\documentclass{lecture}

\begin{document}
    \chapter{Kurven im \texorpdfstring{$\R^{n}$}{R\unichar{"207F}}}
    \section{Kurven}
    \begin{definition}[Kurve]
        Eine Kurve $\gamma$ im $\R^n$ ist eine stetige Abbildung $\gamma\colon I\to \R^n$, $I$ Intervall (z.B. $I = [a,b]$ oder $I = \R$). Schreibweise: \[\gamma(t) = \begin{pmatrix}
            \gamma_1(t)\\
            \vdots\\
            \gamma_n(t)
        \end{pmatrix}.\]
        Dabei gilt $\gamma$ stetig $\Leftrightarrow$ $\gamma_i$ stetig $\forall i = 1,\dots, n$.
    \end{definition}
    \begin{bsp}
        \begin{figure}[h]
            \centering
            \captionsetup[subfigure]{justification=justified,singlelinecheck=false}
            \begin{subfigure}[b]{0.3\textwidth}
                \begin{tikzpicture}
                    \draw[color=white] (-.5,-.5) -- (0,0);
                    \draw[->,color=blue, thick] (0.5,0.5) -- node[above left] {$v$} (1.5,1.5);
                    \draw (0,0) -- (2,2);
                    \node at (0.5,0.5) {\textbullet};
                    \node[below right] at (0.5,0.5) {$a$};
                \end{tikzpicture}
                \subcaption{Beispiel 1, Gerade}
            \end{subfigure}
            \begin{subfigure}[b]{0.3\textwidth}
                \begin{tikzpicture}
                    \draw (0,0) circle (1.5cm);
                    \node at (0,0) {\textbullet};
                    \node[below right] at (0,0) {$a$};
                    \draw[->, thick] (0,0) -- node[pos=.5, above left] {$r$} (1.05,1.05);
                \end{tikzpicture}
                \subcaption{Beispiel 2, Kreis}
            \end{subfigure}
            \begin{subfigure}[b]{0.35\textwidth}
                \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
                    \begin{axis}[
                        grid = major
                        ]
                        \addplot3[variable=t,mesh,samples=70,domain=0:2] (cos(360*t), { sin(360* t) }, 0.5*t);
                    \end{axis}
                \end{tikzpicture}
                \subcaption{Beispiel 3, Helix}
            \end{subfigure}
        \end{figure}
        \begin{enumerate}
            \item Gerade in $\R^n$ durch einen Punkt $a\in \R^n$ in Richtung $v \in \R^n\setminus\{0\}$:
            \[
                \gamma(t) = a + tv,\; I = \R.
            \]
            \item Kreis in $\R^2$ um $a\in \R^2$ mit Radius $r > 0$
            \[
                \gamma(t) = a + r\begin{pmatrix}
                    \cos(t)\\
                    \sin(t)
                \end{pmatrix},\; t\in [0, 2\pi]  
            \]
            \item Helix in $\R^3$ mit $r > 0, c \neq 0$.
            \[
                \gamma(t) = \begin{pmatrix}
                    r\cos(t)\\
                    r\sin(t)\\
                    c\cdot t
                \end{pmatrix}
            \]
        \end{enumerate}
    \end{bsp}
    \begin{definition}[Differenzierbarkeit]
        \begin{enumerate}
            \item $\gamma$ heißt stetig differenzierbar, wenn $\gamma_1, \dots, \gamma_n$ stetig differenzierbar sind. Dabei bezeichnet man
            \[\gamma'(t) = \begin{pmatrix}
                \gamma_1'(t)\\
                \vdots\\
                \gamma_n'(t)
            \end{pmatrix}\]
            als Tangential- bzw. Geschwindigkeitsvektor.
            \item $\gamma$ heißt regulär, wenn gilt: $\forall t\in I$ gilt $\gamma'(t)\neq 0$.
            \item $r(t) \coloneqq \norm{\gamma'(t)}_2\colon I\to \R$ heißt Geschwindigkeit von $\gamma$.
            \[
                \norm{\gamma'(t)}_2 = \sqrt{|\gamma_1'(t)|^2 + \dots + |\gamma_n'(t)|^2}  
            \]
        \end{enumerate}
    \end{definition}
    \begin{figure}
        \centering
        \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
            \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
                \begin{axis}[axis lines=middle]
                    \addplot [domain=-2:2,samples=40]({x^2-1},{x^3-x}); 
                    \node[color=red] (a) at (0,0) {\textbullet};
                \end{axis}
            \end{tikzpicture}
            \subcaption{Beispiel 4: nicht injektive Kurve,\\ \textcolor{red}{\textbullet} liegt bei $t = \pm 1$.}
        \end{subfigure}
        \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
            \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
                \begin{axis}[axis lines=middle]
                    \addplot [domain=-2:2,samples=40]({x^2},{x^3}); 
                    \node[color=red] (a) at (0,0) {\textbullet};
                \end{axis}
            \end{tikzpicture}
            \subcaption{Beispiel 5: Neilsche Parabel, \textcolor{red}{\textbullet} liegt bei $t = 0$ und ist ein singulärer Punkt.}
        \end{subfigure}
    \end{figure}
    \begin{bsp}
        \begin{enumerate}
            \item Gerade: $\gamma(t) = a + v\cdot t$.
            \[
                \gamma'(t) = \begin{pmatrix}
                    v_1\\
                    \vdots\\
                    v_n
                \end{pmatrix} = v,\; r(t) = \norm{v}_2 \xRightarrow{v\neq 0} \gamma \text{ ist regulär}
            \]
            \item Kreis: $\gamma(t) = a + r\begin{pmatrix}
                \cos(t)\\
                \sin(t)
            \end{pmatrix}$.
            \[
                \gamma'(t) = r\begin{pmatrix}
                    -\sin(t)\\
                    \cos(t)
                \end{pmatrix} \xRightarrow{r \neq 0} \gamma'(t) \neq 0\;\forall t,
            \]
            da $\sin$ und $\cos$ keine gemeinsamen Nullstellen haben.
            \[
                r(t) = \norm{\gamma'(t)}_2 = \sqrt{r^2\sin^2(t) + r^2\cos^2(t)} = r  
            \]
            \item Helix: $\gamma(t) = \left(r\cos(t), r\sin(t), ct\right)^T$
            \[
                \gamma'(t) = \begin{pmatrix}
                    -r\sin(t)\\
                    r\cos(t)\\
                    c
                \end{pmatrix} \neq 0\; (c \neq 0)
            \]
            Außerdem ist
            \[
                r(t) = \sqrt{r^2 + c^2} > 0  
            \]
            \item Kurven stellen nicht notwendig injektive Abbildungen dar.
            \[
                \gamma\colon \R\to \R^2,\quad \gamma(t) = \begin{pmatrix}
                    t^2-1\\
                    t^3-t
                \end{pmatrix} 
            \]
            Das Bild von $\gamma$ ist $\gamma(\R) = \{(x,y)\in \R^2\colon y^2 = x^2 + x^3\}$. Dabei ist $\gamma(-1) = \begin{pmatrix}
                0\\0    
            \end{pmatrix} = \gamma(1)$. Allerdings ist $\gamma'(t) = \begin{pmatrix}
                2t\\3t^2-1
            \end{pmatrix}$ bei $-1$ gleich $\begin{pmatrix}
                -2\\2
            \end{pmatrix}$ und bei $1$ gleich $\begin{pmatrix}
                2\\2
            \end{pmatrix}$.
            \item Neilsche Parabel $\gamma\colon \R \to \R^2, \quad \gamma(t) = (t^2, t^3)$. Das Bild von $\gamma$ ist $\gamma(\R) = \{(x,y) \in \R^2\colon x\geq 0, y = \pm \sqrt{x^3}\}$. Es gilt $\gamma'(t) = \begin{pmatrix}
                2t\\3t^2
            \end{pmatrix}$ und daher insbesondere $\gamma'(0) = \begin{pmatrix}
                0\\0
            \end{pmatrix}$. Daher ist $\gamma(t)$ nicht regulär und $t = 0$ ist ein singulärer Punkt.
        \end{enumerate}
    \end{bsp}
    \begin{definition}[Tangente]
        Sei $\gamma\in C^1(I;\R^n)$. Sei ein $t_0\in I$ regulär (d.h. $\gamma'(t_0) \neq 0$). Dann ist die Tangente an $\gamma(t_0)$ eine Gerade durch $\gamma(t_0)$ in Richtung $\gamma'(t_0)$
        \[
            \{\gamma(t_0) + s\gamma'(t_0) \mid s\in \R\}.  
        \]
    \end{definition}
    \section{Die Bogenlänge}
    Sei $\gamma\colon I \to \R^n$ eine stetige Kurve. Sei $\mathcal{Z} = \{t_0,t_1,\dots, t_M\},\;t_i\in I$ eine Partition des Intervalls $I$. $\mathcal{Z}$ definiert ein Sehnenpolygon von $\gamma$ mit Ecken $\gamma(t_0),\dots, \gamma(t_M)$ der Länge 
    \[
        S(\mathcal{Z})\coloneqq \sum_{i = 1}^{M}\norm{\gamma(t_i)- \gamma(t_{i-1})}_2,\; S(\mathcal{Z})\in \R.
    \]
    Sei $\mathcal{Z}^*$ eine weitere Partition des Intervalls $I$, die aus $z$ durch Hinzunahme weiterer Teilungspunkte entsanden ist, dann gilt $S(\mathcal{Z}^*) \geq S(\mathcal{Z})$.
    Betrachte Teilintervall $[t_0,t_1]$ und sei $t_0 = s_0 < s_1 < \dots < s_K = t_1$, dann ist
    \[
        \norm{\gamma(t_1) - \gamma(t_0)} = \norm{\sum_{i = 1}^{K} \gamma(s_i) - \gamma(s_{i-1})} \leq \sum_{i = 1}^{K}\norm{\gamma(s_i) - \gamma(s_{i-1})} \implies S(\mathcal{Z}) \leq S(\mathcal{Z}^*).  
    \]
    Seien $\mathcal{Z}_1$ und $\mathcal{Z}_2$ zwei Zerlegungen und $\mathcal{Z}^*$ eine gemeinsame Verfeinerung. Dann gilt $S(\mathcal{Z}^*) \geq \max(S(\mathcal{Z}_1), S(\mathcal{Z}_2))$
    \begin{definition}[Rektifizierbarkeit]
        Eine stetige Kurve $\gamma\in C^0(I;\R^n)$ heißt rektifizierbar, wenn die Menge aller Längen $S(\mathcal{Z})$ von Polygonen zu Partitionen $\mathcal{Z}$ von $I$ beschränkt ist. In diesem Fall heißt $S(\gamma) \coloneqq \sup\{S(\mathcal{Z})\mid \mathcal{Z} \text{ Partition von } I\}$ die Länge von $\gamma$, in anderen Worten $\forall\epsilon > 0,\; \exists \delta > 0, \;\forall$ Partitionen von $I$ gilt:
        \[
            \max_i |t_{i-1} - t_i| < \delta \implies |S(\mathcal{Z}) - S(\gamma)| < \epsilon
        \]
    \end{definition}
    \begin{bsp}[Lipschitz-stetige Kurven]
        Sei $\gamma\colon I\to \R$ Lipschitz-stetig mit $|I| < \infty$, dann gilt für alle Zerlegungen $\mathcal{Z}$ von $I$:
        \[
            S(\mathcal{Z}) = \sum_{i = 1}^{M}\norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \oldstackrel{\gamma \text{ L-stetig}}{\le} \sum_{i = 1}^{M} L\cdot |t_i - t_{i-1}| = L\cdot |I|  
        \]
    Also ist $\gamma$ rektifizierbar.
    \end{bsp}
    \begin{satz}[Kurvenlänge stückweiser $C^1$-Kurven]
        Sei $\gamma\in C^0([a,b],\R^n)$ eine stetige Kurve mit $[a,b]$ kompakt, $\gamma$ stückweise $C^1$, d.h. $\exists$ Zerlegung $a = s_0 < s_1 <\dots < s_M = b$ mit 
        \[
            \left.\gamma\right|_{[s_{i-1}, s_i]} \in C^1([s_{i-1},s_i], \R^n),\quad \forall i = 1, \dots, M.  
        \]
        Dann ist $\gamma$ rektifizierbar und hat die Länge \[S(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}_2\d t = \sum_{i = 1}^{M}\int_{s_{i-1}}^{s_i} \norm{\gamma'(t)}_2 \d t.\]
        Insbesondere hat der Graph einer $C_1$-Funktion $f\in C^1([a,b], \R), \ \gamma_f(t)\coloneqq (t, f(t))^T$ die Länge \[S(\gamma_f) = \int_a^b \sqrt{1 + f'(t)^2} \d t.\]
     \end{satz}
     \begin{proof}
         Sei $\mathcal{Z} = \{t_0, \dots, t_N\}$ eine Partition, betrachte $\mathcal{Z}^* = \mathcal{Z} \cup \{s_0,\dots, s_M\} = \{x_0,\dots, x_K\}$. Dann gilt
         \begin{salign*}
            S(\mathcal{Z}) &\leq S(\mathcal{Z}^*)\\
            &= \sum_{i = 1}^{K}\norm{\gamma(x_i) - \gamma(x_{i-1})}\\
            &\stackrel{\text{HDI}}{=} \sum_{i = 1}^{K}\norm{\int_{x_{i-1}}^{x_i} \gamma'(t)\d t}\\
            &\stackrel{\triangle-\text{UGl.}}{\le} \sum_{i = 1}^{K}\int_{x_{i-1}}^{x_i} \norm{\gamma'(t)} \d t\\
            &= \int_a^b\norm{\gamma'(t)}\d t 
        \end{salign*}
        Also ist $\gamma$ rektifizierbar und $S(\gamma) \leq \int_a^b \norm{y'(t)}\d t$.
        Z.Z. $\forall \epsilon > 0\; \exists$ Zerlegung mit 
        \[
            S(\mathcal{Z}) \geq \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t - \epsilon.  
        \]
        Fixiere dazu ein $\epsilon > 0$. Wähle dann eine Treppenfunktion $\varphi$ auf $[a,b]$ mit \[\norm{\gamma'(t) - \varphi(t)} \le \frac{\epsilon}{2(b-a)} \quad \forall t\in [a,b]\setminus\{s_0,\dots, s_M\}\]
        ($\varphi$ existiert, weil $\gamma'(t)$ stückweise stetig ist). Wähle ferner eine (feine) Partition $a = t_0< t_1< \dots < t_N = b$, s.d. $\varphi\big|_{[t_{i-1}, t_i]}$ konstant ist $\forall i = 1,\dots, N$. Dann gilt nämlich 
        \begin{salign*}
            S(Z) &= \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \gamma'(t) \d t}\\
            &= \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t) + (\gamma'(t) - \varphi(t))\d t}\\
            &\geq \sum_{i = 1}^{N}\left( \norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t)\d t} - \norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} (\gamma'(t) - \varphi(t)) \d t}\right)\\
            &\geq \sum_{i = 1}^{N}\left( \norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t)\d t} - \frac{\epsilon}{2(b-a)} |t_i-t_{i-1}|\right)\\
            &\geq \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t) \d t} - \sum_{i = 1}^{N}\frac{\epsilon}{2(b-a)}|t_i-t_{i-1}|\\
            &= \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t) \d t} - \frac{\epsilon}{2}\\
            &\stackrel{\varphi(t) = \mathrm{const}}{=} \sum_{i = 1}^{N}\int_{t_{i-1}}^{t_i} \norm{\varphi(t)} \d t - \frac{\epsilon}{2}\\
            &= \sum_{i = 1}^{N}\int_{t_{i-1}}^{t_i}\norm{\gamma'(t) + (\varphi(t) - \gamma'(t))} \d t - \frac{\epsilon}{2}\\
            &\stackrel{\text{analog}}{\geq} \sum_{i = 1}^{N}\int_{t_{i-1}}^{t_i} \norm{\gamma'(t)} \d t - \epsilon = \int_a^b\norm{\gamma'(t)} \d t - \epsilon
        \end{salign*}
        Also existiert für ein beliebiges $\epsilon > 0$ eine Zerlegung $\mathcal{Z}$ mit $S(\mathcal{Z}) \geq \int_a^b\norm{\gamma'(t)}\d t - \epsilon$. Zusammen mit $S(y) \leq \int_a^b\norm{\gamma'(t)}\d t$ folgt $S(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t$.
     \end{proof}
     \begin{figure}[h]
        \centering
        \captionsetup[subfigure]{justification=justified,singlelinecheck=false}
        \begin{subfigure}[b]{0.3\textwidth}
            \begin{tikzpicture}
                \draw[color=white] (-.5,-.5) -- (0,0);
                \draw[color=black] (1.5,0) -- node[below] {$r$} (0,0) -- node[below] {$r$} (200:1.5);
                \draw[color=black] (.4,0) arc [start angle=0, end angle=200, radius=.4] node[pos=0.45, below] {$\varphi$};
                \draw[color=blue] (1.5,0) arc [start angle=0, end angle=200, radius=1.5] node[near start, right] {$\gamma$};
            \end{tikzpicture}
            \subcaption{Beispiel 1: Kreisbogen}
        \end{subfigure}
        \begin{subfigure}[b]{0.6\textwidth}
            \begin{tikzpicture}
                \begin{axis}[axis equal image, axis lines=middle, xticklabels={0, $\pi$, $2\pi$}, xtick={0,3.14,6.28}, ymin=0,ymax=2.2, xmax=6.5, smooth]
                    \addplot[blue, domain=0:6.28] ({x-sin(180/3.14 * x)},{1-cos(180/3.14 * x)});
                    \node[blue] at (5.9,1) {$\gamma$};
                    \draw (3.14,1) circle [radius=1];
                    \node at (3.14,2) {\textbullet};
                \end{axis}
            \end{tikzpicture}
            \subcaption{Beispiel 2: Zykloide}
        \end{subfigure}
     \end{figure}
     \begin{bsp}
         \begin{enumerate}
             \item Kreisbogen: $\gamma(t) = \begin{pmatrix}
                 r\cos(t)\\
                 r\sin(t)\\
             \end{pmatrix},\; \gamma \in C^\infty([0,\varphi], \R^2),\; r > 0,\; \varphi > 0$ fest. Es gilt $S(\gamma) = \int_0^\varphi\norm{\gamma'(t)}_2 \d t = \int_0^\varphi \norm{\begin{pmatrix}
                 -r\sin(t)\\ r\cos(t)
             \end{pmatrix}}_2 \d t = \int_0^\varphi r\d t = r\varphi$. Also ist der Umfang des Einheitskreises genau $\int_0^{2\pi} \underbrace{r}_{=1} \d t = 2\pi$.
             \item Zykloide $\gamma\colon [0,2\pi] \to \R^2,\; r(t) = \begin{pmatrix}
                 t-\sin(t)\\1-\cos(t)
             \end{pmatrix}$.
             Wir erhalten $\gamma'(t) = \begin{pmatrix}
                 1 - \cos(t)\\\sin(t)
             \end{pmatrix}$ und daher
             $\norm{\gamma'(t)}_2^2 = 1 - 2 \cos(t) + \cos^2(t) + \sin^2(t) = 2 - 2\cos(t) = 4 \sin^2\!\left(\frac{t}{2}\right)$. Insgesamt gilt also
             \[
                S(\gamma) = \int_0^{2\pi} \left|\smash[b]{\underbrace{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)}_{\geq 0}}\right| \d t \oldstackrel{x = \frac{t}{2}}{=} 4\int_0^\pi \sin(x) \d x = 8
                \vphantom{\underbrace{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)}_{\geq 0}}\]
         \end{enumerate}
     \end{bsp}
     \section{Parametertransformationen}
     \begin{definition}[Parametertransformation]
        \begin{enumerate}
            \item Sei $\varphi\colon [\alpha, \beta]\! \to\! [a,b]$ eine $C^k$-Abbildung $(k\in \N_0 \cup +\infty)$ zwischen den Intervallen $[\alpha,\beta]$ und $[a,b]$, 
            sei außerdem $\varphi$ bijektiv und $\varphi^{-1} \in C^k([a,b],\;[\alpha, \beta])$.
            Dann heißt $\varphi$ eine $C^k$-Parametertransformation. 
            \item Sei weiter $\gamma\colon [a,b]\to\R^n$ eine Kurve. Dann heißt die Kurve $\delta:[\alpha, \beta] \to \R^n,\;\delta \coloneqq \gamma\circ \varphi$ die Umparametrisierung von $\gamma$ (mittels $\varphi$).
            \item Die Parametertransformation $\varphi\colon [\alpha,\beta] \to [a,b]$ heißt orientierungstreu (oder orientierungserhaltend), wenn $\varphi$ streng monoton wächst; $\varphi$ heißt orientierungsumkehrend, wenn $\varphi$ streng monoton fällt.
        \end{enumerate}
    \end{definition}
    \begin{bem}
        \begin{enumerate}
            \item Falls $\varphi$ eine $C^1$-Parametertransformation ist, dann gilt \[\varphi'(t) \neq 0,\;\forall t\in I,\]d.h. $\varphi$ ist ein Diffeomorphismus. Ferner heißt $\varphi$ orientierungstreu, falls $\varphi'(t) > 0$ und orientierungsumkehrend, falls $\varphi'(t) < 0$.
            \item Die Bogenlänge $S(\gamma)$ ändert sich nicht beim Umparametrisieren: Seien $\varphi, \varphi^{-1}$ stetig differenzierbar, $\gamma\in C^1([a,b], \R^n)$. Dann gilt für die Bogenlänge 
            \begin{salign*}
                S(\gamma\circ \varphi) &= \int_\alpha^\beta \norm{(\gamma\circ \varphi)'(\tau)} \d \tau\\
                &\stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \int_\alpha^\beta\norm{\gamma'(\varphi(\tau)) \cdot \varphi'(\tau)} \d \tau\\
                &= \begin{cases}
                    \int_\alpha^\beta \norm{\gamma'(\varphi(\tau))}\cdot \varphi'(\tau) \d \tau&\varphi'(\tau) > 0, \tau \in [\alpha, \beta]\\
                    -\int_\alpha^\beta \norm{\gamma'(\varphi(\tau))}\cdot \varphi'(\tau) \d \tau&\varphi'(\tau) < 0, \tau \in [\alpha, \beta]\\
                \end{cases}\\
                &\stackrel{\substack{t=\varphi(\tau)\\\d t = \varphi'(\tau)\d \tau}}{=}
                \begin{cases}
                    \int_a^b\norm{\gamma'(t)} \d t&\varphi'(\tau) > 0, \tau \in [a,b]\\
                    -\int_b^a \norm{\gamma'(t)} \d t &\varphi'(\tau) < 0, \tau \in [a,b]\\
                \end{cases}\\
                &= \int_a^b\norm{\gamma'(t)} \d t\\
                &= S(\gamma)
            \end{salign*}
            \item Umparametrisierung auf Bogenlänge. Sei $\gamma\colon [a,b] \to \R^n$ eine reguläre $C^1$-Kurve, d.h. $\gamma'(t) \neq 0 \ \forall t\in [a,b]$. Definiere die Abbildung $\sigma\colon [a,b] \to [0, S(\gamma)]$ durch 
            \[
                \sigma(t) \coloneqq \int_a^t\norm{\gamma'(\tau)} \d \tau \left(= S\left(\gamma(t)\big|_{[a,t]}\right)\right).
            \]
            Wir können zeigen, dass $\varphi\coloneqq \sigma^{-1}$ eine orientierungstreue $C^1$-Parametertransformation ist und für die (\glqq auf Bogenlänge\grqq) umparametrisierte Kurve $\beta\colon [0,S(\gamma)]\to \R^n$ gilt \[S\left(\beta\big|_{[0,x]}\right) = x,\; \norm{\beta'(x)} = 1,\; \forall x\in [0,S(\gamma)].\]
            \begin{proof}
                Es gilt $\sigma \in C^1([a,b];\;[0,S(\gamma)])$ mit $\sigma'(t) = \norm{\gamma'(t)} > 0$. Daher ist $\sigma$ streng monoton wachsend und bijektiv. Wegen Satz \ref{umkehrfunktion} folgt 
                \[
                    \underbrace{\sigma^{-1}}_{\eqqcolon \varphi} \in C^1([0,S(y)];\; [a,b]),\; (\sigma^{-1})'(x) = \varphi'(x) = \frac{1}{\norm{\gamma'(\varphi(x))}} > 0.
                \]
                Also ist $\varphi$ streng monoton wachsend und daher muss $\varphi$ orientierungstreu sein. Für  \[\beta\colon [0,S(\gamma)]\to \R^n,\quad \beta \coloneqq \gamma \circ \varphi\] gilt \[\beta'(x) \oldstackrel{\text{Kettenregel}}{=} \gamma'(\varphi(x))\cdot \varphi'(x) = \frac{\gamma'(\varphi(x))}{\norm{\gamma'(\varphi(x))}}.\] Also erhalten wir $\norm{\beta'(x)} = 1\;\forall x\in [0,S(\gamma)]$ und damit $S\left(\beta|_{[0,x]}\right) = \int_0^x \norm{\beta'(s)}\d s = x$.
            \end{proof}
        \end{enumerate}
    \end{bem}

    \begin{bsp}
        Umparametrisierung auf Bogenlänge einer Zykloide: Es gilt $\gamma(t) = (t-\sin t, 1-\cos t)^T$ und damit
        \begin{align*}
            \norm{\gamma'(t)} &= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right), \qquad 0\le t \le 2\pi\\
            \implies \norm{\gamma'(t)} &> 0 \qquad \text{für }  2\varepsilon \le t \le 2\pi-2\varepsilon, \ \varepsilon > 0
        \end{align*}
        Betrachte also $\gamma \colon [2\varepsilon, 2\pi-2\varepsilon] \to \R^2$. Wir definieren
        \begin{salign*}
            \sigma(t) &= S\left(\gamma\big|_{[2\varepsilon,t]}\right)\\
            &= \int_{2\varepsilon}^t \norm{\gamma'(\tau)} \d \tau \\
            &= 2\int_{2\varepsilon}^t \sin\left(\frac{\tau}{2}\right) \d \tau \\
            &\stackrel{\substack{s=\tau/2\\\mathrm{d} s=\mathrm{d}\tau/2}}{=} 4\int_{\varepsilon}^{t/2} \sin s \d s\\
            &= -4\cos s\big|_{\varepsilon}^{t/2}
             = 4\left(\cos\varepsilon - \cos\frac{t}{2}\right)
        \end{salign*}
        Somit gilt $\sigma \colon [2\varepsilon,2\pi-2\varepsilon] \to [0,8\cos\varepsilon]$. Ziel:
        \begin{align*}
            \varphi \colon [0,8\cos\varepsilon] &\to [2\varepsilon,2\pi-2\varepsilon]\\
            s &\mapsto \varphi(s)=t
        \end{align*}
        Dazu setzen wir $\varphi = \sigma^{-1}$ und bestimmen die Umkehrfunktion von $\sigma$
        \begin{align*}
            s &= 4\left(\cos\varepsilon - \cos\frac{t}{2}\right)\\
            \implies \cos\frac{t}{2} &= \cos\varepsilon - \frac{s}{4}\\
            \implies t &= \underbrace{2 \arccos\left(\cos\varepsilon-\frac{s}{4}\right)}_{\varphi\mathrlap{(s), \ s \in [0,8\cos\varepsilon]}}
        \end{align*}
        Insgesamt erhalten wir $\beta(s) = \gamma(\varphi(s))$.
    \end{bsp}
\end{document}