\documentclass{lecture}

\begin{document}

\begin{bsp}
    \label{bsp:windungsfeld}
    \begin{enumerate}
        \item Windungsfeld:
            \[
                W(x,y) \coloneqq \frac{1}{x^2 + y^2} \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} 
            .\] $D \coloneqq \R^2 \setminus \left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} $. $W$ ist
            nicht konservativ auf $D$ weil mit $\gamma\colon [0, 2\pi] \to \R^2$,
            $\gamma(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} $ ist
            \[
            \int_{\gamma} W = 2 \pi \neq 0
            .\] Aber mit $D \coloneqq \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}   \mid y > 0\right\} $
            ist
            \[
                \varphi(x,y) \coloneqq - \arctan\left( \frac{x}{y} \right) 
            \] ein Potential von $W$ auf $D$, denn
            \begin{align*}
                \frac{\partial \varphi(x,y)}{\partial x} &= -\frac{1}{1 + \frac{x^2}{y^2}} \frac{1}{y} = - \frac{y}{x^2 + y^2} \\
                \frac{\partial \varphi(x,y)}{\partial y} &= \frac{x}{x^2 + y^2}
            .\end{align*}
            Die Existenz eines Potentials hängt also auch von $D$ ab.
        \item Suche nach einem Potential:
            $F\colon \R^2 \to \R^2$, $F(x,y) \coloneqq \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} $.
            Falls Potential existiert, dann gilt
            \[
                \varphi_0(x,y) \coloneqq \int_{\gamma} F
            .\] mit z.B. $\gamma(t) \coloneqq t \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $, $t \in [0,1]$.
            Dann gilt
            \begin{salign*}
                \int_{\gamma} F &= \int_{0}^{1} \left( F(\gamma(t)), \gamma'(t) \right)  \d t \\
                &= \int_{0}^{1} \left( \begin{pmatrix} ty \\ tx \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}  \right)  \d t \\
                &= \int_{0}^{1} \left( t y x + tx y \right) \d t \\
                &= \int_{0}^{1} 2 t x y  \d t \\
                &= xy
            .\end{salign*}
            Definiere $\varphi = xy$. Dann ist $\frac{\partial \varphi}{\partial x} = y = F_1(x,y)$
            und $\frac{\partial \varphi}{\partial y} x = F_2(x,y)$. Also $\nabla \varphi = F$.
    \end{enumerate}
\end{bsp}

\section{Existenz von Potentialen}

Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und $F \in C^{1}(D, \R^{n})$ ein konservatives Vektorfeld. Dann existiert
ein $\varphi \in C^2(D, \R)$ mit $\nabla \varphi = F$, d.h. $\frac{\partial \varphi}{\partial x_i} = F_i$
für $i = 1, \ldots, n$. Da $\varphi$ zweimal stetig differenzierbar, folgt
\begin{align*}
\frac{\partial F_i}{ \partial x_j} = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_j \partial x_i}
= \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial F_j}{\partial x_i}
.\end{align*}

Ist also $F \in C^{1}(D, \R^{n})$ konservativ, dann gelten notwendig die \underline{Integrabilitätsbedingungen}
\[
\frac{\partial F_i}{\partial x_j} - \frac{\partial F_j}{\partial x_i} \equiv 0 \qquad \forall i, j = 1,\ldots,n
.\]
Speziell für $n = 2$:
\[
\frac{\partial F_2}{\partial x_1} = \frac{\partial F_1}{\partial x_2}
.\] Für $n = 3$:
\[
    \text{rot}(F) \coloneqq \begin{pmatrix} \frac{\partial F_3}{\partial x_2} - \frac{\partial F_2}{\partial x_3} \\
    \frac{\partial F_1}{\partial x_3} - \frac{\partial F_3}{\partial x_1} \\
\frac{\partial F_2}{\partial x_1} - \frac{\partial F_1}{\partial x_2}\end{pmatrix}  = 0
.\]

Die Integrabilitätsbedingungen sind nicht hinreichend.

\begin{bsp}[Windungsfeld]
    \[
        W(x,y) \coloneqq \frac{1}{x^2 + y^2} \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} 
    .\] Dann gilt
    \begin{align*}
        \frac{\partial W_y}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{x^2 + y^2} \right)
        = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} \\
        \frac{\partial W_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( - \frac{y}{x^2 + y^2} \right)
        = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}
    .\end{align*}
    Also gilt $\frac{\partial W_y}{\partial x} = \frac{\partial W_x}{\partial y}$ auf $D \coloneqq \R^2 \setminus \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}  \right\} $, aber auf $D$ existiert kein Potential
    (vgl. \ref{bsp:windungsfeld}).
\end{bsp}

\begin{definition}[Homotopie]
    Sei $D \subseteq \R^{n}$ und $\gamma_0, \gamma_1 \in C\left( [a,b], D \right) $ stetige
    Kurven.
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Es gelte $\gamma_0(a) = A = \gamma_1(a)$ und
            $\gamma_0(b) = B = \gamma_1(b)$. $\gamma_0$ und $\gamma_1$ heißen \underline{homotop} in $D$, falls
            eine stetige Abbildung $H\colon [a,b] \times [0,1] \to D$ (Homotopie) existiert, s.d.
            $H(t, 0) = \gamma_0(t)$ und $H(t,1) = \gamma_1(t)$, $\forall t \in [a,b]$ sowie
            $H(a, s) = A$ und $H(b,s) = B$, $\forall s \in [0,1]$.

            Für $s \in [0,1]$ sind
            $\gamma_s(t) \coloneqq H(t,s)$, $t \in [a,b]$ mit $\gamma_s(a) = A$ und $\gamma_s(b) = B$
            stetige Kurven von $A$ nach $B$ in $D$. $H$ heißt stetige Deformation von $\gamma_0$ nach
            $\gamma_1$.
        \item $\gamma_0$ und $\gamma_1$ seien geschlossen. $\gamma_0$ und $\gamma_1$ heißen
            \underline{frei homotop} in $D$, falls eine stetige Abbildung
            $H\colon [a,b] \times [0,1] \to D$ existiert mit $H(t,0) = \gamma_0(t)$ und $H(t,1) = \gamma_1(t)$, $\forall t \in [a,b]$ und
            $H(a,s) = H(b,s)$, $\forall s \in [0,1]$, d.h. für $s \in [0,1]$ ist $\gamma_s(t) \coloneqq H(t,s)$
            eine geschlossene Kurve in $D$.

            $H$ heißt stetige Deformation innerhalb von $D$ der
            geschlossenen Kurve $\gamma_0$ nach der geschlossenen Kurve $\gamma_1$.
        \item Eine geschlossene Kurve heißt \underline{zusammenziehbar} in $D$, wenn sie frei homotop zu
            einer konstanten Kurve ist, d.h. sie sich in $D$ zu einem Punkt zusammenziehen lässt.
    \end{enumerate}
\end{definition}


\begin{figure}[ht!]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \draw (0,0) -- node[left] {$s$} (0,2);
        \draw (3,0) -- (3,2);
        \draw[red] (0,0) -- node[below, black] {$t$} (3,0);
        \draw[blue] (0,2) -- (3,2);
        \draw[densely dashed] (0,0.67) -- (3,0.67);
        \draw[densely dotted] (0,1.33) -- (3,1.33);
        \node[below] at (0.1,0) {$a$};
        \node[below] at (2.9,0) {$b$};
        \node[left] at (0,0.15) {$0$};
        \node[left] at (0,1.85) {$1$};

        \draw[->] (4,1) -- node[above] {$H$} (6,1);

        \draw[blue] (7,0) node[below left, black] {$A$} .. controls (8,2) .. node[sloped] {\tiny $\blacktriangleright$} (10,2) node[above right, black] {$B$};
        \draw[red] (7,0) .. controls (9,0) .. node[sloped] {\tiny $\blacktriangleright$} (10,2);
        \draw[densely dashed] (7,0) .. controls (8.7,0.6) .. node[sloped] {\tiny $\blacktriangleright$} (10,2);
        \draw[densely dotted] (7,0) .. controls (8.3,1.4) .. node[sloped] {\tiny $\blacktriangleright$} (10,2);

        \node[red ] at (9.5,0.5) {$\gamma_0$};
        \node[blue] at (7.5,1.5) {$\gamma_1$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{Stetige Deformation von $\gamma_0$ nach $\gamma_1$}
\end{figure}


\begin{bsp}
    \label{bsp:ellipse-und-kreis}
    Ellipse: Seien $a, b > 0$.
    \[
        \epsilon(t) \coloneqq \begin{pmatrix} a \cos(t)\\ b \sin(t)\end{pmatrix}, \quad t \in [0, 2\pi]
    \] ist frei homotop zum Kreis
    \[
        K(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} 
    \] via der Homotopie
    \begin{align*}
        &H\colon [0, 2\pi] \times [0,1] \to \R^2 \setminus \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}  \right\} \\
        &H(t, s) \coloneqq s K(t) + (1 - s) \epsilon(t)
    .\end{align*}
    Es gilt
    \begin{align*}
        \Vert H(t,s) \Vert^2 &= (s + a(1-s))^2 \cos^2(t) + (s + b (1-s))^2 \sin^2(t) \\
                             &\ge \min(1, a^2, b^2) (\cos^2(t) + \sin^2(t)) \\
                             &= \min(1, a^2, b^2) \\
                             &> 0
    .\end{align*}
    Also $H(t,s) \neq 0$ $\forall t, s$.
\end{bsp}

\begin{satz}[Zweiter Hauptsatz der Kurvenintegrale: Homotopieinvarianz]
    Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $F \in C^{1}(D, \R^{n})$ erfülle
    die Integrabilitätsbedingungen und seien $\gamma_0, \gamma_1 \colon [a,b] \to D$ Integrationswege.

    Sind $\gamma_0$ und $\gamma_1$ homotop in $D$ mit gemeinsamem Anfangs- und Endpunkt oder
    geschlossen und frei homotop in $D$, dann gilt
    \[
    \int_{\gamma_1}^{} F = \int_{\gamma_0}^{} F
    .\]
    \label{satz:hauptsatz-2-kurven}
\end{satz}

\begin{proof}
    ohne Beweis
\end{proof}

\begin{bsp}[Windungsfeld]
    \begin{enumerate}
        \item Für Ellipse $\epsilon(t)$ und Kreis $K(t)$ (vgl. Beispiele \ref{bsp:ellipse-und-kreis} und
            \ref{bsp:windungsfeld}) gilt
            \[
                \int_{K} W = 2 \pi \stackrel{\ref{satz:hauptsatz-2-kurven}}{=} 
                \int_{\epsilon}^{} W = \int_{0}^{2 \pi} \frac{ab}{a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t} \d t
            .\] 
            Also folgt
            \[
            \int_{0}^{2\pi} \frac{\d t}{a^2 \cos^2t + b^2 \sin^2 t} = \frac{2 \pi}{ab}
            .\] 
        \item Kurven $\gamma_0, \gamma_1\colon [0, 2\pi] \to \R^2 \setminus \{0\} $:
            \[
                \gamma_0 \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix}
                \qquad
                \gamma_1(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ - \sin(t) \end{pmatrix} 
            .\] $\gamma_0$ und $\gamma_1$ sind nicht frei homotop in $\R^2 \setminus \{0\} $, weil
            \[
            \int_{\gamma_0} W = 2 \pi \neq - 2\pi = \int_{\gamma_1}^{} W
            .\] 
        \item Kurven $\gamma_0, \gamma_1\colon [0, \pi] \to \R^2 \setminus \{0\}$
            \[
                \gamma_0 \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix}
                \qquad
                \gamma_1(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ - \sin(t) \end{pmatrix} 
            .\] $\gamma_0$, $\gamma_1$ sind nicht homotop in $\R^2 \setminus \{0\} $, weil
            \[
            \int_{\gamma_0}^{} W = \int_{0}^{\pi} 1 \d t \neq \int_{0}^{\pi} -1 \d t = \int_{\gamma_1}^{} W \d t  
            .\] 
    \end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{definition}[Einfach zusammenhängend]
    Sei $D \subseteq \R^{n}$ ein Gebiet. $D$ heißt einfach zusammenhängend, wenn jede geschlossene
    Kurve in $D$ frei homotop zu einer konstanten Kurve ist, d.h. jede geschlossene Kurve in $D$
    zusammenziehbar ist.
\end{definition}

\begin{definition}[Sternförmig]
    Ein Gebiet $D \subseteq \R^{n}$ heißt sternförmig,
    wenn ein $x_1 \in D$ existiert, s.d. $\forall x \in D$ gilt:
    \[
        x_1 + t(x - x_1) \in D \quad \forall t \in [0,1]
    .\] D.h. $\forall x \in D$ liegt die Verbindungsstrecke von $x_1$ nach $x$ in $D$.
\end{definition}

\begin{bem}
    Jedes Sterngebiet ist einfach zusammenhängend.
\end{bem}

\begin{proof}
    $H(t,s) \coloneqq x_1 + s(\gamma(t) - x_1) \in D$, $\forall t$, $\forall s \in [0,1]$.
\end{proof}

\begin{bsp}
    \begin{enumerate}[]
        \item Jede Kugel $K_r(a)$ ist sternförmig bezüglich $a$, also auch einfach zusammenhängend.
        \item Eine gelochte Kreisscheibe $K_1(0) \setminus \{0\} $, $K_1(0) \subseteq \R^2$
            ist kein Sterngebiet und nicht einfach zusammenhängend.
        \item Geschlitzte Scheibe $K_1(0) \setminus \{x \in \R^2  \mid x_1 \le 0, x_2= 0\} \subseteq \R^2$
            ist sternförmig, also einfach zusammenhängend.
        \item Jede geschlitzte Ebene $\R^2 \setminus S_v$ mit
            $S_v \coloneqq \{ t v | t \ge 0, \Vert v \Vert = 1\} $ ist sternförmig mit
            Mittelpunkt $(-v)$, also auch einfach zusammenhängend.
        \item $R^{n} \setminus \{0\} $ ist kein Sterngebiet, weil $0 \in$ Strecke von $-a$ nach $a$,
            aber einfach zusammenhängend für $n \ge 3$.
    \end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{satz}[Lemma von Poincaré]
    Sei $D \subseteq \R^{n}$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und
    $F \in C^{1}(D, \R^{n})$ erfülle die Integrabilitätsbedingunen. Dann
    ist $F$ konservativ.
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $\gamma$ geschlossener Integrationsweg in $D$. Da $D$ einfach zusammenhängend, ist
    $\gamma$ frei homotop zu einem konstanten Weg $\gamma_C$. Damit folgt
    \[
        \int_{\gamma} F
        \; \stackrel{\ref{satz:hauptsatz-2-kurven}}{=} \; \int_{\gamma_C} F
        \; \stackrel{\text{Def.}}{=} \;
        \int_{a}^{b} (F(\gamma_C(t)), \gamma_C'(t)) \d t = 0
    .\] Damit folgt mit \ref{satz:hauptsatz-1-kurven}, dass $F$ konservativ.
\end{proof}

\begin{proof}[Ende]\end{proof}

\end{document}