\documentclass{lecture} \begin{document} \chapter{Folgen und Reihen von Funktionen} \section{Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz} \begin{definition} Sei für $n \in \N$, $f_n \colon D \to \R$, $D \subset \R$ eine Funktion. Die Folge $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert punktweise gegen eine Funktion $f\colon D \to \R$ falls $\forall x \in D$ die Folge $(f_n(x))_{n\in\N}$ gegen $f(x)$ konvergiert, d.h. \[ \forall \epsilon > 0 \quad \exists N = N(\epsilon, x) > 0 \text{ s.d. } |f_n(x) - f(x)| < \epsilon \quad \forall n \ge N .\] \end{definition} \begin{bsp} \begin{enumerate}[(a)] \item \begin{align*} &f_n(x)\colon [0,2] \to \R \\ &f_n(x) = \begin{cases} n^2x & 0 \le x \le \frac{1}{n} \\ 2n - n^2x & \frac{1}{n} \le x \le \frac{2}{n} \\ 0 & \frac{2}{n} \le x \le 2 \end{cases} .\end{align*} $(f_n(x))_{n\in\N}$ konvergiert punktweise gegen $f(x) \equiv 0$ $\forall x \in [0,2]$. $x=0$: $f_n(0) = 0 = f(0)$\\ $0 < x \le 2$: $\forall n \ge \frac{2}{x}$, $f_n(x) = 0 = f(x)$ \item $f_n(x) = x^{n}$, $f_n\colon [0,1] \to \R$. \begin{figure}[ht!] \begin{tikzpicture}[scale = 0.95] \begin{axis}% [grid=both, minor tick num=4, grid style={line width=.1pt, draw=gray!10}, major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50}, axis lines=middle, enlargelimits={abs=0.2}, ymax=1, ymin=0 ] \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^1}; \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^2}; \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^3}; \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^4}; \end{axis} \end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[scale = 0.95] \begin{axis}% [grid=both, minor tick num=4, grid style={line width=.1pt, draw=gray!10}, major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50}, axis lines=middle, enlargelimits={abs=0.2}, ymax=1, ymin=0 ] \addplot[domain=0:1.001,samples=1000,red] {(and(x>=0 , x<1) * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1}; \end{axis} \end{tikzpicture} \caption{$f_n(x) = x^{n}$ und ihre Grenzfunktion} \end{figure} \begin{align*} (f_n(x))_{n\in\N} \xrightarrow[\text{punktweise}]{n \to \infty} f(x) = \begin{cases} 1 & \text{ falls } x = 1 \\ 0 & \text{ falls } 0 \le x < 1 \end{cases} .\end{align*} \end{enumerate} \label{bsp:punktweisekonvergenz} \end{bsp} \begin{bem} Punktweiser Limes stetiger Funktionen muss nicht stetig sein. \end{bem} \begin{definition} Die Folge $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig gegen $f\colon D \to \R$ falls gilt \[ \forall \epsilon > 0 \quad \exists N = N(\epsilon) \text{ s.d. } |f_n(x) - f(x)| < \epsilon \quad \forall x \in D \text{ und } n \ge N .\] \end{definition} \begin{bem} $\forall \epsilon > 0$, $\exists N = N(\epsilon)$, $\forall n \ge N$ gilt \[ \text{graph}(f_n) \subset \epsilon\text{-Umgebung von Graphen von } f \coloneqq \{ (x, y) \in D \times \R \mid | y - f(x)| < \epsilon\} .\] \begin{figure}[ht!] \begin{tikzpicture}[scale = 0.95] \begin{axis}% [grid=both, minor tick num=4, grid style={line width=.1pt, draw=gray!10}, major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50}, axis lines=middle, enlargelimits={abs=0.2}, ymax=1, ymin=0 ] \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.7}; \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.5}; \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,blue] {0.1 * sin(deg(40*x)) + 0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.5}; \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.3}; \end{axis} \end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[scale = 0.95] \begin{axis}% [grid=both, minor tick num=4, grid style={line width=.1pt, draw=gray!10}, major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50}, axis lines=middle, enlargelimits={abs=0.2}, ymax=1, ymin=-0.4, ] \addplot[domain=0:1.001,samples=1000,red] {(and(x>=0 , x<1) * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1}; \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,blue] {x^8}; \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3}; \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {-0.3}; \end{axis} \end{tikzpicture} \caption{Links: ,,$\epsilon$-Schlauch``, Rechts: \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (b) nicht gleichmäßig konvergent} \end{figure} Beispiele \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (a) und (b) nicht gleichmäßig konvergent, zu (a): Für $\epsilon = \frac{1}{2}$ gilt $\left|f_n\left(\frac{1}{n}\right)- f\left(\frac{1}{n}\right)\right| = n > \frac{1}{2}$ \end{bem} \begin{bsp} $f_n\colon [0,2] \to \R$, $f_n(x) \coloneqq \frac{1}{n} \sin \left( 2\pi n \cdot x \right) $ konvergiert gleichmäßig gegen $f(x) = 0$. \[ | \sin(2 \pi n \cdot x) | \le 1 \quad \forall x \in \R \implies f_n(x) \xrightarrow{n \to \infty} 0 \quad \forall x \in [0,2] \implies \text{punktweise Konvergenz} .\] Sei nun $\epsilon > 0$, dann $\exists N \in \N$ mit $\frac{1}{N} < \epsilon$. Damit folgt \[ \forall n \ge N \quad |f_n(x)| \le \frac{1}{N} < \epsilon \quad \forall x \implies \text{gleichmäßige Konvergenz} .\] \end{bsp} \begin{bem} Konvergiert $f_n \colon D \to \R$ gleichmäßig gegen $f \colon D \to \R$, dann konvergiert $f_n$ punktweise gegen $f$. Die Umkehrung gilt nicht, siehe \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (a) und (b). \end{bem} \begin{satz}[Gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen ist stetig] Es sei $D \subset \R$ und $f_n\colon D \to \R$ $\forall n \in \N$ stetig in $D$. Sei $(f_n)_{n\in\N}$ gleichmäßig konvergent gegen $f\colon D \to \R$. Dann gilt: $f$ ist stetig in $D$. \end{satz} \begin{proof} Seien $x_0 \in D$ und $\epsilon > 0$. Zu zeigen: $\exists \delta > 0$ $\forall x \in D\colon |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \epsilon$. \[ (f_n)_{n\in\N} \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f \implies \exists N \in \N \text{ s.d. } \forall n \ge N \quad \forall x \in D \text{ gilt } | f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{3} .\] \[ f_n \text{ stetig in } x_0 \implies \exists \delta \text{ s.d. } \forall x \in D \text{ gilt } |x - x_0| < \delta \implies |f_n(x) - f_n(x_0)| < \frac{\epsilon}{3} .\] Zusammen: $\forall x$ mit $|x - x_0| < \delta $ gilt: \begin{align*} |f(x) - f(x_0)| &= |f(x) - f_n(x) + f_n(x) - f_n(x_0) + f_n(x_0) - f(x_0)| \\ &\le |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)| \\ &\le \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} \\ &= \epsilon .\end{align*} \end{proof} \section{Der Funktionenraum \texorpdfstring{$C[a,b]$}{\textit{C[a,b]}}} \begin{definition}[Maximumnorm $\Vert\cdot \Vert_\infty$] Es sei $D$ ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall $I = [a,b]$ und $f\colon [a,b] \to \R$ (oder $\mathbb{C}$) stetig. Dann \[ \Vert f \Vert_\infty \coloneqq \max \{ |f(x)| \mid x \in [a,b]\} .\] Das Maximum existiert wegen der Stetigkeit des Absolutbetrags und weil $[a,b]$ beschränkt und abgeschlossen ist. \end{definition} \begin{satz}[$\Vert \cdot \Vert_\infty$ und gleichmäßige Konvergenz] Es sei $D = [a,b]$ und $f\colon [a,b] \to \R$ stetig. Dann gilt \begin{enumerate}[(i)] \item $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig gegen $f \colon [a,b] \to \R \iff \Vert f_n - f \Vert_\infty \xrightarrow{n \to \infty} 0$. \item Cauchy-Kriterium: $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b] \iff \forall \epsilon > 0$ $\exists N_0 \in \N$, s.d. $\forall n, m \ge N_0$ gilt $\Vert f_n - f_m \Vert_{\infty} < \epsilon$. \end{enumerate} \end{satz} \begin{proof} \begin{enumerate}[(i)] \item ,,$\implies$``: Sei $\epsilon > 0$. Dann $\exists N \in \N$ s.d. $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{2}$ $\forall x \in [a,b]$ und $\forall n \ge N$. Damit folgt: \[ \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = \Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \implies \Vert f_n - f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0 .\] ,,$\impliedby$``: Sei $\epsilon > 0$. Wegen $\Vert f_n -f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0$ $\exists N \in \N$ s.d. $\Vert f_n - f \Vert_\infty < \epsilon$ $\forall n \ge N$. Damit folgt $\forall n \ge N$ und $\forall x \in [a,b]$ \[ |f_n(x) - f(x)| \le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = \Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \epsilon \implies \text{gleichmäßige Konvergenz} .\] \item ,,$\implies$`` $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. $\exists f: [a,b] \to \R$ s.d. $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f$. Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$ s.d. $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{4}$ $\forall n \ge N_0$ und $\forall x \in [a,b]$. Damit gilt $\forall n, m \ge N_0$ und $\forall x \in [a,b]$: \begin{align*} &|f_n(x) - f_m(x)| \le |f_n(x) - f(x)| + |f(x) - f_m(x)| \le \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} = \frac{\epsilon}{2} \\ \implies &\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f_m(x)| = \Vert f_n - f_m \Vert_{\infty} \le \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \quad \forall n, m \ge N_0 .\end{align*} ,,$\impliedby$``: Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$, s.d. \[ |f_n(x) - f_m(x)| \le \Vert f_n - f_m \Vert_\infty < \frac{\epsilon}{2} \quad \forall n,m \ge N_0 \quad \forall x \in [a,b] .\] $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ ist eine Cauchy-Folge in $\R$.\\ $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ konvergiert \\ $\implies$ Definiere $f(x) \coloneqq \lim_{n \to \infty} f_n(x)$, $x \in [a,b]$. Dann gilt $\forall n \ge N_0$, $\forall x \in [a,b]$: \[ |f_n(x) - f(x)| = \lim_{m \to \infty} |f_n(x) - f_m(x)| < \frac{\epsilon}{2} \implies (f_n)_{n\in\N} \text{ konvergiert gleichmäßig gegen } f .\] \end{enumerate} \end{proof} \begin{bem} $\Vert \cdot \Vert_{\infty}$ erfüllt s.g. Normeigenschaften: \begin{enumerate}[(N1)] \item $\Vert f \Vert_\infty = 0 \implies f(x) = 0, x \in [a,b]$ (Definitheit) \item $\Vert \alpha f \Vert_{\infty} = |\alpha| \cdot \Vert f \Vert_\infty$, $\alpha \in \R$ (Homogenität) \item $\Vert f + g \Vert_{\infty} \le \Vert f \Vert_\infty + \Vert g \Vert_\infty$ (Dreiecksungleichung) \end{enumerate} folgen direkt aus den Eigenschaften des Absolutbetrags. \end{bem} \begin{definition} Der Funktionenraum $C[a,b]$ definiert durch \[ C[a,b] \coloneqq \{ f \colon [a,b] \to \R \mid f \text{ stetig }\} ,\] ist mit $\Vert f \Vert_\infty$ ein normierter Vektorraum. \end{definition} \begin{satz}[Vollständigkeit] Der Raum $C[a,b]$ ist vollständig bezüglich gleichmäßiger Konvergenz, d.h. jede Cauchy-Folge von Funktionen aus $C[a,b]$ besitzt einen Limes in $C[a,b]$ \end{satz} \begin{proof} Rannacher \end{proof} \section{Integration und Grenzübergänge} Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^{b} f$? \begin{satz} Seien $f_n \colon [a,b] \to \R$ stetige Riemann-integrierbare Funktionen und $f\colon [a,b] \to \R$ mit $\Vert f_n - f \Vert_\infty \xrightarrow{n \to \infty} 0$ (gleichmäßige Konvergenz). Dann gilt $f$ stetig und Riemann-integrierbar und \[ \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} \lim_{n \to \infty} f_n(x) dx .\] \end{satz} \begin{proof} $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f \implies f$ stetig $\implies f$ Riemann-integrierbar. Es gilt \begin{align*} \left| \int_{a}^{b} f_n(x) dx - \int_{a}^{b} f(x) dx\right| &= \left| \int_{a}^{b} (f_n(x) - f(x))dx\right|\\ &\le \int_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)| dx\\ &\le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| \cdot (b-a)\\ &=\underbrace{\norm{f_n - f}_\infty}_{\xrightarrow{n \to \infty} 0}\underbrace{(b-a)}_{\text{beschränkt}}. \end{align*} \end{proof} \begin{satz}\label{permutesumint} Seien $f_n \colon [a,b] \to \R$ stetige Funktionen $(n \in \N)$ und die Reihe $\sum_{n=0}^{\infty} f_n$ konvergiere gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. die Folge der Partialsummen $(\sum_{k=0}^{n} f_k)_{n\in\N}$ sei gleichmäßig konvergent. Dann gilt: \[ f(x) \coloneqq \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \quad \forall x \in [a,b] .\] ist stetig und Riemann-integrierbar und \begin{align*} \int_{a}^{b} f(x) \d x &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x \\ \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \d x &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x ,\end{align*} d.h. die Reihe wird gliedweise integriert. \end{satz} \begin{proof} $f_n$ sind stetig $\implies \sum_{k=0}^{n} f_k(x)$ stetig und Riemann-integrierbar. Die Folge der Partialsummen $(\sum_{k=0}^{n} f_k)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig, d.h. \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \text{ stetig } = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=0}^{n} f_k(x) \right) \text{ gleichmäßiger Limes} .\] Es gilt \[ \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \d x = \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x + \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) \d x .\] Die Reihe konvergiert gleichmäßig, d.h. $\forall \epsilon > 0$ $\exists N_{\epsilon} \in \N$, s.d. $\forall N \ge N_{\epsilon}$ gilt \begin{align*} &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) \d x \right| \le \epsilon \cdot (b-a) \\ \implies &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \d x - \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x \right| \le \epsilon \cdot (b-a)\\ \implies& \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \d x = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x .\end{align*} \end{proof} \begin{korollar}[Integration von Potenzreihen] Es sei $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n}$ eine reelle Potenzreihe mit Konvergenzradius $\rho > 0$. Dann konvergiert $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^{n}$ in jedem Intervall $[x_0 - r, x_0 + r]$ für $0 < r < \rho$ gleichmäßig und für $[a,b] \subset \;]x_0 - \rho, x_0 + \rho[$ gilt \[ \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n} \d x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1} \Big|_{a}^{b} .\] \end{korollar} \begin{proof} Nur die gleichmäßige Konvergenz für $| x - x_0| \le r$ ist zu beweisen: Für $|x - x_0| \le r$, $r < \rho$ gilt: \begin{align*} \left\Vert \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^{n} - \sum_{n=0}^{N} a_n(x-x_0)^{n} \right\Vert_{\infty} &= \left\Vert \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n}\right\Vert_\infty \\ &\stackrel{|x - x_0| < r}{\le} \quad \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| \cdot r^{n} \\ &\stackrel{(*)}{\le} \sum_{n=N+1}^{\infty} \left(\frac{1}{\rho - \epsilon}\right)^{n} \cdot r^{n} \\ &= \sum_{n=N+1}^{\infty} \underbrace{\left( \frac{r}{\rho-\epsilon} \right)^{n}}_{< 1} \xrightarrow[\text{geometrische Reihe}]{N \to \infty} 0 .\end{align*} $(*)$: $\rho = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|} }$, $r < \rho - \epsilon$ für ein $\epsilon > 0 \implies \exists N_0 \in \N$, s.d. $\sqrt[n]{|a_n|} < \frac{1}{\rho - \epsilon} $ $\forall n \ge N_0$ \end{proof} \end{document}