist. $f$ heißt regulär in $D$, wenn $f$ in jedem Punkt $\hat x \in D$ regulär ist.
 \end{definition}
 \begin{satz}[Umkehrabbildung]\label{umkehrfunktion}
     Sei $D\subset \R^n$ offen und $f\colon D\to \R^n$ regulär in $\hat x\in D$. Dann $\exists$ eine offene Umgebung $V(\hat x) \subset D$ von $\hat x$ derart, dass $U(\hat y) \coloneqq f(V(\hat x))$ eine offene Umgebung von $\hat y = f(\hat x) $ ist und $f\colon V(\hat x) \to U(\hat y)$ bijektiv. Weiter gilt: Die Umkehrabbildung $f^{-1}: U(\hat y) \to V(\hat x)$ ist regulär in $\hat y$ und 
@@ -328,7 +338,7 @@ Fragestellung: Sei $f \colon D\subset \R^n \to \R^n$. Existiert die Umkehrabbild
     \end{align*}
 \end{proof}
 \begin{korollar}
-    Sei $f\colon D\to \R^n,\; D\subset R^n$ regulär und $O \subset D$ offen. Dann ist $f(O)$ offen.
+    Sei $D\subset \R^n,\; f\colon D\to \R^n$ regulär und $O \subset D$ offen. Dann ist $f(O)$ offen.
 \end{korollar}
 \begin{proof}
     Sei $O \subset D$ offen und $y\in f(O)$ beliebig mit $y = f(x),\; x\in O$. Nach Satz \ref{umkehrfunktion} existieren $\forall y$ Umgebungen $K_r(y)\subset f(O)$ und $K_s(x)\subset O$ sodass $K_r(y)\subset f(K_s(x))\implies f(O)$ offen.

ana8.tex

@@ -38,6 +38,7 @@
 \end{proof}
 
 \begin{korollar}
+    \label{kor:stoerung}
     Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ regulär und
     $\tilde A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ s.d. $\Vert A - \tilde A\Vert < \frac{1}{\Vert A^{-1} \Vert}$. Dann
     ist $\tilde A$ regulär.